第10讲 一次函数（知识详解+17典例分析+习题巩固）2025-2026学年（沪教版五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 一次函数（知识详解+17典例分析+习题巩固） 【知识点01】一次函数的概念 1. 定义 一般地，形如 （、 是常数，）的函数，叫做一次函数。 自变量 的次数是 1。 系数 不为 0（若 ，则 为常值函数，不属于一次函数）。 表达式右边是关于 的一次整式。 2. 正比例函数（特殊的一次函数） 当 时，一次函数 变为 （），叫做正比例函数。 正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数。 3. 自变量取值范围 一般情况下，一次函数自变量 的取值范围是全体实数。 实际问题中，取值范围需结合实际意义确定（如非负数、整数等）。 【知识点02】一次函数的图像与画法 1. 图像形状 一次函数 （）的图像是一条直线，也称为“直线 ”。 正比例函数 的图像是经过原点的一条直线。 2. 简易画法（两点法） 选取直线与坐标轴的两个交点，连线即可： （1）与 轴交点： （2）与 轴交点： 【知识点03】一次函数的性质（由 k、b 决定） 1. 系数 的作用（斜率） 增减性： ：直线上升， 随 增大而增大。 ：直线下降， 随 增大而减小。 倾斜程度： 越大，直线越陡峭； 越小，直线越平缓。 2. 系数 的作用（截距） 决定直线与 轴的交点 ： ：交 轴正半轴； ：过原点（正比例函数）； ：交 轴负半轴。 3.图像经过的象限（总结） 一次函数的图象和性质如下表: 一次函数 y=kx+b(k≠0) k ，b 的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 性质 y 的值随着 x 值的增大而增大 y 的值随着 x 值的增大而减小 与 y 轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 【知识点04】待定系数法求一次函数解析式 1. 适用条件 已知函数图像上两个点的坐标，或已知一组 、 的对应值。 2. 一般步骤 设：设函数解析式为 （）。 代：将两点坐标 、 代入解析式，得到二元一次方程组。 解：解方程组，求出 、 的值。 写：将 、 代回，写出函数解析式。 3. 正比例函数特例 已知一个点坐标即可，设 ，代入求解 。 【知识点05】一次函数与方程、不等式的关系 1. 与一元一次方程 方程 的解，就是直线 与 轴交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式 的解集 直线在 轴上方部分对应的 取值范围。 的解集 直线在 轴下方部分对应的 取值范围。 3. 与二元一次方程组 两个一次函数 与 的交点坐标，就是对应方程组 的解。 【题型一】识别一次函数 例1．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海金山·月考）下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 变式2．以下函数中y是x的一次函数的有_________个． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【题型二】根据一次函数的定义求参数 例2．（24-25八年级下·上海·期中）若是一次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 例3．（24-25八年级下·上海虹口·期末）直线的截距是___________． 变式1．（23-24八年级下·上海宝山·月考）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如果函数(其中是常数)是一次函数，那么的取值范围是_________． 【题型三】求一次函数自变量 例4．（24-25八年级下·上海·月考）在直线上，到坐标轴的距离为个单位的点有（      ） A． B． C． D． 例5．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像经过点，那么m的值是_________． 变式1．（24-25八年级下·上海金山·月考）已知函数，当时，的取值范围是______． 变式2．定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：正比例函数，它的相关函数为 (1)已知点在正比例函数的相关函数的图象上，则m的值为______； (2)已知正比例函数 ①这个函数的相关函数为______； ②若点在这个函数的相关函数的图象上，求n的值． 【题型四】求一次函数解析式 例6．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过点和点，其中，则应满足（   ） A． B． C． D． 例7．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）在一次函数中，当时，，则_______． 变式1．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）一次函数的图像经过点，则m的值为_____． 变式2．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【题型五】判断一次函数的图象 例8．函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 例9．无论k为何值，直线必过定点_______． 变式1．（23-24八年级下·上海·期中）如图，当取何值时，函数的图象在第三象限（   ） A． B． C． D． 变式2．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【题型六】根据一次函数解析式判断其经过的象限 例10．（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）当时，直线的图像经过（   ） A．一、二、三象限； B．一、三、四象限； C．二、三、四象限； D．一、二、四象限． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）如果，是一次函数图象上不同的两点，对于任意的A，B两点都有，且，则函数图像经过第_______象限． 【题型七】已知函数经过的象限求参数范围 例11．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）如果直线经过第二、三、四象限，那么常数b的取值范围是______． 变式1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）函数的图象不经过第一象限，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线的图象经过第一、二、四象限．且过点，那么的解集为_______． 变式3．（24-25八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 【题型八】一次函数图象与坐标轴的交点问题 例13．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）一次函数在轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D．3 例14．（25-26八年级下·上海·月考）直线在轴上的截距是_____． 例15．（24-25八年级下·上海松江·月考）已知一次函数的图象过点和，求函数解析式；并求图象与坐标轴的交点坐标． 变式1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）一次函数的图像与轴的交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·上海·月考）已知直线与直线，如果满足，那么直线与直线称为“互为交换直线”，如果直线与其交换直线分别与轴交于点，且，那么_____． 变式3．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知直线与轴、轴分别相交于点、，且点的坐标为． (1)求值； (2)若点是线段上的一点，的面积为2，求点的坐标． 【题型九】一次函数图象平移问题 例16．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线与直线平行，则的值是（    ） A．3或 B．3 C． D．2 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）如果把直线沿轴向上平移3个单位，那么平移后的表达式为_____ 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线和双曲线，把直线向左平行移动5个单位． (1)求平移后所得的直线的函数解析式． (2)平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由． 【题型十】判断一次函数的增减性 例17．（2025八年级下·上海·专题练习）已知函数，当自变量的取值范围为，的最大值为 _______． 变式1．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如果一次函数的图像经过点，且函数值随自变量的值增大而减小，那么点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而___________． 【题型十一】根据一次函数增减性求参数 例18．（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例19．（24-25八年级下·上海·期中）在一次函数中，随的增大而增大，的取值范围是________． 变式1．（23-24八年级下·上海金山·月考）若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数的图像经过点和点． (1)若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是_____． (2)在轴上有一点，且，求点的坐标． 【题型十二】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 例20．（23-24八年级下·上海闵行·月考）已知直线经过两点）和，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 变式1．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）点，是一次函数图象上的两个点．则______0． 变式2．已知关于x的一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围． 【题型十三】比较一次函数值的大小 例21．（24-25八年级下·上海·期中）已知点，都在直线上，则大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 变式1．（24-25八年级下·上海虹口·期末）已知直线经过点，那么___________（填“<”、“>”或“=”）． 变式2．（24-25八年级下·上海·期中）已知点，在一次函数（为常数）的图像上，那么______（填“>”，“<”号）． 【题型十四】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例22．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 例23．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 变式1．（24-25八年级下·上海松江·期末）如果一次函数的图像与轴交于点，那么时，的取值范围是___________． 变式2．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知一次函数的图像经过点，且与直线都经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当的函数值大于的函数值时，求x的取值范围． 【题型十五】根据两条直线的交点求不等式的解集 例24．（25-26八年级下·上海·月考）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 变式1．如图，直线经过两点，则不等式的解集为__________． 变式2．（2023八年级下·上海·专题练习）如图已知函数和的图像交于点P（－2，－5），根据图像，求不等式的解集． 【题型十六】两直线的交点与二元一次方程组的解 例25．（2025八年级上·上海·专题练习）直线与的交点坐标是（） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）一次函数和相交于一点，该点的坐标为___________． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线和直线．求： (1)这两条直线的交点A的坐标； (2)这两条直线与x轴所围成的三角形的面积． 【题型十七】求直线围成的图形面积 例26．（24-25八年级下·上海·期中）如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为_____． 例27．（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知：直线与直线交于点C，直线与轴交于点A，直线与轴交于点，点在直线上，且，求点坐标． 变式1．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则的值为_________． 变式2．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交x轴，y轴于点A，B． (1)求正比例函数、一次函数的解析式； (2)求的面积． 一、单选题 1．若正比例函数的y值随x值的增大而增大，则a的值可以是（    ） A．4 B．2 C． D． 2．如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 3．一次函数的图象经过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 4．正比例函数的图象如图所示，则的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．对于函数，下列说法正确的是（ ） A．它的图象过点 B．值随着值增大而减小 C．它的图象经过第二象限 D．与y轴交点坐标为 6．已知点和点在一次函数的图象上，且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 7．有下列说法：①的算术平方根是9；②点在轴上且到轴的距离为5； ③在中，若，则是直角三角形； ④对于一次函数，的值随着的值增大而增大． 其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．若把一次函数，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是_________． 9．在函数的自变量中任意取两个点，，若，则对应的函数值y与y的大小关系是___． 10．表1和表2分别给出了两条直线：与上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值： 表1： x 0 1 2 y 1 3 5 表2： x 0 1 2 y 5 4 3 2 则方程组：的解为______． 11．如图，将置于第一象限内，一次函数的图象经过中点，将沿射线平移，当点的对应点与点M重合时，则点A的对应点坐标为___________． 12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则直线不经过第_________．象限． 13．关于的一次函数的图像在轴上的截距为正实数，则的范围是______． 14．直线与的交点坐标是_____． 15．如图，在直角坐标系中，点M、N的坐标如图所示，点P是y轴上的一个动点，当最大时，点P的坐标是__________． 16．已知函数（a为常数），当时，y的最小值为5，则a的值为________． 17．如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后的反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是_______． 18．如图，已知点，，……，在函数位于第一象限的图像上，点，，……，在轴的正半轴上，且轴，，轴，……，，若，则的长为________．（用含有的代数式表示）    三、解答题 19．已知y是x的正比例函数，当时，，请求出y与x的函数关系式，并判断点是否在这个函数的图象上． 20．试说明点，，在同一条直线上． 21．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店销售某种儿童玩具，如果每件利润为元，每天可售出件．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每天可多销售件．设销售单价降价元，每天售出件． (1)请写出y与x之间的函数表达式； (2)当销售单价降低多少元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元？ 22．已知． (1)化简M； (2)若点P（a，b）在直线上，求M的值． 23．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点和点的坐标；并画出这个一次函数的图象； (2)点为直线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 24．某商店以20元/千克的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在一次函数关系，对应数值如下表所示． 销售单价x（元/千克） 25 35 销售量y（千克） 50 30 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？ (3)售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 一次函数（知识详解+17典例分析+习题巩固） 【知识点01】一次函数的概念 1. 定义 一般地，形如 （、 是常数，）的函数，叫做一次函数。 自变量 的次数是 1。 系数 不为 0（若 ，则 为常值函数，不属于一次函数）。 表达式右边是关于 的一次整式。 2. 正比例函数（特殊的一次函数） 当 时，一次函数 变为 （），叫做正比例函数。 正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数。 3. 自变量取值范围 一般情况下，一次函数自变量 的取值范围是全体实数。 实际问题中，取值范围需结合实际意义确定（如非负数、整数等）。 【知识点02】一次函数的图像与画法 1. 图像形状 一次函数 （）的图像是一条直线，也称为“直线 ”。 正比例函数 的图像是经过原点的一条直线。 2. 简易画法（两点法） 选取直线与坐标轴的两个交点，连线即可： （1）与 轴交点： （2）与 轴交点： 【知识点03】一次函数的性质（由 k、b 决定） 1. 系数 的作用（斜率） 增减性： ：直线上升， 随 增大而增大。 ：直线下降， 随 增大而减小。 倾斜程度： 越大，直线越陡峭； 越小，直线越平缓。 2. 系数 的作用（截距） 决定直线与 轴的交点 ： ：交 轴正半轴； ：过原点（正比例函数）； ：交 轴负半轴。 3.图像经过的象限（总结） 一次函数的图象和性质如下表: 一次函数 y=kx+b(k≠0) k ，b 的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 性质 y 的值随着 x 值的增大而增大 y 的值随着 x 值的增大而减小 与 y 轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 【知识点04】待定系数法求一次函数解析式 1. 适用条件 已知函数图像上两个点的坐标，或已知一组 、 的对应值。 2. 一般步骤 设：设函数解析式为 （）。 代：将两点坐标 、 代入解析式，得到二元一次方程组。 解：解方程组，求出 、 的值。 写：将 、 代回，写出函数解析式。 3. 正比例函数特例 已知一个点坐标即可，设 ，代入求解 。 【知识点05】一次函数与方程、不等式的关系 1. 与一元一次方程 方程 的解，就是直线 与 轴交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式 的解集 直线在 轴上方部分对应的 取值范围。 的解集 直线在 轴下方部分对应的 取值范围。 3. 与二元一次方程组 两个一次函数 与 的交点坐标，就是对应方程组 的解。 【题型一】识别一次函数 例1．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如，为常数，则是的一次函数，由一次函数的定义可得答案． 【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故符合题意； C、不是一次函数，故不符合题意； D、不是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·上海金山·月考）下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】识别一次函数 【分析】该题考查了一次函数的定义，形如为常数)的函数，叫一次函数．根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是常数函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； B.，不是一次函数，故本选项不符合题意； C.，不是一次函数，故本选项不符合题意； D.是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 变式2．以下函数中y是x的一次函数的有_________个． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】4 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义“一般地，形如（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数”进行解答即可得． 【详解】解：①，不是一次函数； ②，是一次函数； ③，不是一次函数； ④，是一次函数； ⑤，是一次函数； ⑥，是一次函数； 综上，②④⑤⑥是一次函数，有4个一次函数， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一次函数的识别，解题的关键是熟记一次函数的定义． 【题型二】根据一次函数的定义求参数 例2．（24-25八年级下·上海·期中）若是一次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，确定自变量的指数为，进而解方程求出m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得， 故选：C． 例3．（24-25八年级下·上海虹口·期末）直线的截距是___________． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质，解题关键是熟记截距的定义． 根据截距的定义：直线中，就是截距即可得解． 【详解】解：令，得， 直线的截距是． 故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·上海宝山·月考）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 变式2．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如果函数(其中是常数)是一次函数，那么的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查一次函数的定义；根据一次函数的定义得出，计算即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴ 解得：， 故答案为：． 【题型三】求一次函数自变量 例4．（24-25八年级下·上海·月考）在直线上，到坐标轴的距离为个单位的点有（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求点到坐标轴的距离 【分析】根据题意可分到轴的距离为和到轴的距离为，然后分类求解即可． 本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵到坐标轴的距离为个单位， ∴或， 当时，，即点； 当时，，即点； 当时，，即点； 当时，，即点； ∴到坐标轴的距离为个单位的点有或或，共个， 故选：． 例5．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像经过点，那么m的值是_________． 【答案】2 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】把代入运算求解即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：． 变式1．（24-25八年级下·上海金山·月考）已知函数，当时，的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、求一次函数自变量或函数值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式求解的步骤． 根据题意得出，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得，当时， 解得， 故答案为：． 变式2．定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：正比例函数，它的相关函数为 (1)已知点在正比例函数的相关函数的图象上，则m的值为______； (2)已知正比例函数 ①这个函数的相关函数为______； ②若点在这个函数的相关函数的图象上，求n的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）根据题意把点代入求解即可； （2）①根据相关函数的定义求解即可；②分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的相关函数的图象上，， ∴把点代入得，， 故答案为：； （2）解：①由题意可得，正比例函数的相关函数为， 故答案为：； ②∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 【题型四】求一次函数解析式 例6．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图像经过点和点，其中，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式 【分析】此题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图像经过两点的坐标，建立方程组求解k和b的关系，结合m的取值范围判断k和b的符号． 【详解】解：一次函数的图像经过点和点， ∴ 将代入方程得：， ∴ 又∵，故，即． 综上，且， 故选B． 例7．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）在一次函数中，当时，，则_______． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】把，代入解析式，进行求解即可. 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴. 变式1．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）一次函数的图像经过点，则m的值为_____． 【答案】1 【知识点】求一次函数解析式 【分析】将点代入函数表达式即可． 【详解】∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为：1． 变式2．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案； （2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 【题型五】判断一次函数的图象 例8．函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是数形结合． 依据正比例函数图象和一次函数的图象的特征判断即可． 【详解】解：若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数的图象与y轴交于负半轴，且从左往右上升，故A选项错误，B选项正确； 若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故D选项错误；而C选项不合题意． 故选：B． 例9．无论k为何值，直线必过定点_______． 【答案】 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据可化为，当时，，即可求出定点坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：直线， 当时，， ∴直线必过定点， 故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·上海·期中）如图，当取何值时，函数的图象在第三象限（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数图象得出答案即可． 【详解】解：根据函数图象可知：时，函数的图象在第三象限． 故选：D． 变式2．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【知识点】判断一次函数的图象、正比例函数的定义 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．也考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是本题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出，从而得到与的函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得，∴， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：不在． 理由如下：∵时，， ∴点不在函数的图象上． 【题型六】根据一次函数解析式判断其经过的象限 例10．（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】分两种情况分别确定两条直线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一，三象限，且经过原点，直线经过第一，三，四象限，无符合题意的选项； 当时，直线经过第二，四象限，且经过原点，直线经过第一，二，三象限，B符合题意． 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）当时，直线的图像经过（   ） A．一、二、三象限； B．一、三、四象限； C．二、三、四象限； D．一、二、四象限． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴直线经过一、三、四象限， 故选：． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）如果，是一次函数图象上不同的两点，对于任意的A，B两点都有，且，则函数图像经过第_______象限． 【答案】一、二、三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，找出，是解题的关键．利用一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，可得出，，再结合一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数的图象经过第一、二、三象限． 【详解】解：∵如果，是一次函数图象上不同的两点，对于任意的A、B两点都有， ∴与同号， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故答案为：一、二、三． 【题型七】已知函数经过的象限求参数范围 例11．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，在一次函数中，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第一、二、三象限， ∴， 故选：A． 例12．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）如果直线经过第二、三、四象限，那么常数b的取值范围是______． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 由一次函数图象经过第二、三、四象限得到图象与y轴交于负半轴，即可得到． 【详解】∵直线经过第二、三、四象限， ∴． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）函数的图象不经过第一象限，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质，注意用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象不经过第一象限，可知，即可求解． 【详解】∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴， 故选：D． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线的图象经过第一、二、四象限．且过点，那么的解集为_______． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：理解一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．运用一次函数的性质是解决本题的关键．先根据一次函数的性质画出函数图象，然后结合图象，写出一次函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：如图，当时，， 即当时x的取值范围是． 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的性质并正确的应用．依据题意，根据函数图象不经过第二象限，，，求得m的取值范围即可． 【详解】∵的图象不经过第二象限， ∴，且， ∴，且． ∴． 【题型八】一次函数图象与坐标轴的交点问题 例13．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）一次函数在轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出的值即可得解，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：当时，， ∴一次函数在轴上的截距是， 故选：A． 例14．（25-26八年级下·上海·月考）直线在轴上的截距是_____． 【答案】5 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】令时求出y值，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 所以直线在y轴上的截距是5． 例15．（24-25八年级下·上海松江·月考）已知一次函数的图象过点和，求函数解析式；并求图象与坐标轴的交点坐标． 【答案】；一次函数图象与轴的交点坐标为；一次函数图象与轴的交点坐标为 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的解析式、与坐标轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键．设一次函数解析式为，利用待定系数法即可得一次函数的解析式；再分别求出时，的值；时，的值，由此即可得． 【详解】解：设一次函数解析式为， 将点和代入得：， 解得， 所以一次函数的解析式为． 将代入得：，解得， 所以一次函数图象与轴的交点坐标为， 将代入得：， 所以一次函数图象与轴的交点坐标为． 变式1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）一次函数的图像与轴的交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了求一次函数与y轴的交点坐标，求出当时y的值即可得到答案． 【详解】解；在中，当时，， ∴一次函数的图像与轴的交点的坐标是， 故选：A． 变式2．（25-26八年级下·上海·月考）已知直线与直线，如果满足，那么直线与直线称为“互为交换直线”，如果直线与其交换直线分别与轴交于点，且，那么_____． 【答案】1或3 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】由新定义得直线的交换直线为直线，可得，，根据即可求解． 【详解】解：由题意得直线的交换直线为直线， 直线与其交换直线分别与轴交于点、， ，， ， ， 或3． 变式3．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知直线与轴、轴分别相交于点、，且点的坐标为． (1)求值； (2)若点是线段上的一点，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题关键是（1）利用待定系数法求出k值；（2）根据三角形的面积公式求出P点的纵坐标． （1）依据题意，将点E的坐标代入一次函数解析式中，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）依据题意，结合（1）中得k值可得出一次函数解析式，由点E的坐标可得出线段的长度，根据三角形的面积公式可求出点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入一次函数解析式中即可求出点P的横坐标，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，将点代入到中， ∴， ； （2）解：， ∴直线的解析式为：， ∵点E的坐标为， ∴， ， ， 当时，， ， ∴当的面积为2时，点P的坐标为． 【题型九】一次函数图象平移问题 例16．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线与直线平行，则的值是（    ） A．3或 B．3 C． D．2 【答案】C 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的值相等列式进行计算即可得解，熟记并利用平行直线的解析式的值相等是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 解得：或， 当时，两直线重合，舍去， 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·上海·月考）如果把直线沿轴向上平移3个单位，那么平移后的表达式为_____ 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数的图像变换，注意上下移动改变的是y，左右移动改变的是x，规律是上加下减，左加右减．根据上加下减，左加右减的法则可得出答案． 【详解】解：把直线沿轴向上平移3个单位，那么平移后的表达式为 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线和双曲线，把直线向左平行移动5个单位． (1)求平移后所得的直线的函数解析式． (2)平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由． 【答案】(1) (2)平移后所得的直线与已知双曲线相交，交点的坐标为和 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的平移，反比例函数与一次函数的交点问题，求得平移后的解析式是解题的关键． （1）根据“左加右减”的原则即可求得； （2）联立方程，解方程组即可求得． 【详解】（1）解∶ ∵直线向左平行移动5个单位， ∴平移后所得的直线的函数解析式为，即． （2）解：平移后所得的直线与已知双曲线相交，理由如下， 把代入，得，整理得， ， ∴平移后所得的直线与已知双曲线有两个交点， ， 当时，； 当时，， 交点坐标为和． 【题型十】判断一次函数的增减性 例17．（2025八年级下·上海·专题练习）已知函数，当自变量的取值范围为，的最大值为 _______． 【答案】23 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， 函数，随的增大而增大， ， 当时，的值最大，最大值为， 故答案为：23． 变式1．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如果一次函数的图像经过点，且函数值随自变量的值增大而减小，那么点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性是关键．根据选项的条件和一次函数的增减性依次进行分析即可． 【详解】解：A、当点的坐标为时，． 解得∶ 不随的变化而变化，选项A不符合题意； B、当点的坐标为时， 解得∶， 随的增大而增大，选项B不符合题意； C、当点的坐标为时，， 解得∶， 随的增大而增大， 选项C不符合题意； D、当点的坐标为时， 解得∶，随的增大而减小， 选项D符合题意． 所以选：D． 变式2．（24-25八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而___________． 【答案】增大 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据直线与y轴的正半轴相交可得，即可得出，再根据一次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：当时，， 即直线与y轴的交点为． ∵一次函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴一次函数的函数值y随着x的增大而增大． 故答案为：增大． 【题型十一】根据一次函数增减性求参数 例18．（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据随增大而减小的性质列不等式求解即可． 【详解】首先整理一次函数得 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得． 故选C． 例19．（24-25八年级下·上海·期中）在一次函数中，随的增大而增大，的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·上海金山·月考）若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是正确理解直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据一次函数图象的增减性来确定的符号即可． 【详解】解：一次函数的函数值随自变量的值增大而增大， ， 解得：， 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数的图像经过点和点． (1)若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是_____． (2)在轴上有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理． （1）先利用待定系数法，用m表示出k，b，再根据一次函数的性质得出，解不等式即可； （2）由已知，根据勾股定理得，即可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点和点， ∴， 解得， ∵一次函数的函数值随着的增大而增大， ∴， 解得， 即若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是， 故答案为：； （2）解：∵在轴上有一点，且， ∴在中，， ∵，，， ∴，，， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【题型十二】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 例20．（23-24八年级下·上海闵行·月考）已知直线经过两点）和，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质可以求得a与b的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵直线经过两点和，， ∴， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）点，是一次函数图象上的两个点．则______0． 【答案】 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的增减性，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵点，是一次函数图象上的两个点， ∴①当时，则：， ∴； ②当时，则：， ∴， 综上：； 故答案为：． 变式2．已知关于x的一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质． （1）根据一次函数的图象与性质可得，解该不等式组，再取整数解即可； （2）由（1）知，，当时，，当时，，根据y随x的增大而减小，进而可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小， ， 解得． 为整数， ． （2）由（1）知，，则该一次函数的解析式为． 当时，， 当时，， y随x的增大而减小， 当时，y的取值范围是． 【题型十三】比较一次函数值的大小 例21．（24-25八年级下·上海·期中）已知点，都在直线上，则大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 根据得到y随x的增大而减小，据此比较判断即可解答． 【详解】解：∵点，都在直线上，且， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·上海虹口·期末）已知直线经过点，那么___________（填“<”、“>”或“=”）． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解答的关键．根据得到函数y随x的增大而减小，进而求解即可． 【详解】解：∵在函数中，， ∴函数y随x的增大而减小， ∵直线经过点，， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·上海·期中）已知点，在一次函数（为常数）的图像上，那么______（填“>”，“<”号）． 【答案】< 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵直线中，， ∴此函数y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：<． 【题型十四】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例22．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，即， ∴由图象可知，关于x的不等式的解集是． 故选：A． 例23．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点，数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，直线与y轴的交点的纵坐标为1， 当时，函数值， ∴不等式的解集为． 变式1．（24-25八年级下·上海松江·期末）如果一次函数的图像与轴交于点，那么时，的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数的图像性质．先得到一次函数的增减性，再由的图像可确定的取值范围． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图像与轴交于点，那么时， ∴的取值范围是， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知一次函数的图像经过点，且与直线都经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当的函数值大于的函数值时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一元一次不等式的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键． （1）将代入得出，进而待定系数法求解析式，即可求解． （2）依题意，，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴， 将，代入， 得， 解得：， ∴； （2）解：依题意，， 解得：． 【题型十五】根据两条直线的交点求不等式的解集 例24．（25-26八年级下·上海·月考）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】先将不等式整理为，再根据直线在直线上方部分确定自变量取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴． 观察图像可知当时，， ∴当时， ， 所以不等式的解集是， 即不等式的解集是． 变式1．如图，直线经过两点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，注重数形结合，是解答本题的关键．先在坐标系中画出、的图象，再数形结合，找到在图象下方且在图象上方区域内，函数的自变量的范围，即可作答． 【详解】解：在坐标系中画出、的图象，如图， 直线经过两点，且过， 则结合图象可知：的解集为：， 故答案为：． 变式2．（2023八年级下·上海·专题练习）如图已知函数和的图像交于点P（－2，－5），根据图像，求不等式的解集． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案． 【详解】解：函数，的图象交于点， 则根据图象可得不等式的解集是， 答：不等式的解集为． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大． 【题型十六】两直线的交点与二元一次方程组的解 例25．（2025八年级上·上海·专题练习）直线与的交点坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查求一次函数与二元一次方程组的交点坐标，掌握知识点是解题的关键． 通过联立两个直线方程，解方程组求得交点坐标即可． 【详解】解：∵两条直线的交点坐标同时满足两个方程， ∴， 即， ∴． 将代入，得 ． ∴直线与的交点坐标为． 故选C． 变式1．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）一次函数和相交于一点，该点的坐标为___________． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了求出一次函数的交点坐标，解方程组，可得交点坐标． 【详解】解：联立， 解得：， ∴该点坐标为：． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线和直线．求： (1)这两条直线的交点A的坐标； (2)这两条直线与x轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的交点的问题，与坐标轴围成的三角形面积问题： （1）联立函数解析式，解方程组即可求解交点坐标； （2）分别求出两直线与轴交点坐标，即可确定三角形的底，再用面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴交点坐标； （2）解：对于，当时，，解得：， ∴直线与轴交于点； 对于，当时，，解得：， ∴直线与轴交于点， ∴两条直线与x轴所围成的三角形的面积为． 【题型十七】求直线围成的图形面积 例26．（24-25八年级下·上海·期中）如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为_____． 【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成图形的面积，掌握一次函数图象与坐标轴的交点的计算，图形面积的计算是关键．根据一次函数与坐标轴的交点得到当时，，当时，，结合图形面积的计算即可求解． 【详解】解：直线， 当时，，当时，， 直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 例27．（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知：直线与直线交于点C，直线与轴交于点A，直线与轴交于点，点在直线上，且，求点坐标． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的性质求出和，得出，设点坐标为，得到点到轴的距离为，再利用三角形的面积公式列出方程，解出的值即可求出点坐标． 【详解】解：令，则， 令，则， ，， ， 点在直线上， 设点坐标为， 点到轴的距离为， ， ， 解得：或， 当时，； 当时，； 点坐标为或． 变式1．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则的值为_________． 【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式结合三角形的面积，即可求出k值，此题得解． 【详解】解：依照题意，画出图象，如图所示． 当时，， ∴点B的坐标为； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为． ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 变式2．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交x轴，y轴于点A，B． (1)求正比例函数、一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)正比例函数，一次函数 (2)12 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴正比例函数； 将，代入得， 解得 ∴一次函数； （2）解：∵一次函数 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴的面积． 一、单选题 1．若正比例函数的y值随x值的增大而增大，则a的值可以是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数增减性，可解此题． 【详解】解：当一次函数的系数k大于0时，y值随x值的增大而增大， ， ， A选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 2．如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象找到直线的图象在直线下方时自变量的取值范围即可得到答案 【详解】解：由函数图象可知，当直线的图象在直线下方时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 3．一次函数的图象经过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，①当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限；②当时，函数的图象经过第一、二象限．当时，函数的图象经过第三、四象限． 根据的范围，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 4．正比例函数的图象如图所示，则的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象的判断，熟练掌握一次函数图象是解题关键． 首先根据正比例函数的图象，得出k的取值范围；再根据k的取值范围，判断，即可解答． 【详解】解：正比例函数的图象在第二、四象限， ， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选B． 5．对于函数，下列说法正确的是（ ） A．它的图象过点 B．值随着值增大而减小 C．它的图象经过第二象限 D．与y轴交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，当时，， ∴它的图象不经过点，故选项说法错误，不合题意； 、∵， ∴值随着值增大而增大，故选项说法错误，不合题意； 、∵，， ∴它的图象经过一、三、四象限，故选项说法错误，不合题意； 、当时，， ∴与y轴交点坐标为，故选项说法正确，符合题意； 故选：． 6．已知点和点在一次函数的图象上，且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的单调性；当，随的增大而增大；当，随的增大而减小，熟记一次函数的性质是解题关键．由，，知即可解答． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小， ∵，且点，点， ∴， ∴的值可能为． 故选：A． 7．有下列说法：①的算术平方根是9；②点在轴上且到轴的距离为5； ③在中，若，则是直角三角形； ④对于一次函数，的值随着的值增大而增大． 其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求算术平方根，点到坐标轴的距离，直角三角形的性质，一次函数的性质，利用上述性质逐一判断对错，即可解答，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：，即的算术平方根是， 的算术平方根是9，故①错误； 点在轴上，故②错误； 在中，， ， ， 是直角三角形，故③正确； ， ∴一次函数中的值随着的值增大而增大，故④正确； 则其中说法正确的个数是个， 故选：B． 二、填空题 8．若把一次函数，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是_________． 【答案】 【分析】根据直线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：把直线向上平移3个单位长度，得到图象解析式为， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键． 9．在函数的自变量中任意取两个点，，若，则对应的函数值y与y的大小关系是___． 【答案】 【分析】先根据函数 判断出函数图象的增减性，再根据进行判断即可． 【详解】∵直线，， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴． 故答案为. 【点睛】本题考查的是正比例函数的增减性，即一次函数中，当，y随x的增大而增大；当时 ，y随x的增大而减小． 10．表1和表2分别给出了两条直线：与上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值： 表1： x 0 1 2 y 1 3 5 表2： x 0 1 2 y 5 4 3 2 则方程组：的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，根据图表，找出函数值相等时的点即为交点坐标，也是方程组的解． 【详解】解：由图表可知，两直线经过点， 所以，方程组：的解为：． 故答案为：． 11．如图，将置于第一象限内，一次函数的图象经过中点，将沿射线平移，当点的对应点与点M重合时，则点A的对应点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的规律，点的坐标，线段的中点，先理解题意，把代入，得，即，再结合，且是的中点，得出点A的坐标为，因为将沿射线平移，当点的对应点与点重合，得出平移规律，运用平移规律得出点A的对应点坐标，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过中点， ∴把代入， 得， ∴， ∵，且是的中点， ∴， ∴， ∴点A的坐标为 ∵将沿射线平移，点的对应点与点重合， ∴平移规律是向左平移个单位，向下平移个单位， ∵点A的坐标为 故， 即点A的对应点坐标为， 故答案为：． 12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则直线不经过第_________．象限． 【答案】一 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程解得定义是解题的关键． 把代入已知方程，列出关于m的方程，即可求得m，即可判断直线经过的象限． 【详解】解：把代入方程， 得：， ∴， 由题意知：， ∴， ∴． ∴直线经过的象限是第二、三、四象限， ∴直线不经过的象限是第一象限， 故答案为：一． 13．关于的一次函数的图像在轴上的截距为正实数，则的范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、截距等知识点，理解一次函数的一次项系数不能为零是解题的关键． 一次函数的y轴截距为常数项，需为正实数；同时一次项系数不能为零，以确保函数为一次函数，据此求解即可． 【详解】解：该函数为一次函数，因此一次项系数，解得． ∵y轴截距为正数， ∴当时的函数值，即，需满足，解得：． 综上，的取值范围为且，即或． 故答案为：2或． 14．直线与的交点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与一次函数交点的关系．熟练掌握两者的关系是解答本题的关键． 根据二元一次方程组的解与一次函数交点的关系进行作答，即可求解； 【详解】解：， 解得：， ∴直线与的交点坐标是， 故答案为：； 15．如图，在直角坐标系中，点M、N的坐标如图所示，点P是y轴上的一个动点，当最大时，点P的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，一次函数的应用，如图，延长交轴于，由，可得当三点共线时，，即图中的，此时取最大值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵， 当三点共线时，，即图中的，此时取最大值， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当，则， ∴， 故答案为： 16．已知函数（a为常数），当时，y的最小值为5，则a的值为________． 【答案】或4 【分析】本题考查了绝对值的意义和一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性是关键． 根据绝对值的意义分两种情况讨论： ①，得一次函数，y随x的增大而增大可知当时，y取得最小值5，然后代入计算即可得到a的值； ②，得一次函数，y随x的增大而减小可知当时，y取得最小值5，然后代入计算即可得到a的值． 【详解】解：分两种情况： ①当时，， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 即当时，， 则， ∴； ②当时，， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 即当时，， 则， ∴， ∴或4， 故答案为：或4． 17．如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后的反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和光的反射定律是解题的关键． 延长，与x轴相交，根据平行线的性质及光的反射定律，利用证明，从而求得延长线与x轴的交点坐标，将它代入函数的函数关系式即可； 【详解】解：延长交x轴于点D， 入射角等于反射角，， 又∵， ， ，， ， ， ， ， ， 将代入得 ， 解得：， 故答案为：． 18．如图，已知点，，……，在函数位于第一象限的图像上，点，，……，在轴的正半轴上，且轴，，轴，……，，若，则的长为________．（用含有的代数式表示）    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出三角函数值，根据三角函数值分别求出，归纳其中规律，最后根据规律确定可的长度即可． 【详解】解：当时，，即，； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴,， …… ，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、锐角三角函数等知识点，归纳出长度的规律是解答本题的关键． 三、解答题 19．已知y是x的正比例函数，当时，，请求出y与x的函数关系式，并判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】，点在函数图象上 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，也考查了正比例函数的性质． 根据成正比例的定义，设y与x的函数关系式为，将，代入关系式求解，即可得到y与x的函数关系式，再根据解析式，计算自变量为2时对应的函数值，并结合点判断，即可解题． 【详解】解： y是x的正比例函数， 设y与x的函数关系式为， 当时，， ， 解得， y与x的函数关系式为， 当时，， 点在函数图象上． 20．试说明点，，在同一条直线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，用待定系数法先求出过任意两点的一次函数解析式，再把另外一个点代入，如果成立，就三点共线． 【详解】证明：设经过点，的函数解析式为，则： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴在直线上， ∴三点在同一条直线上． 21．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店销售某种儿童玩具，如果每件利润为元，每天可售出件．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每天可多销售件．设销售单价降价元，每天售出件． (1)请写出y与x之间的函数表达式； (2)当销售单价降低多少元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元？ 【答案】(1)； (2)4元或6元． 【分析】本题考查一次函数、一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）根据销售单价每降元，则每天可多销售件．即可列出关于的等式，即得出y与x之间的函数表达式； （2）根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x即得出答案． 【详解】（1）根据题意可列出等式：． 故y与x之间的函数表达式为； （2）根据题意可列方程：， 解得：． 故当销售单价降低4元或6元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元． 22．已知． (1)化简M； (2)若点P（a，b）在直线上，求M的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先找出最简公分母，再通分，然后约分，即可将分式化简； （2）把点P的坐标代入一次函数式，结合（1）的结果，则可求出的值． 【详解】（1）解： = = = = ∵， ∴； （2）解：∵在直线上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了分式的化简和求值，一次函数图象的坐标特征，解题的关键是分式加减运算式注意找出最简公分母，约分时注意分母不等于零的条件． 23．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点和点的坐标；并画出这个一次函数的图象； (2)点为直线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 【答案】(1)，，图象见解析 (2)或 【分析】（1）分别令当时求出的值；当时求出的值，然后利用两点法画出函数的图象即可； （2）设，根据得，继而得到，求得，再求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， 当时，得：，解得：； 当时，得：， ∴，， 这个一次函数的图象如下图所示： （2）设， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴， 当时，得：； 当时，得：； ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查画函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积等知识点，确定一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 24．某商店以20元/千克的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在一次函数关系，对应数值如下表所示． 销售单价x（元/千克） 25 35 销售量y（千克） 50 30 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？ (3)售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价定位每千克30元 (3)销售利润不能达到500元．理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据销售利润达到400元，可得方程，解方程即可得到销售单价； （3）根据销售利润达到500元，可得方程，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 解得， 所以y与x之间的函数关系式为； （2）解：， 整理得 解得， 因为要尽快售完，所以取，即销售单价定位每千克30元． （3）解：销售利润不能达到500元．理由如下： 化简得 判别式， 所以此方程无解，所以销售利润不能达到500元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $