第二十一章　四边形 习题课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第2课时　多边形及其内角和 数学　八年级下册 1.如图，2019年版第五套人民币正式发行，5角硬币色泽由 金黄色改为镍白色，正背面内周缘由圆形调整为正十一 边形.则正十一边形的内角和为 ( ) A.360° B.1 260° C.1 440° D.1 620° D 数学　八年级下册 2.一个多边形的内角和为720°，则它是 ( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 D 数学　八年级下册 3.(RJ八下P52T2·改编)已知一个多边形的内角和为1 080°， 求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数为n. 依题意，得(n－2)×180°＝1 080°， 解得n＝8. ∴这个多边形的边数为8. 数学　八年级下册 4.(RJ八下P52T1·节选)求出图形中x的值. 解：六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°. ∴4x°＋90°×2＝720°， 解得x＝135. ∴图形中x的值为135. 数学　八年级下册 5.一个多边形的内角和比四边形的外角和多540°，求它的 边数. 解：设所求多边形的边数为n. 依题意，得(n－2)×180°＝360°＋540°. 解得n＝7. ∴这个多边形的边数为7. 数学　八年级下册 6.如果一个正多边形每一个内角都等于120°，那么这个正 多边形的边数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 C 数学　八年级下册 7.已知一个多边形的各个外角都是30°，则它的边数是( ) A.6 B.9 C.10 D.12 D 数学　八年级下册 8.中式园林中的窗户讲究对称美.如图，窗户外框可以抽象 成图中的正八边形，则这个正八边形的每一个内角为 5 . 135° 数学　八年级下册 9.(过程推理·题型)数学课上，四位同学用了不同方法探索 六边形的内角和，其中瑶瑶的方法是：180°×5－180° ＝720°，她画出的图是 ( ) C 数学　八年级下册 10.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝( ) A.140° B.150° C.160° D.170° B 数学　八年级下册 11.如图，直线与正八边形两边相交，则∠1＋∠2的度数为 5. 135° 数学　八年级下册 12.(RJ八下P52T1·节选)如图，AB∥CD，∠A＝135°， ∠D＝150°，求∠E的度数. 解：∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°. 又∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°， 即135°＋180°＋150°＋∠E＝540°， ∴∠E＝75°. 数学　八年级下册 13.(应用意识·核心素养)学校有一块四边形试验田，分割成 A，B两块，由图可知，x－y＝ °. 3 解：如图所示， ∴∠EDG＝180°－75°＝105°， ∠DGF＝180°－x. 在四边形DGFE中，∠EDG＋∠E＋∠F＋∠DGF＝360°， 即105°＋y＋78°＋180°－x＝360°. ∴x－y＝3°.故答案为3. 数学　八年级下册 $第二十一章　《四边形》复习作业 数学　八年级下册 1.一个正n边形的每个外角均为45°，则n＝ ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 C 数学　八年级下册 2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，求 这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数为n. 依题意，得180°(n－2)＝360°×3＋180°. 解得n＝9. 答：这个多边形的边数是9. 数学　八年级下册 3.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于点E.若 AD＝6，EC＝4，则AB的长为 ( ) A.10 B. 6 C.4 D.24 A 数学　八年级下册 4.如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点， 若EF＝1，则AB＝ . 4 数学　八年级下册 5.如图，在▱ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长 交BC的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)若AD＝2，AF平分∠BAD，求AB的长. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AD∥CF. ∴∠DAE＝∠CFE. ∵E为CD的中点，∴DE＝CE. 数学　八年级下册 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(AAS). (2)解：∵△ADE≌△FCE，AD＝2，∴CF＝AD＝2. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2. ∴BF＝BC＋CF＝4. ∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF. 又∵∠DAF＝∠F，∴∠BAF＝∠F.∴AB＝BF＝4. 数学　八年级下册 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，D是AC 的中点，则BD＝ . 4 数学　八年级下册 7.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(－1，－4)，则CE 的长是 ( ) A. B.17 C. D.15 A 数学　八年级下册 8.如图，在矩形ABCD中，连接AC，分别以点A，C为圆心， 大于 AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线 MN分别交AD，BC于点F，E，连接AE，CF，若∠DAE ＝48°，求∠EFC的大小. 数学　八年级下册 解：如图，设EF与AC相交于点O. 由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线. ∴∠COF＝90°，OA＝OC， AE＝CE，AF＝CF. ∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC. ∴∠FAO＝∠ECO，∠AFO＝∠CEO. ∴△AOF≌△COE(AAS).∴AF＝CE.∴AE＝CE＝AF＝CF. ∴四边形AECF为菱形.∴∠AFE＝∠EFC. ∵∠DAE＝48°，∴∠EFC＝∠AFE＝ (180°－48°)＝66°. 数学　八年级下册 9.如图，将一张长为16 cm，宽为12 cm的矩形纸片先从下 往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点 的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为 cm2. 24 数学　八年级下册 解：如图，连接DF交BE于点M，连接AE. 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AB，BC 的中点，BF∥DE，EF∥DB，若BC＝8，AC＝2 ， 求四边形BDEF的面积. ∵BF∥DE，EF∥DB， ∴四边形BDEF是平行四边形. ∵D，E分别是边AB，BC的中点， 数学　八年级下册 ∴DE∥AC，∴∠DEB＝∠C. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠DBE.∴∠DEB＝∠DBE.∴BD＝DE. ∴平行四边形BDEF为菱形.∴BM＝EM，DM＝FM. ∵AB＝AC，E为BC的中点，∴BE＝ BC＝4，AE⊥BC. 在Rt△ABE中，AB＝2 ，由勾股定理，得 AE＝ ＝ ＝2. ∵D为AB的中点，BM＝EM， ∴DM＝ AE＝1，∴DF＝2DM＝2. ∴菱形BDEF的面积＝ BE·DF＝4. 数学　八年级下册 11.已知四边形ABCD是正方形.若AC＝6 cm，则它的边长 为 5 cm，面积为 5 cm2. 18 数学　八年级下册 12.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点， 将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G， 连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG. (2)求BG的长. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD， ∠D＝∠B＝∠C＝90°. 数学　八年级下册 由折叠知，AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°. ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°. 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL). (2)解：由(1)知，△ABG≌△AFG，∴BG＝FG. 设BG＝FG＝x，则GC＝6－x. ∵E为CD的中点，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x. 在Rt△CEG中，CE2＋CG2＝EG2， 即32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2，∴BG＝2. 数学　八年级下册 $第8课时　矩形的性质 数学　八年级下册 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分 C.两组对角分别相等 D.两条对角线相等 D 数学　八年级下册 2.如果矩形的两边长分别为3 cm和4 cm，那么它的一条对 角线长为 5 . 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若 ∠ADB＝20°，则∠AOB的度数为 5 . 5 cm 40° 数学　八年级下册 4.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点， 连接CE，BF，且AE＝DF.求证：CE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EBC＝∠FCB＝90°，AB＝CD. ∵AE＝DF， ∴AB－AE＝CD－DF，即BE＝CF. 又∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB(SAS). ∴CE＝BF. 数学　八年级下册 5.(RJ八下P70T2·改编)如图，四边形ABCD是矩形，点E在 BC的延长线上，且△DBE是以BE为底边的等腰三角形. 求证：四边形ACED是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠BCD＝90°. 又∵△DBE是等腰三角形， ∴BC＝CE，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形. 数学　八年级下册 6.若直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边上的 中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 C 数学　八年级下册 7.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝ 2.5，则AB＝ . 5 数学　八年级下册 8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAD＝∠CAD， DE是△ACD的中线.若BC＝12，AD＝8，求DE的长. 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 又∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD(ASA). ∴BD＝CD. 数学　八年级下册 ∴BD＝CD＝ BC＝ ×12＝6. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AC＝ ＝ ＝10. ∵DE是△ACD的中线， ∴DE＝ AC＝5. 数学　八年级下册 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，F分别是边 BC，AC的中点，BC＝8，连接AD.若E是DC的中点，连 接EF，则EF＝ 5. 2 数学　八年级下册 10.如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB中点， A′B′表示竹竿AB沿墙滑动过程中的某个位置，则关于 OP的长的说法正确的是 ( ) A.下滑时，OP的长度增大 B.上升时，OP的长度减小 C.只要滑动，OP的长度就变化 D.无论怎样滑动，OP的长度不变 D 数学　八年级下册 11.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的 长是 5. 数学　八年级下册 12.如图，四边形ABCD是矩形，E为边BC上的一点，作 EG⊥AC于点G，连接AE，F为AE的中点，连接BF，GF. (1)求证：BF＝GF； (2)若∠ACB＝40°，求∠BFG的度数. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°. ∵EG⊥AC，∴∠AGE＝90°. ∵F为AE的中点， ∴BF＝GF＝ AE. 数学　八年级下册 (2)解：∵BF＝GF＝ AE＝AF， ∴∠BAF＝∠ABF，∠GAF＝∠AGF. ∴∠BFE＝2∠BAF，∠EFG＝2∠GAF. ∵∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝90°－∠ACB＝50°，即∠BAF＋∠GAF＝50°. ∴∠BFG＝∠BFE＋∠EFG＝2∠BAF＋2∠GAF ＝2∠BAC＝100°. 数学　八年级下册 13.(应用意识·核心素养)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，O为 BD的中点，E，F分别是边BC，CD上的动点，且∠EOF＝ 90°，EF＝ .当DF＝2CF时，AD的长为 . 数学　八年级下册 解：如图，延长EO交AD于点H，连接HF. ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3， ∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB＝3， ∠C＝∠ADC＝90°. ∵DF＝2CF，∴CD＝DF＋CF＝3CF＝3. ∴CF＝1，DF＝2CF＝2. 在Rt△EFC中，EF＝ ，CF＝1， 数学　八年级下册 由勾股定理，得CE＝ ＝ ＝3. ∵AD∥BC，∴∠ODH＝∠OBE，∠OHD＝∠OEB. ∵O为BD的中点，∴OD＝OB. ∴△ODH≌△OBE(AAS).∴DH＝BE，OH＝OE. 又∵∠EOF＝90°，即OF⊥EH， ∴OF是EH的垂直平分线， ∴EF＝HF＝ . 数学　八年级下册 在Rt△DHF中，由勾股定理，得 DH＝ ＝ ＝ . ∴BE＝DH＝ .∴AD＝BC＝BE＋CE＝3＋ . 故答案为3＋ . 数学　八年级下册 $第4课时　平行四边形性质的应用 数学　八年级下册 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下 列结论错误的是 ( ) A.AB＝CD B.OA＝OC C.△AOD≌△COB D.AC＝BD D 数学　八年级下册 2.如图，在▱ABCD中，F是AD中点，连接CF并延长，交 BA的延长线于点E.求证：AB＝AE. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠FAE＝∠D，∠E＝∠DCF. ∵F是AD中点，∴AF＝DF. ∴△AEF≌△DCF.∴AE＝DC.∴AB＝AE. 数学　八年级下册 3.如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是 ( ) A.线段AB的长度 B.线段CD的长度 C.线段EF的长度 D.线段GH的长度 B 数学　八年级下册 4.如图，平行四边形中两个阴影三角形的面积分别是5 cm2 和6 cm2，则平行四边形的面积为 5 . 22 cm2 数学　八年级下册 5.(RJ八下P66T9·改编)如图，直线a∥b，△ABC与△DBC 的面积相等吗？为什么？ 解：△ABC与△BCD的面积相等.理由如下： 如图，过A，D两点分别作AE⊥b于点E，DF⊥b于点F. ∵a∥b，∴AE＝DF. ∵S△ABC＝ BC·AE，S△BCD＝ BC·DF，∴S△ABC＝S△BCD. 数学　八年级下册 6.(RJ八下P59T3·改编)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝90°，AD＝3，CD＝10，BC＝9，求AD，BC之间 的距离.(提示：过点D作DE⊥BC) 解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，易得四边形ABED是长方形， ∴BE＝AD＝3.∴CE＝BC－BE＝9－3＝6. 在Rt△DEC中，由勾股定理，得 DE＝ ＝ ＝8.∴AD与BC之间的距离为8. 数学　八年级下册 7.(过程性推理·题型)如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形 的框架，量得AB＝10 cm，固定AD＝8 cm.逆时针转动AD，在 转动过程中，关于平行四边形ABCD的面积变化情况：甲认为先 变大，后变小；乙认为在转动过程中，平行四边形ABCD的面积 有最大值，最大值是80 cm2，则 ( ) A.甲说的对 B.乙说的对 C.甲、乙说的都对 D.甲、乙说的都不对 C 数学　八年级下册 8.如图，在▱ABCD中，AD＝5 cm，AB＝3 cm，AE平分 ∠BAD，交BC于点E，则线段EC的长为 ( ) A.1.5 cm B.2 cm C.2.5 cm D.3 cm B 数学　八年级下册 9.(化归转化·思想方法)如图，若▱ABCD的面积为20，则 阴影面积为 . 5 数学　八年级下册 10.(RJ八下P59T2·改编)如图，平行四边形ABCD的对角线 相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD，交BC于点 E.若△CDE的周长为8 cm，则平行四边形ABCD的周长 是多少？ 