2026年 九年级数学中考二轮复习 圆综合压轴题 专题训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《圆综合压轴题》专题训练（附答案） 一、圆内知识点综合 1.如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P,连接 AC. (1)求证：△ABC一△P0A; (2)若AC=8,BC=6,求0P的长 2.如图，AC是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A,过点A作OP的垂线，交⊙O于B,连 PB (1)求证：PB是⊙O切线： 2)连接PC,交AB于E,若tan-AP(0=2OD=3,求CE的长. 3.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D. (1)求证：AB=AC (2)过点D作⊙O的切线交AC于点E, ①求证：BC2=4CE·AB; ②若⊙0的面积为25m,tanzABC=3,求DE的长. 4.如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB延长线于 点D,AE垂直于DC的延长线于点E,交半圆O于点F,连接CF. (1)求证：∠BAC=∠ECF; (2)若AE=3,DE=4, ①求半圆0的半径； ②若P是AC上一点，连接PO,PB,求PO+PB的最小值 5.如图，AB是⊙O的弦，点C是⊙0外一点，OC⊥0A,C0交AB于点P,交⊙0于点D, 直线BC与⊙O相切，连接OB. (1)求证：CP=CB; (2)若LOBA=30°，OA=3,点E是优弧BD上一动点（不与点B,D重合），连接AE,BE, 当△ABE的面积最大时.求： ①BE的长； ②图中阴影部分的面积. 6.如图1，在⊙O中，AB为直径，P为A0上的点，过点P作AB的垂线交⊙O于C,D两 点，E为eqBD上的点，且ED=AC 连接CE交AB于点F,连接AC,记LDCE=a. D 图1 图2 (1)请用含α的代数式表示LACD: (2)若AF=2BF,求tana的值； (3)如图2，连接AE交CD于点G,若⊙O的半径为5，CP.CG=27,求AC的长. 7.己知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC、BC.过A作⊙O的切线，F是切线 上一点。 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠ABC+∠FAC=180°； (2)如图2，AC=AE,∠ABC=90°-2LAEF,求证：CE⊥DF; (3)如图3，在(2)的条件下，过C作CH⊥AB于H,延长CH交FD于点K,CK=AE,BE=2, 求线段BD的长， 二、圆与三角形综合 8.如图，△ABC内接于⊙O,AH⊥BC于点H,连接OC,过点A作⊙O的切线，交CB的 延长线于点E (1)求证：∠BAH=∠ACO: 2若AC=24,AH=18,0C=13,求85的值。 9.如图，△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径，OC与AB相交于点E,作EF⊥BC于点F, 过点B作直线BG,使得LCBG=∠CEF,直线BG交CD延长线于点P,连接BD. (1)求证：BG是⊙O的切线； EF 3 (2)若⊙0的半径为10，点D是PO的中点，AC=亏求DE的长. 10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上截取CD=AC,连接CD,作△ACD的外 接圆⊙O,⊙O交BC于点E,过点E作⊙O的切线EF,交AB于点F. (1)求证：∠BEF=∠B; (2)连接DE,若DF=3,DE=4,求AC的长 11,如图，D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于点E,以AB为直径的⊙O经过点D,连 接AD. 图1 图2 (1)如图1，求证：∠ADE=∠B (2)如图2，延长DE交BA的延长线于点F,连接OD,若AD=AF=2,求扇形BOD的面积. 12,如图1，己知△ABC内接于⊙0，BC=6,∠BAC=60°，AE⊥BC于点E,CF⊥AB于 点F,线段AE与线段CF交于点G G.0 D 图1 图2 (1)求证：=A阳 CF-BC (2)如图2，点D是弧BC的中点，连接AD,DG. ①求证：△AGD为等腰三角形 ②当AB为何值时，△AGD的面积有最大值，最大值是多少？（直接写出答案） 13.