第13讲 反比例函数的图像与性质及其应用（知识详解+15典例分析+习题巩固）2025-2026学年（沪教版五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

第13讲 反比例函数的图像与性质及其应用（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】反比例函数的图像与性质 1. 定义与解析式 定义：形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，其中为比例系数。 等价形式：、（），三种形式可相互转化，方便解题时灵活运用。 自变量范围：（分母不能为0），函数值（分子，分母不为0，故函数值不为0）。 2. 图像（双曲线） 形态：由两支独立的曲线组成，两支曲线关于原点对称，且无限靠近x轴、y轴，但永不与坐标轴相交（因为、）。 对称性： 中心对称：关于原点对称，即若点在双曲线上，则点也在双曲线上。 轴对称：关于直线和对称，即若点在双曲线上，则点、也在双曲线上。 的意义：的大小决定双曲线的位置，越大，双曲线离原点越远；越小，双曲线离原点越近。 3. 性质（重点） 符号 象限分布 增减性（每个象限内） 第一、三象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而增大 易错警示：不能说“在整个定义域内单调递增或递减”，反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，跨象限无单调性（例如时，第一象限的值恒为正，第三象限的值恒为负，无法比较跨象限的增减）。 4. 的几何意义（高频考点） 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，所得图形面积与的关系如下： 矩形面积：四边形OAPB为矩形，面积。 三角形面积：△OAP、△OBP的面积相等，均为。 【知识点02】反比例函数的应用 1. 建模思路 实际问题中，若两个变量、满足“乘积为定值”（即，为非零常数），则这两个变量成反比例关系，可设反比例函数解析式为（实际问题中，，且自变量，需符合实际意义）。 2. 常见模型 行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例，即（此时，为定值）。 工程问题：工作量一定时，工作效率与工作时间成反比例，即（此时，为定值）。 几何问题：面积一定时，矩形的长与宽成反比例（）、三角形的底与高成反比例（）。 物理问题：压强与受力面积（压力一定）、杠杆原理（，定值）等，均符合反比例关系。 3. 解题步骤（核心） 1.审：审题，找出题目中的两个变量，判断它们是否成反比例关系（即乘积为定值）； 2.设：设反比例函数解析式为（），注明自变量的实际取值范围； 3.求：根据题目给出的一组对应值，代入解析式求出的值； 4.定：确定最终的函数解析式，并再次确认自变量的范围（符合实际意义，如长度、时间、速度等不能为负数）； 解：利用解析式解决题目所求的问题（如求变量的值、判断取值范围等）。 【知识点03】易错点总结 忽略这一前提，导致解析式书写错误（如漏写）； 描述反比例函数增减性时，不注明“每个象限内”，出现跨象限判断增减的错误； 解决实际问题时，忽略自变量的实际意义，未注明（如长度、时间等不能为负数）； 运用的几何意义时，只求出，忽略根据双曲线所在象限判断的符号，导致结果错误； 与一次函数综合时，联立方程组求解交点坐标出错，或不会用割补法求图形面积。 【题型一】判断（画）反比例函数图象 例1．（2024·八年级·上海·期中）定义新运算：a⊕b＝，则函数y＝2⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是______． 变式2．分别画出函数和的图象． 【题型二】已知双曲线分布的象限，求参数范围 例2．（2023八年级·上海·专题练习）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级·上海·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_____． 变式2．已知反比例函数（为常数，且） (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值； 【题型三】判断反比例函数的增减性 例3．（22-23八年级·上海嘉定·期中）如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 变式1．（24-25八年级·上海杨浦·期中）若反比例函数图像上有、、三点，则从小到大排列______． 【题型四】判断反比例函数图象所在象限 例4．（23-24八年级·上海·期中）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级·上海·寒假作业）反比例函数（其中的图象在第___________象限． 变式2．已知一个反比例函数的图象经过点． （1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？ （2）点，，是否在这个函数的图象上？为什么？ 【题型五】已知反比例函数的增减性求参数 例5．（2024·上海徐汇·模拟预测）已知A(1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m 变式1．（25-26八年级下·上海·月考）函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 变式2．（23-24八年级·上海静安·课后作业）已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 【题型六】比较反比例函数值或自变量的大小 例6．（24-25八年级·上海·月考）已知反比例函数的图像上有两点，，且，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与之间的大小关系不能确定 变式1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）若，是一次函数的图象上的不同的两点，如果，那么__________0．(填“>”，“=”“﹤”) 变式2．如图是反比例函数的图像的一支，根据图像回答下列问题： (1)图像的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2)在这个函数图像的任取点A（x1,y1）和点B（x2,y2），若x1>x2，则y1和y2的大小关系如何？ 【题型七】求反比例函数解析式 例7．已知点在反比例函数的图象上，则这个函数图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·上海虹口·期中）已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为3和2．若反比例函数图象经过点P，则该反比例函数的解析式为______． 变式2．（25-26八年级下·上海·月考）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时， (1)求关于的函数表达式； (2)若点在这个函数图像上，求的值 【题型八】已知比例系数求特殊图形的面积 例8．（24-25八年级·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．（24-25八年级·上海·月考）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则________． 变式2．如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【题型九】根据图形面积求比例系数（解析式） 例9．如图，反比例函数的图象上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，的面积为6，则k的值为（    ） A． B．12 C．6 D． 变式1．（24-25八年级·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为_________． 变式2．（23-24八年级·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【题型十】一次函数与反比例函数图象综合判断 例10．（25-26八年级下·上海·月考）函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 变式1．（23-24八年级·上海·期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________ 变式2．（24-25八年级·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求上述正比例函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，写出的取值范围． 【题型十一】一次函数与反比例函数的交点问题 例11．（24-25八年级下·上海·月考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 例12．（25-26八年级·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则___________． 变式1．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求m的值和反比例函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 变式2．（22-23八年级·上海普陀·期中）已知反比例函数（为常数，）． (1)其图像与正比例函数的图像的一个交点为，若点的纵坐标是2，求的值； (2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点； (3)已知点和，点在反比例函数的图像上，若三角形的面积为6，求点的坐标． (4)直接写出当正比例函数大于反比例函数时自变量的取值范围． 【题型十二】一次函数与反比例函数的其他综合应用 例13．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（　　）    A．1 B．3 C．5 D．7 变式1．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 变式2．（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【题型十三】反比例函数与几何综合 例14．（25-26八年级下·上海·月考）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 【题型十四】实际问题与反比例函数 例15．（24-25八年级·上海·单元测试）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径，高线长，则h关于r的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 变式1．在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S(平方千米)与其种群密度a(只/平方千米)近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25 只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定(无迁入迁出)，当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a =______只/平方千米． 变式2．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【题型十五】一次函数与反比例函数的实际应用 例16．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 变式1．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    一、单选题 1．若反比例函数的图象经过点，则该函数图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 2．若、、三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．双曲线与直线相交于两点，其中一个交点为，当时，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．如图，与都是等边三角形，点B，依次在函数的图象上，点A，依次在x轴的负半轴上，若点B的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，是反比例函数图象上的两点，是反比例函数图象上一点，连接，，，若，恰好经过原点，与轴交于点，则k的值为（    ） A． B． C．－8 D．－10 6．若双曲线在第二、四象限，那么关于x的方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．条件不足，无法判断 7．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点A，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，下列结论错误的是（    ） A．与的面积相等 B．当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点 C． D．只有当四边形OCPD为正方形时，四边形PAOB的面积最大 二、填空题 8．已知反比例函数，当时，y的取值范围是________． 9．若点，在反比例函数的图象上，则a___________b（填“”“”或“”） 10．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，那么与的大小关系是___________（填“”，“”或“”）时． 11．若点是反比例函数的图象上的一点，则此反比例函数的解析式为_____． 12．如图，已知点，，以为边的□（逆时针顺序）的顶点、分别在轴和反比例函数（）的图像上，则点的坐标为______． 13．如图，在平面直角坐标系的轴的正半轴上取点，以为边作等边，点在第一象限内，把绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在反比例函数在第四象限的图象上，则点的坐标是________．    14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于 A，B，x 轴的正半轴上有一点 C使得∠ACB＝90°，若△OCD 的面积为 25，则 k 的值为_________． 15．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，，则反比例函数的表达式为_________． 16．如图，点，在反比例函数的图象上，过点，作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，若，的面积为，则的值为____． 17．如图，在中，在x轴上，，反比例函数与，分别交于点D，E，连接，，若，，则k的值为______． 18．如图，点、在反比例函数的图像上，连接、，以、为边作平行四边形．若点恰好落在反比例函数的图像上，则______． 三、解答题 19．为预防疾病传播，某小区业主对自己的家庭进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例；燃烧完，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为，根据以上信息解答下列问题： (1)直接写出药物燃烧阶段y关于x的正比例函数表达式和药物燃烧完y关于x的反比例函数表达式．（需要写出各函数的自变量取值范围） (2)当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方才无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间业主才可以回家？ 20．如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)观察图像，请直接写出不等式的解集． 21．反比例函数， 的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作轴，分别与、交于A、B两点． (1)当时，求； (2)延长到点D，使得，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）． 22．近期，流感进入发病高峰期，某校为预防流感，对教室进行熏药消毒，测得药物燃烧后室内每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系如图所示，已知药物燃烧时，满足；药物燃烧后，y与x成反比例，现测得药物分钟燃毕，此时室内每立方米空气中的含药量为．请根据图中所提供的信息，解决下列问题： (1)求的值，并求当时，与的函数表达式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，则此次消毒是否有效？请计算说明． 23．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，，直线与反比例函数的图象交于点A，与y轴分别交于点C． （1）求k的值； （2）点D与点О关于AB对称，连接AD，CD；证明：是直角三角形； （3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上，若，直接写出点E的坐标． 24．我们已经学习了正比例函数和反比例函数的图象和性质，下面，我们研究函数的图象和性质，我们不妨特殊化，设，，即． (1)函数的自变量的取值范围是 ；图象在第 象限； (2)阅读材料：当时，．当时，即，有最小值是2．请仿照上述过程，求出当时，的最大值； (3)某隧道长，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长，相邻两车的距离与车速的关系式为，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值． 25．小嘉同学结合反比例函数的学习经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完成： (1)如表是y与x的几组对应值，请直接写出m，n的值； x … 0 1 m 2.5 3 4 5 6 … y … n 1 … (2)如图在平面直角坐标系中，小嘉已画出函数的部分图象，请结合以上表格中的对应值，补画时函数的图象，并写出这个函数的性质或结论（一条即可）；    (3)若一次函数的图象与函数的图象恰有一个交点，求k的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 反比例函数的图像与性质及其应用（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】反比例函数的图像与性质 1. 定义与解析式 定义：形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，其中为比例系数。 等价形式：、（），三种形式可相互转化，方便解题时灵活运用。 自变量范围：（分母不能为0），函数值（分子，分母不为0，故函数值不为0）。 2. 图像（双曲线） 形态：由两支独立的曲线组成，两支曲线关于原点对称，且无限靠近x轴、y轴，但永不与坐标轴相交（因为、）。 对称性： 中心对称：关于原点对称，即若点在双曲线上，则点也在双曲线上。 轴对称：关于直线和对称，即若点在双曲线上，则点、也在双曲线上。 的意义：的大小决定双曲线的位置，越大，双曲线离原点越远；越小，双曲线离原点越近。 3. 性质（重点） 符号 象限分布 增减性（每个象限内） 第一、三象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而增大 易错警示：不能说“在整个定义域内单调递增或递减”，反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，跨象限无单调性（例如时，第一象限的值恒为正，第三象限的值恒为负，无法比较跨象限的增减）。 4. 的几何意义（高频考点） 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，所得图形面积与的关系如下： 矩形面积：四边形OAPB为矩形，面积。 三角形面积：△OAP、△OBP的面积相等，均为。 【知识点02】反比例函数的应用 1. 建模思路 实际问题中，若两个变量、满足“乘积为定值”（即，为非零常数），则这两个变量成反比例关系，可设反比例函数解析式为（实际问题中，，且自变量，需符合实际意义）。 2. 常见模型 行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例，即（此时，为定值）。 工程问题：工作量一定时，工作效率与工作时间成反比例，即（此时，为定值）。 几何问题：面积一定时，矩形的长与宽成反比例（）、三角形的底与高成反比例（）。 物理问题：压强与受力面积（压力一定）、杠杆原理（，定值）等，均符合反比例关系。 3. 解题步骤（核心） 1.审：审题，找出题目中的两个变量，判断它们是否成反比例关系（即乘积为定值）； 2.设：设反比例函数解析式为（），注明自变量的实际取值范围； 3.求：根据题目给出的一组对应值，代入解析式求出的值； 4.定：确定最终的函数解析式，并再次确认自变量的范围（符合实际意义，如长度、时间、速度等不能为负数）； 解：利用解析式解决题目所求的问题（如求变量的值、判断取值范围等）。 【知识点03】易错点总结 忽略这一前提，导致解析式书写错误（如漏写）； 描述反比例函数增减性时，不注明“每个象限内”，出现跨象限判断增减的错误； 解决实际问题时，忽略自变量的实际意义，未注明（如长度、时间等不能为负数）； 运用的几何意义时，只求出，忽略根据双曲线所在象限判断的符号，导致结果错误； 与一次函数综合时，联立方程组求解交点坐标出错，或不会用割补法求图形面积。 【题型一】判断（画）反比例函数图象 例1．（2024·八年级·上海·期中）定义新运算：a⊕b＝，则函数y＝2⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】根据题干中定义的新运算求出y＝2⊕x的解析式，进而判断． 【详解】解：由题意得y＝2⊕x＝， ∴函数图象大致为: 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象，解题关键是理解题意，正确得出y＝2⊕x的解析式． 变式1．（23-24八年级·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是______． 【答案】二、四 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 函数的图像经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 变式2．分别画出函数和的图象． 【答案】见详解 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】根据五点作图法可直接画出函数图形． 【详解】解：函数的图象如图所示： 函数的图象如图所示： 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【题型二】已知双曲线分布的象限，求参数范围 例2．（2023八年级·上海·专题练习）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 变式1．（23-24八年级·上海·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数的性质得k-3＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得k-3＜0， 解得k＜3． 故答案是：k＜3． 【点睛】考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 变式2．已知反比例函数（为常数，且） (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求反比例函数解析式、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】（1）根据反比例函数的增减性即可求出的取值范围； （2）用待定系数法即可求出的值． 【详解】（1）∵图象的每一个分支上，随增大而减小， ∴ 解得： （2）把代入 中， ∴， 解得：， 【点睛】此题考查了反比例函数图象的性质和待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【题型三】判断反比例函数的增减性 例3．（22-23八年级·上海嘉定·期中）如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】先根据题意确定反比例函数图像所在象限，并确定每个象限内图像的增减性，再利用，判断出每个点所在象限，进而得出结论． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图像在二、四象限，并且在每个象限内y随x的增大而增大， ， A、B两点在第四象限，C在第二象限， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的增减性，解题的关键是掌握反比例函数图像所在象限，并且在每个象限内的增减性． 变式1．（24-25八年级·上海杨浦·期中）若反比例函数图像上有、、三点，则从小到大排列______． 【答案】 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】根据题意，得，判定函数图象在每个象限内，y随x的增大而减小，且横坐标、纵坐标同号，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据得， ∴函数图象在每个象限内，y随x的增大而减小，且横坐标、纵坐标同号， ∵反比例函数图像上有、、三点， ∴，， ∴从小到大排列为：， 故答案：． 【题型四】判断反比例函数图象所在象限 例4．（23-24八年级·上海·期中）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象、判断反比例函数图象所在象限 【分析】先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限即可解答． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴双曲线在第二、四象限，函数y＝kx的图象经过第二、四象限， ∴B选项满足题意 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，掌握k对正比例函数和反比例函数图象的影响成为解答本题的关键． 变式1．（24-25八年级·上海·寒假作业）反比例函数（其中的图象在第___________象限． 【答案】二 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据反比例函数的性质和的取值范围为，即可得到该函数的图象在哪个象限．本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【详解】解：反比例函数（其中， 该函数的图象在第二象限， 故答案为：二 变式2．已知一个反比例函数的图象经过点． （1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？ （2）点，，是否在这个函数的图象上？为什么？ 【答案】（1）函数的图象位于第二、第四象限，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；（2）点B和点C在函数的图象上，因为它们的坐标都满足函数解析式；点D不在这个函数的图象上，因为它的坐标不满足函数解析式． 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】（1）设函数关系式为，把点代入即可求出解析式，根据反比例函数的性质得出图象分布的象限；根据反比例函数的性质得出增减性； （2）根据反比例函数的特点可得出，再判断点，点和点是否在反比例函数的图象上． 【详解】解：（1）设函数关系式为， 反比例函数的图象过点， ， ， 这个反比例函数图象分布在第二、四象限；在图象的每一支上，随的增大而增大； （2）∵可化为 又∵，，， ∴点B和点C在函数的图象上，因为它们的坐标都满足函数解析式；点D不在这个函数的图象上，因为它的坐标不满足函数解析式． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【题型五】已知反比例函数的增减性求参数 例5．（2024·上海徐汇·模拟预测）已知A(1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据已知得，从而得出的取值范围． 【详解】解：点，两点在双曲线上，且， ， ， 的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 变式1．（25-26八年级下·上海·月考）函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】对于反比例函数（，为常数），当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得：． 变式2．（23-24八年级·上海静安·课后作业）已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数解析式 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定，进而可得k的取值范围． 【详解】（1）1）把点（k，—1）代入，得， ∴． （2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【题型六】比较反比例函数值或自变量的大小 例6．（24-25八年级·上海·月考）已知反比例函数的图像上有两点，，且，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与之间的大小关系不能确定 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据题意无法确定，这两点的位置，故无法比较对应的函数值大小，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大， 当位于第二象限，位于第四象限时，，则； 当，这两点位于同一象限时，，则； 由于，这两点的位置，故由无法判断与之间的大小关系， 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）若，是一次函数的图象上的不同的两点，如果，那么__________0．(填“>”，“=”“﹤”) 【答案】> 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合 即，可得出 即)． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又，是一次函数图象上的不同的两点，， ， ， ． 故答案为：． 变式2．如图是反比例函数的图像的一支，根据图像回答下列问题： (1)图像的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2)在这个函数图像的任取点A（x1,y1）和点B（x2,y2），若x1>x2，则y1和y2的大小关系如何？ 【答案】(1)另一支位于第三象限， (2)当x1＞x2>0或0>x1＞x2时，y1＜y2；当x1＞0>x2，y1>y2 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】（1）根据图像的对称性即可得； （2）根据图像的性质，分情况讨论：①当x1＞x2>0或0>x1＞x2，②当x1＞0>x2，即可得． 【详解】（1）解：由图像在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限， ∵图像在第一、三象限， ∴m﹣5＞0，解得m＞5； （2）解：①当x1＞x2>0或0>x1＞x2时，y1＜y2， ②当x1＞0>x2，y1>y2， 综上，当x1＞x2>0或0>x1＞x2时，y1＜y2，当x1＞0>x2，y1>y2． 【点睛】本题考查了函数的图像，解题的关键是掌握函数的图像． 【题型七】求反比例函数解析式 例7．已知点在反比例函数的图象上，则这个函数图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据反比例数的性质，求得，进而即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ A. ，不符合题意，     B. ，符合题意，     C. ，不符合题意，     D. ，不符合题意， 故选B 【点睛】本题考查了反比例数的性质，求得反比例函数系数是解题的关键． 变式1．（23-24八年级下·上海虹口·期中）已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为3和2．若反比例函数图象经过点P，则该反比例函数的解析式为______． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】直接利用已知得出P点坐标，再利用反比例函数解析式求法得出答案． 【详解】解：∵点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为3和2， ∴P点坐标为：（-3，-2）或（-2，-3）， 设反比例函数的解析式为 ∴ 则该反比例函数的解析式为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及点的坐标特点，正确得出P点坐标是解题关键． 变式2．（25-26八年级下·上海·月考）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时， (1)求关于的函数表达式； (2)若点在这个函数图像上，求的值 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】（1）与成反比例，可设，与成正比例，可把看成一个整体，设，利用待定系数法即可求解； （2）把代入解析式解答即可． 【详解】（1）解：设，，则， 当时，；当时， 可得， 解得：． ； （2）解： 【题型八】已知比例系数求特殊图形的面积 例8．（24-25八年级·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，则四边形是矩形，设点，其中，依题意得点，则，由此解出，进而得点，点，然后再分别求出，，，由此可得的面积． 【详解】解：过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，如图所示： ， ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴设点A的坐标为，其中， 又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点，点， ， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 故选：． 变式1．（24-25八年级·上海·月考）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出． 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、， ∴， ， ， ∴ ． 故答案为：． 变式2．如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)7 【知识点】求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 双曲线的解析式为； （2）解：连接，设与y轴交于点D， 四边形为平行四边形，点C在x轴上， 轴， 点A和点B分别在双曲线和上， ，， ， ． 【题型九】根据图形面积求比例系数（解析式） 例9．如图，反比例函数的图象上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，的面积为6，则k的值为（    ） A． B．12 C．6 D． 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设P的坐标是（m，n），则mn=k，PA=-n，△ABP中，AP边上的高是|m|=m，根据△PAB的面积即可求解． 【详解】解：设P的坐标是（m，n），则mn=k， PA=-n，△ABP中，AP边上的高是m， ∵△PAB的面积为6， ∴m(-n)=6， ∴， ∴k=mn=-12． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 变式1．（24-25八年级·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为_________． 【答案】或 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义的运用．计算求得或，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到k的值． 【详解】解：连接， ∵直线将面积分成的两部分， ∴点D是线段的三等分点， 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 故答案为：或． 变式2．（23-24八年级·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【题型十】一次函数与反比例函数图象综合判断 例10．（25-26八年级下·上海·月考）函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】分两种情况讨论直线和双曲线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一，三象限，函数位于第一，三象限，则（2）符合题意； 当时，函数经过第二，四象限，函数位于第二，四象限，则（4）符合题意， 所以函数与在同一坐标平面的大致图象是（2）和（4）． 变式1．（23-24八年级·上海·期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________ 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】先运用待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质列方程求出自变量x的取值范即可． 【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象都经过点，即正比例函数为 反比例函数为 当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即＞，解得或． 故答案是或． 【点睛】主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，正确求出它们的解析式成为解答本题的关键． 变式2．（24-25八年级·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求上述正比例函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，写出的取值范围． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) 【知识点】求反比例函数解析式、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识，并数形结合． （1）分别代入和 中，求出、，即可求解； （2）根据图像求解即可． 【详解】（1）解：分别代入和 中， 得到：，， 解得：，， 正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）由图可知，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，． 【题型十一】一次函数与反比例函数的交点问题 例11．（24-25八年级下·上海·月考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 本题先把点代入，求得，然后观察函数图象即可求解； 【详解】解：把代入，解得：， ∴， 观察函数图象得到当时，， 由题意可得：， ∴不等式的解集为； 故选：D； 例12．（25-26八年级·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则___________． 【答案】256 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的交点性质及代数式化简求值，解题的关键是利用交点的对称性和反比例函数的性质进行推导． 先根据正比例函数与反比例函数的对称性得出，再结合反比例函数的性质，对代数式进行化简求值． 【详解】解：设正比例函数的解析式为，将其与双曲线联立，可得，整理得， 由于正比例函数与双曲线的交点关于原点对称，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 将代入，可得 原式 ， 把代入上式，可得， 故答案为：256． 变式1．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求m的值和反比例函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出的值和函数解析式即可； （2）图象法确定x的取值范围即可． 【详解】（1）∵一次函数与反比例函数相交于点，， ∴，， 解得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）点在上， ∴，解得． ∴， 观察图象可得，当时，x的取值范围为或． 变式2．（22-23八年级·上海普陀·期中）已知反比例函数（为常数，）． (1)其图像与正比例函数的图像的一个交点为，若点的纵坐标是2，求的值； (2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点； (3)已知点和，点在反比例函数的图像上，若三角形的面积为6，求点的坐标． (4)直接写出当正比例函数大于反比例函数时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)， 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据点的纵坐标是2，代入正比例函数解出y，将x，y代入反比例函数即可得到答案； （2）联立两个函数解方程即可得到答案； （3）设点C的坐标为根据点到坐标轴距离直接代入求解即可得到答案； （4）根据交点直接可得到答案． 【详解】（1）解：当 ，， 将，代入反比例函数得， ， 解得； （2）由（1）得， ， 联立正比例函数与反比例函数可得， ， 解得：或， ∴； （3）解：设点C的坐标为，由题意可得， ， 解得：或， 当时， ， 当时，， ∴点C的坐标为：或； （4）解：由题意可得， ，在及上都是随x增大而减小， 随x增大而增大， ∴，函数大于反比例函数． 【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数图像共存问题，解题的关键是先利用一个交点求出反比例函数的解析式，再根据交点判断不等式的解． 【题型十二】一次函数与反比例函数的其他综合应用 例13．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（　　）    A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】连接，根据图象先证明与的面积相等，再根据题意分别计算出与的面积即可得的面积． 【详解】解：连接，设与y轴交于点D，如图，    ∵反比例函数与函数的图象为中心对称图形， ∴O为的中点， ∴， ∵由题意得A点在上，B点在上， ∴，； ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解； 【详解】函数与的图象交于点 故答案为：． 变式2．（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解； （2）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：设点， ∵点是的中点，， ∴， 解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）设点D的坐标为， ∵点， ∴，， ， 由题意知，则分两种情况讨论： ①当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； ②当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，与重合，故舍去， ∴点D的坐标为． 综上所述：点D的坐标为或． 【题型十三】反比例函数与几何综合 例14．（25-26八年级下·上海·月考）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】把点代入和可求出、的值，即可得到正比例函数和反比例函数的解析式，过点作轴交于点，结合点的坐标即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ，， ，， 正比例函数为，反比例函数为：， 如图，过点作轴交于点， 点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3， ， ， 点的纵坐标为， 可得， 解得， ， ． ． 变式1．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、反比例函数与几何综合 【分析】根据题意过点作轴于，设，则，进而，代入反比例函数解析式，求出，进而可求出的坐标，同样方法依次求出，的坐标，找出规律，继而求出本题答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ，，，，都是一边在轴上的等边三角形， 设，则， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 以此类推可得：， ． 【题型十四】实际问题与反比例函数 例15．（24-25八年级·上海·单元测试）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径，高线长，则h关于r的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据题意有：，即；故与之间的函数图象为反比例函数，且根据，实际意义得，应大于0，其图象在第一象限．即可得出结果．考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 【详解】解：， ． 故选：B． 变式1．在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S(平方千米)与其种群密度a(只/平方千米)近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25 只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定(无迁入迁出)，当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a =______只/平方千米． 【答案】100 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题关键在于熟练掌握其相关知识点，设函数表达式为，当时， ，即可求解． 【详解】解：设函数表达式为，当时， ， ∴， ∴当时， ∴ 故答案为：100． 变式2．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数关系， (3)12千克 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，连线即可作图得解； （2）依据题意可得，函数是反比例函数图象，从而可设，又图象过，求出，进而可以判断得解； （3）依据题意， 8分钟内将货物运送至2400米，从而（米/秒），故可得此时机器狗能承载的最大货物重量（千克），即可得解． 【详解】（1）解：由题意，连线作图如下． （2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系， ∴可设， 又∵图象过， ∴． ∴， 代入上式，均符合． ∴函数关系式为． （3）解：由题意，∵8分钟内将货物运送至2400米， ∴（米/秒）． ∴此时机器狗能承载的最大货物重量（千克）． 答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克． 【题型十五】一次函数与反比例函数的实际应用 例16．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 变式1．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【答案】12 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 一、单选题 1．若反比例函数的图象经过点，则该函数图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 【答案】D 【分析】先求出k，然后根据反比例函数的图象特征即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴k=（-2）×（-3）=6＞0 ∴该函数图像位于第一、三象限． 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象，对于反比例函数，当k＞0，函数图象在一、三象限；当k＜0，函数图象在二、四象限． 2．若、、三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数解析式得到反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵、、三点都在函数的图象上，， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，熟知对于反比例函数，当时，反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大是解题的关键． 3．双曲线与直线相交于两点，其中一个交点为，当时，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】将交点为代入和得：和，求出另一交点坐标，根据一次函数和反比例函数的性质即可的答案． 【详解】解：将交点为代入和得： ，得，双曲线解析式为， ，得，直线为， 解得另一交点坐标， 如下图： 由一次函数和反比例函数的性质可知：当时，或， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的性质． 4．如图，与都是等边三角形，点B，依次在函数的图象上，点A，依次在x轴的负半轴上，若点B的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过作轴的垂线，垂足分别为，根据B的坐标求得，然后根据等边三角形的性质，设，则，利用在函数的图象上，求得的值，进而求得的坐标． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为， B的坐标是， ，, 与都是等边三角形， ，， 设，则， ， 在函数的图象上， ， 即， （负值舍去）， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，等边三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式，掌握以上知识是解题的关键． 5．如图，，是反比例函数图象上的两点，是反比例函数图象上一点，连接，，，若，恰好经过原点，与轴交于点，则k的值为（    ） A． B． C．－8 D．－10 【答案】C 【分析】先求得A点坐标，进而根据待定系数法求得直线AC、AB的解析式，进一步求得直线BC的解析式，与直线AB联立，解方程组求得B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得关于k的方程，解方程即可求得． 【详解】∵A(2，m)是反比例函数(x>0)图象上一点， ∴2m=-2，∴ m=-1， ∴A(2，-1)， ∵AC恰好经过原点， ∴直线AC为y=-x， 解 ，得 或 （舍去）， ∴C（，）， ∵AB与y轴交于点D(0，5)， ∴设直线AB的解析式为y=kx+5， 代入A的坐标得，-1=2k+5，解得k=-3， ∴直线AB为y=-3x+5， ∵∠BCA=90°， ∴设直线BC的解析式为y=2x+b 把C 代入得， 解得 b= ， ∴直线BC为y=2x+ ， 解 ，得 ， ∴B ， ∵B是反比例函数(x<0)图象上的点， ∴k=(1-)(2+)， 整理得， +8x+16=0， 解得=-8，=-2(不合题意，舍去)， 经检验为方程的根， ∴k=-8， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，表示出点的坐标是解题的关键． 6．若双曲线在第二、四象限，那么关于x的方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．条件不足，无法判断 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象性质，由双曲线在第二、四象限，得．再根据关于x的方程计算根的判别式，从而判断该方程根的情况． 【详解】解：∵双曲线在第二，四象限， ∴． ∵关于x的方程， ∴， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，一元二次方程根的判别式，正确理解相关概念，通过反比例函数图象性质得到m的取值范围，是解题的关键． 7．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点A，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，下列结论错误的是（    ） A．与的面积相等 B．当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点 C． D．只有当四边形OCPD为正方形时，四边形PAOB的面积最大 【答案】D 【分析】设，，根据反比例函数的性质，分别得，，，，通过计算即可得与的面积相等；设，根据反比例函数、坐标的性质计算，即可判断选项B和C；根据四边形PAOB的面积=四边形OCPD面积--的关系计算，推导得四边形PAOB的面积，即可完成求解． 【详解】设， 根据题意，得：，，，， ∴， ∴与的面积相等，即选项A正确； 设 ∵轴 ∴ ∵点A是PC的中点， ∴ ∴ ∴ ∵轴 ∴点的纵坐标为： ∴ ∴，即当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点，即选项B正确； ∵ ∵轴 ∴ ∵轴 ∴点的纵坐标为： ∴ ∴， ∴，即选项C正确； 根据题意，四边形PAOB的面积=四边形OCPD面积--=四边形OCPD面积-1； 四边形OCPD面积 ∴四边形PAOB的面积，即无论四边形OCPD是否为正方形，四边形PAOB的面积均为 ∴选项D不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，从而完成求解． 二、填空题 8．已知反比例函数，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象的性质，k>0时，，y随x的增大而减小，可知y的取值范围． 【详解】解：由反比例函数图象性质可知，在中，当时，y随x的增大而减小， ∵当x=1时，y=3， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数及其图像的性质，利用其性质求因变量的取值范围，掌握其在对应象限的增减性是考查的重点． 9．若点，在反比例函数的图象上，则a___________b（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：在反比例函数中，， 该函数的图象分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 点，在反比例函数的图象上，且都在第三象限，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用反比例函数的性质是解决本题的关键． 10．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，那么与的大小关系是___________（填“”，“”或“”）时． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质即可判定． 【详解】解：在反比例函数中， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用反比例函数的性质是解决本题的关键． 11．若点是反比例函数的图象上的一点，则此反比例函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】直接把是反比例函数即可解得． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得，． 故答案是：． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设正比例函数解析式为，然后把反比例函数图象上一个点的坐标代入求出k即可． 12．如图，已知点，，以为边的□（逆时针顺序）的顶点、分别在轴和反比例函数（）的图像上，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据点，，则□可以看作是由线段向左平移3个单位再向上平移3个单位到的位置得到，设，则，根据点在反比例函数的图像上，将点的坐标代入反比例函数解析式即得． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴□可以看作：将线段向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到，再连接，即可， ∴线段与对应，点与点对应，点与点对应， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，反比例函数图像上点的坐标的意义．平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应角相等．解题的关键是利用平移的性质确定点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系的轴的正半轴上取点，以为边作等边，点在第一象限内，把绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在反比例函数在第四象限的图象上，则点的坐标是________．    【答案】， 【分析】作于，由等边三角形的性质得出，即可得出，，由题意可知，则设点的坐标为，由点恰好落在反比例函数在第四象限的图象上，即可得到，利用勾股定理即可求得，即可得到点的坐标． 【详解】解：作于， 是等边三角形， ， ，， 由题意可知， 设点的坐标为， 点恰好落在反比例函数在第四象限的图象上， ， ， ， ， ，， 故答案为：，．    【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理等，求得等边三角形的边长是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于 A，B，x 轴的正半轴上有一点 C使得∠ACB＝90°，若△OCD 的面积为 25，则 k 的值为_________． 【答案】48 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，设点， 则点，OE=a，，根据题意可得点，OA=OB，再由直角三角形的性质可得OC=OA=OB=，从而得到点 ，再求出直线BC的解析式为，从而得到，再由△OCD 的面积为 25，可得到，即可求解． 【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E， 设点， 则点，OE=a，， ∴， ∵反比例函数与直线交于 A，B， ∴点，OA=OB， ∵∠ACB=90°， ∴OC=OA=OB=， ∴点 ， 设直线BC的解析式为， 把点， 代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 当x=0时，， ∴点， ∴， ∵△OCD 的面积为 25， ∴，解得：或（舍去）， ∴点， 把点代入反比例函数得：． 故答案为：48 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数和正比例函数的图象和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 15．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，，则反比例函数的表达式为_________． 【答案】 【分析】过点C作平行于x轴，延长交于点D，设，那么，，因为，所以，即可得到反比例函数的表达式． 【详解】过点C作平行于x轴，延长交于点D，如图所示： 设，那么，，因为，所以， 那么，即，所以反比例函数的表达式， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的综合内容，设适当的未知数列出面积的式子是解题的关键． 16．如图，点，在反比例函数的图象上，过点，作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，若，的面积为，则的值为____． 【答案】 【分析】设的长度为a，利用反比例函数解析式表示出的长度，再求出的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下k，然后计算即可得解． 【详解】解：设， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故答案为：4 【点睛】本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用的长度表示出、的长度，相乘恰好只剩下k是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题． 17．如图，在中，在x轴上，，反比例函数与，分别交于点D，E，连接，，若，，则k的值为______． 【答案】 【分析】连接，作交x轴于点F，设，根据题意得出，确定，，再由三角形面积得出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，作交x轴于点F， 设， ∵， ∴， ，， ∵， ∴． 18．如图，点、在反比例函数的图像上，连接、，以、为边作平行四边形．若点恰好落在反比例函数的图像上，则______． 【答案】 【分析】如图所示，过点B作轴于B，过点C作轴于E，连接，设点C的坐标为，点B的坐标为，利用平行四边形对角线中点坐标相同求出点A的坐标为，再根据点A在反比例函数上，推出，根据求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于B，过点C作轴于E，连接， 设点C的坐标为，点B的坐标为， ∴中点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴与的中点坐标相同， ∴点A的坐标为， 又∵点A在反比例函数上， ∴， ∴， ∴（正值不合题意已舍）， ∴ ， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 19．为预防疾病传播，某小区业主对自己的家庭进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例；燃烧完，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为，根据以上信息解答下列问题： (1)直接写出药物燃烧阶段y关于x的正比例函数表达式和药物燃烧完y关于x的反比例函数表达式．（需要写出各函数的自变量取值范围） (2)当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方才无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间业主才可以回家？ 【答案】(1)； (2)从消毒开始，经过业主才可以回家 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出药物燃烧后，时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为， ∴， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为； 设药物燃烧后y关于x的函数表达式为， ∴， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ∴从消毒开始，经过业主才可以回家． 20．如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)观察图像，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，． (2)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）将点代入双曲线，求出的值，得出双曲线的函数解析式．将代入所得解析式求出m的值，再用待定系数法求出和b的值，从而得出直线的函数解析式． （2）根据A、B点的横坐标结合图像位置关系即可进行解答． 【详解】（1）解：双曲线经过点， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为：． ∵点也在， ∴， ∴，则 又∵点，点在直线上， ∴ 解得：，， ∴直线的解析式为：． （2）解：根据图像，可以看出： 当B点到O点之间，直线在双曲线上方，即， 此时：， 当直线在A点右面时，直线在双曲线上方，即， 此时：． 综上：或． 21．反比例函数， 的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作轴，分别与、交于A、B两点． (1)当时，求； (2)延长到点D，使得，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）当时，利用k的几何意义即可得； （2）设P，分两种情况：①当时，②当时，可得y＝． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵A在的图象上， ∴， ∴， 答：； （2）解：设P，则A，B， ∴， ①当时，， ∴， ∴D， 设，，则， ∴，即点D所形成的函数图象的表达式为； ②当时，， 同理可得， 综上所述，点D所形成的函数图象的表达式为． 【点睛】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是分类思想的应用． 22．近期，流感进入发病高峰期，某校为预防流感，对教室进行熏药消毒，测得药物燃烧后室内每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系如图所示，已知药物燃烧时，满足；药物燃烧后，y与x成反比例，现测得药物分钟燃毕，此时室内每立方米空气中的含药量为．请根据图中所提供的信息，解决下列问题： (1)求的值，并求当时，与的函数表达式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，则此次消毒是否有效？请计算说明． 【答案】(1) (2)有效，见解析 【分析】（1）直接利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把时分别代入两个解析式，求出自变量的值，再判断即可求出答案． 【详解】（1）解：把代入解析式，得， 解得； 设当时，与的函数表达式为， 把代入解析式，得， ∴当时，与的函数表达式为； （2）解：把代入得： ； 把代入得： ， 解得， ∵， ∴此次消毒有效． 【点睛】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，，直线与反比例函数的图象交于点A，与y轴分别交于点C． （1）求k的值； （2）点D与点О关于AB对称，连接AD，CD；证明：是直角三角形； （3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上，若，直接写出点E的坐标． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或（2，2）． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由点D与点O关于AB对称，得到D（4，0），再证明AD2+CD2=AC2，即可求解； （3）分点E在CD上方、点E在CD下方两种情况，利用同底等腰三角形面积相等，即可求解． 【详解】解：（1）令AB=BO=m， ∵∠ABO=90°， ∴AB⊥x轴，则设点A的坐标为（m，m）， ∵抛物线过点A， ∴， 解得：m=2或m=-2（舍）， ∵点A（2，2）在一次函数的图像上， ∴，解得； （2）证明： 由（1）可知B（2，0），AB=2， ∵AB⊥BO，点D与点O关于AB对称， ∴D（4，0），BD=2， ∴AD2=AB2+BD2=22+22=8， 过点A作AF⊥y轴，垂足为F，则点F（0，2），AF=2， ∵直线y=3x-4与y轴交于点C， ∴C（0，-4）则CE=6， ∴AC2=AF2+CF2=22+62=40， ∵∠OCD=90°，OD=4，OC=4， ∴CD2=OD2+OC2=42+42=32， ∵8+32=40， ∴AD2+CD2=AC2， ∴△ACD是直角三角形； （3）解：①当点E在CD上方时，如下图， 过点O、A作直线m， 由点O、A的坐标知，直线OA的表达式为y=x， 由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为y=x-4， 则直线CD∥m，即OA∥CD， ∵S△ECD=S△OCD，即两个三角形同底， 则点E与点A重合， 故点E的坐标为（2，2）； ②当点E（E′）在CD下方时， 在y轴负半轴取CH=OC=4，则点H（0，-8）， ∵则S△ECD=S△OCD， ∴过点H作直线m′∥CD，则直线m′与反比例函数的交点即为点E， ∴直线m′的表达式为y=x-8， 联立y=x-8和并解得（不合题意值已舍去）， 故点E的坐标为， 综上，点E的坐标为或（2，2）． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的逆定理、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 24．我们已经学习了正比例函数和反比例函数的图象和性质，下面，我们研究函数的图象和性质，我们不妨特殊化，设，，即． (1)函数的自变量的取值范围是 ；图象在第 象限； (2)阅读材料：当时，．当时，即，有最小值是2．请仿照上述过程，求出当时，的最大值； (3)某隧道长，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长，相邻两车的距离与车速的关系式为，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值． 【答案】(1)；一、三 (2)时，有最大值 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，通过求自变量的取值范围，函数图象探究函数的基本性质，继而考查函数的应用，解题的关键是准确理解函数的图象特点，灵活使用函数性质． （1）依据题意，借助分式分母不能为零求解，然后根据横纵坐标符号，可判断象限； （2）依据题意，将代入表达式仿照时即可得解； （3）依据题意，车队行驶的路程为，速度是，时间，列出解析式求最值． 【详解】（1）解：函数，根据分式分母不能为零得，； 当时，，点在第一象限； 当时，．点在第三象限， 故答案为：；一、三． （2）解：由题意，当时，， ， 当，即时，有最大值． （3）解：由题意，每辆车长，相邻两车的距离，从第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道车队走过路程为， ， ， ， 由题意知，当时，有最小值，此时解得， 的最小值为． 25．小嘉同学结合反比例函数的学习经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完成： (1)如表是y与x的几组对应值，请直接写出m，n的值； x … 0 1 m 2.5 3 4 5 6 … y … n 1 … (2)如图在平面直角坐标系中，小嘉已画出函数的部分图象，请结合以上表格中的对应值，补画时函数的图象，并写出这个函数的性质或结论（一条即可）；    (3)若一次函数的图象与函数的图象恰有一个交点，求k的值． 【答案】(1)；； (2)补画见解析；当时，y随x的增大而减少； (3)k的值为或． 【分析】（1）代入数据求解即可； （2）描点，连线，根据图象写出这个函数的性质即可； （3）联立，，得到，利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：当时，，解得； 经检验，是原方程的要根，且符合题意； 当时，； （2）解：描点，连线，函数图象如图所示，    观察此函数图象，可得函数性质：当时，y随x的增大而减少； （3）解：联立， 整理得， 由题意得， 整理得， 解得或， 若一次函数的图象与函数的图象恰有一个交点，k的值为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及函数图象，根据给定数据描点、连线画出函数图象是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $