第二十一章 四边形 综合实践应用题 习题课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 综合实践应用题专练 人教版八年级下册 1. 如图, 把一张矩形的纸片对折两次, 然后剪下一个角. 要得到一个正方形, 裁剪线与折痕应成多少度的角？ 解：依题意, 裁剪线是所得四边形的边, 折痕是其对角线. ∵裁剪线相等, ∴所得的四边形是菱形. ∴当裁剪线与折痕成45°角时, 所得的四边形是正方形. 2. 如图, 将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形, 用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试, 分别求出它们的对角线的长. 解：①如答图1, 两条对角线的长都是m. ②如答图2, 一条对角线的长为h, 另一条对角线的长为 2 ＝2 . ③如答图3, 一条对角线的长为n, 另一条对角线的长为 2 ＝2 . 3.如图, 某地理测绘团队通过测量A, B, C三点的位置, 确定了由这三个点构成的三角形区域. 并通过测绘, 得到以下数据：AB＝3, BC＝3.在BC边上有一处重要地标点D, 满足CD＝1, AD＝ , 测绘人员需要确定A点到C点的距离, 以便完成整个区域的测绘工作, 请求出A点到C点的距离. 解：∵AB＝3, BC＝3,CD＝1, ∴BD＝BC－CD＝2, AB2＝32＝9. 又∵AD＝ , ∴BD2＋AD2＝22＋( )2＝9＝AB2. ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ACD中,AC＝ ＝ ＝ , 即A点到C点的距离为 . 4.如果你身旁没有量角器和三角尺, 又需要作30°的角, 可以采用下面的方法(如图所示)： (1)对折矩形纸片ABCD, 使AD与BC重合, 得到折痕EF, 把 纸片展平. (2)再一次折叠纸片, 使点A落在EF上, 并使折痕经过点B, 得到折痕BM.同时得到线段BN, 把纸片展平. 由此得到∠ABM, ∠MBN和∠NBC都是30°, 请你写 出证明过程. 证明：依题意, 得EF∥BC, ∠BEN＝∠EBC＝90°, BE＝AE, AB＝BN. 如图, 连接AN, ∴AN＝BN. ∴AB＝BN＝AN.∴△ABN是等边三角形. ∴∠ABN＝60°.∴∠ABM＝∠MBN＝ ∠ABN＝30°. ∵EF∥BC, ∴∠CBN＝30°. 5. “小小停车位, 关乎大民生”, 某数学兴趣小组关注到本校每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数, 有部分车辆停放不规范, 使校园安全存在一定的隐患, 于是打算向学校提供一个增设停车位的方案. 素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量, 测 得空地长32 m, 宽14 m. 素材2： 停车位布置方式 垂直停车位 倾斜停车位 示意图     车位标准尺寸 长6 m, 宽2.5 m 倾斜线长6 m, 倾斜线之间的距离为2.5 m 通道 通道宽度不小于3.5 m 任务1：兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位. 垂直停车位如图1, AB⊥AD, CD⊥AD, AB＝CD；倾斜停车位如图2, EG＝FH, ∠G＝120°, ∠H＝60°.请分别判断所设计的两种停车位的形状, 并选择一种说明理由. 任务2：为了排除校园安全隐患, 根据素材2提供的信息, 若用上述设计的两种停车位, 并尽可能多的设置停车位数量, 学校在该空地上应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？(参考数据： ≈1.73) 解：任务1：垂直停车位是矩形, 倾斜停车位是平行四边形. 理由如下： 在图1中, AB⊥AD, CD⊥AD, ∴AB∥CD.又∵AB＝CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AB⊥AD, ∴∠BAD＝90°.∴四边形ABCD是矩形. 在图2中, ∠EGH＝120°, ∠GHF＝60°, ∴∠EGH＋∠GHF＝180°.∴EG∥FH. 又∵EG＝FH, ∴四边形EFHG是平行四边形. 任务2：①设置垂直停车位时, ∵空地长32 m, 宽14 m, 垂直停车位长6 m, 宽2.5 m, 通道宽度不小于3.5 m, ∴14÷2.5≈5(个), 即按照车位的宽度来设置停车位可以设置5个. 又∵32÷(6＋3.5)＝3(列)……3.5(m), 即按照车位的长度来设置停车位可以设置3列, ∴当设置垂直停车位时, 最多可以设置5×3＝15(个). ②设置倾斜停车位时, 如图2, 过点G 作GP⊥FH于点P, 过点H作HQ⊥EF 交EF的延长线于点Q. ∵四边形EFHG为平行四边形, 倾斜线长6 m, 倾斜线之间的距离为2.5 m, ∴HF＝GE＝6 m, GH＝EF, GH∥EQ, GP＝2.5 m. ∴∠HFQ＝∠GHF＝60°. 在Rt△HFQ中, ∠FHQ＝90°－∠HFQ＝30°, ∴FQ＝ HF＝3(m). ∴HQ＝ ＝3 ≈3×1.73＝5.19(m). 在Rt△GHP中, ∠HGP＝90°－∠GHP＝30°, ∴GH＝2HP.∴GP＝ ＝ HP. ∴HP＝ ＝ (m). ∴GH＝2HP＝ ≈ ×1.73≈2.88(m). ∴每行设置的停车位是(32－3)÷2.88≈10(个). ∵5.19＋3.5＋5.19＝13.88<14, ∴可以设置两行倾斜停车位, 共有10×2＝20(个). ∵15<20, ∴学校在该空地上应选择倾斜停车位布置方式, 最多可以设置20个停车位. 6. 探究与发现：利用菱形的性质和判定尺规作图前面学习了菱形的性质和判定, 利用菱形的性质和判定, 可以帮助我们完成一些尺规作图. 例如, 作一个给定角∠MON的平分线. 我们假设O是菱形的 一个顶点, 菱形的一组邻边在角的两边上, 那么这个菱形的 过点O的对角线就是∠MON的平分线的一部分. 由此可以得 到利用菱形的性质和判定作给定角的平分线的作法. 作法：如图. (1)以∠MON的顶点O为圆心, 任意长为半径作弧, 分别交 ∠MON两边于点A, B； (2)分别以点A, B为圆心, OA(或OB)长为半径作弧, 两弧相 交于点P(非点O), 则四边形OBPA为菱形； (3)作射线OP, 则OP就是∠MON的平分线. 类似地, 请你利用菱形的性质和判定作以下图形, 并说明这样作图的道理. (1)作一条线段的垂直平分线； (2)过直线外一点作已知直线的垂线. 解：(1)如答图1所示, MN为线段AB的垂直平分线. 作法：分别以点A, B为圆心, 以大于 AB的长为半径作弧, 两弧相交于点M, N, 则MN垂直平分AB. 这样作图是利用四条边相等的四边形是菱形构造菱形AMBN, 进一步由菱形的性质“对角线互相垂直平分”得到MN是AB的垂直平分线. (2)如答图2所示, AP是直线a且过直线a外一点A的垂线. 作法：以点A为圆心, 适当长为半径作弧, 交直线a于M, N两点, 再分别以点M, N为圆心, 以AM的长为半径作弧, 两弧相交于点P(非点A), 则AP是直线a的垂线. 这样作图是利用四条边相等的四边形是菱形构造菱形AMPN, 进一步由菱形的性质“对角线互相垂直”得到AP⊥a. 7. 再读教材： 宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫作黄金矩形. 黄金 矩形给我们以协调、匀称的美感. 世界各国许多著名的建 筑, 为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形的设计. 下面, 我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形. (提示：MN＝2) 第一步, 在矩形纸片一端, 利用图1的方法折出一个正方形, 然后把纸片展平. 第二步, 如图2, 把这个正方形折成两个相等的矩形, 再把纸片展平. 第三步, 折出内侧矩形的对角线AB, 并把AB折到图3中所示的AD处. 第四步, 展平纸片, 按照所得的点D折出DE, 使DE⊥ND, 则图4中就会出现黄金矩形. 问题解决： (1)图3中AB＝ ； 解：(2)四边形BADQ是菱形. 理由如下： 在矩形纸片中, BQ∥AD.∵AB∥DQ, ∴四边形BADQ是平行四边形. 由翻折可知AB＝AD, ∴四边形BADQ是菱形. (2)如图3, 判断四边形BADQ的形状, 并说明理由； ∴ ＝ .∴矩形BCDE是黄金矩形. ∵ ＝ ＝ , ∴矩形MNDE是黄金矩形. 依题意, 得BC＝2, AN＝AC＝1, AD＝AB＝ , CD＝AD－AC＝ －1, (3)黄金矩形有矩形BCDE, 矩形MNDE.理由如下： (3)请写出图4中所有的黄金矩形, 并选择其中一个说明理由. 类比探究： 如图5, 将正方形纸片ABCD沿BP折叠使△ABP≌△MBP, 然后把纸片展平, 延长PM与CD交于点Q, 连接BQ. (4)判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系, 并说明理由； (4)∠MBQ＝∠CBQ.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB＝CB, ∠A＝∠C＝90°. 由折叠的性质, 得MB＝AB, ∠A＝∠BMP＝90°, ∴MB＝CB, ∠BMQ＝90°＝∠C. 又∵BQ＝BQ, ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL).∴∠MBQ＝∠CBQ. (5)情况一：如图5, 当PD＝2, AP＝4时, 由(4)得 Rt△BMQ≌Rt△BCQ, ∴MQ＝CQ. 设CQ＝MQ＝x, 则DQ＝CD－CQ＝6－x, PQ＝PM＋MQ＝AP＋MQ＝4＋x. (5)若正方形ABCD的边长为6 cm, 当P是边AD的三等分点 时, 求CQ的长. 在Rt△PQD中, PQ2＝PD2＋DQ2, 即(4＋x)2＝22＋(6－x)2, 解得x＝ ； 情况二：如答图, 当PD＝4, AP＝2时, 同理得 Rt△BMQ≌Rt△BCQ, ∴MQ＝CQ. 设CQ＝MQ＝y, 则DQ＝6－y, PQ＝2＋y. 在Rt△PQD中, PQ2＝PD2＋DQ2, 即(2＋y)2＝42＋(6－y)2, 解得y＝3. 综上所述, CQ的长为 cm或3 cm. 8.定义：对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形. 【概念理解】(1)给出下列图形：①平行四边形；②矩形； ③菱形；④正方形. 其中一定是“垂美四边形”的是 . (填序号) 【性质探究】(2)如图1, 有一块垂美四边形ABCD的农田, 其对角线AC, BD相交于点O, AC⊥BD. ①求证：AB2＋CD2＝AD2＋BC2； ②若AB＝6 m, BC＝8 m, CD＝10 m, 求农田田边AD的长. ③④ 【解决问题】(3)如图2, 分别以Rt△ACB的直角边AC和斜 边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE, 连接CE, BG, GE.已知AC＝ , AB＝3. ①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？请说明理由. ②求GE的长. (2)①证明：∵AC⊥BD, ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°. 由勾股定理, 得AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2, AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2. ∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2. ②解：由(2)①知AB2＋CD2＝AD2＋BC2, ∴62＋102＝AD2＋82. ∴AD＝6 m. (3)解：①四边形CGEB是垂美四边形. 理由如下： 如图2, 连接CG, BE, CE与AB, BG分别相交于点O, N. ∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形, ∴∠CAG＝∠BAE＝90°, AG＝AC, AB＝AE. ∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC, 即∠GAB＝∠CAE. ∴△GAB≌△CAE(SAS).∴∠ABG＝∠AEC. 又∵∠AOE＝∠BON, ∴∠BNO＝∠EAO＝90°. ∴CE⊥BG.∴四边形CGEB是垂美四边形. ②由(2), 得CG2＋BE2＝CB2＋GE2. ∵AG＝AC＝ , AE＝AB＝3, ∴CB＝ ＝2, CG＝ ＝ , BE＝ ＝3 . ∴GE2＝CG2＋BE2－CB2＝( )2＋(3 )2－22＝24. ∴GE＝2 . 9.综合与实践数学活动课上, 数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动. 【操作发现】 如图1, 在矩形ABCD中, 点M在边AD上, 将矩形纸片 ABCD沿MC折叠, 使点D落在点D′处, MD′与BC相交于点 N.根据以上操作, 易得∠CMD＝∠CMD′, 再结合矩形的 性质, 可得∠CMD＝∠MCN, 进而得到MN＝CN. 【初步应用】 如图2, 继续将矩形纸片ABCD折叠, 使AM恰好落在直线 MD′上, 点A落在点A′处, 点B落在点B′处, 折痕为ME. (1)求证：EC＝2MN； (2)若CD＝2, MD＝4, 求EC的长. 【迁移探究】 如图3, 将矩形纸片换成正方形纸片, 按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片ABCD, 使AD与BC重合, 得到 折痕EF, 把纸片展平. 步骤二：在AD上选一点P, 沿BP折叠, 使点A落在正方形内 部的点M处, 把纸片展平, 连接PM, BM, 延长PM交CD于点 Q, 连接BQ. (3)若正方形纸片ABCD的边长为8 cm, FQ＝1 cm, 求AP的长. (1)证明：由折叠的性质 , 得∠AME＝∠A′ME. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC.∴∠AME＝∠MEN. ∴∠A′ME＝∠MEN.∴MN＝EN.∵MN＝CN, ∴MN＝EN＝CN, 即EC＝2MN. (2)解：由折叠的性质, 得∠D′＝∠D＝90°, D′C＝DC＝2, MD′＝MD＝4. 设MN＝NC＝x, 则ND′＝MD′－MN＝4－x. 在Rt△ND′C中, ND′2＋D′C2＝NC2, ∴(4－x)2＋22＝x2, 解得x＝ . ∴MN＝ .∴EC＝2MN＝5. (3)解：由折叠的性质, 得DF＝CF＝4 cm, AP＝PM, BM＝AB＝BC, ∠BMP＝∠A＝∠C＝90°, ∴∠BMQ＝∠C＝90°. 在Rt△BCQ和Rt△BMQ中, ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL).∴CQ＝MQ. 分两种情况： ①当点Q在线段CF上时, ∵FQ＝1 cm, ∴DQ＝5 cm, MQ＝CQ＝3 cm. ∵PQ2＝PD2＋DQ2, ∴(AP＋3)2＝(8－AP)2＋52. ∴AP＝ cm； ②当点Q在线段DF上时, ∵FQ＝1 cm, ∴MQ＝CQ＝5 cm, DQ＝3 cm. ∵PQ2＝PD2＋DQ2, ∴(AP＋5)2＝(8－AP)2＋32. ∴AP＝ cm. 综上所述, AP的长为 cm或 cm. $