已知△ABC,AB=AC,⊙0过点A,且与边BC切于点E,点D是⊙0上一点. 图① 图② (1)如图①，若LBAC=70°，点O在AB上，且与边AC交于点F,连接DE和DF,求LEDF的大 小： (2)如图②，点E为BC中点，⊙O与边AB交于点G,连接DG,当DGAC时，若∠ABC=70°， BC=10,AB=15,求DG的长， 14.如图①，抛物线y=之x2+x-4交x轴于点A,点B(点A在点B左侧)，交y轴于点C, P是线段AB上一动点（点P与点O,A,B均不重合），过O,P,C三点的外接圆分别交于AC,BC 点D,E,连接PC. ① ② ③ (1)直接写出：tan上BAC= tanLOBC= (2)如图②，连接DE,当DEIx轴时，①求DE的长；②求点P的坐标： (3)如图③，过点C作x轴的平行线交PD延长线于点M,交PE延长线于点N,当点P在线 段AB上运动时，线段MN的长是否发生变化？若不变，请求出该定值；若变化，请说明理 由 三、圆与四边形综合 15,如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE1AC于点E, C于点F. E 0 备用图 (1)若LCBD=33°，求LCDF的度数； (2)连接BD,若CF:BF=1:2,求DF:DB的值： B在(2)的条件下，若BD,AG交于点卫，是=m,试用含m的式子表示eos-BDF, 16,已知，正方形ABCD,AB=4,以CD为直径在正方形内部作半圆M,点E是边BC上动点， 连结DE交半圆M于点F,连结MF, R 图1 图2 (1)若LCED=65°，求eqFC的长度； (2)如图2，连结AF,将△ADF沿着DE对折，得到△PDF,PF交CD于点N. ①若∠DAF=50°，求∠MFP的度数； ②求MW的最小值. 17.如图1，四边形ABCD内接于⊙O,AC=BC,F为DA延长线上一点，连接BF,BFI CD. 图1 图2 图3 (1)求证：∠DAC=∠ABF; (2)如图2，连接BD并延长至点E,连接CE,若CD平分LACE,求证：BC=CE; (3)如图3，在(2)的条件下，若tanF=2,S△BcD=4,AD=2,延长AD交CE于点T,求CT 的长， 18,已知如图：四边形ABCD内接于⊙O,连AC,BD交于点E,BE=CE. A G (1)求证：AD II BC; (2)若LACD+∠BAC=∠ADB,求证：△BCE是等边三角形； (3)在(2)条件下，过点O作0F⊥AC于F,直线0F分别交线段DC,DB,AB于点H,G,J,若 DH:HC=5:8,B=3,求线段AJ长 19,如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC、BD交于点E,连接OC, ∠BCO=∠ACD: C G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AC⊥BD; (2)如图2，若BD恰好为⊙O的直径，连接AO,过点A作⊙O的切线AF交DB的延长线于点 F,点G为⊙O上一点，连接AG、DG,若∠FAC=∠DAG,求证：AG=AD: (3)如图3，在(2)的条件下，过点C作CH⊥AD于点H,CH分别交OA、AG于点M、N,若 CM=18,AN=20,求线段EF的长. 20.如图1，四边形ABCD内接于⊙O,C是弧BD的中点，LABD的平分线交AC于点E. O. 图1 图2 图3 (1)求证：CB=CD=CE. (2)如图2，F是eqCD上的动点，连接CF并延长交直线BD于点G,连接EF,EG,求证CE2 =CF.CG. (3)如图3，在(2)的条件下，若BD是⊙O的直径，且点A与点F关于BD对称. ①当tan-ABD=时，求器的值. ②若AD=V2,求CG的最小值 参考答案 1.（1)证明：AB是⊙0的直径， ∠ACB=90°， PA与⊙O相切于点A, ∠PA0=90, POlBC, ∠AOP=∠B, △ABC-△POA; (2)解：AC=8,BC=6,∠ACB=90°， AB=V82+62=10, △ABC一△POA, -器 即0、6 即0P=写 0p=25 3 2.(1)证明：如图，连接0B, E B OP⊥AB于点D, :.AD=BD, ..PA=PB, ∠PAB=∠PBA, 0A=0B, ∠OBA=∠OAB, ~PA为⊙O的切线， PA⊥OA, .∠PA0=90°， ∠PBO=∠PBA+∠OBA=∠PAB+∠OAB=∠PAO=90°， OB是⊙O的半径，且PB⊥OB, PB为⊙O的切线， (2)解：如图，连接BC, D E B ∠PA0=∠AD0=90°， LAP0+∠P0A=∠P0A+∠0AD=90°， ∠APO=∠OAD, :.tanLAPO tanLOAD 在Rt△OAD中，tanzOAD= 0A2即3、1 0D1 DA=2 DA=6, OP⊥AB于点D, :.AD=DB=6, 在Rt△PAD中，tanzAP0= 品-即品- DP=12, .∠ABC=90°，AB⊥OP, ..OP II BC, .△OAD△CAB, 0D0A1 BC=AG=2 31 BC=2 BC=6, 又LDEP=∠BEC,∠CBE=LPDE=90° .△DEP∽△BEC, DP_DE=12=2, 六Bc=8E=6 ..DE 2BE, ..DE BE 2BE BE BD =6, 即BE=2,DE=4, 在Rt△CEB中，CE=VCB2+BE2=V62+22=2y10. 3.(1)证明：连接AD, B D AB为⊙O的直径， LADB=90°，即AD⊥BC. D是BC的中点， AD是线段BC的垂直平分线， ..AB=AC; (2)①证明：连接OD, DE是⊙O的切线，LODE=90. O、D两点分别是BA、BC的中点， .OD川AC LDE0=90°，即DE⊥AC 在Rt△ADC和Rt△DEC中， ∠C=∠C,∠ADC=∠DEC=90°， △ADC~△DEC, ,即CD2=CE·AC, D是BC的中点，AB=AC, .BC =2DC ..BC2=4CD2 =4CE.AC=4CE.AB: ②-tan∠ABC=∠ADB=90, 品=有设AD=,BD=3x 由勾股定理得AB=√AD2+BD2=5x, ⊙0的面积为25π， (9°=25m 解得x=2(舍去负值)， AB=10,AD=8,BD=6, CE=8C2=8D2-3618 4AB AB-10 0B=GD2-6B2=6-(2- 4.(1)证明：AB为半圆0的直径， ∠ACB=90°， ∠BAC+∠ABC=90°， 四边形ABCF内接于半圆O, .∠ABC+∠AFC=180°， LCFE+∠AFC=180°， .∠ABC=∠CFE, AE⊥DE, 4E=90°， ∠CFE+∠ECF=90°， LBAC=∠ECF: (2)解：①如图，连接0C, E D 在Rt△ADE中，AE=3,DE=4, ∴AD=VAE2+DE2=32+42=5, CD是半圆O的切线， ..OC L CD, .∠0CD=90°=∠E, ∠D=∠D, △ODC一△ADE, 5 5 0D=30C, ,AD=0A+0D=5, 0c+0C=5, 0C=日即半圆0的半径为员， ②如图，作点O关于直线AC的对称点O,作OH⊥AB于点H, E Hδ B D LOCD=∠E=90°， ∴DC IIAE, .∠EAC=∠ACO, 0A=0C, ∴LOAC=∠ACO=∠EAC,即AC是∠BAE的平分线， 点O在AE上， 由对称的性质可得，P0=P0, P0+PB=PO'+PB≥O'B, 当O、P、B三点共线时，P0+PB取得最小值OB, 在Rt△ADE中，AE=3,DE=4,AD=5, aos4BAD=怎-号sin-EAD-25-手 AD=5 在R△AH0中，AH=A0cosz0AH=A0=A0=景0H=A0si0AH=A0= 4A0=景 BH=AB-4AM=台 由勾股定理可得，0B=BH2+0H2= P0+PB的最小值是36⑤ 8 5.（1)解：直线BC与⊙0相切， L0BC=90, ·.∠OBA+∠ABC=909 0A=0B, LOAB=∠OBA, 0C⊥0A, .∠0AP+∠AP0=90°， 又LAPO=∠CPB, .∠CBP=∠CPB, ..CP=CB. (2)解：①0A=0B=3,∠0BA=30°， L0AB=∠0BA=30°，∠A0B=120°， 0C⊥0A,则∠A0P=90, ∠B0P=∠A0B-∠A0P=120°-90°=30°=∠0BA, :.OP BP, 在R△A0P中，cosL0MP=cos30-0=号 AP=23,则0P=AP=3=BP, .AB AP+BP=23+3=33, 当△ABE的面积最大时，点E到AB的距离最大，即点E为优弧AB的中点，如图所示， C B AE=BE,∠AEB=LA0B=60, :△ABE为等边三角形，此时OE⊥AB, ..BE AB 33. ②由①可知，∠C0B=30°， ∠0BC=90°，0A=0B=3, BC=0 4-tanzC0B=3×tan30°=V3, 阴影部分的面积=560c-S扇花08D=x3×3-303=3 360 24 6.(1)解：AB⊥CD,AB为直径， ·AC=AD' 又“ED=AC' AD=DE' ∴.∠DCE=∠ACD=a; (2)解：由(1)可得，∠DCE=∠ACD=a, AB⊥CD, .∠APC=∠FPC=90°， CP=CP, △APC≌△FPC(ASA), ∴AP=FP, 设AP=FP=2a,BF=2a,则AB=6a, 如图，连接0C,得0C=0A=3a,OP=a, B 0 在Rt△0PC中，CP=VC02-P02=2y2a, ∠ACD=∠DCE=, AP 2a .tana (3)解：由1)得鼎=昴=显 ·∠DCA=∠DCE=∠AEC,AE=CD, .CG=EG,AG=GD, 又~AP=FP,CP=DP=CD, 设0P=x,则AP=FP=5-x, AC2=CP2+AP2=0C2-0P2+AP2=50-10x, ∠ACG=∠E,∠CAG=∠EAC, ∴△CAG~△EAC, ..AC=AG, AC2=AG·AE=GD.CD=(2·CP-CG)·2·CP=4·CP2-2·CG·CP 50-10x=4(25-x2)-2×27,即2x2-5x+2=0, 解得：X=2,2= 当x=2时，AC=V50-10×2=V30, 当x=时，AC=50-10×=35, 综上可得：AC=30或3V5 7.(1)证明：FA与⊙0相切于A AB⊥FA, ∠BAF=90°， AB是直径， ∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠CAB=90°， ·∠ABC+∠FAC=∠ABC+∠CAB+∠BAF=90°+90°=180°； (2)证明：由(1)得，∠ABC=90°-∠CAB, 又∠ABC=90°-2LAEF, ·∠CAB=2LAEF 设∠AEF=a,则∠CAB=2a AC=AE, ÷∠ACE=∠AEC=(180°-LCA)=90°-a, ·∠FEC=∠AEF+∠AEC=a+90°-a=90°，即CE⊥DF; (3)解：延长CA、EF交于G,过B作BE的垂线交FE延长线于L. HLO B G ∠CAE=2a,∠AEG=a, ..LG=LCAE-LAEG=2a-a=a, ∠AEG=LG ..AE=AG, AE=AC, ∴AC=AG, CK⊥AB, .∠CHA=909 .∠FAB=∠CHA, ∴CK I AF, -限 ×AG=AC, ∴FG=FK, AF是△GCK的中位线 AF=CK, AE=CK, AF AE, 在R△FPAE巾，tan-AEF--是-京即Ha 1 ,∠LEB=∠FEA, .tan LFB=ta☑FEA- ∠ABC=90°-∠CAB=90°-2a, ∠LBD=90°-∠ABC=90°-(90°-2a)=2C, ∠L=90°-∠BEL=90°-a, .∠BDL=180°-∠LBD-∠L=90°-a, ∴.∠L=∠BDL, :.BD BL, 在R△BLE中，aLIB-8能- LB=1, :.BD BL 1. 8.(1)证明：连接AO并延长交⊙0于点D,连接BD E AD为⊙O直径， ∠ABD=90°. 0A=0C, LAC0=∠0AC, AH⊥BC, LBAH+∠ABH=∠ABH+∠DBC=90°， ∠BAH=∠DBC=∠DAC=∠ACO, LBAH=∠ACO; (2)解：连接CD, E AD为⊙O直径， ∠ACD=90°=∠AHB. ∠BAH=∠DAC, .△ABH△ADC. AB AH 18 3 D=A=24=4 0C=13, AD=26, AB-D- AE为⊙O的切线， ∠EAD=90, LEAB+∠BAD=∠BAD+∠ADB=90°， LEAB=LADB=∠ACB. 又LE=∠E. .△EAB△ECA」 ==3 AEAG=1G 9.(1)证明：连接0B, G .0B=OD ∴∠OBD=∠ODB, CD是⊙O的直径， ∴.∠CBD=90°， EF⊥BC, :.BD II EF, ·∠ODB=∠CEF, LCBG=∠CEF, ·LCBG=LCEF=∠ODB=∠OBD, ∠OBG=∠CBD=90°，即半径OB⊥BG, BG是⊙O的切线， (2)解：连接AD,作BH⊥DE于H, G D是P0中点， ∴P0=2D0=2B0, 又∠PB0=90°， .∠P=30°， ∴.∠B0D=60°， 0B=OD, ∴△B0OD是等边三角形， BD=0D=10,DH=5,BH=53, CD是⊙O的直径， ∴∠CAD=90°=LBFE, 又∠ADC=LABC, ∴.△ADC~△FBE, .BE:CD EF:AC=3:5, CD=20, BE=12, 由勾股定理得EH=VBE2-BH2=V69, ..DE=DH EH=5+69. 10.(1)证明：连接AE, D B∠ACB=902, ∴AE是⊙O的直径， ~EF是⊙O的切线， ∠AEF=90°， .∠1+∠2=90°， CA=CD, ∠CAD=∠3， ∠2=∠3， .