数学　八年级下册 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. 又∵OE⊥BD，∴BE＝DE. ∵△CDE的周长为8 cm，即CD＋DE＋EC＝8 cm， ∴平行四边形ABCD的周长为 AB＋BC＋CD＋AD＝2(BC＋CD)＝2(BE＋EC＋CD)＝2(DE＋EC＋CD)＝2×8＝16(cm). 数学　八年级下册 11.(面积法·思想方法)如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E， DF⊥BC于点F，若▱ABCD的周长为30，DE＝2，DF＝ 8，求CD的长. 数学　八年级下册 解：∵▱ABCD的周长为30， ∴AB＋BC＝ ×30＝15. 设AB＝x，则BC＝15－x. ∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴S▱ABCD＝AB·DE＝BC·DF， ∴2x＝8(15－x)，解得x＝12.∴CD＝AB＝12. 数学　八年级下册 12.(应用意识·核心素养)探究：如图1，在▱ABCD中，AC， BD相交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F. (1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等. (2)直线EF是否将▱ABCD的面积分成两等份？试说明 理由. 数学　八年级下册 (3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水 井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种 植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助 张大爷把地分开. 数学　八年级下册 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，OA＝OC，AD∥BC. ∴∠OAE＝∠OCF. 在△OAE和△OCF中， ∴△OAE≌△OCF(ASA)，∴AE＝CF. 同理可证△ODE≌△OBF.∴DE＝BF. 数学　八年级下册 ∴AB＋AE＋EF＋BF＝CD＋CF＋EF＋DE， ∴四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等. (2)解：直线EF是将▱ABCD的面积分成二等份.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD， 在△AOB和△COD中， 数学　八年级下册 ∴△AOB≌△COD(SSS).∴S△AOB＝S△COD. 由(1)已证：△OAE≌△OCF，△ODE≌△OBF， ∴S△OAE＝S△OCF，S△ODE＝S△OBF， ∴S△AOB＋S△OAE＋S△OBF＝S△COD＋S△OCF＋S△ODE， ∴四边形AEFB与四边形DEFC的面积相等，即直线EF是将▱ABCD的面积分成两等份.(证法不唯一) 数学　八年级下册 (3)解：如图2，连接AC，BD相交于点O，作直线OP，则直线OP两侧的四边形面积相等. 数学　八年级下册 $第7课时　三角形的中位线 数学　八年级下册 1.如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，BC＝16， 则DE的长是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.8 D 数学　八年级下册 2.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若 ∠DEF＝60°，则∠C＝ 5 . 60° 数学　八年级下册 3.如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以 在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中 点D，E，测得DE＝40 m，则AB的长是 ( ) A.80 m B.70 m C.60 m D.50 m A 数学　八年级下册 4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是 BC的中点.若OE＝3 cm，则AB的长为 ( ) A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm B 数学　八年级下册 5.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的 中点，连接DE，DF.求证：四边形AFDE是平行四边形. 证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点， ∴DE∥AB，即DE∥AF. ∵D，F分别是边BC，AB的中点， ∴DF∥AC，即DF∥AE. ∴四边形AFDE是平行四边形. 数学　八年级下册 6.如图，等边△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点， 延长BC到点F，使CF＝ BC，连接DE，CD，EF. (1)求证：四边形DCFE是平行四边形； (2)若等边△ABC的边长为6，求EF的长. (1)证明：∵在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE＝ BC，DE∥BC. ∵CF＝ BC，点B，C，F共线，∴CF＝DE，CF∥DE， ∴四边形DCFE是平行四边形. 数学　八年级下册 (2)解：∵四边形DCFE是平行四边形，∴EF＝DC. ∵等边△ABC的边长为6，D为AB的中点， ∴∠CDB＝90°，BD＝ AB＝3. 在Rt△BCD中，BC＝6， ∴DC＝ ＝ ＝3 ，∴EF＝DC＝3 . 数学　八年级下册 7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的 中点，BE＝3，EO＝4，则▱ABCD的周长为 ( ) A.13 B.14 C.19 D.28 D 数学　八年级下册 8.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是线段AB， CD，AC，BD的中点，则四边形EGFH的周长 ( ) A.只与AB，CD的长有关 B.只与AD，BC的长有关 C.只与AC，BD的长有关 D.与四边形ABCD各边的长都有关 B 数学　八年级下册 9.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE相交 于点F，DF＝BF，AF∥DC. (1)求证：四边形AFCD是平行四边形； (2)若∠EFB＝90°，EF＝2，DF＝5，求BC的长. 数学　八年级下册 (1)证明：∵E是AB的中点，DF＝BF，∴EF∥AD. ∵AF∥DC，CF∥AD， ∴四边形AFCD是平行四边形. (2)解：∵EF＝2，EF是△ABD的中位线，∴AD＝2EF＝4. ∵四边形AFCD是平行四边形，∴CF＝AD＝4. ∵∠EFB＝90°，∴∠CFB＝90°. ∵BF＝DF＝5，∴BC＝ ＝ ＝ . 数学　八年级下册 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. 10.如图，在等边三角形ABC中，BD是边AC上的中线，延 长BC至点E，使CE＝CD，F，G分别是边BD，BC的中 点.若DE＝4 ，求FG的长. ∵BD是边AC上的中线， ∴BD⊥AC，∠DBC＝ ∠ABC＝30°. 数学　八年级下册 ∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E. 又∵∠ACB＝∠CDE＋∠E＝60°， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E.∴DB＝DE＝4 . 在Rt△BDC中，∠DBC＝30°，∴BC＝2CD. 由勾股定理，得BD2＝BC2－CD2＝3CD2＝48. ∴CD＝4. ∵F，G分别是边BD，BC的中点，∴FG＝ DC＝2. 数学　八年级下册 11.(应用意识·核心素养)如图，平行四边形ABCD的面积是 32，BC＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接 AH，GH，E，F分别是AH，GH的中点，则EF的最小 值是 . 数学　八年级下册 解：如图，连接AG，过点A作AK⊥BC于点K. ∵平行四边形ABCD的面积是32，BC＝8， ∴AK·BC＝32，即AK×8＝32，∴AK＝4. ∵E为AH的中点，F为GH的中点， ∴EF＝ AG. ∴当AG最小时，EF取得最小值， ∴当G与K重合时，AG有最小值，即此时EF取得最小值， ∴EF的最小值为4× ＝2. 故答案为2. 数学　八年级下册 $第3课时　平行四边形的性质 数学　八年级下册 1.如图，AB∥GH∥DC，AD∥EF∥BC，图中的平行四边 形有多少个？将它们表示出来. 解：如图，图中的平行四边形有9个， 分别是▱ABCD，▱AEOG，▱AEFD，▱ABHG，▱BEOH，▱BEFC，▱CHOF，▱CHGD，▱DGOF. 数学　八年级下册 2.在▱ABCD中，AB＝5，BC＝3，则▱ABCD的周长是( ) A.8 B.16 C.18 D.30 B 数学　八年级下册 3.如图，在▱ABCD中，点E在CD的延长线上，若∠A＝ 50°，则∠1的度数是 5 . 50° 数学　八年级下册 4.(RJ八下P65T2·改编)如图，在一束平行光线中插入一张 对边平行的纸板.如果光线与纸板左上方所成的∠2是 72°18′，那么光线与纸板右下方所成的∠1的度数是 5 . 72°18′ 数学　八年级下册 5.(RJ八下P57T1·改编)如图，在▱ABCD中， (1)已知AB＝5，BC＝7，求另外两边的长. (2)已知∠A＝125°，求其余各内角的度数. 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝7. (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A＝125°，AB∥CD，AD∥BC. ∴∠A＋∠B＝∠A＋∠D＝180°. ∴∠B＝∠D＝55°. 数学　八年级下册 6.如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是 E，F.求证：AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C. ∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠DEA＝∠BFC＝90°. ∴△DEA≌△BFC(AAS)，∴AE＝CF. 数学　八年级下册 7.(RJ八下P57T2·改编)如图，在▱ABCD中，AB＝9，AC ＝10，BD＝12.△AOB的周长是多少？ 解：∵四边形ABCD是平行四边形， AB＝9，AC＝10，BD＝12， ∴AO＝ AC＝ ×10＝5，BO＝ BD＝ ×12＝6. ∴△AOB的周长为AB＋BO＋AO＝9＋6＋5＝20. 数学　八年级下册 8.在▱ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是( ) A.100° B.160° C.80° D.60° C 数学　八年级下册 9.如图，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)， (3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是 5 . (4，2) 数学　八年级下册 10.(RJ八下P65T1·改编)如果四边形ABCD是平行四边形， AB＝10，且AB的长是▱ABCD周长的 ，那么BC的长 是多少？ 解：依题意，得四边形ABCD的周长为 AB÷ ＝10× ＝64. ∴BC的长为64÷2－10＝22. 数学　八年级下册 11.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝ CF，连接BE，DF.求证：BE∥DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠DCF. 又∵AE＝CF， ∴△BAE≌△DCF(SAS). ∴∠AEB＝∠CFD. ∴180°－∠AEB＝180°－∠CFD，即∠BEF＝∠DFE. ∴BE∥DF. 数学　八年级下册 12.(应用意识·核心素养)如图，在▱ABCD中，CD＝10， AD＝12，AF，DE分别平分∠BAD，∠ADC，交BC于 点F，E.求EF的长. 数学　八年级下册 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝10，BC＝AD＝12， ∴∠DAF＝∠AFB，∠ADE＝∠CED. ∵AF，DE分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF＝∠BAF，∠ADE＝∠CDE. ∴∠BAF＝∠AFB，∠CDE＝∠CED. ∴BF＝AB＝10，CE＝CD＝10. ∴EF＝BF＋CE－BC＝10＋10－12＝8. 数学　八年级下册 $第9课时　矩形的判定 数学　八年级下册 1.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木 板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形 的踏板.这样做最直接的道理是 5 5 . 有一个角是直角的平行四 边形是矩形 数学　八年级下册 2.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的 中点，当∠A＝90°时，四边形AEDF是什么特殊的四边 形？证明你的结论. 解：四边形AEDF是矩形.证明如下： ∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点， ∴DE∥AC，DF∥AB. ∴四边形AEDF是平行四边形. 又∵∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形. 数学　八年级下册 3.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否 和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长 就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是 5 5 . 对角线 相等的平行四边形是矩形 数学　八年级下册 4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F， G，H分别是边AO，BO，CO，DO上的一点，且AE＝ BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴AO＝BO＝CO＝DO. 又∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH， ∴四边形EFGH是矩形. 数学　八年级下册 5.(RJ八下P71T2·改编)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相 交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝3.求▱ABCD的 面积. 解：∵△OAB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OC＝OB＝OD.∴AC＝BD. 数学　八年级下册 ∴四边形ABCD是矩形. ∴∠ABC＝90°. ∵OA＝AB＝3，∴AC＝2OA＝6. 由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝3 . ∴S▱ABCD＝BC·AB＝3 ×3＝9 . 数学　八年级下册 6.如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC于点E， DF⊥AB于点F.若∠B＋∠C＝90°，求证：四边形 AEDF是矩形. 证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠DEA＝∠AFD＝90°. ∵∠B＋∠C＝90°，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝90°.∴四边形AEDF是矩形. 数学　八年级下册 7.如图，已知平行四边形框架ABCD，现将木条BC固定不 动，向右推动框架至AB⊥BC，整个变化过程中，下列 说法不正确的是 ( ) A.四边形ABCD由平行四边形变成矩形 B.点B，D之间的距离不变 C.四边形ABCD的面积变大 D.四边形ABCD的周长不变 B 数学　八年级下册 8.兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量 结果，则不一定是矩形相框的是 ( ) D 数学　八年级下册 9.如图，四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC，BD相 交于点O，请你添加一个条件使得四边形ABCD成为矩形， 这个条件可以是 5 . AC＝BD(答案不唯一) 数学　八年级下册 10.如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于点B，AE ＝OB，DE⊥ON于点E，AD＝AO，DC⊥OM于点C. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵AB⊥OM于点B，DE⊥ON于点E， ∴∠ABO＝∠DEA＝90°. 在Rt△ABO和Rt△DEA中， ∴Rt△ABO≌Rt△DEA(HL).∴∠AOB＝∠DAE.∴AD∥BC. ∵AB⊥OM，DC⊥OM， ∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形.(证法不唯一) 数学　八年级下册 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，AE 是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四 边形ADCE是矩形. 证明：∵AB＝AC，AD是边BC上的高， ∴∠B＝∠ACB，BD＝DC，∠ADC＝90°. ∵AE是△BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC. ∵∠B＋∠ACB＝∠FAC＝∠FAE＋∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC.∴AE∥CD. 又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形. ∴AE＝BD＝DC.∴四边形ADCE是平行四边形. 又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形. 数学　八年级下册 12.(应用意识·核心素养)如图，在四边形ABCD中，∠B＝ 90°，AD∥BC，AD＝20 cm，BC＝16 cm，点P从点D 出发，以2 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发， 以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时， 两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t(单位：s). (1)当t＝5 s时，判断四边形ABMP的形状，并说明理由； (2)当四边形CDPM为平行四边形时， 求t的值. 数学　八年级下册 解：由题意，得DP＝BM＝2t cm， AP＝AD－DP＝(20－2t)cm， MC＝BC－BM＝(16－2t)cm，t≤ ＝8(s). (1)四边形ABMP是矩形.理由如下： 当t＝5 s时，AP＝20－2×5＝10(cm)，BM＝2×5＝10(cm). ∴AP＝BM. 又∵AD∥BC，∴四边形ABMP是平行四边形. ∵∠B＝90°，∴四边形ABMP是矩形. (2)当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝MC， ∴2t＝16－2t，解得t＝4. 数学　八年级下册 $第5课时　平行四边形的判定(1) 数学　八年级下册 1.如图，在四边形ABCD中，已知对边AB＝CD，当另一组 对边AD，BC满足 5 时，可得四边形ABCD为平 行四边形. AD＝BC 数学　八年级下册 2.将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′按如图所示放置，使 两条直角边BC与B′C′重合在一起，试证明这样拼成的四 边形ACA′B是平行四边形. 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，AC＝A′C′. 即AB＝A′C，AC＝A′B. ∴四边形ACA′B是平行四边形. 数学　八年级下册 3.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：四边形 ABCD是平行四边形. 证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠BDC＝90°. 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).∴AB＝CD. 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 4.在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比如 下，能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3 C.2∶3∶2∶3 D.4∶3∶3∶2 C 数学　八年级下册 5.如图，求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：由四边形内角和是360°，得 ∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝50°. ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 6.(RJ八下P60例4·改编)如图，▱ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.求证：四边形 AECF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO. 又∵BE＝DF，∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO. ∴四边形AECF是平行四边形. 数学　八年级下册 7.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知 AO＝CO，添加下列一个条件后，仍不能使四边形ABCD 是平行四边形的是 ( ) A.BO＝DO B.AB＝DC C.AD∥BC D.AB∥DC B 数学　八年级下册 8.如图，∠AOB是锐角，M，N分别是射线OA，OB上的点， 利用尺规作图找一点P，使得四边形PMON是平行四边形， 则可直接判定四边形PMON是平行四边形的条件是 ( ) A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.两组对角分别相等 D.对角线互相平分 A 数学　八年级下册 9.如图，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C，添加条件 5 ，可得四边形ABCD为平 行四边形.(只需添加一个条件) ∠A＋∠B＝180°(答案不唯一) 数学　八年级下册 10.(RJ八下P61T3·改编)如图，AC，BD相交于点O,AB∥CD， OD＝OB，E，F分别是OA，OC的中点.求证：四边形 BFDE是平行四边形. 证明：∵AB∥CD，∴∠C＝∠A. 在△AOB和△COD中， 数学　八年级下册 ∴△AOB≌△COD(AAS)，∴OA＝OC. 又∵E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝ OA，OF＝ OC. ∴OE＝OF. 又∵OD＝OB，∴四边形BFDE是平行四边形. 数学　八年级下册 11.(应用意识·核心素养)如图，已知E，F，G，H分别是 ▱ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝CG， BF＝DH.求证：四边形EFGH是平行四边形. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝BC. 又∵BF＝DH，∴AD－DH＝BC－BF，即AH＝CF. 又∵AE＝CG， ∴△AEH≌△CGF(SAS). ∴EH＝GF. 同理可证△BEF≌△DGH(SAS). ∴EF＝GH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 数学　八年级下册 $第13课时　正方形的判定 数学　八年级下册 1.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，要使该四 边形是正方形，则添加的一个条件可以是 ( ) A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AD＝BC D.BC＝CD D 数学　八年级下册 2.如图，在▱ABCD中，AC＝BD.再添加一个条件，仍不 能判定四边形ABCD是正方形的是 ( ) A.AB＝BC B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.∠ABD＝∠CBD B 数学　八年级下册 3.八年级数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片按如 图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为 什么吗？理由： 5 的矩形是正方形. 邻边相等 数学　八年级下册 4.如图，在矩形ABCD中，M是对角线AC上一点，ME⊥AB 于点E，MF⊥BC于点F，ME＝MF.求证：四边形EBFM 是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°. ∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB＝∠MFB＝90°. ∴四边形EBFM是矩形. 又∵ME＝MF，∴四边形EBFM是正方形. 数学　八年级下册 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添 加一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是 5 5 .(只需写一个) ∠BAD＝ 90°(答案不唯一) 数学　八年级下册 6.如图，在正方形ABCD中，点E，F，M，N分别在各边 上，且AE＝BF＝CM＝DN.求证：四边形EFMN是正方形. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. ∵AE＝BF＝CM＝DN， ∴BE＝CF＝DM＝AN. 在△AEN，△BFE，△CMF，△DNM中， AE＝BF＝CM＝DN， 数学　八年级下册 ∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AN＝BE＝CF＝DM， ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM(SAS). ∴EN＝FE＝MF＝NM，∠ANE＝∠BEF， ∴四边形EFMN是菱形， 又∵∠NEF＝180°－(∠AEN＋∠BEF) ＝180°－(∠AEN＋∠ANE) ＝180°－90°＝90°. ∴四边形EFMN是正方形. 数学　八年级下册 7.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB 交BE于点E，点E在AD边上，BF∥CE，CF∥BE.求证： 四边形BECF是正方形. 数学　八年级下册 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°. ∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴EB＝EC，∠BEC＝180°－∠EBC－∠ECB＝90°， ∴平行四边形BECF是正方形. 数学　八年级下册 8.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E， F是对角线BD所在直线上的两点，DF＝BE，连接AE， CE，AF，CF，得四边形AECF，且∠AED＝45°.求证： 四边形AECF是正方形. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD. ∵DF＝BE，∴DF＋DO＝BE＋OB，即FO＝EO. ∴四边形AECF是菱形.∴∠AEF＝∠CEF. 又∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝90°. ∴四边形AECF是正方形. 数学　八年级下册 9.(RJ八下P87T7)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相 交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的 中点.求证：四边形EFGH是正方形. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD. 又∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点， ∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴四边形EFGH是矩形， 又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是正方形. 数学　八年级下册 10.(应用意识·核心素养)如图1，在正方形ABCD中，E是 AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE. (1)求证：CE＝CF. (2)在图1中, 若点G在AD上, 且∠GCE＝45°, 则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？ 数学　八年级下册 (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如 图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠B＝ 90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°， BE＝4，求DE的长. 数学　八年级下册 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°. 又∵BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE＝CF. (2)解：成立，理由如下： 由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF. ∴∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD，即∠BCD＝∠ECF＝90°. 数学　八年级下册 ∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝45°＝∠GCE. 又∵CE＝CF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE＝GF. ∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD. (3)解：如图，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G. ∵AD∥BC，∴∠A＝180°－∠B＝90°. 又∵∠CGA＝90°，AB＝BC， 数学　八年级下册 ∴四边形ABCG为正方形.∴AG＝BC＝12. ∵BE＝4，∴AE＝AB－BE＝12－4＝8. ∵∠DCE＝45°， 由(2)可知，ED＝BE＋DG. 设DE＝x，则DG＝x－4， ∴AD＝AG－DG＝12－(x－4)＝16－x. 在Rt△AED中，DE2＝AD2＋AE2，∴x2＝(16－x)2＋82， 解得x＝10.∴DE＝10. 数学　八年级下册 $第11课时　菱形的判定 数学　八年级下册 1.在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，添加下列条件 能使四边形ABCD为菱形的是 ( ) A.AC＝BD B.AB＝AC C.∠A＝∠B D.AB＝AD D 数学　八年级下册 2.如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，将△ABC沿BC 方向平移得到△DCE，连接AD.求证：四边形ACED是 菱形. 证明：由平移，得 AD＝BC＝CE，AD∥BC. ∴四边形ACED是平行四边形. ∵AC＝BC，∴AD＝AC. ∴四边形ACED是菱形. 数学　八年级下册 3.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD， AC＝8，CD＝5，则▱ABCD的面积等于 . 24 数学　八年级下册 4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝13， AO＝5，BO＝12.求证：▱ABCD是菱形. 证明：∵AO2＋BO2＝52＋122＝169＝AB2， ∴△ABO是直角三角形，且∠AOB＝90°. ∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形. 数学　八年级下册 5.如图，按如下步骤作四边形ABCD：(1)画∠EAF；(2)以点A为圆 心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；(3)分 别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C； (4)连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是 ( ) A.64° B.66° C.68° D.70° D 数学　八年级下册 6.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH. 求证：四边形EFGH是菱形. 证明：如图，连接AC，BD. ∵E，F分别为边AD，AB的中点， ∴EF∥BD，EF＝ BD. 数学　八年级下册 同理：GH∥BD，GH＝ BD，FG＝ AC. 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD.∴EF＝FG.∴四边形EFGH是菱形.(证法不唯一) ∴EF GH.∴四边形EFGH是平行四边形. 数学　八年级下册 7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D， 交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD.求证： 四边形ADCE是菱形. 证明：∵MN垂直平分AC，∴OA＝OC. ∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO. 在△DOA和△EOC中， ∴△DOA≌△EOC(ASA).∴DO＝EO. ∴四边形ADCE是平行四边形. 又∵MN⊥AC，∴四边形ADCE是菱形. 数学　八年级下册 8.如图，在▱ABCD中，CA＝CD，E是AD的中点，连接 CE并延长，交BA的延长线于点F，连接DF. (1)求证：四边形AFDC是菱形. (2)若BC＝8，AB＝5，求四边形DFBC的面积. (1)证明：∵CA＝CD，E是AD的中点，∴∠ACE＝∠DCE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AF∥CD， 数学　八年级下册 ∴∠DCF＝∠AFC，∴∠ACE＝∠AFE. ∴AC＝AF，∴AF＝CD. ∴四边形AFDC是平行四边形. 又∵CA＝CD， ∴四边形AFDC是菱形. (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝8，S△ACD＝S△ABC. 数学　八年级下册 ∵四边形AFDC是菱形， ∴CF⊥AD，S△ACD＝S△AFD，DE＝ AD＝4. 在Rt△CED中，CE＝ ＝ ＝3. ∴S△ACD＝ AD·CE＝ ×8×3＝12. ∴四边形DFBC的面积＝3×S△ACD＝36. 数学　八年级下册 9.(应用意识·核心素养)如图，在▱ABCD中，F为CD上一 点，连接BF并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，连接 DB交AF于点G.若∠ABE＝∠DEB. (1)求证：△ADF≌△CED. (2)若AG＝DE，求证：BE平分∠CBD. 数学　八年级下册 证明：(1)∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB. ∵∠ABE＝∠DEB， ∴∠ABE＋∠CBE＝∠DEB＋∠CEB，即∠ABC＝∠DEC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC，AD＝BC，AB∥CD. ∴∠ADF＝∠CED，AD＝CE. ∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠ABE＝∠DEB. ∴DF＝DE. ∴△ADF≌△CED(SAS). 数学　八年级下册 ∴EG＝AD＝BC，EG∥AD. (2)如图，连接GE. ∵△ADF≌△CED， ∴∠AFD＝∠CDE，∴AG∥DE. 又∵AG＝DE，∴四边形AGED是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB.∴EG∥CB. ∴四边形BCEG是平行四边形. 又∵CE＝BC，∴平行四边形BCEG是菱形. ∴BE平分∠CBD. 数学　八年级下册 $第12课时　正方形的性质 数学　八年级下册 1.若一个正方形的对角线长为 ，则它的周长为 ( ) A.2 B. C.4 D.2 C 数学　八年级下册 2.如图，在正方形ABCD中，在BA的延长线上取一点E， 使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为 ( ) A.10° B.15° C.30° D.22.5° D 数学　八年级下册 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，A， C两点分别在y轴，x轴上，点B在第一象限，AC＝4 ，则 点B的坐标是 . (4，4) 数学　八年级下册 4.(RJ八下P77T3·改编)如图，四边形ABCD是一个正方形 花园，E，F是它的两个门且DE＝CF.要修建两条路BE 和AF，求证：BE⊥AF. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°. ∵DE＝CF，∴AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF. 在△BAE和△ADF中， ∴△BAE≌△ADF(SAS).∴∠ABE＝∠DAF. ∵∠BAF＋∠DAF＝90°，∴∠BAF＋∠ABE＝90°， ∴∠APB ＝90°，即BE⊥AF. 数学　八年级下册 5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，且AE＝2，CF＝1，求正方形ABCD的边长. 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°. ∵AE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°. ∴∠EAB ＋∠EBA＝90°. 数学　八年级下册 又∵∠EBA＋∠CBF＝180°－∠ABC＝90°， ∴∠EAB＝∠CBF. 在△AEB和△BFC中， ∴△AEB ≌△BFC(AAS). ∴BE＝CF＝1， ∴AB＝ ＝ ＝ ， 即正方形ABCD的边长为 . 数学　八年级下册 6.(RJ八下P81T16·改编)如图，四边形ABCD是正方形.G是 BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F. 求证：AF＝EF＋BF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠BAD＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠DEG＝∠DEA＝90°. ∴∠ADE＋∠DAE＝90°. 又∵∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝90°，∴∠ADE＝∠BAF. 数学　八年级下册 ∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝90°＝∠DEA. 在△ABF和△DAE中， ∴△ABF≌△DAE(AAS). ∴BF＝AE. 又∵AF＝EF＋AE， ∴AF＝ EF＋BF. 数学　八年级下册 7.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC， PF⊥BC，垂足分别为E，F.若CF＝3，CE＝4，则AP的 长是 ( ) A.3 B.4 C.4.8 D.5 D 数学　八年级下册 8.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB， BC，CD，DA上，EF，GH相交于点O，∠FOH＝90°， EF＝4.则GH的长为 ( ) A.4 B.5 C.3 D.4.5 A 数学　八年级下册 9.(面积法·思想方法)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P 是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则 PE＋PF的值为 . 数学　八年级下册 10.(RJ八下P88T16·改编)如图，正方形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而 且这两个正方形的边长相等，正方形A1B1C1O绕点O转 动.求证：△AOE≌△BOF. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBF ＝45°，BO⊥AC，即∠AOE ＋∠EOB＝90°. 又∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴∠A1OC1＝90°，即∠BOF＋∠EOB＝90°. ∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF(ASA). 数学　八年级下册 11.(应用意识·核心素养)如图，正方形ABCD的边长为2，E 是BC的中点，P是AC上的一个动点，连接BP，EP，则 BP＋EP的最小值为 . 数学　八年级下册 $第6课时　平行四边形的判定(2) 数学　八年级下册 1.如图，根据图中所给的条件，能判定四边形ABCD是平 行四边形的依据是 ( ) A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.一组对边平行且相等 D.对角线互相平分 C 数学　八年级下册 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件 后，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A.AB＝CD B.AD∥BC C.AB＝BC D.∠A＝∠C C 数学　八年级下册 3.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，且 BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵BE＝DF，∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝CE， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形. 数学　八年级下册 4.如图，在▱ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE， 添加一个条件，使得四边形ACED为平行四边形，则这 个条件可以是 ( ) A.AC＝AD B.AC＝DE C.∠DAC＝∠DEC D.∠ADC＝∠DCE C 数学　八年级下册 5.如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F， 使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连 接DM，BN.求证：四边形BMDN是平行四边形. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD. ∴∠EAM＝∠FCN，∠E＝∠F. 在△AEM和△CFN中， ∴△AEM≌△CFN(ASA). ∴AM＝CN，∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN. 又∵BM∥DN，∴四边形BMDN是平行四边形. 数学　八年级下册 6.在▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD 上找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形.现有图中甲、 乙、丙三种方案，其中正确的是 ( ) A.只有甲、乙 B.只有甲、丙 C.只有乙、丙 D.甲、乙、丙 D 数学　八年级下册 7.如图，AD∥BE，AD＝BC＝5，BE＝8，△DCE的面积 为6，则四边形ABCD的面积为 . 20 数学　八年级下册 8.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC ＝DF，BE＝CF.求证：四边形ABED是平行四边形. 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS).∴∠B＝∠DEF.∴AB∥DE. 又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形. 数学　八年级下册 9.如图，O为▱ABCD的对角线BD的中点，过点O的一条直 线分别交BA，DC的延长线于点E，F，连接BF，DE.求 证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线BD的中点， ∴AB∥CD，BO＝DO.∴∠BEO＝∠DFO. 又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(AAS). ∴BE＝DF. 又∵AB∥CD，即BE∥DF， ∴四边形BFDE是平行四边形. 数学　八年级下册 10.(应用意识·核心素养)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， AD＝8 cm，BC＝10 cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度 向点D运动，点P从点B出发以2 cm/s的速度在线段BC间往 返运动，P，Q两点同时出发，设运动时间为t s.当点Q到 达点D时，两点同时停止运动.若以P，Q，C，D为顶点的 四边形是平行四边形，求t的值. 解：由题意，得AQ＝t cm，BP＝2t cm，DQ＝(8－t)cm. ①当点P未到达点C时，CP＝(10－2t)cm. ∵四边形PCDQ是平行四边形，∴DQ＝CP， ∴8－t＝10－2t，解得t＝2； 数学　八年级下册 ②当点P到达点C后返回时，CP＝(2t－10)cm. ∵四边形PCDQ是平行四边形，∴DQ＝CP， ∴8－t＝2t－10，解得t＝6. 综上所述，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是2或6. 数学　八年级下册 $第二十一章　四边形 第1课时　四边形及其内角和 数学　八年级下册 1.下列多边形中，不是凸四边形的是 ( ) C 数学　八年级下册 2.如图，填空： (1)四边形记作： 5 ； (2)四边形的顶点： 5 ； (3)四边形的内角： 5 ； (4)四边形的对角线： 5 . 四边形ABCD A，B，C，D ∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC AC，BD 数学　八年级下册 3.关于四边形，下列说法错误的是 ( ) A.内角和为360° B.外角和为360° C.四个内角可以都是锐角 D.四个内角可以都是直角 C 数学　八年级下册 4.(RJ八下P49T2·改编)一个四边形的一组对角互补，它的 另一组对角的关系是 5 . 互补 数学　八年级下册 5.(RJ八下P49T1·改编)求出下列图形中x的值. 解：(1)根据四边形的内角和是360°， 得x°＋x°＋145°＋85°＝360°， 解得x＝65. (2)由图得∠BCD＝180°－x°. 根据四边形的内角和是360°， 得150°＋80°＋180°－x°＋70°＝360°， 解得x＝120. 数学　八年级下册 6.妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣 帽架能伸缩，这说明 5 . 四边形不具有稳定性 数学　八年级下册 7.下列图形具有稳定性的是 .(填序号) ③ 数学　八年级下册 8.下列图形中，具有稳定性的图形序号是 5 . ①② 数学　八年级下册 9.(分类讨论·思想方法)四边形剪去一个角后，内角和将( ) A.不变 B.减少180° C.增加180° D.以上都有可能 D 数学　八年级下册 10.(RJ八下P53T9·改编)如图，要使四边形木架(用4根木条 钉成)不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和 六边形木架呢？画图表示所钉木条. 数学　八年级下册 解：如答图所示，四边形木架至少要再钉上1根木条，五边形木架至少需要再钉上2根木条，六边形木架至少需要再钉上3根木条.(画法不唯一) 数学　八年级下册 11.(化归·思想方法)如图，求证：四边形内角和为360°. 证明：如答图，连接四边形的对角线BC，得到△ABC和△BCD. 根据三角形的内角和是180°，得 ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∠D＋∠DBC＋∠DCB＝180°. ∴四边形的内角和为 ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠D＋∠DBC＋∠DCB ＝180°＋180°＝360°. 即四边形的内角和为360°. 数学　八年级下册 12.(创新意识·核心素养)如图，在△ABC中，∠A＝75°， ∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内， 若∠1＝20°，求∠2的度数. 数学　八年级下册 解：∵∠A＝75°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(75°＋65°)＝40°. ∴∠CDE＋∠CED＝180°－∠C＝180°－40°＝140°. ∴∠2＝360°－(∠A＋∠B＋∠1＋∠CDE＋∠CED) ＝360°－(75°＋65°＋20°＋140°) ＝360°－300° ＝60°. 数学　八年级下册 $第10课时　菱形的性质 数学　八年级下册 1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则 △ABD的周长是 ( ) A.10 B.12 C.15 D.20 C 数学　八年级下册 2.如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠BCM＝ 45°，∠DCN＝25°，则∠BDC的度数为 ( ) A.20° B.30° C.35° D.40° C 数学　八年级下册 3.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的四个顶点都 在坐标轴上，且菱形边长为2，∠BAD＝60°，则点B的 坐标为 ( ) A.(－1，0) B.(1，0) C.(－ ，0) D.( ，0) A 数学　八年级下册 4.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， 且AB＝5，AO＝4.求AC和BD的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO＝ BD， ∴AC＝2AO＝8. 在Rt△AOB中，AB＝5，AO＝4， ∴BO＝ ＝ ＝3， ∴BD＝2BO＝6. 数学　八年级下册 5.如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线 BD长10 cm.求： (1)对角线AC的长； (2)菱形ABCD的面积. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AD＝13 cm， ∴∠AED＝90°，DE＝ BD＝ ×10＝5(cm). 数学　八年级下册 在Rt△ADE中，AE＝ ＝ ＝12(cm). ∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm). (2)S菱形ABCD＝ BD·AC＝ ×10×24＝120(cm2). 数学　八年级下册 6.如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC，BD相交于点 O，∠ABC＝60°，求菱形ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是菱形，周长为8， ∴AB＝BC＝8÷4＝2，OA＝ AC，OB＝ BD，AC⊥BD. ∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形. ∴AC＝AB＝2.∴OA＝1. 在Rt△AOB中，OB＝ ＝ ＝ ， ∴BD＝2 .∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×2×2 ＝2 . 数学　八年级下册 7.如图，在菱形ABCD中，CE＝CF，求证：AE＝AF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝ BC＝AB，∠B＝∠D. 又∵CE＝CF，∴CD－CE＝BC－CF， 即DE＝BF. ∴△ADE≌△ABF(SAS)，∴AE＝AF.(证法不唯一) 数学　八年级下册 8.如图，菱形ABCD的周长为48 cm，对角线AC，BD相交 于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为 5 . 6 cm 数学　八年级下册 9.如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AC＝12 . (1)求BD的长. (2)求菱形ABCD的面积. (3)写出点A，B，C，D的坐标. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC＝12 ， ∴AD＝CD，AO＝CO＝ AC＝6 ，BO＝DO＝ BD，AC⊥BD. 数学　八年级下册 ∵∠ADC＝120°， ∴∠DAC＝∠DCA＝ (180°－∠ADC)＝30°. ∴AD＝2OD. 在Rt△AOD中，AD2＝AO2＋OD2， ∴(2OD)2＝(6 )2＋OD2， ∴OD＝6(负值舍去). ∴BD＝2OD＝12. 数学　八年级下册 (2)由(1)得AC＝12 ，BD＝12，AC⊥BD， ∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×12 ×12＝72 . (3)∵OA＝OC＝6 ，∴A(－6 ，0)，C(6 ，0). ∵OB＝OD＝6，∴B(0，－6)，D(0，6). 数学　八年级下册 10.(应用意识·核心素养)如图，菱形ABCD的对角线AC和 BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是 CD的中点，连接PE，则线段PE的长为 ( ) A.2 B. C.2 D. A 数学　八年级下册 11.(推理能力·核心素养)如图，E，F分别是矩形ABCD的边 CD，AB的中点，两条平行线AK，CL分别经过菱形 EGFH的顶点H，G和边FG，EH的中点M，N.已知菱形 EGFH的面积为S，则图中阴影部分的面积和为 . (用含S的代数式表示) 数学　八年级下册 $