第12讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式方程的概念 1. 分式方程分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据 . 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 . 2. 判断一个方程是分式方程的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 【知识点02】分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验分式方程解的方法 （1） 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 （2） 将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 增根 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为 0，则这个解叫做原分式方程的增根. 【知识点03】分式方程的应用 1. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1） 审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系； （2） 设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量； （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程； （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值； （5） 验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否为所列分式方程的解，还要检验此解是否符合实际意义； （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整。 2. 列分式方程常用的等量关系 （1）行程问题：速度× 时间= 路程。 （2） 利润问题：利润= 售价- 进价； 利润率= 利润÷ 进价×100%。 （3） 工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率； 总工作量= 各个分工作量之和。 （4）储蓄问题：本息和= 本金+ 利息。 【题型一】分式方程的定义 例1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【答案】（或，，） 【知识点】分式方程的定义 【分析】分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造分母含未知数的分式方程即可． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】分式方程是分母中含有未知数的方程，判断每个方程是否含有分母且分母中含有未知数． 本题考查了分式方程的概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 变式3．（2024八年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【知识点】分式方程的定义 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 【题型二】解分式方程（化为一元一次） 例3．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】方程左右两边乘以去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 方程两边乘以去分母得：． 例4．（25-26八年级下·河南新乡·期中）对于非零实数a、b，规定，若，则x的值为______________． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】根据新定义列出分式方程，按照分式方程的解法求解并检验即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 去分母，得 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 例5．（25-26八年级下·山东济南·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 去分母得， 整理得， 经检验，是原方程的解． 变式1．（25-26八年级下·河南周口·月考）若分式方程 的解为，则的值为 （    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程，最后检验所得的解是否为增根． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 移项整理得：， 检验：当时，，， 是原方程的解， 即． 变式2．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）方程的解为________． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】将分式方程转化为一元一次方程进行求解即可． 【详解】解： 解得， 检验：将代入原方程分母，，，分母均不为0， 故是原方程的解． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）以下是小明同学解方程的过程． 解：方程两边都乘以，约去分母，得……第一步 解这个整式方程，得……第二步 检验：把代入，得……第三步 所以，是原方程的解……第四步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误；出错的原因是________________； (2)解分式方程的思想是利用________的数学思想，把分式方程化为整式方程． A．数形结合    B．特殊到一般    C．转化    D．类比 (3)写出解方程的正确过程． (4)针对小明解分式方程的步骤和出现的错误，请你提出两条解分式方程的注意事项． 【答案】(1)一；没有乘以 (2)C (3)见解析 (4)见解析 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【详解】（1）解：小明的解法从第一步开始出现错误；出错的原因是没有乘以； （2）解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化为整式方程． （3） 方程两边都乘以，得． 解这个整式方程，得． 检验：把代入，得， 所以，是原方程的解． （4）①去分母时，常数项不要漏乘最简公分母； ②求得解后注意检验是否为分式方程的解． 【题型三】根据分式方程解的情况求值 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 例7．（2026八年级下·全国·专题练习）若关于的分式方程有解，求的取值范围． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解的条件，掌握分式方程有解的条件是整式方程有解且分母不为零是解题的关键． 先去分母解整式方程，得到的表达式，再根据分式方程有解的条件列出不等式，确定的取值范围． 【详解】解：去分母，得， 整理得，即， 当，即时，， 当且时，分式方程有解， 解得： 则的取值范围是且． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程增根的概念，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将分式方程两边同乘去分母得， ∵原分式方程有增根， ∴分母， 解得， 将代入整式方程得， ∴． 变式2．（23-24八年级下·内蒙古包头·期末）若是关于x的分式方程 的解，则a的值为__________． 【答案】/ 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值．分式方程去分母后将代入即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 即， 将代入得：， 解得：． 故答案为：． 变式3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)的整数值为或1 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根，根的正负性与整数解的确定，掌握分式方程增根的处理方法，根的正负性与整数解的条件，结合整式方程求解参数是解题的关键． （1）分式方程的增根是使分母为零的根，先确定增根，代入去分母后的整式方程求的值； （2）将根代入去分母后的整式方程，直接求解的值； （3）先求出整式方程的解，根据根为正数且不为增根，列出不等式求的取值范围； （4）由整式方程的解为正整数，结合为整数，确定为4的正约数，再排除增根对应的值． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 整理，得． 分式方程有增根， ． 把代入，得 解得． （2）解：， ， 解得． （3）解：原分式方程的根为正数， 且， 即且， 解得且． （4）解：由，得． 要使分式方程的根为正整数，且为整数， 则或或， 或或． 由（1）可知，当时，该方程有增根，不符合题意， 的整数值为或． 【题型四】分式方程无解问题 例8．（25-26八年级下·重庆·期中）已知关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程的增根会使原分式方程的分母为0，原方程分母为和， ∴增根满足， ∴增根为， 原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 将增根代入方程，得， 解得． 例9．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 例10．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为1或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母，切记不要漏乘即可； （2）分式方程无解有两种情况：一是其化简成的整式方程（设为 ）本身无解，即 且 ；二是整式方程的解是原分式方程的增根． 【详解】（1）解：方程两边同乘以最简公分母得， 整理得：． 故答案为：． （2）解：当， 即时，原分式方程无解； 当时，由原分式方程无解， 得， 解得． 把代入， 解得． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了已知含参分式方程的解的情况，求参数值，掌握分式方程无解的两种情况是解题的关键． 变式1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，关于的方程无解，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，掌握分式方程无解包括分整式方程无解或解为增根两种情况成为解题的关键 先将分式方程转化为整式方程求解，然后分整式方程无解或解为增根两种情况求解即可． 【详解】解：， ， ， 因，方程有解． 若原方程无解，则此解必为增根，代入得：，解得：． 所以此时使原方程分母为零，故原方程无解．因此． 故选C． 变式2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程增根问题，先解分式方程，求出分式方程的解，进而求出增根得到关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得， 故答案为：． 变式3．（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【答案】第三步错误，见解析 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得，第一步， 整理，得，第二步， 当，即时，此时满足原方程无解， 当时，， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， ∴第三步出现错误． 【题型五】列分式方程 例11．（25-26八年级下·陕西西安·期中）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为千米/时，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】设原来的平均速度为千米/时，结合“时间缩短了2小时”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设原来的平均速度为千米/时， 根据题意得，． 例12．（22-23八年级下·河南新乡·期中）完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】先根据甲单独完成需要的天数得到乙单独完成需要的天数，再根据两人合作4天完成的工作量等于总工作量减去未完成的工作量，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意得，甲单独完成需要天，甲单独完成比乙少用天，则乙单独完成需要天， 甲的工作效率为，乙的工作效率为． 根据等量关系可列方程为． 变式1．（25-26八年级下·河南南阳·月考）我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】根据“绫罗各一尺总价120文”的等量关系列方程． 【详解】解：1丈=10尺， 绫罗总长度为 尺， 设绫布有尺， 罗布长度为尺， 绫布总售价为896文， 绫布每尺价格为文， 同理可得，罗布每尺价格为文， 绫、罗各一尺共值钱120文， ， 移项整理得． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂计划生产个口罩，但在实际生产时……求该工厂实际每天生产口罩的个数．在这个问题中，若设该工厂实际每天生产口罩个，由题意，可列出的方程为，则问题中“……”所表示的条件应该是________． 【答案】每天比原计划多生产个，结果提前天完成 【知识点】列分式方程 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．根据方程，左边表示原计划生产时间减去实际生产时间，差值为天，表明实际生产时间比原计划少天，即提前天完成；同时，分母表示原计划每天生产个数，实际每天生产个，因此实际每天比原计划多生产个． 【详解】解：设实际每天生产口罩个，则原计划每天生产个； 原计划生产时间为天，实际生产时间为天； 方程表示原计划时间比实际时间多天，即实际提前天完成，且实际每天生产比原计划多个． 故答案为：每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)设甲队单独做这项工程需要天，请将下表补充完整． 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 乙队 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出关于方案③的分式方程． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，熟练掌握根据题干找出等量关系是解题的关键； （1）根据题干设出的未知数，列式子表示出表格中的量； （2）根据（1）中的信息列出方程． 【详解】（1）解：已知甲队单独做这项工程需要x天， 则甲队的工程效率为总量与时间的比值：， 由信息②可知，乙队所用时间为：天， 乙队工程效率为：； ∴表格为： 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 x 乙队 1 （2）解：根据题干中的条件③可得:合作3天的工作量再加上乙队单独完成的工作量等于整个工作量“1”， ∴方程为： 【题型六】分式方程的行程问题 例13．（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 【答案】D 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题意判断各选项中未知数和空缺部分的正误即可． 【详解】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为， 慢马时间为，慢马速度为， 又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确； △应为，故D错误； 设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间， 快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确； *表示，C正确． 综上，不正确的是D． 例14．（2024·广东·模拟预测）某校为了让更多师生了解“一带一路”的相关知识，开展了“幸福友谊路，点亮科技梦”的创客活动．某创客小组用电脑编程控制小型小车进行比赛的活动，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差． 已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快． 求“创新号”的平均速度． 【答案】“创新号”的平均速度为． 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设“创新号”的平均速度为，则“梦想号”的平均速度为，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设“创新号”的平均速度为，则“梦想号”的平均速度为， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际意义， 答：“创新号”的平均速度为． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某班学生周末去距离学校的某地游玩，一部分学生乘慢车先行1h，另一部分学生乘快车追赶，结果他们同时到达目的地．已知快车的速度是慢车的2倍，求慢车的速度．设慢车的速度是．根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是通过时间差建立方程． 根据同时到达的条件，慢车比快车多行驶1小时，因此等量关系为慢车行驶时间减快车行驶时间等于1小时，据此列方程即可． 【详解】解：设慢车速度为，则快车速度为 ∵慢车行驶时间为，快车行驶时间为，且慢车比快车多行1小时， ∴． 故选：B． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 【答案】3 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，熟练掌握解分式方程是解题的关键； 设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h，根据返回时间比去时多0.5小时列出分式方程． 【详解】设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h． 去时时间为小时，返回时间为小时． 由题意，得方程． 两边同乘，得， 整理得， 解得，． 经检验，是原方程的解且符合题意， 不符合题意舍去． ∴返回时步行速度为3 km/h． 故答案为：3． 变式3．句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度． 【答案】小红爬山的速度为3千米/小时 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时，由题意他们选择的路线，小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫），列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时． 根据题意得 解得： 经检验是分式方程的解． 答：小红爬山的速度为3千米/小时． 【题型七】分式方程的工程问题 例15．（25-26八年级下·山东济南·月考）某工程甲单独做天完成，乙单独做比甲慢3天完成，现由甲、乙合作5天后，余下的工程由甲单独做3天才能全部完成，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用（工程问题），解题的关键是明确工作效率、工作时间与工作量的关系，根据总工作量为1列方程． 先确定甲、乙的工作效率，再计算甲、乙合作5天的工作量与甲单独做3天的工作量，根据总工作量为1列方程，逐一验证选项． 【详解】解：由题意，甲单独做天完成，故甲的工作效率为； 乙单独做比甲慢3天，故乙的工作时间为天，工作效率为． 甲、乙合作5天的工作量为，甲单独做3天的工作量为，总工作量为1，因此方程为． 故A、C、D选项错误，B选项正确． 例16．（24-25八年级下·上海松江·期末）一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为天，可列方程___________． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据“两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 例17．（24-25八年级下·山东青岛·月考）为改善道路通行条件，某市在周年国庆前夕将城市一段主干道进行拓宽改造．该项工程若由甲工程队单独施工，恰好能在规定时间内完成；若由乙工程队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙两个工程队先合作施工天，那么余下的工程由甲工程队单独施工还需天完成．问这项工程的规定时间是多少天？ 【答案】这项工程的规定时间是天 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】设这项工程的规定时间是天，根据各劳动分量之和等于工作总量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这项工程的规定时间是天，则甲工程队单独施工需要天，乙单独施工需要天，由题意，得： ， 解得； 经检验，是原方程的解且符合题意； 答：这项工程的规定时间是天． 变式1．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 变式2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程______． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植株麦冬草，根据“甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍”，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植株麦冬草，根据题意得： ． 故答案为： 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： Ⅰ．甲队单独完成这项工程刚好如期完成； Ⅱ．乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天； Ⅲ．若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)设甲队单独完成这项工程需要天，将表格补充完整． 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 乙队 (2)根据题意及表中所得到的信息列出方程________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】（1）根据题干给出的已知条件和所设未知数，表示出表格中对应量； （2）根据总工程量为1，结合题干给出的工作过程找到等量关系，即可列出方程． 【详解】（1）解：工程问题中，通常将总工程量设为单位1， 已知甲队单独完成这项工程需要天，因此： 甲队工程总量为，所用时间为， 根据工作效率等于工程总量除以工作时间，可得甲队工程效率为， 由条件Ⅱ可知，乙队单独完成这项工程比规定日期多6天，规定日期等于甲队单独完成的时间，因此乙队所用时间为天，乙队工程总量为，工程效率为， 将表格补充完整如下： 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 1 乙队 1 （2）解：根据题意得： ． 【题型八】分式方程的经济问题 例18．（24-25八年级下·四川成都·期末）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的经济问题、列分式方程 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意列出方程，关键找准等量关系．设去年水价为，今年水价上涨，即今年价格为．根据用水量差为5立方米列方程． 【详解】解：设去年水价为，今年水价上涨，即今年价格为． 根据题意，知去年12月用水量为，今年5月用水量为． 因为小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，所以可列方程为 ． 故选：A． 例19．（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的1.25倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为__________． 【答案】 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】根据题目中给出的价格关系，分别表示出在市场和菜苗基地购买菜苗的数量，再根据“用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆” 这一条件列出等式． 【详解】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则市场上每捆价格为元． 基地购买数量：捆； 市场购买数量：​捆； 根据数量差为，列方程：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是理清价格与数量的对应关系，根据题目中的数量差这一等量关系，准确列出分式方程． 例20．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售．已知每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，设每台乙型机器人的进价为万元，解答下列问题： (1)每台甲型机器人的进价为__________万元（用含的式子表示）； (2)若用万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ 【答案】(1) (2)每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】（1）根据“甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元”，即可求解； （2）根据“万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同”列方程即可求解． 【详解】（1）解：每台乙型机器人的进价为万元，每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元， 每台甲型机器人的进价为万元； （2）根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元． 变式1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）作为国家级非物质文化遗产，“惠安女”服饰具有较高艺术价值和优秀民俗文化．某家手作坊能加工传统花头巾与简易花头巾共两款．已知每条传统款花头巾的加工成本要比简易款多5元，用800元加工传统花头巾的数量与用600元加工简易花头巾的数量之比是．设每条简易花头巾的加工成本为元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据设每条简易花头巾的加工成本为元，则传统款为元，根据数量比建立方程，此题得解． 【详解】解：设每条简易花头巾的加工成本为元，则传统款为元， 根据题意得：． 故选：C． 变式2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）随着电影《哪吒2》的热映，其哪吒相关书籍的销量也急剧上升．某书店分别用2000元和3000元两次购进该书籍，第二次数量比第一次多50套，两次进价相同．设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程为_______． 【答案】 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握利用“进价 = 总花费÷购进数量” ，结合等量关系列方程是解题的关键．先分别表示出第一次和第二次购进书籍的进价，再根据“两次进价相同”这一条件来列方程．第一次进价是用第一次的总花费除以第一次购进的数量，第二次进价是用第二次的总花费除以第二次购进的数量，利用进价相等建立等式． 【详解】解：设该书店第一次购进套， ∵第一次用2000元购进，数量为套， ∴第一次进价为 ∵第二次数量比第一次多50套， ∴第二次数量是套， ∵第二次用3000元购进， ∴第二次进价为 ∵两次进价相同， ∴ 故答案为： ． 变式3．（2026·云南·一模）2025年滇超联赛火爆云南大地，首轮8场赛事综合拉动体育及相关行业消费超过亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用12000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用50000元购入第二批，所购数量是第一批的4倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵5元．该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ 【答案】该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是元、元． 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设第一批T恤每件的进价是元，根据等量关系，列出分式方程，求解检验即可． 【详解】解：设第一批T恤每件的进价是元，则第二批T恤每件的进价是元， 由题可列，， 解得， 经检验：是方程的解，且符合实际意义， ， 则该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是元、元． 【题型九】分式方程和差倍分问题 例21．（2025·山东济宁·一模）智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位： 千克） A．60，30 B．60，90 C．90，60 D．90，120 【答案】C 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克． 故选：C． 例22．（23-24八年级下·广东清远·期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是__________． 【答案】 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 如果设第一次有人捐款，那么第二次有人捐款，根据两次人均捐款额相等，可得等量关系为：第一次人均捐款额第二次人均捐款额，据此列出方程即可． 【详解】 解：设第一次有人捐款，那么第二次有人捐款，由题意，有 . 故答案为：． 例23．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家原来有12公顷地种植粮食，9公顷地种植西瓜．为了增加经济收入，计划将部分种植粮食的地改为种植西瓜，使得粮食的种植面积与西瓜的种植面积之比为2∶5．设有公顷种植粮食的地改为种植西瓜，那么满足怎样的分式方程？ 【答案】满足的分式方程为 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握根据题干信息找出等量关系是解题的关键； 先求出改种后；粮食和西瓜的种植面积，再根据两者面积之比为列出分式方程． 【详解】解：确定改种后粮食的种植面积为：公顷， 确定改种后西瓜的种植面积为：公顷， ∴分式方程为：， 即满足的分式方程为． 变式1．（24-25八年级下·四川·期中）某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据结果比原计划少用了2辆车列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 变式2．（23-24八年级下·四川宜宾·月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为_____． 【答案】 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程方程是应用，设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为，根据“2月下旬A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的”列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售量，即可解答． 【详解】解：设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬，B主题大礼包售价为，C主题大礼包售价为，A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为， 根据题意，得， 解得， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售额分别为，， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售之比为． 故答案为：． 变式3．（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意可以列出相应的分式方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题． 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 【题型十】分式方程的其它实际问题 例24．（25-26八年级下·全国·课后作业）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题根据密度公式，结合已知的密度比和体积差，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设物体A的体积为， ∵物体B的体积比物体A大， ∴物体B的体积为， 根据密度公式，得，， 已知，，， 因此， 化简得， ， ， 解得， ∴物体A的体积为，答案选B． 例25．（25-26八年级下·全国·周测）新能源汽车主要是用充电桩充电，李明前后两次在不同充电站充满电，第1次花费49.6元，第2次花费54.56元．已知两次收费标准相差0.16元，则李明的新能源汽车电池容量为____________． 【答案】31 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】根据两次充电花费的差额和收费标准的差，利用电池容量不变列方程求解. 【详解】解：设电池容量为 ，第一次收费标准为 元，第二次为 元，由题意可得： 解得： 经检验，是原方程的解. 答：李明的新能源汽车电池容量为. 故答案为. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意，列出分式方程并求解. 变式1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）新能源电动汽车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小明的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源电动汽车，发现燃油车每千米的行驶费用比新能源电动汽车多元，已知燃油车加满1箱油需要360元，新能源电动汽车的电池充满一次电需要36元，则小明的爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解． 设两台汽车的续航里程为千米，根据燃油车每千米费用比新能源车多元列方程求解． 【详解】解：设续航里程为千米． 燃油车加满一箱油需360元，每千米费用为元； 新能源车充满一次电需36元，每千米费用为元． 根据题意，燃油车每千米费用比新能源车多元， 列方程：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义． 因此，续航里程为600千米， 故选：A． 变式2．（25-26八年级下·山西临汾·月考）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为吨 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键．根据宣传中的“运量更高”与“速度更快”两个条件，设出新型机器人的日搬运量，结合“搬运时间相同”这一等量关系列出方程，进而求解并检验得到结果． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：新型机器人每天搬运的货物量为吨． 一、单选题 1．解分式方程时，去分母后，得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式方程两边乘以，去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】 ， 分式方程两边乘以，去分母得：， 即有：， 故选：A． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，去分母时要注意不要漏乘． 2．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴将方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母（），得， 整理得， ∵分式方程无解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得， ∴m的值为6． 故选：C． 3．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资10000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了5000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（    ） A．1500元 B．2500元 C．2000元 D．2600元 【答案】B 【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了5000元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为（1+20%）x元， 根据题意得： 解得：x=2500， 经检验：x=2500是原方程的解， 答：原计划每间直播教室的建设费用是2500元， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大． 4．甲、乙两地相距m千米，某人从甲地前往乙地，原计划n小时到达，因故延迟了1小时到达，则他平均每小时比原计划少走的千米数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出原计划速度和实际速度，然后用原计划速度-实际速度即可求解． 【详解】∵实际速度为，原计划速度为， ∴实际每小时比原计划少走千米， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，属于路程问题，重点是掌握路程速度时间三者的关系． 5．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 6．某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵25元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ） A．篮球的数量 B．足球的数量 C．篮球的单价 D．足球的单价 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出等量关系，即可解题． 【详解】解：设篮球的数量为个，足球的数量为个， 根据题意可得， 表示的是篮球的数量， 故选：A． 7．瓜达尔港是我国实施“一带一路”战略构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队预计把距离港口420km的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高50％，行驶时间缩短2h，那么汽车原来的平均速度为（    ） A．80km/h B．75km/h C．70km/h D．65km/h 【答案】C 【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间-现在时间=2． 【详解】解：设汽车原来的平均速度是x km/h， 根据题意得：， 解得：x=70 经检验：x=70是原方程的解． 所以，汽车原来的平均速度70km/h． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 8．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】求出分式方程的解，根据方程的解为正数，且方程有解，进行计算即可得出结论． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得：， ∵分式方程的解为正数， ∴，解得：且； 故选D． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况，求参数的取值范围．正确的求出分式方程的解，是解题的关键．注意分式方程有解，最简公分母不为0． 9．口袋里有若干个白球，又放进去6个黑球，这些球除颜色外其他均相同，小明每次摸出一个球并记下颜色后放回，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在，则口袋里的白球数很可能为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【答案】C 【分析】根据白球的频率得到概率，然后利用概率公式列式计算即可． 【详解】解：∵多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在， ∴估计摸到白球的概率为， 设口袋里原有白球个， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，分式方程．解题的关键是了解白球的频率稳定在附近即为概率约为． 10．在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则方程的解为（    ） A． B．1 C．0 D．无解 【答案】A 【分析】根据新定义将原方程转化为分式方程，解方程即可． 【详解】解：由题意知， 方程变形为， 化为整式方程，得， 解得， 当时，， 是原方程的解， 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，解分式方程，理解新定义的运算法则是解题的关键． 二、填空题 11．分式方程的解是_____． 【答案】 【分析】先去分母得一元二次方程，利用平方根的性质解方程可求出x的值，最后检验即可得答案． 【详解】 去分母得：， 移项得：， 开平方得：， 检验：当时，，故是原分式方程的增根， 当时，，故是原分式方程的根， 故答案为： 【点睛】本题考查解分式方程及平方根，熟练掌握分式方程的解法及平方根的性质是解题关键．注意：分式方程最后要检验，避免出现增根． 12．粉笔盒中有10支白色粉笔盒若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为________支． 【答案】15 【分析】设彩色笔的数量为x支，然后根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设彩色笔的数量为x支， 由题意得：， 解得， 经检验是原方程的解， ∴彩色笔为15支， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了概率公式和分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握概率公式列出方程进行求解． 13．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为_________人． 【答案】6 【分析】先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数-第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设第一组有x人． 根据题意，得, 解得x=6． 经检验，x=6是原方程的解，且符合题意． 答：第一组有6人， 故答案为6． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检验． 14．若关于的方程无解，则的值为______． 【答案】0或-3 【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x=0或x=1或3+a=0，将解代入整式方程求出a即可． 【详解】解：去分母，得3x+a（x-1）=0， ∴（3+a）x-a=0， ∵原分式方程无解， ∴x=0或x=1或3+a=0， 当x=0时，a=0； 当x=1时，3+0=0，无解； ∴a=0， 当3+a=0时，解得a=-3， 故答案为：0或-3． 【点睛】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键． 15．代数式与代数式的和为1，则________． 【答案】1 【分析】根据题意得到，然后根据分式方程的解法求出x的值，再检验方程的根即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得, ， 去括号得, ， 移项并合并同类项得, ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴, 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，理解去分母、去括号、移项并合并同类项、未知数系数化1，检验方程的根是解答关键． 16．若关于的二次根式有意义，且为整数，若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有的值的和为________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的可得，再根据分式的解为正数，可得，确定的取值范围，当时的情形除外，求得所有正数解，再求其和即可 【详解】①二次根式有意义． ② 解得 综合①②： a为整数 ，其和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式方程的解法，不等式的整数解，解题的关键是综合运用以上知识． 三、解答题 17．某水果销售商用30000元购进云南石林甜柿运往东北某地销售，由于销售状况良好，一个月后他又调拨90000元资金继续购进石林甜柿，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进石林甜柿的数量是第一次的2倍还多3000千克．问该销售商第一次购进石林甜柿的进价是每千克多少元？ 【答案】5元． 【分析】设该种干果的第一次进价是每千克x元，则该种干果的第二次进价是每千克（1+20%）元，根据数量=总价÷单价结合第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多3000千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 【详解】解：设该销售商的第一次进价是每千克元，则第二次进价是每千克元， 由题意得， 解得， 经检验，是方程的解． 答：该销售商的第一次进价是每千克5元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18．在防疫新冠病毒期间，某学校第一次用3000元购进口罩若干个，第二次又用3600元购进该款口罩，已知第二次购买每个口罩的价格是第一次购买价格的倍，第二次购买口罩的数量比第一次少300个，求学校两次分别购买多少个口罩？ 【答案】学校第一次购买口罩1500个，第二次购买口罩1200个 【分析】设学校第一次购买口罩个，根据“第二次购买每个口罩的价格是第一次购买价格的倍”列分式分成求解． 【详解】解：设学校第一次购买口罩个，则第二次购买口罩个，根据题意，得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：学校第一次购买口罩1500个，第二次购买口罩1200个． 【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤． 19．某市在新冠疫情出现社区传播后，市防疫指挥部决定临时扩建一所方舱医院用于收治新冠感染者．现有甲、乙两个工程队承揽该扩建任务，甲工程队单独施工，刚好在规定期限内完成；乙工程队单独施工则需超过3天．现在甲、乙两队合作2天，然后再由乙工程队单独施工，正好按期完成，那么规定的期限是多少天？ 【答案】6天 【分析】设规定的期限是天，根据题意，列方程求解即可． 【详解】解：设规定的期限是天，甲工程队每天施工，乙工程队每天施工， 由题意可得： 化简可得： 解得 经检验，是原分式方程的根， 答：规定的期限是天． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出分式方程． 20．为了深刻践行习近平总书记的“绿水青山就是金山银山”重要思想，某校积极开展植树活动，准备购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）若购买这两种树苗共100棵，且费用不超过3800元，则至少购买乙种树苗多少棵？ 【答案】（1）甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元；（2）至少购买乙种树苗34棵 【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x－6）元，再由所购的甲，乙两种树苗数量相等列方程，再解方程可得答案； （2）设购买乙种树苗y棵，则购买甲种树苗（100－y）棵，再利用购买树苗的总金额不超过3800元，列不等式，再解不等式即可得到答案. 【详解】解：（1）设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵（x－6）元 由题意得： 解得x＝40 经检验x＝40是原方程的解 答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元． （2）设购买乙种树苗y棵，则购买甲种树苗（100－y）棵 40（100－y）＋34y≤3800 为正整数，的最小值是 答：至少购买乙种树苗34棵 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，分式方程的应用，掌握确定正确的不等关系与相等关系是解题的关键. 21．完成下列各题： (1)解方程： ① ② (2)观察下列等式，并探索它们的规律： ．．．，试用正整数n表示这个规律，并加以证明． 【答案】(1)①无解；②无解 (2)，证明见解析 【分析】（1）①两边都乘以，化为整式方程求解，然后检验；②两边都乘以，化为整式方程求解，然后检验； （2）根据所给等式得出规律，再根据也分母分式的运算法则证明即可． 【详解】（1）解：（1）①， 两边都乘以，得 ， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，原方程无解； ②， 两边都乘以，得 ， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，原方程无解； （2）解：∵， …， ∴， 证明：∵， ∴成立． 【点睛】本题考查了解分式方程，数字类规律探究，以及异分母分式的加减运算，熟练掌握分式方程的解法和分式的运算法则是解答本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式方程的概念 1. 分式方程分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据 . 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 . 2. 判断一个方程是分式方程的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 【知识点02】分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验分式方程解的方法 （1） 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 （2） 将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 增根 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为 0，则这个解叫做原分式方程的增根. 【知识点03】分式方程的应用 1. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1） 审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系； （2） 设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量； （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程； （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值； （5） 验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否为所列分式方程的解，还要检验此解是否符合实际意义； （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整。 2. 列分式方程常用的等量关系 （1）行程问题：速度× 时间= 路程。 （2） 利润问题：利润= 售价- 进价； 利润率= 利润÷ 进价×100%。 （3） 工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率； 总工作量= 各个分工作量之和。 （4）储蓄问题：本息和= 本金+ 利息。 【题型一】分式方程的定义 例1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 变式3．（2024八年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【题型二】解分式方程（化为一元一次） 例3．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级下·河南新乡·期中）对于非零实数a、b，规定，若，则x的值为______________． 例5．（25-26八年级下·山东济南·月考）解方程： (1)； (2)． 变式1．（25-26八年级下·河南周口·月考）若分式方程 的解为，则的值为 （    ） A．1 B． C．2 D． 变式2．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）方程的解为________． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）以下是小明同学解方程的过程． 解：方程两边都乘以，约去分母，得……第一步 解这个整式方程，得……第二步 检验：把代入，得……第三步 所以，是原方程的解……第四步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误；出错的原因是________________； (2)解分式方程的思想是利用________的数学思想，把分式方程化为整式方程． A．数形结合    B．特殊到一般    C．转化    D．类比 (3)写出解方程的正确过程． (4)针对小明解分式方程的步骤和出现的错误，请你提出两条解分式方程的注意事项． 【题型三】根据分式方程解的情况求值 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 例7．（2026八年级下·全国·专题练习）若关于的分式方程有解，求的取值范围． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 变式2．（23-24八年级下·内蒙古包头·期末）若是关于x的分式方程 的解，则a的值为__________． 变式3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 【题型四】分式方程无解问题 例8．（25-26八年级下·重庆·期中）已知关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 例9．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 例10．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 变式1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，关于的方程无解，则的值是（ ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为______． 变式3．（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【题型五】列分式方程 例11．（25-26八年级下·陕西西安·期中）甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为千米/时，可列方程为（   ） A． B． C． D． 例12．（22-23八年级下·河南新乡·期中）完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 变式1．（25-26八年级下·河南南阳·月考）我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂计划生产个口罩，但在实际生产时……求该工厂实际每天生产口罩的个数．在这个问题中，若设该工厂实际每天生产口罩个，由题意，可列出的方程为，则问题中“……”所表示的条件应该是________． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)设甲队单独做这项工程需要天，请将下表补充完整． 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 乙队 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出关于方案③的分式方程． 【题型六】分式方程的行程问题 例13．（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 例14．（2024·广东·模拟预测）某校为了让更多师生了解“一带一路”的相关知识，开展了“幸福友谊路，点亮科技梦”的创客活动．某创客小组用电脑编程控制小型小车进行比赛的活动，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差． 已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快． 求“创新号”的平均速度． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某班学生周末去距离学校的某地游玩，一部分学生乘慢车先行1h，另一部分学生乘快车追赶，结果他们同时到达目的地．已知快车的速度是慢车的2倍，求慢车的速度．设慢车的速度是．根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 变式3．句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度． 【题型七】分式方程的工程问题 例15．（25-26八年级下·山东济南·月考）某工程甲单独做天完成，乙单独做比甲慢3天完成，现由甲、乙合作5天后，余下的工程由甲单独做3天才能全部完成，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 例16．（24-25八年级下·上海松江·期末）一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为天，可列方程___________． 例17．（24-25八年级下·山东青岛·月考）为改善道路通行条件，某市在周年国庆前夕将城市一段主干道进行拓宽改造．该项工程若由甲工程队单独施工，恰好能在规定时间内完成；若由乙工程队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙两个工程队先合作施工天，那么余下的工程由甲工程队单独施工还需天完成．问这项工程的规定时间是多少天？ 变式1．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程______． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： Ⅰ．甲队单独完成这项工程刚好如期完成； Ⅱ．乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天； Ⅲ．若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)设甲队单独完成这项工程需要天，将表格补充完整． 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 乙队 (2)根据题意及表中所得到的信息列出方程________． 【题型八】分式方程的经济问题 例18．（24-25八年级下·四川成都·期末）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 例19．（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的1.25倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为__________． 例20．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售．已知每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，设每台乙型机器人的进价为万元，解答下列问题： (1)每台甲型机器人的进价为__________万元（用含的式子表示）； (2)若用万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ 变式1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）作为国家级非物质文化遗产，“惠安女”服饰具有较高艺术价值和优秀民俗文化．某家手作坊能加工传统花头巾与简易花头巾共两款．已知每条传统款花头巾的加工成本要比简易款多5元，用800元加工传统花头巾的数量与用600元加工简易花头巾的数量之比是．设每条简易花头巾的加工成本为元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）随着电影《哪吒2》的热映，其哪吒相关书籍的销量也急剧上升．某书店分别用2000元和3000元两次购进该书籍，第二次数量比第一次多50套，两次进价相同．设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程为_______． 变式3．（2026·云南·一模）2025年滇超联赛火爆云南大地，首轮8场赛事综合拉动体育及相关行业消费超过亿元，印有联赛专属和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用12000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用50000元购入第二批，所购数量是第一批的4倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵5元．该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ 【题型九】分式方程和差倍分问题 例21．（2025·山东济宁·一模）智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位： 千克） A．60，30 B．60，90 C．90，60 D．90，120 例22．（23-24八年级下·广东清远·期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是__________． 例23．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家原来有12公顷地种植粮食，9公顷地种植西瓜．为了增加经济收入，计划将部分种植粮食的地改为种植西瓜，使得粮食的种植面积与西瓜的种植面积之比为2∶5．设有公顷种植粮食的地改为种植西瓜，那么满足怎样的分式方程？ 变式1．（24-25八年级下·四川·期中）某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·四川宜宾·月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为_____． 变式3．（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【题型十】分式方程的其它实际问题 例24．（25-26八年级下·全国·课后作业）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 例25．（25-26八年级下·全国·周测）新能源汽车主要是用充电桩充电，李明前后两次在不同充电站充满电，第1次花费49.6元，第2次花费54.56元．已知两次收费标准相差0.16元，则李明的新能源汽车电池容量为____________． 变式1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）新能源电动汽车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小明的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源电动汽车，发现燃油车每千米的行驶费用比新能源电动汽车多元，已知燃油车加满1箱油需要360元，新能源电动汽车的电池充满一次电需要36元，则小明的爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·山西临汾·月考）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 一、单选题 1．解分式方程时，去分母后，得（    ） A． B． C． D． 2．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资10000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了5000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（    ） A．1500元 B．2500元 C．2000元 D．2600元 4．甲、乙两地相距m千米，某人从甲地前往乙地，原计划n小时到达，因故延迟了1小时到达，则他平均每小时比原计划少走的千米数为（　　　） A． B． C． D． 5．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 6．某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵25元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ） A．篮球的数量 B．足球的数量 C．篮球的单价 D．足球的单价 7．瓜达尔港是我国实施“一带一路”战略构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队预计把距离港口420km的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高50％，行驶时间缩短2h，那么汽车原来的平均速度为（    ） A．80km/h B．75km/h C．70km/h D．65km/h 8．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 9．口袋里有若干个白球，又放进去6个黑球，这些球除颜色外其他均相同，小明每次摸出一个球并记下颜色后放回，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在，则口袋里的白球数很可能为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 10．在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则方程的解为（    ） A． B．1 C．0 D．无解 二、填空题 11．分式方程的解是_____． 12．粉笔盒中有10支白色粉笔盒若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为________支． 13．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为_________人． 14．若关于的方程无解，则的值为______． 15．代数式与代数式的和为1，则________． 16．若关于的二次根式有意义，且为整数，若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有的值的和为________． 三、解答题 17．某水果销售商用30000元购进云南石林甜柿运往东北某地销售，由于销售状况良好，一个月后他又调拨90000元资金继续购进石林甜柿，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进石林甜柿的数量是第一次的2倍还多3000千克．问该销售商第一次购进石林甜柿的进价是每千克多少元？ 18．在防疫新冠病毒期间，某学校第一次用3000元购进口罩若干个，第二次又用3600元购进该款口罩，已知第二次购买每个口罩的价格是第一次购买价格的倍，第二次购买口罩的数量比第一次少300个，求学校两次分别购买多少个口罩？ 19．某市在新冠疫情出现社区传播后，市防疫指挥部决定临时扩建一所方舱医院用于收治新冠感染者．现有甲、乙两个工程队承揽该扩建任务，甲工程队单独施工，刚好在规定期限内完成；乙工程队单独施工则需超过3天．现在甲、乙两队合作2天，然后再由乙工程队单独施工，正好按期完成，那么规定的期限是多少天？ 20．为了深刻践行习近平总书记的“绿水青山就是金山银山”重要思想，某校积极开展植树活动，准备购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）若购买这两种树苗共100棵，且费用不超过3800元，则至少购买乙种树苗多少棵？ 21．完成下列各题： (1)解方程： ① ② (2)观察下列等式，并探索它们的规律： ．．．，试用正整数n表示这个规律，并加以证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $