湖南湘西州2026届高三下学期教学质量检测数学试题

HUN202605 高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1双自线考-菩1的焦点坠标为 A.(0,±1) B.(0,±3) C.(±1,0) D.（±3,0) 2.已知集合M={x1(x+1)(x-3)≤0}，N={yly=x2+2,x∈R},则MnN= A.[-1,4] B.[-1,3] C.[-1,+∞) 、D.[2,3] 3.在等差数列{an}中，已知a2=2,a1+ag+ag=12,则as= A.2 B.3 C.4 D.6 4在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,6c,已知cosA=-3,a=2,0=1,则sinC= A号 c号 5.已知向量a=(4,3),b=(2,4),若c∥a,且a·b=a·c,则c= A.（2,4) B(引 © D.() 6.已知os(a+B)=2sn(a-B),amB=-是，则m2a A.-4 及器 e号 D.s 7.已知a,b,c分别为函数f(x)=(x-1)2-1,g(x)=(x-1)lgx-1,h(x)=（x-1)1og2x-1 的零点，且a,b,c∈(1，+∞)，则 A.a<c<b B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 数学第1页（共4页） 8.过一动点P(8-2m,m)向圆0：x2+y=4作切线PA,PB,切点分别为A,B,则1AB1的最小 值为 A.①0 B.v59 C.√I ⑥59 2 4 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知复数是关于x的方程2+px+g-0(其中p,9eR)的根，且(-之-=1，则 A.6=1 B.场=-0 C.p+g=2 D.满足Iz-z0|=1的1z的最大值为2 10.已知0为坐标原点，M(4,4)为抛物线C:2=2px(p>0)上一点，过C的焦点F的直线交C 于A,B两点（不与M点重合），过A,B分别作C的准线的垂线，垂足分别为P,Q,则下列 说法正确的是 A.IAB|的最小值为2 B.IPO12=41AFIIBFI C.直线OA,OB的斜率之和为定值 D.若直线MA与MB的倾斜角互补，则直线AB的斜率为-号 11.已知函数f(x)的定义域为Rf(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时f(x)>1,若f(lnB)< fna)<f(0),则下列说法正确的是 B.sin a+sin B>B C不等式f222-3≥1)的解集中所有区间的长度之和为3（区间的长度=区间右 x-5 端点-区间左端点) D.若关于x的不等式f(Ix-2I)>f(Iax-21)(a>0)有且仅有一个整数解，则1<a<3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一 次为止已知甲，乙、丙三人投中的概率分别为}，号子，若每个人是香投中相互独立，则有 人投中的概率为 数学第2页（共4页） 13.如图，在直三棱柱BCD-B,C,D,中，BC=CD=CC,=1,BC⊥CD,M,N分D, 别是棱BC,C,D的中点，三棱柱BCD-B,C,D,的外接球为球O,则过MN 的平面截球O所得截面面积的最小值为 14.若直线1：y=ax+b与函数(x)=e和g(x)=√：+子的图象均相切，则 实数b的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤： 15.(13分) 党的二十届四中全会审议通过的《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年 规划的建议》明确提出：“加快人工智能等数智技术创新”“全面实施‘人工智能+’行动”. 下表是二十届四中全会后第x个月某工业园区应用人工智能的工厂个数y的数据： x 2 3 4 5 2 3 5 6 (1)求y关于x的线性回归方程，并预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数； (2)从表中这5个月份中随机抽取3个月份，记这3个月份中应用人工智能的工厂个数大 于6的月份的个数为X,求X的分布列与数学期望. 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6、习 ,(x:-x)(y:-y) a=y-bx. 16.(15分) 已知椭圆C。+(0>b>0)的短轴长为2，离心率为B 2 (1)求C的方程； (2)直线l:y=x+m(k≠0)与C有唯一公共点P,过点P且与l垂直的直线分别交x轴、 y轴于点AB,0为坐标原点，若△0AB的面积为}，求k 数学第3页（共4页） 17.(15分)） 如图所示，在圆台0,0的轴截面A,ACC,中，AC=2A,C,=2A4,=4,B为底面圆周上异于 A,C的点，且AB=BC (1)求证：A,C⊥C,B; (2)求二面角A-A,B-C的正弦值 .C 18.(17分) 已知函数x)=c-,g(x)=++(aR. (1)求f(x)的极小值； (2)讨论g(x)的单调性； (3)若存在实数a,使得f'(x)·g(x)>bx2在x∈(0，+∞)时恒成立，求实数6的取值 范围 9.(17分) 如图，设A是由n×n(n≥3)个实数组成的n行n列的数表，其中a;表示位于第i行第j列 的实数，且满足aa,a2,…,an(i=1,2,…,n)与ay,a2y,…,anj=1,2,…,n)均是公差不为 0的等差数列 ajl a12 Gin a21 422 A2n anl an2 ann 若根据条件p,能求出数表A中所有的数，则称A能被p确定 (1)已知n=3,分别根据下列条件，直接判断数表A能否被其确定： 条件P1:“已知a13,a2,a31”; 条件P2:“已知a12,a21,a23,a3”. (2)设条件p:“任意给定数表A中的m个数”，A能被p确定，证明：m的最小值为2m. (3)设条件p:“已知集合{a写li=j或i+j=n+1,其中i=1,2,…,n}中的任意k个元素”， 求飞的最小值，使得A能被p确定 数学第4页（共4页）HUN202605 高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查双曲线的几何性质， 解析由已知得双曲线的焦点在y轴上，且半焦距为√5+4=3，故焦点坐标为(0，±3). 2.答案D 命题透析本题考查集合的表示与运算， 解析M={xl-1≤x≤3}，又N={yly=x2+2,xeR}={yly≥2}，所以MnN=[2,3]. 3.答案B 命题透析本题考查等差数列的基本运算. 解析因为a,+a+a,=3,=12,所以a=4,又a,=2,则a,=+_2+4=3. 2 2 4.答案A 命题透析本题考查正弦定理的应用. 解析：cmsA=-子，si血A=V个-c0s万=4 ，由02=1 sinA'snC年sinc得sinC=子 5.答案C 命题透析本题考查平面向量的坐标运算， 解析因为c/a故设c=(4k,3),又a·b=a·c,所以8+12=16k+9k,解得k=号，所以c=(9,号) 6.答案C 命题透析本题考查三角恒等变换的应用， 解析由cos(a+B)=2sin(a-B),得cos acos B-sin asin B=2 sin acos B-2 cos asin B,即(cos a-2sina)cosB= sina-2csc)sinB,所以osa-2 2sin a=tan B,所以2吧g=-身，ama=-4,所以am2a白 2tan a 8 sin a-2cos a tan a-2 1-tan2a15 7.答案A 命题透析本题考查函数的零点与图象交点问题 解桥由)=0，得2=函数y=2与y的图象的交点横坐标统是a由g-0,得1gx 1 一1 函数y=lgx与y= 的图象的交点横坐标就是6由A()=0,得1gx=,函数了=1gx与y=的图 x-1 象的交点横坐标就是c.作出函数图象如图，可知a<c<b. V=2* y=log,x y=lgx 8.答案C 命题透析本题考查直线与圆的位置关系， 解析因为PA,PB是圆O的切线，所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以AB是圆O与以PO为直径的圆的公共弦，PO 的中点为(4-m,受 ,可得以m为直径的圆的方程为[x-(4-m)1+(-受)=(4-mP+买①，又因为 r8x-4=0, x2+y2=4②，①与②相减得，直线AB:2(4-m)x+my=4,即8x-4+m(y-2x)=0,由 可得 Ly-2x=0, 2 即AB过定点D(分，，点D位于圆0内部设圆心0到直线AB的距离为，则1AB=2√4-，当 y=1, 0D1AB时，d最大，1hAB1最小，由题可知d=汽，所以1AB1=-2√4一子-m 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ACD 命题透析本题考查复数的综合运算， 解析对于A,因为云·(-之刳)=1，所以=-子+汽，云=(-之+=-分-，则后 (分-分+)=1，故A正确： 对于B,由A知，6+z0=-1,即0≠-z0,故B错误； 对于C,由于名=-}+是关于：的方程亡+严+9=0的根，所以=分-停是该方程的另-个根，所 以p=1,9=1,所以p+9=2,故C正确； 一2 对于D,由12-1=1，得：在复平面内对应的点在以(-分，号）为圆心，1为半径的圆上，所以1：1的最大值为 /（--0+(9-0+1=2，故D正确 10.答案BD 命题透析本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系： 解析因为42=2p×4,所以p=2,所以C的方程为y2=4x,F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为 x=y+1,≠子，代入C的方程并整理，得子-4的-4=0，所以+%=4，=-4 对于A,1AB1=√1+21y1-y2I=4(1+2),所以IAB1的最小值为4，故A错误； 对于B,1PQ12=1y1-y212=(y+y2)2-4yy2=162+16,1 AFIIBF1=x1+111x2+1I=(y1+2)·(y2+2)= ty1y2+2t(y1+y2)+4=42+4,所以1PQ12=41AF1IBF1,故B正确； 对于C,当直线AB的斜率不存在时，直线0A,0B的斜率之和为0，当取A(4,-4)时，可得8（子，，此时直线0A的 斜率为-1，直线OB的斜率为4，直线OA,OB的斜率之和为3，故C错误； 对于D,因为直线MM与MB的倾斜角互补，所以直线MA与MB的斜率均存在，且u=-k8,所以二4 14 -2-4 4上会，化简得+5+8=0，所以4牡+8=0.所以1三2故直线B的斜率为)，® D正确， 11.答案BCD 命题透析本题考查抽象函数的性质以及不等式的解法 解析任取1，∈R,且x1<x2x)-fx)=f(x)-f(x2-x,+x)=f(x1)-[f(x2-x)+f(x1)-1]= 1-f2-x1),因为x1<x2,所以x2-x1>0,所以f(x2-x)>1,所以1-f(x2-x1)<0,即f(x1)-f(x2)<0,所 以f(x1)<f(x2),所以f(x)为R上的增函数，又flnB)<fna)<f(0),所以0<B<a<l. 对于A,e>>0,则时>>0，又日>>0.所以+女+日放A错误： 对于B,由y=sinx在(0,1)上单调递增，可知sinB<sinx,故sina+sinB>2sinB,对于y=B-2sinB且0<B<1< 号y=1-2cB<0,所以y=B-2simB在(0,1)上单调递减，则y=B-2sinB<0-2sin0=0,所以B< 2sinB<sina+sinB,故B正确； 对打C,根若越意，即求字产≥1的解集，因为产2311产≤0号×0 x2-2x-3 ,(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)≤0， (x+1)(x-3号s0x≠-1， (x-1)(x-2） 借助数轴，得到各个因式之积的符号，如图所示： x≠3， 3 所以原不等式的解集是{x|-1<x≤1或2≤x<3},区间的总长度为3，故C正确； 对于D,不等式1ax-21<1x-21两边同时平方可得(a2-1)x2-4(a-1)x<0,当a=1时，1ax-21=1x-21恒 成立，不符合题意，当0<a<1时，-1<a-1<0,则原不等式可化为(a+1)2-4x>0,解得x<0或x>4 a+1 此时，原不等式有无数个整数解，不符合题意，当a>1时，a-1>0,则原不等式可化为(a+1)x2-4x<0,解得 0<x<。车若原不等式有且仅有-个签数解，则这个整数解为1，所以1<。1≤2，解得1≤a<3,又因为a>1, 4 所以1<a<3,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2答案将 命题透析本题考查相互独立事件及对立事件的概率. 解析 “有人投中”的对立事件为“三人投篮都不中”，放所求概率为P=1-(1-2(1-)1-)-=名 13.答案 5T 命题透析本题考查几何体的外接球 解析根据题意，将该三棱柱补成正方体ABCD-A,B,C,D,,以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则M(分，1,0，N(0,2,,所以=(-2，小，由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为 (分分》即为点0，则0应-(0，宁，宁），外接球半径为，=工-复点0到宜线w的距离 1 子，又该截面面积最小时，点0到该截面的距离 4 4+1 4 为d,则5=m·(㎡-)=m子-g）贺 14.答案1 命题透析本题考查导数的几何意义. 解析设直线1与y=心的图象相切于点4（名，e),直线1与y-√+子的图象相切于点(，√名+子） a=e1= 3 2√+4 则f'(x)=e1,g'(x2)= 1 3 3 ，得e=ax1+b, 得6=e1-e1=√+ 4 3 2 %2+ 4 2x+4 3 24=ax2+b, t=√名+子，则>0，e=6=1+a(21=子+意，所以1+h(2)]=分+意，整理可得1a(2)- P+-0设A(0）=la(2）)-f+子，显然1=2为A(0的-个零点，h'(0）=}-2,当t∈(0，号）时，A()> 0,Me)单调递增，当e(受，+)时，k()<0,A()单调递减，放()m=A()=h2-子>0，而 4(}=h3-子0，A(分）子-号<0，分)=子衣<0，所以h(20-+子-0的两根位于号 两侧，已知一限为分所以另一根位于区问停，号)内，此时6=宁+意<宁+是<1，所以当：=弓时，6取 得最大值，该值为1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查线性回归方程和离散型随机变量的均值 解析（1)由表格中的数据可得元=1+2+3+4+5-3,7-2+3+5+7+8-5，…(（1分) 5 5 5 (x-x)(y:-) 所以6=台 名属-到 =1-3)(2-5)+(2-3)(3-5)+(3-3)(5-5)+(4-3)(7-5)+(5-3)(8-5) (1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2 =1.6. (3分) 故a=y-bx=5-1.6×3=0.2. 故y关于x的线性回归方程为=1.6x+0.2.…(4分) 当x=8时，9=1.6×8+0.2=13， 故预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数为13.…(6分) 5 (2)由题意可得X=0,1,2,…(7分) 所以P(X=0)= Cg·C-3 0 …(10分) 分布列如下： X 0 1 2 P 1 3 3 10 5 10 (11分) 1 3 36 所以E(X)=0×10+1×号+2×i0=分 (13分) 16.命题透析本题考查椭圆的方程与性质，椭圆与直线的位置关系， 解析（1)由短轴长2b=2,得b=1.… (2分) 由e=合得51-是3 a2 ,解得24 …(4分) 所以C的方程为父+L, (5分) [y=kx+m, (2)由 得(1+42)x2+8kmx+4m2-4=0. x+4y2=4, 由△=0，得(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0,化简得m2=42+1.…（7分) 设4(0)，80，P)测0=兰=属+m 1 …(8分)》 m 所以直线的方程为y太=(+)y= …… (10分) m m 令y=0,得，=-3，令=0，得0=- m m △0的面积5=子6w=器-号×- X (13分) 整理得4-41k1+1=0,解得1k1=2 故k=±2 (15分) 17.命题透析本题考查垂直关系的证明，利用空间向量计算二面角. 解析(1)如图，连接A10,C0,B0. 因为AB=BC,所以B0LAC, (1分) 由圆台的性质可知，轴截面ACC,A,⊥平面ABC, 又B0C平面ABC,平面ABC∩平面ACC,A1=AC,所以B0⊥平面ACC,A1,所以B0⊥A,C.·(2分) —6— 因为A,C1∥0C且A,C,=0C,所以四边形A,0CC,为平行四边形， 又因为A1C,=CC,=2,所以平行四边形A,OCC,为菱形，所以A1C⊥OC.…(4分) 因为OB∩OC1=0,所以A,C⊥平面B0C1, 又C,BC平面B0C,故A,C⊥CB. …(6分)》 0 B (2)如图，以OA,0B,O0,所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxy2, 则A(2,0,0),B(0,2,0),A(1,0,W3),C(-2,0,0), 所以AA=(-1,0,3),AB=(-2,2,0),C2=(2,2,0),CA=(3,0,5).…。 …(8分)》 设平面A,AB的法向量为m=(x,y,z), m·AM=-x+3z=0, 观。30 取m=(,1） …（10分)） 设平面ABC的法向量为n=（a,b,c), rn.C2=2a+2b=0, 则 取n=(-1,1,W3). …(12分) n.cA=3a+5c=0, 因为cos(m,D)=m·1n m·n 1 1 W35 1+1+3×1+1+3 故=面角4-4,8-G的正孩值为，V-(√景 470 35 …（15分) 18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析(1)由f(x)=e*-x,求导得f'(x)=ex-1, 当x<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以当x=0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)=é°-0=1.…(3分) (2)g(x)=(2x+)e-（2+x+a)e--2+x+1-a (4分) e 令h(x)=-x2+x+1-a,△=1+4(1-a)=5-4a, 当△≤0，即a≥时，A()≤0恒成立，即g()≤0，所以g()在R上单调递减 …(6分) 一7 当4>0，即a<及时，方程-2+x+1-a=0有两个不等实根，4-1--40，与1+-0 2 ,x2= 2 显然x1<x2,当x∈（x1,x2)时，h(x)>0→g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x∈(-o0,x)或x∈(x2,+∞)时，h(x)<0→g(x)<0,g(x)单调递减。…(8分) 综上，当a≥时，8()在R上单调递减； 当a<子时，g()在( -5-4a1+5-4@ 上单调递指，在-，1咨利+，+上 2 单调递减. …(9分)》 (3)由题意，当x∈(0，+∞)时，f'(x)·g(x)>bx2恒成立，即(1-e)(x2+x+a)>bx2恒成立. 当x>0时，1-e“>0,不等式等价于a>,bm >1-。-(2+x. 令()=，bx =。一-，则已知转化为：存在实数a,使得a>)对任意x>0恒成立…（1分)】 若b>1,当x>0时，0<1-e<1,H(x)>bx2-x2-x=(b-1)x2-x, 当x→+0时，(b-1)x2-x→+0，则H(x)→+∞，此时不存在满足条件的实数a.…（14分) 若6≤1，H()≤ex=一x e'-1 -x ef-I-< 由(1)知，当x>0时，e-1>x,所以 -x=0, 所以H(x)<0,只要a≥0即有a>H(x),符合条件. …… (16分) 综上，b的取值范围是(-∞，1].… (17分) 19.命题透析本题考查数列的基本概念，数列的综合应用. 解析(1)数表A不能被P1确定；数表A能被P2确定. (4分) 理由（第(1）小问给出结论即可，没写理由不扣分)： 对于条件P1,假设数表A中每行、每列的公差都相等，均为d, 则a13=am+2d,a31=a11+2d,a2=a12+d=a11+2d, 则a13=a2=a31=a1+2d,a1,d均无法确定，故数表A不能被p1确定； 对于条件2，因为1,4确定，所以可以根据2=十确定，则第二行可以全部确定， 2 对于第二列，由于a2确定，结合a22可确定第二列的公差，进而可求出a2,则第二列可以全部确定， 对于第三行，由于a33确定，结合a32可求出第三行的公差，由此可确定a31,则第三行可以全部确定， 对于第一列，由于a31,a21确定，可以求出第一列的公差，由此可确定a1,则第一列可以全部确定， 综上所述，数表A可由条件P2确定 (2)对于一个公差为d的等差数列a1,a2,…,an,若知道其中两项a:与a(1≤i<j≤n), 一8— 便可根据d-,。=4-(任-1)d求出该等差数列中的每-一顶 故对于数表A中的任意一行（或列），若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行（或列）中的所有数. …………… (6分) 一方面，若知道a1,a2,…,an,a21,a31,…,a这(2n-1)个数，则无法求出a2,故不能得出数表A中所有的 数，所以m>2n-1. (8分) 另一方面，若知道数表A中的任意2个数，则数表A中必存在两行，满足这两行中各至少有两个数已知， 于是数表A中这两行的数都能被求出，即数表A中每一列都至少有两个数已知， 所以数表A中所有的数都能求出，即A能被p确定， 综上，m的最小值为2，… (10分)》 (3)当k≤n时，若知道a:(i=1,2,…,n)中的k个数，则不能求出A中所有的数，… (11分) 当k=n+1时，已知a(i=1,2,…,n)与a,(i+j=n+1)中的任意(n+1)个数，则必存在两个数在A中位于同 一行（记为第s行），从而可求出这一行中的所有数.…（12分) 因为a:(i=1,2,…,n)与a(i+j=n+1)中至多有两个数在同一行， 所以除去第s行的两个数外，余下已知的(n-1)个数必在其余的(n-1)行中， 当n=3时，通过列举可知：余下已知的2个数不在同一列中（所在列分别记为第g列和第h列）.…(14分) 当n>3时，n-1≥3， 因为在a:(i=1,2,…,n)与a(i+j=n+1)中至多有两个数在同一列， 所以至少有两列（记为第g列和第h列）中含有这已知的(n-1)个数中的数， 又因为第s行的数均已得到， 所以在第g列与第h列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出， 于是数表A中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表A中所有的数， 综上，k的最小值为+1.…（们7分） —9