数列中的构造问题题型梳理课件-2026届高三数学二轮专题复习

数列中的构造问题题型梳理 题型一　形如an+1=pan+f(n)型 考向1　an+1=pan+q(p≠0,1,且q≠0)型 例1　(2025·山西晋中模拟)若数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=2n-1 B.an=2n-1-1 C.an=2n+1-1 D.an=2n-2 A 解析 ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),即=2,∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,∴an+1=2×2n-1=2n,∴an=2n-1.故选A. 题型一 题型二 题型三 题型四 规律方法　满足an+1=pan+q(p≠0,1,且q≠0)的数列{an}的通项公式的求法:设an+1+λ=p(an+λ),得an+1=pan+(p-1)λ,与题设an+1=pan+q比较系数,得λ=(p≠1),所以an+=p(an-1+)(n≥2),即{an+}构成以a1+为首项,p为公比的等比数列. 题型一 题型二 题型三 题型四 [对点训练1]已知数列{an}满足an+1=an+4,且a1=1,则{an}的通项公式为 (　　) A.an=12-()n-1 B.an=()n+2 C.an=12-11×()n-1 D.an=8+()n-1 C 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 设an+1+x=(an+x),即an+1=an-x, 所以-x=4,解得x=-12, 所以an+1-12=(an-12), 所以{an-12}是首项为a1-12=-11,公比为的等比数列, 所以an-12=-11×()n-1, 所以an=12-11×()n-1.故选C. 题型一 题型二 题型三 题型四 考向2　an+1=pan+qn+c(p≠0,1,且q≠0)型 例2　(2025·广东大联考)在数列{an}中,a1=3,且an+1=3an+4n-6(n∈N*),则{an}的通项公式为　　　　　　　.  an=3n-2(n-1) 解析 (方法一)设an+1+p(n+1)+q=3(an+pn+q),即an+1=3an+2pn+2q-p, 与原式相比较,对应项系数相等得解得 所以首项为a1+2-2=3, 所以数列{an+2n-2}是首项为3,公比为3的等比数列, 所以an+2n-2=3×3n-1=3n, 所以an=3n-2(n-1). 题型一 题型二 题型三 题型四 (方法二)因为an+1=3an+4n-6(n∈N*), 所以an+1+2n=3an+4n-6+2n=3[an+2(n-1)]. 因为a1=3,所以a1+2×(1-1)=3, 所以数列{an+2(n-1)}是首项为3,公比为3的等比数列, 则an+2(n-1)=3·3n-1=3n, 所以an=3n-2(n-1). 题型一 题型二 题型三 题型四 规律方法　满足an+1=pan+qn+c(p≠0,1,且q≠0)的数列{an}的通项公式的求法:设an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B),通过待定系数法确定A,B的值,转化成以a1+A+B为首项,p为公比的等比数列{an+An+B},再利用等比数列的通项公式求出{an+An+B}的通项,整理可得an. 题型一 题型二 题型三 题型四 考向3　an+1=pan+qn(p≠0,1,且q≠0,1)型 例3　(2025·江西宜春调研)已知正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为an=(　　) A.-3×2n-1　　　　　B.3×2n-1 C.5n+3×2n-1 D.5n-3×2n-1 D 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 (方法一)在递推公式an+1=2an+3×5n的两边同时除以5n+1, 得,① 令bn=,则①式变为bn+1=bn+, 即bn+1-1=(bn-1), 所以数列{bn-1}是等比数列,其首项为b1-1=-1=-,公比为, 所以bn-1=-()n-1, 即bn=1-()n-1, 所以=1-()n-1=1-,所以an=5n-3×2n-1.故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 (方法二)设an+1+k×5n+1=2(an+k×5n),则an+1=2an-3k×5n, 与an+1=2an+3×5n比较可得k=-1, 所以an+1-5n+1=2(an-5n), 所以数列{an-5n}是首项为a1-5=-3,公比为2的等比数列, 所以an-5n=-3×2n-1, 所以an=5n-3×2n-1.故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 规律方法　满足an+1=pan+qn(p≠0,1,且q≠0,1)的数列{an}的通项公式的求法:等式两边同时除以qn+1,即得,当p≠q时,原式可以变形为+λ=+λ)的形式,则数列{+λ}为等比数列,进而求出{an}的通项公式. 题型一 题型二 题型三 题型四 [对点训练2]已知数列{an}满足an+1=2an+4×3n-1,a1=-1,则数列{an}的通项公式为　　 　.  an=4×3n-1-5×2n-1 解析 (方法一)设an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1),整理得an+1=2an-λ·3n-1,可得λ=-4,即an+1-4×3n=2(an-4×3n-1),且a1-4×31-1=-5≠0,则数列{an-4·3n-1}是首项为-5,公比为2的等比数列,所以an-4×3n-1=-5×2n-1,即an=4×3n-1-5×2n-1. (方法二)an+1=2an+4×3n-1两边同时除以3n+1,得,整理得(),且=-0,则数列{}是首项为-,公比为的等比数列,所以=-()n-1,即an=4×3n-1-5×2n-1. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二　形如an+1=pan+qan-1型(相邻项的差为特殊数列) 例4　(2024·江苏七市模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=5,an+2=5an+1-6an.证明: (1){an+1-2an}是等比数列; (2)存在两个等比数列{bn},{cn},使得an=bn+cn成立. 证明 (1)∵an+2=5an+1-6an, ∴an+2-2an+1=5an+1-6an-2an+1, ∴an+2-2an+1=3an+1-6an=3(an+1-2an),an+1-2an=0显然与a1=1,a2=5矛盾,∴an+1-2an≠0,=3,∴数列{an+1-2an}是以a2-2a1=5-2=3为首项,3为公比的等比数列. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)∵an+2=5an+1-6an, ∴an+2-3an+1=5an+1-6an-3an+1, ∴an+2-3an+1=2an+1-6an=2(an+1-3an). an+1-3an=0显然与a1=1,a2=5矛盾, ∴an+1-3an≠0,=2, ∴数列{an+1-3an}是以a2-3a1=5-3=2为首项,2为公比的等比数列, ∴an+1-3an=2n,① 又由(1)知,an+1-2an=3n,② ∴②-①,得an=3n-2n. ∴存在两个等比数列{bn},{cn},bn=3n,cn=-2n,使得an=bn+cn成立. 题型一 题型二 题型三 题型四 解题思维链 题型一 题型二 题型三 题型四 规律方法　对于形如an+1=pan+qan-1型的递推关系式,可以化为an+1-x1an =x2(an-x1an-1),其中x1,x2是方程x2-px-q=0的两个根,若1是方程的根,则直接构造数列{an-an-1},若1不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方法求an. 题型一 题型二 题型三 题型四 [对点训练3](AI改编)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2=3,an+an+2=kan+1. (1)当k=2时,求S10; (2)若k=,设bn=an+1-2an,求{bn}和{an}的通项公式. 题型一 题型二 题型三 题型四 解 (1)当k=2时,有an+an+2=2an+1,即an+2-an+1=an+1-an,所以{an}为等差数列.因为a1=1,a2=3,所以d=a2-a1=2,所以S10=1×10+2=100. (2)由题知an+2=an+1-an,所以an+2-2an+1=an+1-an=(an+1-2an),即bn+1=bn,且b1=a2-2a1=1,所以{bn}是以1为首项,为公比的等比数列,所以bn=1×()n-1 =()n-1,所以an+1-2an=()n-1=4×()n+1,两边同除以()n+1,得=4.记=2n·an=cn,得cn+1-4cn=4,所以cn+1+=4(cn+),则c1+=2a1+,所以{cn+}是以为首项,4为公比的等比数列,所以cn+4n-1,所以cn=4n-1-=2n·an,所以an=2n-1- 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三　形如an+1=型(倒数为特殊数列) 例5　(2025·安徽合肥模拟)已知数列{an}中,a1=1且an+1=(n∈N*),则a13=(　　) A. B. C. D. D 解析 显然an≠0.由an+1=,得, 又=1,∴数列{}是以1为首项,为公差的等差数列, ∴ =1+(n-1)=,∴an=,n∈N*,∴a13= 题型一 题型二 题型三 题型四 规律方法　满足an+1=(ac≠0)的数列{an}的通项公式的求法:取倒数得.当a=b时,数列{}是等差数列;当a≠b时,令bn=,则bn+1=·bn+,可用题型一考向1中的方法求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 [对点训练4]已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则an=　　　　　.  　 解析 因为a1=1,an+1=,显然an≠0,取倒数得=4+,即=4,则数列{}是首项为1,公差为4的等差数列,因此, =1+4(n-1)=4n-3,所以an= 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四　形如an+1=p型(对数为特殊数列) 例6　(2025·湖南岳阳模拟)数列{an}中,a1=1,an+1=2,则数列{an}的通项公式为　　　　 　.  an= 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 由a1=1,an+1=2,得an>0,两边取常用对数,得lg an+1=3lg an+lg 2. 令bn=lg an,得bn+1=3bn+lg 2, ∴bn+1+=3(bn+). ∵b1+=lg 1+0, ∴数列{bn+}是以为首项,3为公比的等比数列, 则bn+=3n-1, 即bn=(3n-1-1)lg 2=lg ∵bn=lg an,∴an= 题型一 题型二 题型三 题型四 规律方法　对于形如an+1=p型的递推关系式,可以两边取对数转化为logtan+1=logtp+mlogtan的形式,化归为bn+1=mbn+logtp型,求出logtan的表达式,再求an. 题型一 题型二 题型三 题型四 [对点训练5]数列{an}中,a1=1,an+1=2,则数列{an}的通项公式为an=　　　　　　.  解析 显然an>0,取以2为底的对数,得log2an+1=log2(2),则log2an+1=log22+2log2an,则log2an+1=1+2log2an,设bn=log2an,则有bn+1=1+2bn,则bn+1+1=2(bn+1),所以{bn+1}是以b1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以bn+1=2n-1,所以bn=2n-1-1,即log2an=2n-1-1,故an= 题型一 题型二 题型三 题型四 $