∠2=∠CAD, ∠CAB+∠B=90°， ∠2+∠B=90°， ∴∠1=∠B,即∠BEF=∠B; (2)解：∠ACE=90°， ∠EDF=90°， 在Rt△EDF中，DF=3,DE=4, ..EF =DE2 DF2=5, ,∠BEF=∠B, 2.EF BF=5, :.BD DF BF=8, 在Rt△EDB中，EB=VDE2+BD2=42+82=4V5, ∠ADE=∠EDF=∠AEF=90, ·∠AED+∠EAD=∠AED+∠DEF=90°， ∴∠EAD=∠DEF, △EDF△ADE, ED DF AD= M0=的 ∠ACB=∠BDE=90°，∠B=∠B, △BED△BAC, 0E-8E 六AC=AB 4 45 c=8+ ·AC=85 11,(1)证明：AB为⊙0的直径， AD⊥BC, LB+∠BAD=90°， ~D是BC的中点， AD垂直平分BC, .AB=AC, ∠BAD=∠CAD DE⊥AC, ·.∠AED=90°， .∠ADE+∠CAD=90°， ∠ADE=∠B: (2)解：AD=AF,DE⊥AC, LFAE=∠DAE, 由(1)，知∠BAD=∠CAD, .∠FAE=∠DAE=∠BAD=180°÷3=60°， 0A=0D,∠0AD=60°， ·△OAD为等边三角形， ∠A0D=60°，A0=AD=0D=2, ∠B0D=120°， 120×π×22 S扇形BOD= 360 =3 12.(1)解：解法1（等积法）： S△ABC=2AB-CF=BC~AE, AB.CF=BC·AE, 华-能 解法2（相似法)： AE⊥BC,CF⊥AB, ∠AEB=∠CFB=90°， 又∠B=∠B, ∴△ABE-△CBF, AE AB (2)解：①如图1，作0N1AC于点N,连接0A,OC,OD,则AN=AC. E M 图1 ∠AOC=2∠ABC, LA0N=A0C=∠ABC, 又∠AEB=∠AFC=90, ·∠AGF=LABC, ∠AGF=LAON. 在Rt△AFC中，∠BAC=60, ∴.∠ACF=30°， AF=AC, ..AF AN. 又∠AFG=∠AN0=90°， ∴.△AFG兰△ANO(AAS), .AG=A0, ..AG=AO=OD. 又点D是弧BC的中点， OD⊥BC, AE⊥BC, .OD II AE, ∴四边形AODG是菱形， AG=GD,即△AGD为等腰三角形. ②如图2，图3， A G G B M D D 图2 图3 △AGD的面积有最大值，此时AB=2V3 或43，S△AGD=3V3. :SAAGD=菱形A0DG, ·当点G落在⊙O上时，菱形AODG有最大面积，即此时△AGD的面积有最大值. BC=6,∠BAC=60°，△ABC内接于⊙0， BC 六在图2中，AB=百=23， 在图3中CP1AB,0A=AG-背=23，GF=号4G=3,AB=2AG=43, 2 S△AGD=S菱形A0DG=号×0A×GF=号×2W3X3=3V3. 13.(1)解：连接0E,0F, 图① BC与⊙O切于点E, ∠0EB=90°. ∠BAC=70°，AB=AC, ∠B=∠C=55, ∴∠B0E=35°，∠A0F=40°， ∠E0F=105°， ∠EDF=E0F=525, (2)解：连接AE,D0,GO, A E 图② BC与⊙O切于点E, ∴.OE⊥BC, AB=AC,点E为BC中点， AE⊥BC, 点0在AE上， :∠ABC=70°， .∠AG0=∠GA0=20°， DGIAC, ∴.∠DGA=∠GAC=40°， ∴∠DG0=60°， ∴△ODG为等边三角形. 在Rt△AEB中， BC=10,AB=15, ..AE 10v2 ∴DG=2AE=52. 14.(1)解：依题意，令x=0,y=x2+x-4=-4, 令y=0,解方程x2+x-4=0, 得出x1=-4,x2=2. ∴A(-4,0),B(2,0),C(0,-4 则tan-DAC-g-；1,amL0Bc-8S-2. A04 (2)解：①如图①，连接PE, B ① PC是直径， ·∠PEB=∠PEC=90°， 由（1)得A(-4,0),B(2,0),C(0,-4④· ·△AOC是等腰直角三角形， .∠0AB=45 当DEIx轴时， ∠EDC=45 “CE=CE' ∠EPC=∠EDC=∠0AC=45°， ..EP EC. =2, 在Rt△PEB中，tanLOBC=BE CE E=2, - .BC=VB02+0C2=V4+16=2y5, PE-CE-BG-5. am08C=限=2 则BE= 3 DEIx轴 ∠BAC=∠EDC,∠ABC=∠DEC △CDE一△CAB, 器-治 :DE=E0-号x6=4 CB ②-8E=5PE=5 、PB=BE2+PE2=20+80=8 十 0P=PB-0B= 4 3-2=3 P(-) (3)解：如图②，记MN交圆于点F,连接PF, B M ② ~PC为直径， ∴∠PFC=∠PDC=90°， .∠0AC=459 LDPA=∠DAP=45°， MNI‖x轴， LPMC=∠DPA,∠PNC=∠EPB, .∠MDC=∠PDA,∠NEC=∠PEB Rt△MDC一Rt△PDA,Rt△CEN~Rt△BEP, 则tan∠PMC=tanDPA=tan45°=1， 由(2)得anL0BC=BE=2 PE *tan_PNC=-tan-EPB-器- 在R△PMP中，an☑PMC=a45-8E-1, 即MF=FP, R△PNF中，tan/PNC=5-=克FN=2FP, LPOC=L0PF=∠PFC=90° :四边形0PFC是矩形 .PF=0C=4, :.MN FM+FN=FP +2FP=12. 15,(1)解：AC为⊙0的直径， LADC=90°， ·∠CAD+∠ACD=90°， DE⊥AC, ∠CED=90°， ∴.∠CDE+∠DCE=90°， ·∠CAD=∠CDE, “CD=CD' ·∠CAD=∠CBD, ∠CDF=∠CBD=33°； (2)解：由(1)得：∠CDF=∠CBD, ,∠DCF=∠BCD, .△CDF一△CBD, 治-%-器 CF:BF =1:2 设CF=a,BF=2a,则BC=3a, :.CD=\3a, (3)解：过点P作PQWDF交BC于点Q, D E QF PE CF- E=m,△CEF-△CPO,△BPQ-△BDF 0-9=,即PQ=20r 5-得=7即Er=PQ=0F 3m DE=DF-EF= DF 2(m+1) PQ II DF ∴DB=Fa=2即DP=DB 、DP FQ m 在△P0E,osP0E=-品品 由2)得：5= 3 ÷cos-BDF=3, m+1 16.(1)解：正方形ABCD, AB=CD=4,∠BCD=90°， LCED 65 .∠CDE=90°-65°=259 ~以CD为直径在正方形内部作半圆M, .LCMF=24CDE =50,CM=DC=2 品的长度=02- (2)解：①由折叠的性质得：∠AFD=∠PFD, 设∠CDF=x,则∠CMF=2∠CDF=2x, DM=FM, ∠DFM=∠CDF=X, LADC=90, LADF=90°-∠CDF=90°-x, LDAF=50, ∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=180°-50°-(90°-X)=40°+x, ∠PFD=40°+X, LPFM=∠PFD-∠DFM=40°； ②由折叠的性质得：LAFD=∠PFD, 设∠CDF=y,则∠CMF=2LCDF=2y, DM=FM, ∠DFM=∠CDF=y, LADC=90°， LADF=90°-∠CDF=90°-y, ∴LAFD=180°-LDAF-LADF=180°-∠DAF-(90°-y=90°-∠DAF+y=∠BAF+y, ∠PFD=∠BAF+y, .∠PFM=∠PFD-∠DFM=∠BAF, 延长AF交DC的延长线于点T, B E 正方形ABCD中，AB II CD, ∠BAF=∠T, ∠MFN=∠T, ∠FMN=∠TMF, △FMN-△TMF, FM MN 'TM -FM' :FM2=MN×MT, 当MT取得最大值时，MN最小， 点F在⊙M上， 当AF与⊙M相切时，MT取得最大值，如图： 连接AP,交DE于点Q, DM⊥AD, AD与圆M相切， .AD=AF, 由折叠的性质得：AD=DP,AF=PF, ..AD=DP=AF=PF, 四边形AFPD是菱形， AP垂直平分DF, DM=FM, ∴点M在AP上， 正方形ABCD,AB=4, ..AD=CD=4, 在Rt△ADM中，AD=4,DM=CD=2, .AM=AD2 DM2=25, 0sDAQ 5 ∠DAQ+∠ADQ=∠FDN+∠ADQ=90°， LFDN=∠DAQ, ∴cos∠FDN=cosLDAQ= =25 DM 5 DQ=DM×25=45, 5 51 DF=2DQ=85, 5 DW=DF x cosa∠FDN=16, 5 MN-DN-DM- 即MN的最小值为 17.(1)证明：BF‖CD, ∠FBC+∠BCD=180°， ~四边形ABCD是圆内接四边形， ∠BAD+∠BCD=180°， LFBC=∠BAD, AC=BC, LCBA=∠CAB, .∠FBC=∠ABF+∠ABC,∠BAD=∠DAC+∠CAB, ∠DAC=∠ABF; （2)证明：如图，设∠1=a: AC=BC, LABC=∠1=a, ∠2=180°-2∠1=180°-2a; BC=BC L4=∠1=a; F D 品鼎， ∠3=∠2=180°-2a, ∠ADC=∠3+∠4=180°-2a+a=180°-a,∠EDC=180°-∠4=180°-a, LADC LEDC; CD平分LACE, ∠5=∠6 .CD=CD, ·.△ACD=△ECD(ASA), ..AC=CE; AC=BC, ..BC=CE; (3)解：过点C作CH⊥BD于点H,CG⊥AT于点G,如图； Q D BFNCD, .∠F=∠TDC,∠F+∠ADC=180°： LABC+∠ADC=180°， LABC=LGDC=∠F; ,∠BAC=∠BDC, ∠BDC=∠TDC=∠F; LCHD=∠CGD=90°，CD=CD, ·△CHD≌△CGD(AAS), ..HD=DG,CH=CG; LCHB=∠CGA=90°，∠CAG=∠CBH, ·△CHB≌△CGA(AAS), :.BH AG; .tanF =2, tan∠BDC=oH=2: CH 设HD=DG=x,则CH=2x, ..BH=AG=AD+DG=2+x; SABCD=BD:CH=4,BD BH+DH=AG+DG=x++x=2x+2, (2x+2)×2x=4, 解得：x1=1,x2=-2（舍去)， CH=2,BH=3, 由勾股定理得：AC=BC=VBH2+CH2=V13; 过点A作AQICT,交CD延长线于点O, ∴LQ=∠DCT; CD平分LACE, ∠DCT=∠DCA, ∠DCA=∠Q, AQ=AC=13; LADQ=∠GDC,∠Q=∠DCT, △ADQ一△TDC, -8 即9杀 品-吗 2 设CT=V13a,DT=2a,则GT=DT-DG=2a-1; 在Rt△GTC中，由勾股定理得：CG2+GT2=CT2, 即22+(2a-1)2=(W13a)2, 解得：a1=2=-1(舍去) CT=53 9 18.(1)证明：BC=CE, LEBC=∠ECB,即∠DBC=∠ACB, AB=CD, .∠ACB=∠ADB, LADB=∠DBC, ..ADIIBC; (2)证明：AD=AD .∠ABD=∠ACD ,∠ACD+∠BAC=∠ADB LABD+∠BAC=∠ADB 又LBAC+∠ABD=∠BEC,∠ADB=∠DBC .∴∠BEC=∠ACB ∴.∠BEC=∠ECB=∠EBC “△BCE是等边三角形； (3)解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q,过点J作JP⊥BG于点P D H F J B 由(2)可得△BCE是等边三角形； ∴.∠ACB=∠DBC=60° 由(1)可得ADIBC; ∠CAD=∠BDA=60°， :△AED是等边三角形， DQ⊥AC,OF⊥AC,直线OF分别交线段DC,DB,AB于点H,G,J, :.DQWFH, 股-既 .D:HC=5:8 .QF:FC=5:8 设QF=5a,FC=8a, OF⊥AC ..AF=FC=8a ..AQ=AF-QF=8a-5a=3a,EF=AF-AE=8a-6a=2a ~△AED是等边三角形， DE=AE=2AQ=6a,DQ=ADsin60°=3a×V3=3V3a,∠GEF=∠AED=60° LEGF=90°-60°=30° ..EG=2EF =4a EB=EC,ED=AE ∴AC=BD=2FC=16a, ..GB=BD-GE-DE 16a-4a-6a=6a,QC=AC-AQ=16a-3a=13a 在R△D0C中，mc0-器-0-晋c0=D0+QC=a3aP+1a2-14a AB=CD =14a,sinzDCQ=3V3a =33 14a14 在Rt△JPB中，BI=3, AD=AD ∴4JBP=LQCD sin☑Bp=sinzQCD=3g 14 哈-盟 P=3 14 ~tan☑/BP=taniQCD=33 13 .JP_33 =13 盟=39 Bp13 解得：BP-器 在Rt△JPG中，∠JGP=∠EGF=30° itanJGP I Gp=tan30°=3 3 6P=3p=3x2器-a 14 又GB=6a 6a=9 42 AB=14a=14×8=11 AJ=AB-B/=11-3=8 19.(1)证明：连接0B, 夕 D E 0B=OC, ∠OBC=∠OCB=∠ACD, LB0C=180°-2L0CB, BC=BC, *zBDC-BOC-90-20CB=90-LACD, LBDC+∠ACD=90°， .∠CED=90°， AC⊥BD (2)证明：BD是⊙O的直径， ∠BAD=90°， .∠BAE+∠EAD=90°， 设∠BAE=a, ∠EAD=90°-C, AC⊥BD, :∠DAE+∠ADB=90°， ∠ADB=a, AF切⊙O于F, 0A⊥AF, ∠FA0=90°， LFAB+∠BA0=90°， 又：∠BA0=∠AB0=(180°-LA0B)=90°-LADB=90-, ∠FAB=a, ..LFAC=2a=LDAG, AD=AD, LAGD=∠ACD, AC⊥BD,BD为⊙O的直径， ∴AE=CE, 在△AED和△CED中， AE=CE ∠AED=LCED, DE=DE ·△AED≌△CED(SAS), :.AD=CD, LAGD=∠ACD=∠EAD=90°-a, ∠ADG=180°-∠DAG-∠AGD=180°-2a-(90°-0=90°-a, LAGD=∠ADG, AG=AD (3)解：延长CH交⊙O于P,连接AP,DP, ◇ 由(2)知∠BAF=∠BAC=∠ACB=∠ADB=∠BDC=∠OAD=C,∠BAC=a, CH⊥AD, ∠AHC=90°， ∠ACH=∠BAC=a, 设BD交AC于Q, AP=AP, ADP=LACH=a,LACH=AOP, LAOB=2a=∠A0OP, 2PA0=∠AP0=(180°-2a网×2=90°-a=LAMH=∠CBD=BQC=∠DPQ, L0MQ=∠0QM=90°-a, ..OM=0Q,DQ=DP, ..AM=BQ, 在△PAM和△CBQ中， (LPAM=∠CBQ AM=BQ (∠PMA=LCQB ·.△PAM≌△CBQ(ASA), ..PM=CQ, :.PM=AP=AB=BC=CQ,PM+QM=CQ+QM, ∴PQ=CM=18, DQ=DP,DH⊥PQ, PH=QH=2PQ=2×18=9, 又LNAH=2C=LADC=∠APC, ∠PAD=∠PCD=90°-∠BCP=90°-2a, ∠NAP=2a+90°-2a=90°=∠NHA, △NAH-△NPA, NA NH NP=NA' 20 NH w+g=20,NH>0, NH=16, AH=202-162=12, am2a=-治-子AP=122+92=15. .AB=PM=15, ∴HM=15-9=6, ∴tana= BE=AE, 4B2+(GAE)=15,AB>0 4E=65, BF=AE-tan2a=65×f=85. 20.(1)证明：点C是弧BD的中点， ∴BC=CD, .BC=CD、∠BAC=∠CAD, ,∠CBD=∠CAD, ·∠BAC=∠CBD, BE平分LABD, ∴.∠ABE=∠DBE ∴.∠DBE+∠CBD=LABE+∠BAC, ∴∠CBE=LCEB, ..CE=BC, ·CB=CD=CE; (2)证明：如图1，连接BF, O● B G 图1 由(1)知：∠CBD=∠CAD=∠BAC, ~∠BAC=∠BFC, ·∠CBD=∠BFC, .∠CBD-∠DBF=∠BFC-∠DBF, ∴LCBF=∠BGF, ~∠BCF=∠GCB, ∴.△BCF-△GCB, BC CF CG=BC' ..BC2 CF.CG, BC=CE, .CE2=CF.CG; (3)①解连接AF,交BD于M,作直径FQ,连接CQ,设AC和BD交于点N,过点N作NH⊥AB 于点H, 如图2， G 图2 ~点A与点F关于BD对称， BD⊥AF, ∠AMB=90°， BD是⊙O的直径， ∠BAD=90°， tanzABD =AB= AD 1 设AD=a、AB=2a, 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=VAD2+AB2=a2+(2a2=V5a, BC CD, ∠BAC=∠CAD=45°， ,NH⊥AB .∠ANH=45°， ∴.∠ANH=∠HAN, :HA =HN, ∠BHN=∠BAD=90°、∠NBH=∠DBA, ∴.△BNH△BDA, =2a- a 2a 2 ∴NH=a, :.AN =V2NH=2VEa, 3 S△ABD=AD×AB=BD X AM, ∴AM=10×AB-2a22a BD =5a=5 ∴.MN=VAW2-AM2= 2 () 2a .2y5a 、3 5 15 ~FQ是⊙O的直径， FCQ=90°， ∴.∠FCQ=∠AMN, '∠Q=∠CAF, ∴△QCF一△AMN, 5a CF ·22a=25a, 3 15 ..CF=a. 2 在Rt△BCD中，CE=BC=BD=, ~CE2=CF.CG、∠ECF=∠ECG, ∴△ECF一△GCE, 53 ②如图3，连接AF,交BD于M,作直径FQ,连接CQ,设AC和BD交于点N,过点N作NH⊥AB 于点H, Q G 图3 设⊙0的半径为， 由①得，AM=8AD=422x2=2三 BD 2r NH_42-2-NH V4r2-2 ∴.NH= 4r2-2 V2r2-1+11 ..AN = 2y2r2-1 V2r2-1+1 '△AMN-△QCF, .ce=OF AM AN' CQ=AM·QF 22-12r AN =221=2r2-1+1, 2,2-1+1 .CF =QF2-C02 =2r2-1-1, ·CG=BC2 2x2 2 C5=211=221+1+2m 设2r2-1=k, C6=k+1+号=k-)+号+2≥22+2. ·CG的最小值为2W2+2.