23.2 一次函数的图象和性质 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

23.2 一次函数的图象和性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1 23.2 一次函数的图象和性质 课时1 正比例函数的图象和性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 2 1. 能够画出正比例函数的图象，并理解正比例函数的性质． 2. 会运用正比例函数的性质解决比较函数值大小等基础问题. 学习目标 BY YUSHEN 22051 列 表 描 点 连 线 正比例函数是最基础的一次函数，它的图像是什么形状？又藏着哪些变化规律？ 今天我们就通过画图、观察、探究，一起探索——正比例函数的图像与性质. 我们之前学习了函数图像的画法，画函数图像的三个基本步骤是什么？ 复习导入 BY YUSHEN 22051 分别画出下列正比例函数的图象： （1）y = 2x，y = x； 解：函数y=2x中的自变量x可为任意实数. 列表如下： x … －2 －1 0 1 2 … y … … －4 －2 0 2 4 新知讲解 BY YUSHEN 22051 描点：在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点. x … －2 －1 0 1 2 … y … … －4 －2 0 2 4 －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 y = 2x 连线：连接直角坐标系中的点. 用同样的方法，描出函数 y = x 的图象. y = x 新知讲解 BY YUSHEN 22051 分别画出下列正比例函数的图象： （2）y = －1.5x，y = －4x. 解：函数y=－1.5x中的自变量x可为任意实数. 列表如下： x … －2 －1 0 1 2 … y … 3 1.5 0 －1.5 －3 … 新知讲解 BY YUSHEN 22051 x … －2 －1 0 1 2 … y … 3 1.5 0 －1.5 －3 … －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 y = －1.5x 描点→连线. 用同样的方法，描出函数y=－4x的图象. y = －4x 新知讲解 BY YUSHEN 22051 思考1：观察这 4 个正比例函数的图像,它们的相同点与不同点是什么？ －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 都是经过原点的直线 从左向右上升 从左向右下降 y = 2x y = x y = －1.5x y = －4x 新知讲解 BY YUSHEN 22051 时函数特征： ①直线 ②从左到右看，y随x的增大而增大 －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 y = 2x y = x 思考2：根据上述发现，你能总结它们的性质吗？ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 思考2：根据上述发现，你能总结它们的性质吗？ －1 1 2 x －2 3 －3 y O －1 1 －2 －3 －4 2 3 4 y = －1.5x y = －4x 时函数特征： ①直线 ②从左到右看，y随x的增大而减小 新知讲解 BY YUSHEN 22051 一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k ≠ 0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx. 类别 k>0 k<0 图象 图象形状 过原点，从左向右上升的直线( ) 过原点，从左向右下降的直线( ) 图象经过的象限 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 归纳 BY YUSHEN 22051 正比例函数 y=－3x 的大致图象是（ ） C 巩固练习 BY YUSHEN 22051 思考3：由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗？ 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象.一般地，过原点和点(1，k)(k 是常数，k ≠ 0) 的直线，即正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象. 两点作图法 新知讲解 BY YUSHEN 22051 思考4：（1）正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？ （2）正比例函数 y = - x 和y = -4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？ | k | 越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 例 如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是_____________. 解：正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快，， 的图象经过第二、四象限，， ． 例题讲解 BY YUSHEN 22051 正比例函数的图象和性质 y=kx(k ≠ 0) 一条经过原点的直线 k>0 k<0 直线经过第一、三象限 直线经过第二、四象限 从左到右上升 从左到右下降 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 两点法: (0, 0)，(1, k) ｜k｜越大，直线的倾斜程度越大 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.正比例函数的图像经过（　　） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 解析：函数，， 所以图像经过第二、四象限， D 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.(1)已知正比例函数 y = 2x 的图象上有两点（3，y1），（5，y2），则 y1 y2. (2)已知正比例函数 y = kx (k < 0) 的图象上有两点（-3，y1），（1，y2），则 y1 y2. < > 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.已知正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4），且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值. 解：∵ 正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4）， ∴ 4 = m · m，解得 m = ±2. 又∵ y 的值随着 x 值的增大而减小， ∴ m < 0，故 m = －2. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）m取何值时，函数图象经过第一、三象限？ （2）m取何值时，y随x的增大而减小？ （3）m取何值时，点(1, 3)在该函数的图象上？ 解：（1）因为函数图象经过第一、三象限， 所以2m+4>0，解得m>－2． （2）因为y随x的增大而减小，所以2m+4<0，解得m<－2． （3）因为点(1, 3)在该函数的图象上，所以2m+4=3，解得m= . 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 23.2 一次函数的图象和性质 课时2 一次函数的图象和性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 22 1.会画一次函数的图象，理解一次函数与正比例函数图像的平移关系. 2.经历从特殊到一般推导一次函数的图像特征，归纳出一次函数的性质. 3.利用一次函数的图象与性质解决数学问题． 学习目标 BY YUSHEN 22051 正比例函数 解析式：y=kx (k≠0) 图象： y x O k>0 y x O k<0 性质： 一次函数 解析式：y=kx+b (k≠0) ？ ？ 一次函数y=kx+b的图像是什么形状？有什么性质？ 经过原点和(1, k)的一条直线 k>0，y随x的增大而增大，k<0，y随x的增大而减小. 新知导入 BY YUSHEN 22051 探究1：(1)画出函数y=－3x与y=－3x+1的图象. 解：函数y =－3x与y=－3x+1中的自变量x可为任意实数. 列表表示几组对应值. x … －1 －0.5 0 0.5 1 … y=－3x … … y=－3x+1 … … 3 1.5 0 －1.5 －3 4 2.5 1 －0.5 －2 描点、连线，画出函数 y=－3x 与 y=－3x+1的图象. y O －1 1 －2 －3 2 3 4 x －1 1 2 －2 y=－3x y=－3x+1 新知讲解 BY YUSHEN 22051 探究1：(2)比较这两个函数的图象的相同点与不同点，填写你的观察结果： 这两个函数的图象形状都是_____，并且倾斜程度_____. 函数 y=－3x 的图象经过原点，函数 y=－3x + 1的图象与 y 轴交于点________，即它可以看作由直线 y=－3x 向____平移____个单位长度而得到. 直线 相同 （0，1） 上 1 y O －1 1 －2 －3 2 3 4 x －1 1 2 －2 y=－3x y=－3x+1 新知讲解 BY YUSHEN 22051 思考1：联系上面结果，考虑一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图象是什么形状，它与直线 y = kx（k ≠ 0）有什么关系？ 一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图象可以由直线 y = kx平移 | b | 个单位长度得到. 当 b > 0 时，向上平移；当 b < 0 时，向下平移. 一次函数 y=kx+b（k ≠ 0）的图象也是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 1.一次函数y=－0.5x+4的图象是由正比例函数_________的图象向____平移____个单位长度得到的一条直线. y=－0.5x 上 4 巩固练习 BY YUSHEN 22051 思考2：我们已经知道一次函数的图像是一条直线，而两点确定一条直线，由此我们不需要描 5 个点画图像. 选哪两个点最方便、计算最简单？ 第一个点：优先选与 轴的交点，代入，得，即点，无需复杂计算，直接可得. 第二个点：优先选时的点，代入得，即点； 或选与x轴的交点，代入 ，得，即点. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 例 画出函数 y=2x－1 与 y=－0.5x+1 的图象. 解：列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值（如下表）. x 0 1 y=2x－1 －1 1 y=－0.5x+1 1 0.5 y O －1 1 －2 －3 2 3 x －1 1 2 －2 y = 2x－1 y = －0.5x + 1 过点(0, －1)与(1, 1)画出直线y=2x－1； 过点(0, 1)与(1, 0.5)画出直线y=－0.5x+1. 还有别的方法吗？ 例题讲解 BY YUSHEN 22051 y O －1 1 －2 －3 2 3 x －1 1 2 －2 先画直线y=2x与y=－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=2x－1与y=－0.5x+ 1. y = 2x y=2x－1 y = 2x y = 2x－1 向下平移 1 个单位长度 y =－0.5x y = －0.5x + 1 向上平移 1 个单位长度 y = －0.5x y=－0.5x+1 例 画出函数 y=2x－1 与 y=－0.5x+1 的图象. 例题讲解 BY YUSHEN 22051 探究2：画出函数 y=x+1，y=－x+1，y=2x+1，y=－2x+1的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律. y O －1 1 －2 －3 2 3 x －1 1 2 －2 y=－x+1 y=x+1 y=2x+1 y=－2x+1 新知讲解 BY YUSHEN 22051 一次函数 k值 正负性 图象经过的象限 图象变化规律 y=x+1 k>0 一、二、三 从左向右 上升 y=－x+1 k<0 一、二、四 从左向右 下降 y=2x+1 k>0 一、二、三 从左向右 上升 y=－2x+1 k<0 一、二、四 从左向右 下降 y O －1 1 －2 －3 2 3 x －1 1 2 －2 y=－x+1 y=x+1 y=2x+1 y=－2x+1 新知讲解 BY YUSHEN 22051 一般地，一次函数 y=kx+b（k，b 是常数，k ≠ 0）具有如下性质： 当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小. 思考：一次函数的解析式y=kx+b中，k的正负对函数图象有什么影响？ y O －1 1 －2 －3 2 3 x －1 1 2 －2 y=－1·x+1 y=1·x+1 y=2x+1 y=－2x+1 新知讲解 BY YUSHEN 22051 2.在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第几象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 解析：∵一次函数的， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴直线与轴的交点位于轴的正半轴， ∴直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限. C 巩固练习 BY YUSHEN 22051 一次函数 y=kx+b 的图象和性质 k，b 的符号 k > 0 k < 0 b > 0 b < 0 b = 0 b > 0 b < 0 b = 0 图象 与 y 轴交点的位置 经过的象限 性质 第一、二、三象限 第一、三、四象限 正半轴 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 直线从左向右上升，y随x的增大而增大 直线从左向右下降，y随 x的增大而减小 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象经过点 B．y的值随着x的增大而增大 C．函数图象经过一，二，四象限 D．函数图象与y轴交于负半轴 解：∵ 一次函数为，其中，， 当时，， ∴ 不经过点， ∵， ∴ y随x增大而减小， ∵，， ∴图象经过第一、二、四象限 当时，， ∴ 与 y轴交于，在正半轴 C 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.关于 x 的一次函数 y=mx+n 与 y=mnx（mn ≠ 0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） C 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 3.已知关于 x 的一次函数 y = (2m+4)x+(3-n). （1）当 m，n 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ （2）当 m，n 取何值时，图象经过第一、二、三象限？ 解：（1）由题意，得 2m + 4 < 0，3n 是任意实数， 所以 m < 2，n 是任意实数. （2）由题意，得 2m + 4 > 0，3n > 0， 所以 m > 2，n < 3. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 23.2 一次函数的图象和性质 课时3 用待定系数法求一次函数的解析式 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 40 1.学会用待定系数法确定一次函数的解析式． 2.能利用一次函数的解析式、图象和性质综合解决实际问题． 学习目标 BY YUSHEN 22051 问题1：确定正比例函数解析式 y=kx(k≠0)，需要求出几个值？需要知道几个条件？ 正比例函数解析式 y=kx(k≠0)中 x， y 分别代表自变量和函数值，只要求出 k 的值即可确定正比例函数的解析式，所以知道 1 个条件即可. 问题2：确定一次函数解析式 y=kx+b(k≠0)，需要求出几个值？需要知道几个条件？ 一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中只要求出k ，b的值即可确定一次函数的解析式，所以知道 2 个条件即可. 问题3：已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？ 新知导入 BY YUSHEN 22051 探究 已知一次函数的图象过点（2，－4）与（－3，11），求这个一次函数的解析式. 分析：求一次函数 y=kx+b 的解析式，关键是求出 k，b 的值（即待定系数）. 从已知条件可以列出关于 k，b 的二元一次方程组，进而求出 k，b. y O －2 2 －4 4 6 8 10 12 x －2 2 4 －4 （2,－4） （－3,11） 新知讲解 BY YUSHEN 22051 解：设这个一次函数的解析式为y = kx + b（k ≠ 0）. 因为 y = kx + b 的图象过点（2，－4）与（－3，11）， k = －3， b = 2. 解这个方程组，得 因此，这个一次函数的解析式为 y = －3x + 2. 2k + b = －4， －3k + b = 11. 所以 设 列 解 代 待定系数法 y O －2 2 －4 4 6 8 10 12 x －2 2 4 －4 （2,－4） （－3,11） 新知讲解 BY YUSHEN 22051 步骤 核心要求 一设 二代 将已知点的坐标代入解析式，得到关于待定系数的方程（组） 三解 解方程（组），求出待定系数的值 四写 将求出的系数代回所设的解析式，写出最终的函数解析式 像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法. 归纳 BY YUSHEN 22051 1.一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． ∴，∴. ∵点在上， ∴， 即. ∴. A 解析：∵点在上， 巩固练习 BY YUSHEN 22051 函数解析式 y = kx+b 满足条件的两定点 (x1, y1)与(x2, y2) 一次函数的图象直线 l 选取 解出 画出 选取 从数到形 从形到数 待定系数法的核心，是利用 “形（函数图像上的点）” 定 “数（解析式中的系数）”，是数形结合思想的重要应用 归纳 BY YUSHEN 22051 例 一位记者乘坐汽车赴 360 km 外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路. 汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 y（单位：km）与时间 x（单位：h）之间的关系如图所示. （1）求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式； 当 0 ≤ x ≤ 2 时，汽车行驶的速度较快； 当 x > 2 时，汽车行驶的速度较慢. 分析： 对 0 ≤ x ≤ 2和 x > 2 两个时段分别讨论 例题讲解 BY YUSHEN 22051 解：当 0 ≤ x ≤ 2 时，函数图象是经过原点和点 A 的直线的一部分， 设函数的解析式为 y = k1x. 因为它的图象过点 A（2，180）， 所以 180 = 2k1，解得 k1 = 90. 因此，当0 ≤ x ≤ 2 时，函数的解析式为 y = 90x . （1）求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式； 例题讲解 BY YUSHEN 22051 当 x > 2 时，函数图象是经过 A，B 两点的直线的一部分. 设这个一次函数的解析式为 y = k2x + b2， 把点 A，B 的坐标分别代入 y = k2x + b2，得 k2 = 60， b2 = 60. 解得 2k2 + b2 = 180， 3.5k2 + b2 = 270. 因此，当 x > 2 时，函数的解析式为 y = 60x + 60. 综上，当 0 ≤ x ≤ 2 时，y = 90x；当 x > 2 时，y = 60x + 60. 分段函数 （1）求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式； 例题讲解 BY YUSHEN 22051 （2）记者出发后多长时间到达采访地？ 解：由图象可知，当 y = 360时，x > 2. 由 360 = 60x + 60，解得 x = 5. 因此，记者在出发 5 h 后到达采访地. 当 0 ≤ x ≤ 2 时，y = 90x； 当 x > 2 时，y = 60x + 60. 例题讲解 BY YUSHEN 22051 ①若某一段图像是过原点的直线段，或题意为正比例关系，设为 ; ②若某一段图像是普通直线段，或题意为一次线性关系，设为 ③不同区间的待定系数用下标区分(如第一段用、,第二段用、). 归纳 BY YUSHEN 22051 2. 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示.若该用户本月用水18吨，则应交水费(C　) A. 43.2元 B. 45元 C. 46.8元 D. 48元 C 巩固练习 BY YUSHEN 22051 用待定系数法求 一次函数解析式 设：设出一次函数的解析式 y=kx+b（k ≠ 0） 列：将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k, b的二元一次方程组 解：解所列的方程组，求出 k ，b 的值 代：将求出的k ，b的值代入所设解析式中，得到所求一次函数的解析式 求一次函数解析式，解决实际问题 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.在直角坐标系中，直线和直线相交于点.则_______． 解：将点代入直线 得； 再将点代入直线，得， 解得． 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.已知一次函数的图象经过点且平行于，则b的值为______． 解：∵两直线平行， ∴，则， ∴函数表达式为， 又∵图象经过点， ∴，即， ∴ 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.甲、乙两人在某大街上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 m，先到终点的人原地休息. 已知甲先出发 4 min，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 y（单位：m）与甲出发的时间 x（单位：min）之间的关系如图中折线 OABCD 所示. （1）甲的速度为______m/min， 乙的速度为______m/min； 60 80 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 （2）求线段 AB 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； 解：设线段 AB 的函数解析式为 y = kx + b（4 ≤ x ≤ 16）， 把（4，240），（16，0）代入， 得 4k + b = 240， 16k + b = 0. 则线段 AB 的函数解析式为 y = -20x + 320（4 ≤ x ≤ 16）. k = -20， b = 320. 解方程组得 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 （3）乙比甲早几分钟到达终点？ 甲步行完全程所用时间为 2400÷60 = 40（min）， 乙步行完全程所用时间为2400÷80 = 30（min）， 乙比甲早到终点的时间为 40-30-4 = 6（min）. 所以乙比甲早 6 min 到达终点. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $