第二十章 勾股定理 单元复习 习题课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 全章知识点巩固 单元复习 人教版八年级下册 1.如图, 已知长方形OABC的边OA在数轴的正半轴上, O为原点, BC＝3, AB＝1, 连接OB, 以点O为圆心, OB长为半径画弧, 交数轴正半轴于点D.则点D对应的数为 ( ) A.2 B. C. D. B 一、选择题 2. 一个直角三角形的两边长分别为8和10, 则第三边长为 ( ) A. 6或2　　　　 B. 2 C. 2 或6 D. 不确定 C 3.如图, 在高为5 m、坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯, 地 毯的长度至少需要 ( ) A.17 m B. 18 m C. 25 m D. 26 m A 4. 如图, 一个圆桶底面直径为24 cm, 高 32 cm, 则桶内所能容下的最长木棒为 ( ) A. 50 cm　 B. 45 cm　 C. 40 cm　 D. 38 cm C 5. 在△ABC中, 若BC＝ , AC＝ , AB＝2, 则 ( ) A. ∠A＝90° B. ∠B＝90° C. ∠A＝45° D. ∠A＋∠C＝90° C 1. 已知直角三角形的两条直角边的长分 别为2 ＋1和2 －1, 求斜边c的长. 解：由勾股定理, 得 斜边c＝ ＝ . 二、解答题 2. 一个三角形三边的比为1∶ ∶2, 这个 三角形是直角三角形吗？ 解：根据题意, 设三边长分别为x, x, 2x. ∵x2＋( x)2＝4x2 ＝(2x)2, ∴这个三角形是直角三角形. 3. 如图, 池底是一个正方形, 边长为 10尺, 在水池的正中央有一根芦苇, 它高出水面1尺．如 果把这根芦苇拉向水池一边的中点, 它的顶端恰好到达 池边的水面, 求这根芦苇的长度． 解：设这根芦苇的长度为x尺． 依题意, 得(x－1)2＋(10÷2)2＝x2, 解得x＝13. 答：这根芦苇的长度为13尺． 4. 如图, 每个小正方形的边长为1. (1)求△ABD的面积. (2)∠BCD是直角吗？为什么？ (3)点A到BD的距离为 . 解：(1)S△ABD＝5×4－ ×1×5－ ×3×4－ ×1×4＝ . (2)∠BCD是直角. 理由如下： 由勾股定理可得BC2＝22＋42＝20, CD2＝22＋12＝5, BD2＝32＋42＝25, ∴BC2＋CD2＝BD2.∴∠BCD是直角. (3)设点A到BD的距离为x, 则x＝ ＝ ＝ . 故答案为 . 5. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, AB＝20, AC＝12, 点D在BC上, 把△ABD沿AD折叠, 使AB 落在直线AC上. (1)求BC的长； (2)求重叠部分(阴影部分)的面积. 解：(1)在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, AB＝20, AC＝12, 由勾股定理, 得 BC＝ ＝16. (2)依题意, 得AB′＝AB＝20, ∴CB′＝AB′－AC＝8. 设CD＝x, 则B′D＝BD＝16－x. 在Rt△B′CD中, CD2＋CB′2＝B′D2, 即x2＋82＝(16－x)2, 解得x＝6.∴CD＝6. ∴重叠部分的面积为 CD·AC＝ ×6×12＝36. 6. 如图, AD是△ABC的边BC上的高. 分别 以线段AB, AC, BD, CD为边向外作正方形, 正方形的面 积分别为S1, S2, S3, S4.请写出关于S1, S2, S3, S4的等式. 解：依题意, 得S1＝AB2, S2＝AC2, S3＝BD2, S4＝CD2. 由勾股定理, 得 AB2－BD2＝AD2＝AC2－CD2. ∴S1－S3＝S2－S4. 7. 如图, 帐篷的长l＝2.6 m, 其横截面是一个 底边长a＝2 m, 高h＝1.8 m的等腰三角形. 制作此帐篷(不 包含底面)至少需要用多少平方米布料？(结果保留小数 点后一位) 解：设等腰三角形的腰长为x m. 由勾股定理, 得 x2＝h2＋ ＝1.82＋12＝4.24. ∴x≈2.1. ∴2× ×2×1.8＋2×2.1×2.6＝14.52≈14.5(m). ∴制作此帐篷(不包含底面)至少需要用14.5 m2布料. 8. 如图, 分别以等腰直角三角形ABC的边 AB, AC, BC为直径画半圆. 求证：所得两个月牙形图案AGCE和BHCF的面积之和 (图中阴影部分)等于Rt△ABC的面积. 证明：∵△ABC为等腰直角三角形, ∴AC2＋BC2＝AB2. 依题意, 得 S半圆ACB＝ π· AB2＝ AB2, S半圆AEC＝ π· AC2＝ AC2, S半圆CFB＝ π· BC2＝ BC2, ∴ AC2＋ BC2＝ (AC2＋BC2)＝ AB2. ∴S半圆ACB ＝S半圆AEC＋S半圆CFB. ∴S阴影＝SRt△ABC＋S半圆AEC＋S半圆CFB－S半圆ACB＝SRt△ABC. ∴所得两个月牙形图案AGCE和BHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ABC的面积. 9. 我们知道3, 4, 5是一组勾股数, 那么3k, 4k, 5k (k是正整数)也是一组勾股数吗？一般地, 如果a, b, c是一组勾股数, 那么ak, bk, ck(k是正整数)也是一组勾股数吗？ 解：3k, 4k, 5k也是一组勾股数. 理由如下： ∵(3k)2＋(4k)2＝25k2＝(5k)2, ∴3k, 4k, 5k也是一组勾股数. ak, bk, ck也是一组勾股数. 理由如下： ∵a, b, c是一组勾股数, ∴a2＋b2＝c2. ∴(ak)2＋(bk)2＝k2(a2＋b2)＝k2c2＝(ck)2. ∴ak, bk, ck也是一组勾股数. 10. 如图, 过圆锥的顶点P和底面圆的圆心O的 平面截得截面△PAB, 其中PA＝PB, AB是圆锥底面圆O 的直径. 已知PA＝7 cm, AB＝4 cm, 求截面△PAB的面积. 解：∵PA＝PB, OA＝OB, ∴PO⊥AB. ∵AB＝4 cm, ∴OA＝OB＝2 cm. 在Rt△PAO中, PO＝ ＝ ＝ 3 (cm). ∴S△PAB＝ AB·PO ＝ ×4×3 ＝6 (cm2). ∴截面△PAB的面积为6 cm2. 11. 公园中一长方体石凳如图所示, 若一只蚂 蚁以3 cm/s的速度从点M爬到点N, 最快需要多长时间？ (结果保留小数点后一位) 解：长方体石凳的表面展开图如答图所示(部分). 由展开图中点N的位置, 可知最短路径为MN1或MN2. 由勾股定理, 得 ＝302＋(40＋30)2＝5 800, =(30＋30)2＋402＝5 200, ∴MN1≈76.2(cm), MN2≈72.1(cm). ∴MN1>MN2. ∴最快需要的时间为72.1÷3≈24.0(s). 12. 一根70 cm长的木棒, 要放在长、宽、高 分别是50 cm, 40 cm, 30 cm的长方体木箱中, 能放进去吗？ (提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线) 解：如答图, 连接AC, AD. 根据长方体的性质可知, △ABC 与△ACD都是直角三角形. 由勾股定理, 得 AD2＝ AC2 ＋CD2＝AB2＋BC2＋CD2. ∴长方体的对角线AD的长度为 ＝50 (cm). ∵(50 )2＝5 000＞4 900＝702, ∴50 ＞70. ∴一根70 cm长的木棒能放进这个长方体木箱中. 13. 设直角三角形的两条直角边长及斜 边上的高分别为a, b及h.求证： . 证明：设斜边为c, 根据勾股定理, 得c＝ . ∵ ab＝ ch, ∴ab＝ h, 即a2b2＝a2h2＋b2h2. ∴等式两边同时除以a2b2h2, 得 . 14. △ABC的三边长分别为a, b, c, 面积为S. 利用勾股定理证明秦九韶公式S＝ . (提示：设△ABC的边AC上的高为BD, 利用勾股定理先 将CD用三边长表示, 再将BD用三边长表示. ) 解：对于任意△ABC, 过点B作BD⊥AC于点D. 分以下三种情况讨论： ①当△ABC是锐角三角形时, 如答图1所示. 设CD＝x, 则AD＝b－x. 结合勾股定理, 可得c2－(b－x)2＝a2－x2. 整理, 得x＝ . ∴CD＝ . 由勾股定理, 得BD2＝BC2－CD2 ＝a2－ ＝ ∴BD＝ . ∴△ABC的面积 S＝ AC·BD ＝ b· ＝ ； ②当△ABC是直角三角形时, 如答图2所示, 此时高BD与边BA重合. 由勾股定理, 得c2＝a2－b2. 将c2＝a2－b2代入S＝ 中, 化简, 得S＝ bc, 符合三角形面积公式, 即S＝ 成立； ③当△ABC是钝角三角形时, 如答图3所示. 同理①可证S＝ 成立. 综上所述, 对于任意三角形, S＝ . $