23.4 实际问题与一次函数 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一次函数”，涵盖建立模型、分段函数及方案选择设计。通过弹簧长度、种子购买等生活实例导入，衔接一次函数概念与实际应用，搭建从抽象到具体的学习支架。 其亮点在于结合游泳馆年卡、宽带收费等情境，引导学生用数学眼光观察现实，通过分段函数推导和不等式组求解培养数学思维，以符号语言和图表表达模型。归纳分段函数三要素、方案设计步骤，课堂小结用流程图。助力学生提升应用意识，教师可高效开展教学。

23.4 实际问题与一次函数 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1 23.4 实际问题与一次函数 课时1 建立一次函数模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 2 1. 在经历应用一次函数解决实际问题的过程中，体会函数模型思想． 2. 了解分段函数的特点，能根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象． 学习目标 BY YUSHEN 22051 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画. 实际问题 一次函数 抽 象 解析式 根据条件 再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题. 新知导入 BY YUSHEN 22051 问题1：在弹性限度内，弹簧的长度 y (单位：cm) 与所挂物体的质量 x (单位：kg) 之间是一次函数关系，其图象如图所示，则 y 关于 x 的函数解析式为___________，弹簧不挂物体时的长度为_____cm． y=0.5x+10 10 新知讲解 BY YUSHEN 22051 问题2：某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折. （1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； 付款金额、种子价格、购买量三者有怎样的关系? 付款金额=种子价格×购买量 新知讲解 BY YUSHEN 22051 分析：通过题意我们可知，种子价格不是固定不变的，它与______有关，设购买 x kg种子，付款金额为 y 元．则有： 购买量 购买量/kg 种子价格/（元/kg） 付款金额/元 0≤x≤2 40 40x x>2 2kg种子价格+超过2kg部分的种子价格 24x+32 + 40×2 40×0.6×(x－2) 因此，写函数解析式与画函数图象时，应分______和_______讨论. 0≤x≤2 x>2 新知讲解 BY YUSHEN 22051 解：（1）设购买量为 x kg，付款金额为 y 元. 当 0 ≤ x ≤ 2时，种子价格为 40元/kg，函数解析式为 y = 40x； 当 x > 2 时，购买的种子中有 2 kg 按 40元/kg 计价，其余的(x－2)kg (即超出 2 kg 部分) 按 24元/kg(即六折)计价. 函数解析式为 y=80+24(x – 2)=24x+32. 函数解析式也可以合起来表示为 分段函数 新知讲解 BY YUSHEN 22051 y/元 O 40 20 60 80 100 x/kg 2 1 3 y = 40x y = 24x + 32 函数图象如图所示. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 （2）一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元？ 因为 4 > 2， 所以 y = 24 × 4 + 32 = 128. 因此，一次购买 4 kg 种子，需付款 128 元. y = 40x，0 ≤ x ≤ 2， 24x + 32，x > 2 . y/元 O 40 20 60 80 100 x/kg 2 1 3 y = 40x y = 24x + 32 新知讲解 BY YUSHEN 22051 一次函数应用的两种类型： (1) 题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解. (2) 题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格和图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质求解. 归纳 BY YUSHEN 22051 ①计费标准随用水量 / 里程的变化而变化； ②有明确的临界值（分段点），临界值处计费规则发生改变. 分段计费是生活中最常见的分段函数应用场景，比如下面这两种. 这些计费方式有什么共同的特点? 新知讲解 BY YUSHEN 22051 根据分段计费的共同特点，可以总结出分段计费问题的3个核心解题要素. ①分段点： 计费规则发生变化的临界值，是分类讨论的分界依据； ②计费区间： 以分段点为界，划分自变量的取值范围，必须做到不重不漏； ③区间计费规则： 每个区间内的单价、计价方式，核心是区分 “标准内全额计价” 和 “超标部分单独计价”. 归纳 BY YUSHEN 22051 某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度.按照新标准，用户每月缴纳的水费 y ( 单位:元 ) 与每月用水量 x ( 单位:m3 ) 存在如图所示的函数关系． （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）若某用户某月缴纳水费 63 元， 则该用户当月的用水量是多少立方米？ 巩固练习 BY YUSHEN 22051 解:（1）当 0 ≤ x ≤ 15 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y ＝ mx ( m ≠ 0 ). 由题意，得 15m ＝ 27，解得 m ＝ 1.8，所以 y ＝ 1.8x． 当 x＞15 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y ＝ kx + b ( k ≠ 0 )． 15k + b = 27， 20k + b = 39， 由题意，得 k = 2.4， b = －9， 解方程组，得 所以 y = 2.4x－9. 综上，y 关于 x 的函数解析式为 y = 1.8x，0 ≤ x ≤ 15， 2.4x－9，x > 15. 巩固练习 BY YUSHEN 22051 （2）因为 63＞27， 所以将 y ＝ 63 代入 y ＝ 2.4x－9， 得 2.4x－9 ＝ 63，解得 x ＝30， 则该用户当月的用水量是 30 m3 ． （2）若某用户某月缴纳水费 63 元，则该用户当月的用水量是多少立方米？ y = 1.8x，0 ≤ x ≤ 15， 2.4x－9，x > 15. 巩固练习 BY YUSHEN 22051 一次函数的应用 函数的形式 确定解析式 单一函数 直接根据题意 分段函数 待定系数法 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学，该厂的日薪计算方式：一天内组装玩具不超过80个时，固定工资120元，组装超过80个玩具时，除了固定工资120元，超过的部分，每个再另给2元. 下列能表示该厂日薪y(元)与一天内组装的玩具数量x(个)之间的函数图象大致是(　　) C 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 18 2.某品牌笔记本单价为5 000元/台，若一次购买不超过3台，价格不变；若一次购买超过 3台，超过部分的笔记本价格打七折．则付款金额y(元)关于购买台数x(台)的函数解析式为 ________________________． 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用．他按市场价售出50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完．已知王爷爷电子钱包中的零钱总额y(单位：元)(含原有零钱)与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题： （1）王爷爷的电子钱包中原有零钱____元； （2）苹果降价前每千克____元，降价后每千克____元； 80 12 10 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 （3）请求出 y 关于 x 的函数解析式． 解：由图象和（1）（2）可得， 当0 ≤ x ≤ 50时，y=12x+80； 当50 < x ≤ 80时，y=10(x－50)+680，即y=10x+180. 综上，y关于x的函数解析式为y= 12x+80，0 ≤ x ≤ 50， 10x+180，50 < x ≤ 80 . 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 23.4 实际问题与一次函数 课时2 选择方案 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 22 1. 能根据实际方案的数量关系，列出对应的一次函数解析式，并确定自变量的实际取值范围． 2. 能通过函数图像直观对比不同方案的费用变化，理解 “临界点” 的几何意义. 学习目标 BY YUSHEN 22051 ①办健身卡有月卡、季卡、年卡； ②打印资料有两家店不同的收费标准； ③出门旅游租车有不同的计费方案. 面对这些不同的方案，我们怎么选才能最省钱、最划算？ 同学们在生活中一定遇到过这样的选择： 情境导入 BY YUSHEN 22051 方案 A 无年费，每次30元 方案 B 年费100元，每次20元 甲厂 制版费100元 + 每份0.2元 乙厂 无制版费，每份0.4元 这些方案选择问题，有什么共同的特点？ 方案的优劣（费用高低）不是固定的，会随着自变量的变化而变化，存在一个优劣切换的临界点. 游泳馆年卡方案 印刷厂收费方案 新知讲解 BY YUSHEN 22051 探究 下表给出了某游泳馆 A，B，C 三种年卡套餐的收费标准. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 根据省钱原则选择方案 该问题要我们做什么？选择方案的依据是什么？ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 分析： (1)要比较三种收费方式的费用，需要做什么？ 分别计算每种套餐的费用. (2)怎样计算费用？ 费用=年卡费用+套餐外费用 套餐外费用=套餐外单次收费×次数 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 新知讲解 BY YUSHEN 22051 (3)A，B，C三种套餐中，所需要的费用是固定的还是变化的？ 在套餐A，B中，游泳次数是影响所需的费用的变量； 在套餐C中，所需的费用是定值. 请写出三种套餐的游泳费用y与年游泳次数x之间的函数解析式. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 新知讲解 BY YUSHEN 22051 解：设年游泳x次，则套餐A，B的游泳费用y1，y2都是x的函数. 在套餐A中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式 y1 = 600，0 ≤ x ≤ 20， 600 + 40(x－20)，x > 20. 化简，得 y1 = 600，0 ≤ x ≤ 20， 40x－200，x > 20. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 新知讲解 BY YUSHEN 22051 类似地，可以得到刻画套餐B，C的游泳费用 y2，y3 关于年游泳次数 x 的函数解析式. 套餐A费用y1 = 600，0 ≤ x ≤ 20， 40x－200，x > 20. 套餐B费用y2 = 1200，0 ≤ x ≤ 50， 40x－800，x > 50. 套餐C费用y3 = 1800，x≥0. 请比较 y1，y2，y3 的大小. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 y/元 O 400 200 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 x/次 20 10 30 40 50 y2 y3 y1 结合图象与解析式可知： 当年游泳次数__________时，选择套餐 A 能节省游泳费用； 当年游泳次数__________时，选择套餐 B 能节省游泳费用； 当年游泳次数__________时，选择套餐 C 能节省游泳费用. 0≤x<35 35<x<65 x>65 画出y1，y2，y3 的图象如图所示. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 这个实际问题的解决过程中是怎样思考的？ 实际问题 一次函数问题 设变量找对应关系 实际问题的解 一次函数问题的解 解释实际意义 归纳 BY YUSHEN 22051 例 如表给出了 A，B，C 三种上宽带网的收费方式． 收费方式 月使用费用/元 包时上网时间/h 超时费用/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选取哪种方式能节省上网费？ 例题讲解 BY YUSHEN 22051 解：设月上网时间为 x h，A，B，C 三种收费方式的月上网费用分别为 y1 元、y2 元、y3 元，则 y1，y2，y3 关于 x 的函数解析式如下: y1 = 30，0 ≤ x ≤ 25， 30 + 0.05×60(x－25)，x > 25. 化简得 y1 = 30，0 ≤ x ≤ 25， 3x－45，x > 25. 收费方式 月使用费用/元 包时上网时间/h 超时费用/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 例题讲解 BY YUSHEN 22051 方式 B： y2 = 50，0 ≤ x ≤ 50， 50 + 0.05×60(x－50)，x > 50 . 化简得 y2 = 50，0 ≤ x ≤ 50， 3x－100，x > 50. 方式 C：y3 = 120，x ≥ 0 . 画出函数图象如图所示. 收费方式 月使用费用/元 包时上网时间/h 超时费用/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 例题讲解 BY YUSHEN 22051 结合解析式及函数图象可知： 当月上网时间不足 h时，选择方式 A 最省钱； 当月上网时间超过 h 而不足 h 时， 选择方式 B 最省钱； 当月上网时间超过 h时，选择方式 C 最省钱． 例题讲解 BY YUSHEN 22051 实际问题 (多个)函数模型 确定方案 抽象构造 直线交点 图象间位置关系 课堂小结 BY YUSHEN 22051 12 1.如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系，若通话时间超过200 min，则B方案比A方案便宜________元． 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.某文化旅游公司推出野外宿营活动，有两种优惠方案．方案一：以团队为单位办理会员卡(会员卡花费a元)，所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是(　　) A．a＝400 B．原票价为400元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为y＝240x D．若方案一比方案二更优惠，则x>6 D 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.某移动公司对于移动话费推出两种收费方式： A方案：每月收取基本月租费15元，另收通话费为0.2元/分； B方案： 0月租费，通话费为0.3元/分. （1）试写出A，B两种方案所付话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式； （2）在同一坐标系画出这两个函数的图象，并指出哪种付费方式合算？ 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 解：（1） A方案： y1 = 15+0.2t（t≥0）， B方案： y2 = 0.3t（t≥0）. （2）这两个函数的图象如下： t（分） O 50 150 100 10 20 y（元） 50 30 40 ● ● y1 = 15+0.2t y2 = 0.3t ● 观察图象，可知： 当通话时间为150分钟时，选择A或B方案费用一样； 当通话时间少于150分钟时，选择B方案费合算； 当通话时间多于150分钟时，选择A方案合算. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 41 23.4 实际问题与一次函数 课时3 设计方案 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 42 灵活运用变量关系建立一次函数模型，并设计最佳方案解决相关实际问题． 学习目标 BY YUSHEN 22051 ①学校组织研学旅行，要在总预算内租车，既要保证所有师生都有座位，还要让租车总费用最少； ②工厂采购原材料，要在满足生产需求的前提下，让采购成本最低. 同学们在生活中一定遇到过这样的问题： 面对这些多重约束条件，我们该怎样设计出最佳方案？ 新知导入 BY YUSHEN 22051 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 探究 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师. 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示. （1）共需租多少辆客车？ （2）给出最节省费用的租车方案. 问题1：题干中有哪些影响租车方案的条件？ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 ①总人数要求：234 名学生 + 6 名教师，合计240 名师生； ②教师数量要求：共 6 名教师，每辆车上至少要有 1 名教师； ③费用要求：租车总费用不超过 2300. 问题2：如何由乘车人数确定客车总数呢？ ①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于240÷45辆，即6辆． ②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6． 综合起来可知客车总数为6辆． 新知讲解 BY YUSHEN 22051 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题3：我们的目标是让租车总费用最少，如果租用甲种客车 x 辆，那总费用y和甲种客车数量x之间有什么关系？ 甲种客车总租金：元； 乙种客车总租金：元； 租车总费用： 新知讲解 BY YUSHEN 22051 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题4：如何确定y=120x+1680中x的取值？ 总载客量≥240 人 总费用≤2300 元 整合得到一元一次不等式组： 解得 4 ≤ x ≤ . 综合起来可知x的取值为4或5. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 问题5：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？试说明理由． 方案一：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆； 方案二：租用甲种客车5辆，乙种客车1辆； 对于y=120x+1680，因为120＞0，所以y随x的增大而增大，反映到实际即为尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 所以为节省费用应选择方案一，即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，此时的租车费用为400×4+280×2=2160 (元)． 新知讲解 BY YUSHEN 22051 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量. 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 归纳 BY YUSHEN 22051 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲品牌酸奶的进价为8元/罐；乙品牌酸奶的进货总金额 y (单位：元) 与进货量 x (单位：罐)之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐．某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙品牌酸奶的销售量不低于150罐，且不高于400罐． （1）根据图象求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为 w 元，求出 w (单位：元)与乙品牌酸奶的进货量 x 之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 巩固练习 BY YUSHEN 22051 （1）根据图象求出 y 与 x 之间的函数关系式； 解：设y与x之间的函数关系式为 y=kx ( k ≠ 0 )， 把 (50，500) 代入 y=kx ( k ≠ 0 )， 得 k=10，所以 y =10x． （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为 w 元，求出 w (单位：元)与乙品牌酸奶的进货量 x 之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 甲：进价_____；售价_____；利润：_______________ 乙：进价_____；售价_____；利润：_______________ 8 12 销量×(12－8) 10 15 销量×(15－10) w = 甲利润+乙利润 = (12－8)(800－x)+(15－10)x = 4(800－x)+5x 巩固练习 BY YUSHEN 22051 解：设乙品牌酸奶的进货量为 x 罐．由题意，可得 150 ≤ x ≤ 400． 由（1）得乙品牌酸奶的进价为10元/罐， 则 w=(12－8)(800－x) + (15－10)x， 即 w=x + 3200． 因为 k=1＞0，所以 w 随 x 的增大而增大， 因为 150 ≤ x ≤ 400，所以当 x=400 时，w 最大， 最大值为 400 + 3200=3600，800－400=400 (罐)， 即当甲品牌酸奶的进货量为 400 罐，乙品牌酸奶的进货量为 400 罐时，该超市获得最大利润． 巩固练习 BY YUSHEN 22051 方案设计型问题的解题策略： 方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题，一般步骤如下： ①根据题意求出函数解析式； ②由图象、题设信息列不等式（组）求得自变量的取值范围； ③利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值，从而设计出符合要求的方案. 归纳 BY YUSHEN 22051 实际问题 (多个) 函数模型 设计方案 限制条件 函数增减性 抽象 构造 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.某班级计划购买笔笔记本和钢笔作为期末奖品，预算不超过 200 元.已知笔记本每本 5 元，钢笔每支 15 元，需要购买的奖品总数为 20 件，且钢笔数量不少于笔记本数量的一半. (1) 设购买钢笔 支，写出总费用 关于 的函数解析式； (2) 求出自变量 的取值范围； (3) 如何购买能让总费用最少？最少费用是多少？ 解：(1)设购买钢笔x支，则笔记本数量为本. 总费用由钢笔和笔记本费用组成： 因此，总费用关于的函数解析式为：. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 (2)钢笔数量不少于笔记本数量的一半： 解得：，即（为整数） 总费用不超过200元： 解得：. 综合以上条件，自变量的取值范围为： . (3)函数中，，因此随的增大而单调递增. 要使总费用最少，需取的最小值 购买钢笔7支，笔记本本. 最少总费用： 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.某书店推出“传承红色基因，弘扬爱国精神”图书销售方案，现需购进，两种类型的图书共套，这两种类型图书的进价、售价如下表所示： 图书类型 进价/（元/套） 售价/（元/套） 设购进型图书x套，书店销售这两种类型图书的总利润为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若购进两种图书的总费用不超过元，应该怎样进货才能使书店在销售完这批图书时获利最多?并求出最大利润． 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 解：(1)设购进型图书套，则购进型图书套， 则型图书利润为元，型图书利润为 元， 总利润为； (2)解：由题意得：， 解得： ， ． 一次函数中，， 当时，利润最大， 购进型图书套，型图书50套，最大利润为元． 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 y＝ $