第六单元 三角形、平行四边形和梯形（举一反三培优讲义）知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共73题-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

2025-2026学年苏教版数学四年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 第六单元 三角形、平行四边形和梯形『举一反三培优考点讲义』 【解析版】 （导图+知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共73题） 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点 考点名称 考点 考点名称 高频考点一 三角形的概念及表示方法 高频考点九 平行四边形的概念及特点 高频考点二 三角形的高及画法 高频考点十 平行四边形的不稳定性及应用 高频考点三 三角形的稳定性及应用 高频考点十一 平行四边形的高及画法 高频考点四 三角形三边关系 高频考点十二 画平行四边形 高频考点五 三角形的内角和 高频考点十三 梯形的概念及特点 高频考点六 三角形的分类 高频考点十四 梯形的高及画法 高频考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 高频考点十五 画梯形 高频考点八 画三角形 高频考点十六 多边形的内角和 模块二 导图指引 梳理脉络 模块三 知识精讲 单元小结 知识点一 三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二 三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三 三角形的高 1. 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五 三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六 三角形的分类 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七 三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八 认识平行四边形 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九 认识梯形 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十 平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 模块四 考点讲练 培优提升 高频考点一 三角形的概念及表示方法 【典例精讲】（2026四年级·全国·专题练习）将下面的梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】图见详解 【思路引导】把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，因平行四边形的两组对边都平行，梯形的一组对边平行，所以要分成一个平行四边形和一个三角形，就要用原来梯形的一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底的顶点做另一个腰的平行线，即可得到一个平行四边形和一个三角形。 【规范解答】在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。 【变式训练1】（25-26四年级上·甘肃武威·期末）按要求在下面平行四边形中各画一条线段。 【答案】见详解 【思路引导】对边平行且相等的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，根据平行四边形、梯形和三角形定义画线即可。 【规范解答】 （画法不唯一） 【变式训练2】（24-25四年级下·河北邯郸·期末）如图，在梯形ABCD中，如果点A沿AB所在的直线向右移动，与点B重合后停止移动，这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→梯形→三角形 B．梯形→平行四边形→三角形→梯形 C．梯形→三角形→平行四边形→三角形 【答案】A 【思路引导】有一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形，在四边形ABCD中，DC平行AB，则原来的图形ABCD是梯形，点A沿所在直线慢慢向点B移动，则边AB越来越短后，和线段DC一样长，且AD平行BC，有两组对边平行且相等的四边形是平行四边形；当线段DC小于线段AB时，此时是一个梯形；当点A和点B重合时，此时是一个三角形，据此选择即可。 【规范解答】 在梯形ABCD中，如果点A沿AB所在的直线向右移动，与点B重合后停止移动，这个图形的变化过程是梯形→平行四边形→梯形→三角形。 故答案为：A 高频考点二 三角形的高及画法 【典例精讲】（25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是( )厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是( )厘米。 【答案】 4 3 【思路引导】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。直角三角形中，两条直角边都小于斜边。直角三角形中，两条直角边互为底和高。 【规范解答】根据分析： 因为3＜4＜5，所以这个三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，那么3厘米和4厘米的直角边互为底和高。 一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是4厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是3厘米。 【变式训练1】（25-26四年级上·山东泰安·期中）画一画。（每个小正方形的边长都是1厘米） （1）分别画出一个三角形和一个平行四边形，使它们的底和高都是3厘米，并分别画出它们的一条高。 （2）画一个上底是2厘米，下底是5厘米，高是3厘米的梯形，并画出它的一条高。 【答案】见详解 【思路引导】（1）从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。 两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形；从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，平行四边形的每一条边都可以看作是底，所以平行四边形有4条底，有无数条高。高一般用虚线表示，并画上垂足符号。 （2）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。梯形有2条底，有无数条高。高一般用虚线表示，并画上垂足符号。 【规范解答】（1）、（2）如下图： 【变式训练2】（25-26四年级上·山东淄博·期中）画一画。（相邻两点间的长度代表1cm） （1）在点子图左边画一个底为4厘米的等腰三角形，并画出一条腰上的高。 （2）在点子图右边画一个高为3厘米的等腰梯形，并画一条线段把它分成一个三角形和一个平行四边形。 【答案】图见详解 【思路引导】（1）根据等腰三角形的定义，有两条边相等的三角形是等腰三角形，图中相邻两点间的长度代表1cm，据此即可画出底为4厘米的等腰三角形；经过等腰三角形底角的顶点向等腰三角形的一条腰作垂线，顶点和垂足之间的线段就是等腰三角形一条腰边上的高； （2）梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，等腰梯形是两腰相等的梯形，上底和下底的距离是3厘米，即3格。据此可画出对应的梯形；把等腰梯形分成一个平行四边形和一个三角形，因为平行四边形的两组对边都平行，等腰梯形的一组对边平行，所以用原来梯形一组平行的边作为平行四边形的一组对边，再过梯形上的底顶点作另一个腰的平行线，即可得到一个平行四边形和一个三角形。 【规范解答】 （画法不唯一） 高频考点三 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·山东日照·期末）张叔叔家的太阳能热水器支架损坏了（如图）需要更换零件，需要更换的钢条的长度可能为( )。（填序号）①2.7m；②3.3m；③0.2m，支架的设计体现了三角形的( )性。 【答案】 ① 稳定 【思路引导】根据三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由此可知，损坏的钢条长度应小于已知两边长度的和，而大于已知两边长度的差。 为了使支架稳固不易变形，通常把支架做成三角形，这是利用了三角形具有稳定性、不易变形的原理。据此解答。 【规范解答】1.7＋1.5＝3.2（m） 1.7－1.5＝0.2（m） 则损坏的钢条应大于0.2m，而小于3.2m。 ①0.2m＜2.7m＜3.2m，符合三角形的三边关系，所以2.7m可能是钢条的长度； ②3.3m＞3.2m，不符合三角形的三边关系，所以3.3m不可能是钢条的长度； ③0.2m＝0.2m，不符合三角形的三边关系，所以0.2m不可能是钢条的长度。 需要更换的钢条的长度可能为（①），支架的设计体现了三角形的（稳定）性。 【变式训练1】（24-25四年级下·江苏扬州·期末）下面说法正确的有（    ）个。 ①明明把20－15＝5，6×5＝30，写成一道综合算式是6×（20－15）＝30。 ②用1、2、3、4、5这五个数字组成一个两位数和一个三位数，乘积最大的是42×531。 ③桌子的腿松动了，按照图的方法加固比较好，因为三角形具有稳定性。 ④如果□18×23的结果是四位数，□最大填5。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①观察两道算式中6×5＝30中的“5”可以用“20－15＝5”替换，因为先算减法，再算乘法，要加小括号。 ②将较大的数字5和4放在两位数和三位数的最高位，可能是53×421，52×431，43×521，42×531，51×432，算出结果后比较积最大的算式即可。 ③三角形稳定性是指三角形三边长度一定时，它的形状，大小就不变了，生活中常运用三角形稳定性解决实际问题。 ④如果□18×23的结果是四位数，□里的数依次从1开始试算，直到找到结果是五位数的积，那么□最大填的数比这个数小1即可。 【规范解答】①由分析可知：把20－15＝5，6×5＝30，写成一道综合算式是6×（20－15）＝30，说法正确。 ②53×421＝22313，52×431＝22412，43×521＝22403，42×531＝22302， 51×432＝22032，最大的积为22412，即乘积最大的是52×431，原题说法不正确。 ③桌子的腿松动了，按照图的方法加固比较好，运用了三角形稳定性，说法正确。 ④118×23＝2714，218×23＝5014，318×23＝7314，418×23＝9614，518×23＝11914（五位数），所以如果□18×23的结果是四位数，□最大填4。说法错误。 说法正确的有①③共2个。 故答案为：B 【变式训练2】（24-25四年级下·浙江·期末）如图①是淘气自制的手机支架，制成三角形支架主要是应用了三角形的( )性；如图②这个支架底座上构成的三角形按边分是( )三角形；如果每两个卡扣的间隔为1厘米，从左往右数，手机支架的底端最多可放在第( )个卡扣处。 【答案】 稳定 等腰 7 【思路引导】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 【规范解答】由题意得，手机支架制成三角形支架主要是应用了三角形的稳定性。 5厘米＝5厘米，所以图②中支架底座上构成的三角形按边分是等腰三角形。 第三条边＜两边之和，5＋3＝8（厘米），那么第三条边的长度小于8厘米。每两个卡扣的间隔为1厘米，所以手机支架的底端最多可放在第7个卡扣处。 图①是淘气自制的手机支架，制成三角形支架主要是应用了三角形的稳定性；如图②这个支架底座上构成的三角形按边分是等腰三角形；如果每两个卡扣的间隔为1厘米，从左往右数，手机支架的底端最多可放在第7个卡扣处。 高频考点四 三角形三边关系 【典例精讲】（25-26四年级上·山东烟台·期末）聪聪有两根小棒，他想把其中的一根沿着整厘米刻度线剪一刀，哪种剪法可以围成一个三角形（    ）。（长度：厘米） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【思路引导】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对每个选项中三根小棒的长度进行分析判断，看是否能围成三角形。 【规范解答】A．将8厘米的小棒剪成1厘米和7厘米两段，此时三根小棒长度分别为1厘米、7厘米、5厘米。两边之和：1＋5＝6（厘米），6厘米＜7厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，A选项错误。 B．将8厘米的小棒剪成6厘米和2厘米两段，此时三根小棒长度分别为6厘米、2厘米、5厘米。2＋5＞6，2＋6＞5，6＋5＞2，所以能围成三角形，B选项正确。 C．将5厘米的小棒剪成2厘米和3厘米两段，此时三根小棒长度分别为8厘米、2厘米、3厘米。两边之和：2＋3＝5（厘米），5厘米＜8厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，C选项错误。 D．将5厘米的小棒剪成1厘米和4厘米两段，此时三根小棒长度分别为1厘米、4厘米、8厘米。两边之和：1＋4＝5（厘米），5厘米＜8厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，D选项错误。 故答案为：B 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）小明从家到学校，走哪条路最远？走哪条路最近？最近的路与最远的路相差多少米？ 【答案】从家经过宾馆再到学校的路；从家直接到学校的路；300米 【思路引导】根据题意可知，小明家到学校有3条路，分别是小明从家经过博物馆再到学校、小明从家直接到学校、小明从家经过宾馆再到学校。可以看出图中3条路分别围成了两个三角形，根据三角形两边之和大于第三边，可知从家直接到学校那条路最近；分别计算剩下2条路的距离后，进行比较，得出最远的路；然后用最远的减去最近的即可解此题。 【规范解答】800＋1200＝2000（米） 1100＋1000＝2100（米） 2100＞2000＞1800 2100－1800＝300（米） 答：小明从家经过宾馆再到学校的路最远，小明从家直接到学校的路最近，相差300米。 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习）一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） 【答案】可以在7厘米处或8厘米处或9厘米处剪一刀 【思路引导】已知条件可求出其余两条线段的长度之和即为（厘米）；找出和为8的两个非零自然数，继而得出其余两条线段的长度；接下来找出能与4厘米围成三角形的一组线段长，由此可求出答案。 【规范解答】（厘米）    ，，不能围成三角形。 ，，不能围成三角形。 能围成三角形的三段可以是4厘米、3厘米和5厘米或4厘米、4厘米和4厘米，所以可以在7厘米或8厘米或9厘米处剪一刀。 【考点剖析】本题考查的是三角形边的关系，解题的关键是明白两边之和大于第三边。 高频考点五 三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级上·山东·单元测试）一个三角形的三条边长度都是，这是一个( )三角形，每个内角的度数都是( )。 【答案】 等边 60 【思路引导】一个三角形的三条边长度相等，这个三角形是等边三角形，三个角相等。根据三角形的内角和为180°，可求出一个内角是180°÷3。据此可得出。 【规范解答】由分析可得出，三条边长度相等的三角形是等边三角形，等边三角形的3个内角的度数相等，即180÷3＝60°。 【变式训练1】（2025四年级下·全国·专题练习）手工课上，老师笑着说：“同学们，听说你们刚学了三角形和四边形的知识，那我可要考考你们了！”同学们信心满满地说：“没问题！” （1）首先，老师让大家设计一个三角形教具。下面是小宇和小恒的设计方案，这两个设计方案可行吗？为什么？ （2）然后，老师拿出了一根刚好围成一个边长是12厘米的等边三角形的铁丝，让大家用这根铁丝围成一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？ （3）最后，老师让大家用三角形设计风筝图案。下面是园园用3个大小不同的等边三角形设计的风筝图案。她准备用彩绳给风筝做一个装饰，有①②③三种方案，哪种方案最省彩绳？哪两种方案用的彩绳一样长？为什么？ 【答案】（1）这两个设计方案都不可行。理由见解析； （2）9厘米；（3）方案②最省彩绳，方案①和方案③用的彩绳一样长，因为等边三角形三条边长度相等。 【思路引导】（1）根据三角形内角和判断小恒的设计方案是否可行；根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边判断小宇的设计方案是否可行； （2）已知等边三角形的铁丝边长为12厘米，先求三角形的周长，再用这根铁丝围成正方形，正方形的周长和三角形的周长一样，所以用周长除以4得到正方形的边长； （3）把三种方案的彩带长度计算出来，比较三种方案，选择长度最短的方案是最省彩绳的。 【规范解答】（1）， （厘米）， 答：这两个设计方案都不可行。因为小恒的设计方案中，三角形的内角和大于180°；小宇的设计方案中，三角形的其中两边之和等于第三边。 （2）（厘米） 答：这个正方形的边长是9厘米。 （3）方案①：（厘米） 方案③：（厘米） 方案②：（厘米）， 答：方案②最省彩绳，方案①和方案③用的彩绳一样长，因为等边三角形三条边长度相等。 【变式训练2】下图中，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 75 80 60 【思路引导】（1）有一个角是直角，有两条边相等的三角形是直角三角形，同时还是等腰三角形； 如图，蓝色三角形既是直角三角形又是等腰三角形，它的顶角是90°。 因为，等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°； 所以，蓝色三角形的底角和＝三角形内角和－顶角；∠5＝蓝色三角形的底角和÷2；∠1＝三角形内角和－∠5－60°。 （2）利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求出∠2的度数。 （3） 如图，大三角形是个等腰三角形，因此∠6＝40°； 因为三角形内角和是180°，所以∠3＝三角形内角和－∠2－∠6。 【规范解答】（1）180°－（180°－90°）÷2－60° ＝180°－90°÷2－60° ＝180°－45°－60° ＝135°－60° ＝75° 因此，∠1＝75°。 （2）与∠2不相邻的两个内角都是40° 40°＋40°＝80° 因此，∠2＝80°。 （3）180°－80°－40° ＝100°－40° ＝60° 因此，∠3＝60°。 【考点剖析】本题主要考查三角形内角和的应用，关键在于找到图形中和特殊三角形有关的信息，如直角三角形、等腰三角形。 高频考点六 三角形的分类 【典例精讲】（25-26五年级上·广东汕头·期末）按要求在下面的方格中作图并完成填空。 (1)在下图中依次标出以下三个点的位置：A（2，7），B（2，2），C（6，2）。 (2)把它们依次连成一个封闭图形，这是一个（    ）三角形。 (3)要想把三角形ABC变成一个等腰三角形，可以将点( )平移到( )。 【答案】(1)见详解 (2)直角 (3) C （7，2） 【思路引导】（1）用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。 （2）在三角形ABC中，∠ABC是一个直角，所以它是一个直角三角形。 （3）直角边AB是5格，直角边BC是4格。如果它们的长度相等，就是一个等腰三角形。 【规范解答】（1）点A在第2列，第7行；点B在第2列，第2行；点C在第6列，第2行。 （2）直角 （3）使直角边AB和直角边BC相等，可以把点C平移到第7列，第2行的位置。（答案不唯一） 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是( )°，原来这块纸片的形状，按角分是( )三角形。 【答案】 57 锐角 【思路引导】根据三角形的内角和是180°计算出撕去角的度数；再根据三角形按角分类规则判断：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【规范解答】180°－66°－57° ＝114°－57° ＝57° 三个角都大于0°，小于90°。 所以撕去的这个角的度数是57°，原来这块纸片的形状，按角分是锐角三角形。 【变式训练2】（23-24四年级下·河南许昌·期中）桌子上有一些三角形纸板，聪聪数了数共有25个锐角、3个钝角、2个直角，这些三角形纸板中有锐角三角形( )个。 【答案】5 【思路引导】有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。根据题意，有3个钝角说明有3个钝角三角形，3个钝角三角形有3×2＝6个锐角；有2个直角说明有2个直角三角形，2个直角三角形有2×2＝4个锐角，所以还有25－6－4＝15个锐角，每个锐角三角形有3个锐角，那么锐角三角形的个数为15÷3＝5个，据此解答即可。 【规范解答】3×2＝6（个） 2×2＝4（个） 25－6－4 ＝19－4 ＝15（个） 15÷3＝5（个） 桌子上有一些三角形纸板，聪聪数了数共有25个锐角、3个钝角、2个直角，这些三角形纸板中有锐角三角形5个。 高频考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）在一个等腰三角形中，其中一个底角是顶角的4倍，这个三角形的底角和顶角分别是多少度？ 【答案】80°；20° 【思路引导】设顶角为1份，则2个底角分别为这样的4份，三角形的内角和一共是这样的9份，据此可以求出顶角的度数，那么底角＝顶角×4。 【规范解答】顶角：180°÷（4＋4＋1） ＝180°÷9 ＝20° 底角：20°×4＝80° 答：这个三角形的底角是80°，顶角是20°。 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 【答案】 70° 40° 55° 55° 锐角 【思路引导】根据题意，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于180°。题意没有说明70° 角是顶角还是底角，需分情况讨论。无论哪种情况，所有的角都是锐角，因此为锐角三角形。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 当70°为底角时： 180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 此时三个角为：70°、70°、40° 当70°为顶角时： （ 180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 此时三个角分别为：70°、55°、55° 一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是70°和40°，也可能是55°和55°，按角分类这个三角形是锐角三角形。 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课后作业）木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 【答案】19分米 【思路引导】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算两种情况下，需要木条的总长度并比较得出最小值。 等腰三角形两条腰长度相等，情况一：若腰长为5分米，则另一条腰长也为5分米，底边长为9分米。根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，再计算木条的总长度。三条边长度分别为5分米，5分米，9分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度； 情况二：若腰长为9分米，则另一条腰长也为9分米，底边长为5分米。同样根据三角形三边关系判断能否构成三角形，三条边长度分别为9分米，9分米，5分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度，据此解答。 【规范解答】情况一：木条的总长度为： （分米） 情况二：木条的总长度为： （分米） 答：王叔叔至少需要19分米的木条。 【考点剖析】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算木条的总长度，是解题的关键。 高频考点八 画三角形 【典例精讲】（24-25四年级下·全国·课后作业）按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 【答案】见详解 【思路引导】直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。每个三角形都有三个底和对应的高。 【规范解答】 【变式训练1】（24-25四年级下·河北廊坊·期末）按要求作图（每个小方格的边长为1cm）。 （1）图形①是一个轴对称图形，根据给出的对称轴补全它的另一半。 （2）画出图形②向右平移5格后的图形。 （3）在图中画一个以线段AB为底，且高是4cm的三角形，并画出底边AB上的高。 【答案】图见详解 【思路引导】（1）沿一条直线对折后两部分可以完全重合的图形叫做轴对称图形。把图形补全，使它成为一个轴对称图形，需要先数格子，在对称轴的另一侧找到对应的顶点，依次连接这些点； （2）作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点；确定平移方向和平移距离；过关键点沿平移方向画出平行线；由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连接对应点； （3）在AB所在直线的上方，找一条与AB平行且距离为4格（4cm）的直线，在该直线上任取一点作为三角形的顶点，再连接点A和点B，构成三角形；作三角形的高：从三角形底边所对的顶点向它的对边作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底；据此作图。 【规范解答】画图如下： 【变式训练2】（24-25四年级下·河北唐山·期末）按要求在方格中画图。（每小格的边长表示1cm） （1）以线段AB为底，画一个高4厘米的三角形。 （2）以线段CD为底，画一个高3厘米的平行四边形。 （3）以线段EF为上底，画一个高4厘米的梯形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）因为三角形的高是从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。所以从AB上方（或下方）的某一点，向AB作一条垂直于AB的线段，长度为4厘米（即4个小格的长度）。连接这个点与A、B两点，就得到了以AB为底，高4厘米的三角形。（答案不唯一） （2）平行四边形的对边平行且相等，高是从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段就是平行四边形的高。从CD上方（或下方）的某一点，向CD作一条垂直于CD的线段，长度为3厘米（3个小格的长度）。过这条垂线段的另一个端点，作CD的平行线段，长度与CD相等，然后连接各点，就得到了以CD为底，高3厘米的平行四边形。（答案不唯一） （3）梯形是只有一组对边平行的四边形，高是两底之间的距离。从EF下方的某一点，向EF作一条垂直于EF的线段，长度为4厘米（4个小格的长度）。过这条垂线段的另一个端点，画一条与EF平行的线段作为下底，下底的长度可以根据需要确定（只要与EF平行且不相等即可），然后连接各点，就得到了以EF为上底，高4厘米的梯形。（答案不唯一） 【规范解答】 （答案不唯一） 高频考点九 平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课后作业）下面不同长度的小棒各有2根。（摆一摆，填一填） (1)任选3根小棒，( )（填“一定”或“不一定”）能围成一个三角形。 (2)要围成一个平行四边形，最多用( )种不同长度的小棒，最少用( )种不同长度的小棒。 (3)要围成一个梯形，最多用( )种不同长度的小棒，最少用( )种不同长度的小棒。 【答案】(1)不一定 (2) 4 2 (3) 4 3 【思路引导】（1） 根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，需判断从给定小棒中任选3根是否一定满足该条件； （2） 平行四边形对边平行且相等，考虑不同长度小棒的组合情况； （3） 梯形只有一组对边平行，分析其对边长度的不同组合可能性。 【规范解答】（1）选3厘米、5厘米、6厘米：，能围成；选3厘米、3厘米、6厘米：，不能围成。所以任选3根小棒不一定能围成三角形。 （2）平行四边形对边相等，但可以将2根不同长度的拼接在一起作为一条边，例如一边为5厘米＋6厘米，邻边为7厘米＋3厘米，因此就用4种不同长度，共用了8根：最少用2种不同长度，如5厘米和6厘米各2根。 （3）梯形最多用4种不同长度（上底、下底、两腰各不相等）；最少用3种不同长度，如两腰相等的等腰梯形，上底和下底不同，两腰相同（如3厘米、5厘米、5厘米、7厘米）。 【变式训练1】（25-26四年级上·福建莆田·期末）请你在下面的方格纸上按要求量一量，画一画。 （1）量出方格纸中角的度数，并在图上标出来。 （2）以这个角的两条边为一组邻边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 （3）再画一个下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数； （2）过一条边的另一个端点作与另一条长度相等的平行线段，再把这两条平行线段的另一个端点连接起来即可得到一个平行四边形，再从平行四边形的一个端点作对边的垂线段，即可得到平行四边形的一条高； （3）结合等腰梯形两腰相等的特点，让下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等，再同时两腰长相等。 【规范解答】（1）根据量角器得使用方法，量出角度为110°，如图： （2）结合平行四边形特点，两组对边分别平行且相等，分别作出与这两条线段长度相等的平行线段，如图： （3）下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形，两腰长相等，如图： （画法不唯一） 【变式训练2】（25-26四年级上·福建龙岩·期末）画一画，量一量，想一想。8分 (1)在上面方格中画一个梯形。 (2)在梯形中画一条线段，把梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 (3)这个平行四边形的四个内角的度数分别是多少？请在图中标出。 (4)根据测量出的度数，你有什么发现或猜想？写在右下方框里。 我的发现或猜想：    【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角和为180°（互补）； 平行四边形的内角和为360°。 【思路引导】（1）画梯形 梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。 操作：在方格纸上，任选一组水平（或竖直）的平行线段作为上下底，再连接两条不平行的腰，即可画出梯形（例：上底占3格，下底占5格，竖直方向占2格）。 （2）分割梯形 目标：用一条线段将梯形分成1个平行四边形和1个小梯形。 核心：平行四边形需满足 “两组对边分别平行”，因此从梯形一腰的某点，作与另一腰平行的线段，交对边即可。 操作：从梯形上底的一个端点，作一条与梯形的腰平行的线段，交下底于一点，即可完成分割。 （3）平行四边形内角标注 测量工具：用量角器测量平行四边形的四个内角。 规律（实测验证）：平行四边形的对角相等，邻角互补（和为180°），四个内角和为360°。 标注：在平行四边形的四个角旁，分别写出测量出的度数（例：60°、120°、60°、120°）。 （4）发现与猜想 平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角和为180°（互补）； 平行四边形的内角和为360°。 【规范解答】（1） （2）如上图 （3）如上图 （4）平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角和为180°（互补）； 平行四边形的内角和为360°。 高频考点十 平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（25-26四年级上·天津滨海新区·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．正方形相邻的两条边互相平行 B．平行四边形具有稳定性 C．长方形是特殊的平行四边形 D．梯形是特殊的平行四边形 【答案】C 【思路引导】正方形是一种四边形，其四条边长度相等且四个角都是直角，所以正方形相邻的两条边互相垂直； 平行四边形容易变形，具有不稳定性； 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形有四条边，对边平行且相等，长方形是特殊的平行四边形； 平行四边形要求两组对边都平行，而梯形只有一组对边平行，不满足平行四边形的定义，因此不是平行四边形的特殊形式。 【规范解答】A．正方形相邻的两条边互相垂直，原题说法错误； B．平行四边形具有不稳定性，原题说法错误； C．长方形是特殊的平行四边形，原题说法正确； D．梯形不是特殊的平行四边形，原题说法错误。 故答案为：C 【变式训练1】（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）用木条钉成一个长方形框架，长12厘米，宽8厘米。将长方形框架拉成平行四边形框架，平行四边形框架的高可能是（    ）厘米。 A．7 B．8 C．9 【答案】A 【思路引导】当长方形被拉成平行四边形时，底的长度不变（仍为原长方形的长12厘米），因为拉伸后框架倾斜，高是从底边对应的顶点向底边作垂线，这个高一定小于原来长方形的另一条边（斜边大于直角边），长度会缩短，所以平行四边形的高会小于原长方形的宽（8厘米）。 【规范解答】A．7厘米＜8厘米，符合。 B．8厘米＝8厘米，不符合。 C．9厘米＞8厘米，不符合。 平行四边形框架的高可能是7厘米。 故答案为：A 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课后作业）谁的篱笆更牢固，为什么？ 【答案】小王的篱笆更牢固，因为三角形具有稳定性。 【思路引导】根据三角形的特性：三角形具有稳定性；据此进行分析。 【规范解答】小张的篱笆是由多个长方形组成的，小王的篱笆是由多个三角形组成的，三角形具有稳定性，所以小王的篱笆更牢固。 答：小王的篱笆更牢固，因为三角形具有稳定性。 高频考点十一 平行四边形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级上·河北唐山·期末）按要求作图。 （1）以线段EF为一条边，画一个平行四边形。 （2）画出这个平行四边形的一条高。 （3）找出点D，使四边形ABCD是直角梯形，画出这个梯形。 【答案】见详解 【思路引导】根据平行四边形和梯形的特点画图。 （1）平行四边形的两组对边分别平行且相等，找到线段EF（并数出长度），在网格中任意找一点G，从G点出发作一条与EF平行且长度相等的线段GH，连接E到G，F到H，这样四边形EFHG就是平行四边形。（答案不唯一） （2）高是指从平行四边形的一条边上的任意一点，向它的对边作垂线，这点和垂足之间的线段即为高。以画出的平行四边形EFHG的一条边，选择EF为底边，在它的对边GH上任意找一点，向底边EF作一条垂线，标出直角符号，即为平行四边形的高。 （3）有一个角是直角，并且只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是直角梯形。观察图中给出三个点A、B、C，需要构造出一个直角，所以从A点出发向上作一条垂直于AB的线段AD，连接D和C，形成四边形ABCD，并且AB和DC是平行的，并且AD垂直于AB，所以ABCD是一个直角梯形。 【规范解答】（1）（2）（3）画图如下： （答案不唯一） 【变式训练1】（25-26四年级上·河北唐山·期末）学校要建一个科技活动基地，形状是平行四边形。 （1）在下面方格纸上，找到点D，画出平行四边形ABCD。 （2）若从点M出发，铺一条到AB最短的路。请在图上画出这条路。 （3）请画出平行四边形ABCD的高，高是（    ）cm。       【答案】（1）（2）（3）作图见详解；4 【思路引导】（1）平行四边形的特点是两组对边平行且相等，我们可以根据这个性质确定点D的位置，进而画出平行四边形ABCD。 （2）从直线外一点到这条直线的所有连线里，垂线段的长度是最短的。所以我们从点M向AB作一条垂线段，这条垂线段就是从M出发到AB的最短路径。 （3）平行四边形的高是从一条边上的一点向对边作的垂线段的长度。如果我们以AD为底，对应的高就是垂直于AD的线段长度，结合方格纸的1厘米单位，这个高的长度为4cm。 【规范解答】（1）（2）（3） 高是4cm。（高的画法答案不唯一） 【变式训练2】（24-25四年级上·浙江杭州·期末）（1）在下图中，以AB、BC为邻边画一个平行四边形，再画出BC边上的高。 （2）在下图中，找一个点D，使得D和E、F、G围成一个等腰梯形。 （3）在你画好的等腰梯形DEFG中画一条线段，将其分成一个平行四边形和梯形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【思路引导】（1）两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，以此画出以AB、BC为邻边的一个平行四边形；在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向BC作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应BC上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号。 （2）两腰相等的梯形叫做等腰梯形，从E点向右数第5个格，找到D点，再连接D、E、F、G四个点，就是等腰梯形。 （3）等腰梯形的两条腰相等，从上底的一个顶点出发作一条腰的平行线，即可将其分成一个平行四边形与一个三角形。以此画图即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）在下图中，以AB、BC为邻边画一个平行四边形，再画出BC边上的高如下： （2）在下图中，找一个点D，使得D和E、F、G围成一个等腰梯形如下：   （3）在你画好的等腰梯形DEFG 中画一条线段，将其分成一个平行四边形和梯形如下：（画法不唯一） 高频考点十二 画平行四边形 【典例精讲】（25-26四年级上·浙江温州·期末）画一画（小方格的边长表示1厘米）。 （1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形。 （2）在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）绘制上底为4厘米、下底为6厘米的梯形：在方格纸上先确定梯形的上下两条水平线。在上边线上量取4格（表示4厘米），在下边线上量取6格（表示6厘米）。连接上下边线两侧的端点，即可得到一个梯形。 （2）绘制“高比对应的底少2厘米”的平行四边形：先在方格纸上画出一条水平线作为底边，设定长度为B格。因为高比底少2厘米，所以高＝B－2（格）。在底边上方竖直向上量出（B－2）格，再画一条与底边等长（B格）且平行的线段作为顶边。将顶边与底边的左右端点用斜线相连，即可得到一个平行四边形。 【规范解答】（1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形如下： （2）5－2＝3（厘米） 在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形（底是5厘米，高是3厘米）如下： （画法不唯一） 【变式训练1】（25-26四年级上·新疆喀什·期末）在下面方格里画一个底是5厘米、高是3厘米的平行四边形，并标出相应的底和高。（每个小方格的边长是1厘米） 【答案】见详解 【思路引导】因为小方格的边长是1厘米，所以画一个底是5格，高是3格的平行四边形，然后在对应的底标出高即可。 【规范解答】画一个底是5格，高是3格的平行四边形。 （画法不唯一） 【变式训练2】（25-26四年级上·河北邢台·期末）图中每个小方格边长为1厘米，按要求完成下面各题。 （1）按角的种类分，是_____角。 （2）以为梯形的两条边，画一个等腰梯形。 （3）过点画梯形边上的高，并标出垂足。 （4）在梯形中画一条线段，将梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】（1）钝 （2）（3）（4）图见详解 【思路引导】（1）大于0°且小于90°的角是锐角；等于90°的角是直角；大于90°且小于180°的角是钝角。三角板上的直角的顶点与角的顶点重合，一条直角边与角的一边重合，角的另一边在直角里面，说明这个角小于直角，是锐角；角的另一边与直角的另一边也重合，说明这个角与直角相等，是直角；角的另一边在直角的外面，说明这个角大于直角，是钝角。用三角板上的直角与∠1进行比较，∠1大于直角，所以∠1是一个钝角。 （2）等腰梯形的两条腰长度相等。可以根据等腰梯形“两腰相等”的特点先找到点D，然后再连接AD和CD即可。 （3）从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，这条对边叫做梯形的底。 （4）由题意得，要想把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，平行四边形的两组对边分别平行，那么所画的线段应该与梯形ABCD 其中的一条腰AD（或者BC）平行且相等；从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，这条线段是平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。据此解答。 【规范解答】（1）按角的种类分，∠1是钝角。 （2）（3）（4）如下图 （第四问答案不唯一） 高频考点十三 梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级上·福建福州·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD。如果点A沿着AB所在的直线慢慢往右移动，与点B重合后停止运动。这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→梯形 B．梯形→平行四边形→三角形 C．梯形→三角形→平行四边形→梯形 D．梯形→平行四边形→梯形→三角形 【答案】D 【思路引导】本题考查梯形、平行四边形和三角形的特征知识。互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰；两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。据此分析解题即可。 【规范解答】根据题意， 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD。如果点A沿着AB所在直线慢慢往右移动，一开始线段AB与线段CD不相等，图形是梯形；当线段AB与线段CD相等时，图形是平行四边形；点A再继续移动，线段AB和线段CD不相等，图形是梯形；当点A与点B重合后，图形是三角形。所以这个图形的变化过程是“梯形→平行四边形→梯形→三角形”。 故答案为：D 【变式训练1】（25-26四年级上·福建莆田·期末）已知的线段为梯形的下底，将梯形补画完整，并画出底边上的高。 【答案】见详解 【思路引导】梯形只有一组对边平行，梯形的上、下底之间的距离是梯形的高，据此作图即可。 【规范解答】作图如下（答案不唯一）： 【变式训练2】（25-26四年级上·河北廊坊·期末）在方格纸上按要求画图形。（温馨提示：不用尺子画图要减分的哦） （1）如图，以AB、BC为梯形的两条边，找到点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为等腰梯形。 （2）过点B画梯形CD边上的高，标出垂足E。 （3）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分为一个平行四边形和一个三角形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）等腰梯形的上底与下底平行，两腰相等。由题可知，先过点C作出一条与AB平行的线，再在这条线上确定出点D，使AD与BC相等，据此作出等腰梯形。 （2）过点B画梯形CD边上的高。即从点B向边CD作垂线，垂足为E，点E在CD上。 （3）取梯形的一条腰上的一个端点，作另一条腰的平行线，即可截出平行四边形，那么剩余的图形就是三角形。 【规范解答】如图所示： 高频考点十四 梯形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）按要求完成下面各题。 (1)在图中把平行四边形画完整。 (2)画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 (3)画出这个梯形的高。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路引导】（1）平行四边形的两组对边平行且相等。以斜着的边上面的端点为一点，过这点画下面边的平行线。再以下面边的右边端点为一点，过这个点画斜边的平行线。两条平行线的交点就是平行四边形的一个顶点。据此画出图形。 （2）梯形只有一组对边平行。过平行四边形的一个顶点画一条线，这样就可以把平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 （3）从梯形的上底到下底的垂直线段，就是梯形的高。把直角三角尺的一条直角边与梯形的下底重合，沿着另一条直角边画线段，让这条线段过上底，所画线段即为梯形的高，标上垂直符号。 【规范解答】（1）画法如下所示： （2）画法如下所示：（答案不唯一） （3）画法如下所示：（答案不唯一） 【变式训练1】（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）在下面方格中，按要求画图。 （1）在下面方格中画出一个直角梯形和一个等腰梯形。 （2）标出直角梯形的上底、下底和高。 （3）画一条线段，把等腰梯形分成一个梯形和一个平行四边形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；等腰梯形的两腰相等；直角梯形中存在两个直角。 （2）从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高；高一般用虚线表示，并画上垂足符号；据此作图。 （3）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。要想将梯形分成一个平行四边形和一个梯形，则过上底的一个点（两端除外），作腰的平行线即可。 【规范解答】画图如下： 【变式训练2】（25-26四年级上·北京丰台·期末）在下面的方格中画图形（每个小方格表示边长1厘米的正方形）。 ①画一个底和高都是3厘米的平行四边形。 ②连接图中的四个点，构成一个等腰梯形。 【答案】①②见详解 【思路引导】①两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，据此画底3个小格，高为3个小格的平行四边形即可； ②两腰相等的梯形叫做等腰梯形，在平行的一组对边中，一般位置在上的一条线段为上底，位置在下的为下底，据此解题。 【规范解答】①作图如下： （画法不唯一） ②作图如下： （画法不唯一） 高频考点十五 画梯形 【典例精讲】（24-25四年级下·安徽蚌埠·期末）按要求画一画。 （1）画出①号图形绕点A逆时针旋转90°后的图形，并将旋转后的图形向下平移3格。 （2）画出一个上底为4厘米，下底为6厘米，高为3厘米的等腰梯形（每个小方格的边长表示1厘米）。画出这个梯形的对称轴。 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【思路引导】（1）与时针旋转方向相反的是逆时针方向，据此将以点A为端点的两条边，先绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后的线段，再将这两条线段的另外两个端点相连，即可得到旋转后的图形，接着将旋转后的图形各个顶点向下平移3格，描出平移后的顶点，再将这3个点顺次相连，即可得到平移后的图形。 （2）梯形的上底与下底是互相平行的，先画上底，上底占4格，再画出下底，下底占6格，且上底与下底之间间隔3个方格，即高是3厘米，使得两腰的长度相等，即可得到一个满足条件的等腰梯形。取上底的中点，再取下底的中点，这两个中点的连线即为对称轴。 【规范解答】（1）（2） 【变式训练1】（25-26四年级上·天津南开·期末）动手画。 （1）下面方格中每个小正方形的边长为1cm，请以给出的线段为底画一个高为3cm的平行四边形，并画出一条高。 （2）在画出的平行四边形中增加一条线段，把它分成两个梯形，并把其中一个梯形用阴影表示出来。    【答案】见详解 【思路引导】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，高画出3格；平行四边形作高的方法：从底边对边的一个顶点向底边作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是平行四边形的高； （2）只有一组对边平行的四边形叫做梯形，据此在画出的平行四边形中增加一条线段，把它分成两个梯形，并把其中一个梯形用阴影表示出来。 【规范解答】（1）、（2）如下图所示： （第（2）小题的画法不唯一） 【变式训练2】（25-26四年级上·北京西城·期末）在方格纸上画图。在下侧方格纸内，以AB为底，画一个高是2厘米的梯形。 【答案】见详解 【思路引导】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫做梯形的底边，长的一条底边叫下底，短的一条边叫上底，另外两边叫腰，两底间的距离就是梯形的高。在线段AB的上方高2厘米处画一条平行于AB的线段作为上底，然后再用两条线段分别连接上下两个线段的端点，即可画一个高是2厘米的梯形。（画法不唯一） 【规范解答】 画法不唯一 高频考点十六 多边形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·全国·课后作业）先照样子画一画，把图形分成三角形，再填空。 （1）我发现：多边形所分成的三角形的个数总比多边形的边数少（    ），因此，多边形的内角和＝180°×（边数－________）。 （2）若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形有（    ）条边。 【答案】 见详解 （1）2；2；   （2）9 【思路引导】观察表格可知： 边数为4时，三角形个数为2，； 边数为5时，三角形个数为3，； 边数为6时，三角形个数为4，； 边数为7时，三角形个数为5，。 所以多边形所分成的三角形的个数总比多边形的边数少2。 内角和方面，三角形内角和为180°，四边形内角和，五边形内角和，六边形内角和，七边形内角和，因此多边形的内角和 = 180°×（边数 - 2）。 （2）已知多边形内角和是1260°，根据内角和公式可得：边数 - 2 ，所以边数 。 【规范解答】 边数 4 5 6 7 … 三角形个数 2 3 4 5 … 内角和 360° 540° 720° 900° … （1）我发现：多边形所分成的三角形的个数总比多边形的边数少2，因此，多边形的内角和＝180°×（边数－_2）。 （2）若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形有9条边。 【变式训练1】（24-25四年级下·山西大同·期末）如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是( )度，剪去的涂色部分是( )三角形。 【答案】 540 直角 【思路引导】如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形是一个五边形，根据多边形内角和＝（多边形边数－2）×180°，剪去的涂色部分是一个有直角的三角形，因为长方形的角是直角，所以有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【规范解答】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 由分析可知：图中一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是540度，剪去的涂色部分是直角三角形。 【变式训练2】（23-24四年级下·江苏盐城·期末） 知识小分享 将三角形的一条边延长，与相邻的边会组成一个新的角，这个角就是三角形的一个外角。比如图1中，∠1就是三角形的一个外角，∠1和∠2组成一个平角。 图1 在图2中，我发现∠1、∠2、∠3是三角形的3个外角。 我还能求出∠1、∠2、∠3这3个角度数的和呢！我是这样想的…… 图2 小月的思考过程：用“3个平角的和”减去“三角形的内角和”，就可以求出∠1、∠2、∠3的和。 180°×3＝540°    540°－180°＝360° 你能读懂她的思考过程吗？带着你的理解，求出图3中，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和。 图3 【答案】能；360° 【思路引导】根据图2，观察发现∠1和三角形其中一个内角组成平角，∠2和三角形其中一个内角组成平角，∠3和三角形其中一个内角组成平角，平角为180°，说明∠1、∠2、∠3与三角形的3个内角共组成了3个平角；三角形的内角和为180°，那么先用180°乘3计算出3个平角的度数和，再减去三角形的内角和，可以计算出∠1、∠2、∠3的和； 根据图3，发现∠1和四边形其中一个内角组成平角，∠2和四边形其中一个内角组成平角，∠3和四边形其中一个内角组成平角，∠4和四边形其中一个内角组成平角，∠1、∠2、∠3、∠4与四边形的4个内角共组成了4个平角；多边形的内角和为（边数－2）×180°，先用180°乘4计算出4个平角的度数和，再减去多边形的内角和，可以计算出∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和；据此解答。 【规范解答】180°×4－（4－2）×180° ＝720°－2×180° ＝720°－360° ＝360° 答：能读懂小月的思考过程，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和是360°。 【考点剖析】掌握平角的度数、三角形的内角和以及多边形的内角和计算方法，是解答本题的关键。 模块五 真题演练 实战操作 【真题演练1】（25-26四年级上·山东烟台·期中）一个三角形的两条边分别是8厘米和4厘米，第三条边最长是( )厘米，如果这是一个等腰三角形，第三边是( )厘米。（填整数） 【答案】 11 8 【思路引导】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边，得出第三边的取值范围即可判断：等腰三角形两条腰相等，根据三角形的任意两边之和大于第三边可确定这个等腰三角形的腰是多少，据此解答。 【规范解答】8＋4＝12（厘米） 8－4＝4（厘米） 所以4厘米＜第三边＜12厘米，所以，它的第三边最长是11厘米。 假设腰长为4厘米，4＋4＝8，8＝8，不符合定义； 假设腰长为8厘米，8＋8＝16，16＞4，符合定义。 所以第三条边是8厘米。 【真题演练2】（25-26四年级上·河南驻马店·期中）在一个直角三角形中，其中的一个锐角是54度，求另一个锐角的度数是多少度？ 【答案】36度 【思路引导】三角形内角和为180度，直角三角形中有一个角为直角是90度，已知一个锐角度数，求另一个锐角，可以用三角形内角和减去已知的两个角的度数，即可解答。 【规范解答】180－90－54 ＝90－54 ＝36（度） 答：另一个锐角的度数是36度。 【真题演练2】（25-26四年级上·山东烟台·期中）一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，这个三角形的顶角是( )°，底角是( )°，按角分，这是( )三角形。 【答案】 90 45 直角 【思路引导】等腰三角形的顶角度数是底角的2倍，那可以把顶角想成2底角，再加上等腰三角形中2个底角，相当于4个底角，内角和是180°，所以180°÷4＝45°，求出底角，然后45°×2＝90°，求出顶角。有一个角是90°的三角形是直角三角形，据此解答。 【规范解答】2底角＋2底角＝4底角＝180° 底角＝180°÷4＝45° 顶角＝45°×2＝90° 一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，这个三角形的顶角是90°，底角是45°，按角分，这是直角三角形。 【真题演练4】（23-24四年级下·四川德阳·期末）按要求做一做。（每个小正方形的边长是1cm） （1）画出A号图形指定底边上的高。 （2）先根据对称轴补全B号轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移9格后的图形。 【答案】 （1）（2）见详解 【思路引导】（1）画三角形的高：从三角形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做三角形的高，垂足所在的边叫做三角形的底。 （2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点，确定平移方向和平移距离，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，连接对应点，据此作图。 【规范解答】如图所示 【考点剖析】熟练掌握画高的方法，以及如何画出轴对称图形是本题的解题关键。 【真题演练5】（23-24四年级下·山东德州·期末） 从上面的5根小棒中，挑选3根围成一个三角形，这个三角形三边的长可能是( )，也可能是( )，还可能是( )。 【答案】 2厘米、2厘米、2厘米 2厘米、2厘米、3厘米 2厘米、3厘米、4厘米 【思路引导】三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。根据三角形的三边关系，任选三根小棒进行判断，看是否能够组成三角形。据此解答。 【规范解答】选择三根2厘米的小棒： 2＋2＝4（厘米） 2－2＝0（厘米） 0＜2＜4 能够组成三角形。 选择两根2厘米的小棒，一根3厘米的小棒： 2＋2＝4（厘米） 2－2＝0（厘米） 0＜3＜4 能够组成三角形。 选择两根2厘米的小棒，一根4厘米的小棒： 2＋2＝4（厘米） 4厘米＝4厘米，第三边与两边之和相等，不能够组成三角形。 选择一根2厘米的小棒，一根3厘米的小棒，一根4厘米的小棒： 2＋3＝5（厘米） 3－2＝1（厘米） 1＜4＜5 能够组成三角形。 综上可知，这个三角形三边的长可能是2厘米、2厘米、2厘米，也可能是2厘米、2厘米、3厘米，还可能是2厘米、3厘米、4厘米。 【考点剖析】本题主要考查三角形的三边关系，解决此题的时候要注意先选定三根小棒，再进行判断是否能够组成三角形。 模块六 分层训练 突破自我 『基础夯实 能力提升』 1．（24-25五年级上·江苏苏州·期末）有3厘米、4厘米、7厘米的小棒各2根，任选3根围成一个三角形，一共有（    ）种不同的围法。 A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】B 【思路引导】三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边；据此解答。 【规范解答】①3厘米、3厘米、4厘米；3＋3＝6，6＞4，能组成三角形； ②3厘米、3厘米、7厘米；3＋3＝6，6＜7，不能组成三角形； ③3厘米、4厘米、4厘米；3＋4＝7，7＞4，能组成三角形； ④3厘米、4厘米、7厘米；3＋4＝7，不能组成三角形； ⑤3厘米、7厘米、7厘米；3＋7＝10，10＞7，能组成三角形； ⑥4厘米、4厘米、7厘米；4＋4＝8，8＞7，能组成三角形； ⑦4厘米、7厘米、7厘米；4＋7＝11，11＞7，能组成三角形； 一共有5种不同的围法。 2．（25-26四年级上·河北廊坊·期末）下面四个图形，只有一组平行线的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】有两组对边平行的四边形是平行四边形，正方形是特殊的平行四边形，由五条边围成的封闭图形是五边形，只有一组对边平行的四边形是梯形，据此作答。 【规范解答】A．正方形是特殊的平行四边形，两组对边分别平行（两组平行线），不符合。 B．平行四边形有两组对边分别平行（两组平行线），不符合。 C．图中的五边形没有平行的线段，不符合。 D．梯形只有一组对边平行，符合。 故答案为：D 3．（25-26四年级下·全国·课后作业）下面不能围成三角形的是（    ）。 A．；； B．；； C．；； 【答案】C 【思路引导】根据三角形三边的关系可知，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此判断即可。 【规范解答】A．因为，，所以三边能围成三角形； B．因为，，所以三边能围成三角形； C．因为，所以三边不能围成三角形。 故答案为：C 4．（25-26四年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）电动伸缩门就是利用了平行四边形的( )性，手电筒、汽车灯和太阳射出来的光线，都可以近似地看成是( )线。 【答案】 不稳定性 射 【思路引导】平行四边形具有不稳定性。直线、射线和线段的特点：直线没有端点，无限长；射线一个端点，无限长；线段两个端点，有限长。 【规范解答】电动伸缩门可以自动伸缩，利用了平行四边形具有不稳定性的特点；手电筒、汽车灯和太阳射出来的光线是由一个端点无限射出来的，利用了射线的特点。 因此，电动伸缩门就是利用了平行四边形的不稳定性，手电筒、汽车灯和太阳射出来的光线，都可以近似地看成是射线。 5．（25-26四年级下·全国·课后作业）钝角三角形中，两个锐角的和( )（填“大于”或“小于”）一个钝角。 【答案】小于 【思路引导】三角形的内角和是180°。钝角三角形中，有一个角是钝角，也就是大于90°且小于180°，那么另外两个锐角的和＝180°−钝角。 因为钝角＞90°，所以180°−钝角<90°，而钝角＞90°，所以两个锐角的和小于一个钝角。 【规范解答】钝角三角形中，两个锐角的和小于一个钝角。 6．（25-26四年级上·河北唐山·期末）如图，将一张长14厘米、宽6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是一个( )形，这个图形的高是( )厘米。 【答案】 梯 6 【思路引导】观察上图可知，长方形的对边平行，所以重叠部分有一组对边平行，另一组对边是三角形两条边上的一部分，这组对边不平行，只有一组对边平行的四边形叫做梯形；长方形的宽与梯形的高相等；据此即可解答。 【规范解答】将一张长14厘米、宽6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是一个梯形，这个图形的高是6厘米。 7．（25-26四年级下·全国·课后作业）钝角三角形中没有锐角。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据三角形的定义，三角形内角和为180度。钝角三角形有一个钝角（大于90度），则其余两个角的和小于90度，因此这两个角都是锐角（小于90度）。所以钝角三角形中有锐角。 【规范解答】钝角三角形中有一个钝角，根据三角形内角和定理，内角和为180度，钝角大于90度，因此其余两个角的和小于90度，且每个角都小于90度，所以这两个角都是锐角。故钝角三角形中没有锐角的说法是错误的。 故答案为：× 8．（25-26四年级下·全国·课后作业）一个顶角是70°的等腰三角形，两个底角都是55°。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据三角形的内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等。已知顶角为70°，则两个底角的和为，每个底角为。因此，该陈述正确。 【规范解答】在等腰三角形中，两个底角相等。三角形的内角和为180°。顶角为70°，则两个底角的和为。每个底角为。故两个底角都是55°，该说法正确。 故答案为：√ 9．（24-25四年级下·全国·课后作业）求出下面图中未知角的度数。 【答案】 【思路引导】由图可知，一个角为60°，根据平角为180°，用180减去60°可得到与60°角相邻的角的度数： ； 在包含30°角和已求出的120°角的三角形中，根据三角形内角和为180°，用180°减去120°再减去30°，可得到该三角形中另一个角的度数：； 由图可知最大的三角形是等腰三角形，对应的两个底角度数一样，其中一个底角是30°，另一个底角也是30°，右边三角形已知两个角的度数，再用三角形内角和减去已知60°角和所求30°角就能求出未知角的度数。 【规范解答】 10．（25-26四年级上·福建龙岩·期末）如图，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3是直角，请求出∠1和∠2的度数。 【答案】∠1是60°；∠2是30° 【思路引导】观察图片可知，∠1和120°组成了一个平角，平角＝180°，所以∠1＋120°＝180°，∠1用180°－120°即可求出。上一步求出∠1的度数，题目中给出∠3是直角，∠3＝90°，且∠1＋∠2＋∠3＝180°，用180°－∠3－∠1即可求出∠2的度数。 【规范解答】∠1＋120°＝180°，所以∠1＝180°－120°＝60° ∠1＋∠2＋∠3＝180°，因为∠1＝60°，∠3＝90°，所以∠2＝180°－∠3－∠1 ∠2＝180°－90°－60°＝30° 答：∠1是60°，∠2是30°。 『创新拓展 拔尖冲刺』 1．（25-26四年级上·河南新乡·期末）红星路小学在农耕园里开辟了两块花圃（如图），总务处张老师沿着每块花圃的一周围上栅栏。下面说法中，（    ）是正确的。 A．两个花圃用的栅栏同样长 B．长方形花圃用的栅栏长 C．平行四边形花圃用的栅栏长 【答案】C 【思路引导】两个图形的周长，都包含两条相同的底边和上方被公共直线替代的边，所以周长差异只在两条侧边上。 长方形的侧边是它的长，垂直于它的宽，平行四边形的侧边是一条斜线。 观察可知平行四边形的高与长方形的长相等，从平行四边形顶点向底边作的垂线，即平行四边形的高，构成一个直角三角形。在这个直角三角形里，平行四边形的侧边是斜边，高是直角边，根据直角三角形的斜边最长，可知斜边的长度大于直角边的长度。 由此可以比较出两个图形侧边的长度关系，进而判断周长的长短关系。 【规范解答】两个花圃底和高相等，长方形对边相等，平行四边形对边也相等，但平行四边形的斜边大于高，周长包含两条斜边，长方形周长包含两条高，所以平行四边形周长更长。 2．（25-26四年级上·福建福州·期末）根据以下四位同学观察一个图形的描述，可以确定这个图形是（    ）。 甲：它有两组对边互相平行。 乙：它相对的角都是相等的。 丙：用铁丝围这个图形，沿着其中一个顶点展开后是下面这样一条线段。 丁：它不是一个轴对称图形。 A．平行四边形 B．三角形 C．梯形 D．长方形 【答案】A 【思路引导】我们需要结合四位同学的描述，逐一排除不符合条件的选项，从而锁定正确图形。 甲的描述“有两组对边互相平行”，可以直接排除三角形和梯形。 乙的描述“相对的角都是相等的”，进一步确认该图形属于平行四边形类图形。 丙的描述给出了边长为2cm、4.5cm、2cm、4.5cm，说明是两组对边分别相等的四边形。 丁的描述“不是一个轴对称图形”，可以排除长方形，因为长方形是轴对称图形。 【规范解答】A.平行四边形，满足“两组对边互相平行”和“相对的角相等”的条件；沿着其中一个顶点展开后的边长2cm、4.5cm、2cm、4.5cm，符合平行四边形两组对边分别相等的特征；普通平行四边形不是轴对称图形，满足丁的描述。 B.三角形，三角形没有两组对边互相平行，不符合甲的描述，所以错误。 C.梯形：梯形只有一组对边平行，不符合甲的描述，所以错误。 D.长方形：长方形是轴对称图形，不符合丁的描述，所以错误。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查平行四边形、三角形、梯形、长方形的边、角、对称性等基本性质。通过特征排除法快速锁定答案，先从最明确的条件入手（如“两组对边互相平行”），再用其他条件缩小范围。 3．（24-25四年级下·全国·课后作业）将两个完全相同的五边形按照如下图所示的方式各裁去一个角，关于剩下的图形，下面说法正确的是（    ）。 A．甲和乙的内角和相等 B．甲的内角和比乙的内角和大180° C．甲的内角和比乙的内角和大360° 【答案】C 【思路引导】甲图裁剪方式：从一个顶点向对边上一点裁剪，裁剪后图形边数增加1，变为六边形 乙图裁剪方式：从相邻两条边上非顶点处裁剪，裁剪后图形边数减少1，变为四边形 根据多边形内角和公式：内角和＝（边数-2）×180°，分别计算甲和乙的内角和，再比较大小。 【规范解答】 甲变为六边形，边数为6， 内角和 乙变为四边形，边数为4， 内角和 ，所以甲的内角和比乙的内角和大360°。 故答案为C。 4．（25-26四年级下·全国·课后作业）现有4厘米、5厘米、7厘米和12厘米长的小棒各1根，从中选3根围成一个三角形。要使它的周长最长，应选择( )厘米、( )厘米和( )厘米长的小棒。 【答案】 4 5 7 【思路引导】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，即可解答。 【规范解答】要使周长最长，首先选5厘米、7厘米、12厘米的三根小棒，但是不满足任意两边之和大于第三边，因此不能选12厘米；即应选择4厘米、5厘米、7厘米这三根小棒。 故要使它的周长最长，应选择4厘米、5厘米和7厘米长的小棒。 5．（25-26四年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平行四边形是特殊的梯形，具有容易变形的特性。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形不稳定，具有容易变形的特性。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。据此解答。 【规范解答】由分析可得，平行四边形不是特殊的梯形。原题说法错误。 故答案为：× 6．（24-25四年级下·全国·课后作业）看图分别求出∠1，∠2，∠3的度数。 【答案】 ∠1＝45°；∠2＝30°；∠3＝15° 【思路引导】根据题图可知，∠1与135°的角组成了一个平角，一个平角是180°，用180°-135°，即可求出∠1； 在左边的梯形中，梯形的四个内角分别是一个由∠3与30°组成的角、两个直角和135°，已知梯形的内角和为360°，一个直角是90°，用360°-两个直角-135°-30°，即可求出∠3； 在中间的三角形中，三角形的三个内角分别是∠2、∠3和135°，已知三角形的内角和为180°，用180°-135°-∠3，即可求出∠2，据此解答。 【规范解答】∠1： ∠3： ∠2： 答：∠1是45°，∠2是30°，∠3是15°。 7．（25-26四年级上·甘肃张掖·期末）活动课上，小军将一个平行四边形纸板沿着高剪开之后拼贴成一个长方形（没有重合部分）。在拼好的长方形纸板四周贴上一圈花边需要多少分米（花边没有浪费）？ 【答案】24分米 【思路引导】本题涉及图形分割和长方形周长计算。根据题目信息，求花边需要多少分米，就是求长方形的周长是多少。由图可知，平行四边形纸板长为8分米，高为4分米，结合拼图方法，拼好的长方形纸板的长对应为平行四边形的长，即8分米，宽对应平行四边形的高，即4分米，根据长方形周长公式，长方形周长＝（长＋宽）×2，即可求出花边需要多少分米。 【规范解答】长方形周长为： （分米） 答：在拼好的长方形纸板四周贴上一圈花边需要24分米。 8．（24-25四年级下·全国·课后作业）已知一个等腰三角形的一个内角是72°，则另外两个内角分别是多少度？ 【答案】另外两个内角分别是，（，）。 【思路引导】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是72°，需要分两种情况讨论：这个内角是顶角或这个内角是底角。 【规范解答】情况一：当72°是顶角时。 底角的度数为： 所以另外两个内角是54°，54°。 情况二：当72°是底角时，另一个底角也是72°。 顶角的度数为： 所以另外两个内角是36°，72°。 答：另外两个内角分别是54°，54°或36°，72°。 9．（24-25四年级·全国·随堂练习）如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 【答案】是120°，这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【思路引导】因为大三角形是等边三角形，三角形内角和为180°，所以每个内角都是60°，又因为，，所以，， 根据三角形内角和为180°，可得 因为120°大于90°，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【规范解答】 120°为钝角，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【考点剖析】先利用等边三角形内角为60°及角的等量关系求出等腰三角形的两个底角，再根据三角形内角和求出，最后判断三角形类型。 10．（25-26四年级上·福建三明·期末）按要求在点子图上作图。（相邻两点之间的距离表示1cm） (1)画一个底是4cm、高是3cm的平行四边形，并作出它的高。 (2)画一个上底是5cm，下底是6cm，高是4cm的梯形，并画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）根据平行四边形的特征，先画AB＝4厘米，再过这一线段的C点作AB垂直线段CD＝3厘米，过点C作AB的平行线段CE＝4厘米，再分别连接AC、BE，四边形ABEC就是所画的底为4厘米，高为3厘米的平行四边形。 （2）根据梯形的特征，先画线段AB∥线段CD且线段AB＝6厘米，线段CD＝5厘米，高＝4厘米，再分别连接AC、BD，四边形ABCD就是梯形，过点C作线段BD的平行线，交线段AB在点K，就把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【规范解答】（1）作图如下： （2）作图如下： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学四年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 第六单元 三角形、平行四边形和梯形『举一反三培优考点讲义』 【原卷版】 （导图+知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共73题） 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点 考点名称 考点 考点名称 高频考点一 三角形的概念及表示方法 高频考点九 平行四边形的概念及特点 高频考点二 三角形的高及画法 高频考点十 平行四边形的不稳定性及应用 高频考点三 三角形的稳定性及应用 高频考点十一 平行四边形的高及画法 高频考点四 三角形三边关系 高频考点十二 画平行四边形 高频考点五 三角形的内角和 高频考点十三 梯形的概念及特点 高频考点六 三角形的分类 高频考点十四 梯形的高及画法 高频考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 高频考点十五 画梯形 高频考点八 画三角形 高频考点十六 多边形的内角和 模块二 导图指引 梳理脉络 模块三 知识精讲 单元小结 知识点一 三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二 三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三 三角形的高 1. 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五 三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六 三角形的分类 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七 三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八 认识平行四边形 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九 认识梯形 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十 平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 模块四 考点讲练 培优提升 高频考点一 三角形的概念及表示方法 【典例精讲】（2026四年级·全国·专题练习）将下面的梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。 【变式训练1】（25-26四年级上·甘肃武威·期末）按要求在下面平行四边形中各画一条线段。 【变式训练2】（24-25四年级下·河北邯郸·期末）如图，在梯形ABCD中，如果点A沿AB所在的直线向右移动，与点B重合后停止移动，这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→梯形→三角形 B．梯形→平行四边形→三角形→梯形 C．梯形→三角形→平行四边形→三角形 高频考点二 三角形的高及画法 【典例精讲】（25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是( )厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是( )厘米。 【变式训练1】（25-26四年级上·山东泰安·期中）画一画。（每个小正方形的边长都是1厘米） （1）分别画出一个三角形和一个平行四边形，使它们的底和高都是3厘米，并分别画出它们的一条高。 （2）画一个上底是2厘米，下底是5厘米，高是3厘米的梯形，并画出它的一条高。 【变式训练2】（25-26四年级上·山东淄博·期中）画一画。（相邻两点间的长度代表1cm） （1）在点子图左边画一个底为4厘米的等腰三角形，并画出一条腰上的高。 （2）在点子图右边画一个高为3厘米的等腰梯形，并画一条线段把它分成一个三角形和一个平行四边形。 高频考点三 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·山东日照·期末）张叔叔家的太阳能热水器支架损坏了（如图）需要更换零件，需要更换的钢条的长度可能为( )。（填序号）①2.7m；②3.3m；③0.2m，支架的设计体现了三角形的( )性。 【变式训练1】（24-25四年级下·江苏扬州·期末）下面说法正确的有（    ）个。 ①明明把20－15＝5，6×5＝30，写成一道综合算式是6×（20－15）＝30。 ②用1、2、3、4、5这五个数字组成一个两位数和一个三位数，乘积最大的是42×531。 ③桌子的腿松动了，按照图的方法加固比较好，因为三角形具有稳定性。 ④如果□18×23的结果是四位数，□最大填5。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】（24-25四年级下·浙江·期末）如图①是淘气自制的手机支架，制成三角形支架主要是应用了三角形的( )性；如图②这个支架底座上构成的三角形按边分是( )三角形；如果每两个卡扣的间隔为1厘米，从左往右数，手机支架的底端最多可放在第( )个卡扣处。 高频考点四 三角形三边关系 【典例精讲】（25-26四年级上·山东烟台·期末）聪聪有两根小棒，他想把其中的一根沿着整厘米刻度线剪一刀，哪种剪法可以围成一个三角形（    ）。（长度：厘米） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）小明从家到学校，走哪条路最远？走哪条路最近？最近的路与最远的路相差多少米？ 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习）一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） 高频考点五 三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级上·山东·单元测试）一个三角形的三条边长度都是，这是一个( )三角形，每个内角的度数都是( )。 【变式训练1】（2025四年级下·全国·专题练习）手工课上，老师笑着说：“同学们，听说你们刚学了三角形和四边形的知识，那我可要考考你们了！”同学们信心满满地说：“没问题！” （1）首先，老师让大家设计一个三角形教具。下面是小宇和小恒的设计方案，这两个设计方案可行吗？为什么？ （2）然后，老师拿出了一根刚好围成一个边长是12厘米的等边三角形的铁丝，让大家用这根铁丝围成一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？ （3）最后，老师让大家用三角形设计风筝图案。下面是园园用3个大小不同的等边三角形设计的风筝图案。她准备用彩绳给风筝做一个装饰，有①②③三种方案，哪种方案最省彩绳？哪两种方案用的彩绳一样长？为什么？ 【变式训练2】下图中，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 高频考点六 三角形的分类 【典例精讲】（25-26五年级上·广东汕头·期末）按要求在下面的方格中作图并完成填空。 (1)在下图中依次标出以下三个点的位置：A（2，7），B（2，2），C（6，2）。 (2)把它们依次连成一个封闭图形，这是一个（    ）三角形。 (3)要想把三角形ABC变成一个等腰三角形，可以将点( )平移到( )。 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是( )°，原来这块纸片的形状，按角分是( )三角形。 【变式训练2】（23-24四年级下·河南许昌·期中）桌子上有一些三角形纸板，聪聪数了数共有25个锐角、3个钝角、2个直角，这些三角形纸板中有锐角三角形( )个。 高频考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）在一个等腰三角形中，其中一个底角是顶角的4倍，这个三角形的底角和顶角分别是多少度？ 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课前预习）一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课后作业）木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 高频考点八 画三角形 【典例精讲】（24-25四年级下·全国·课后作业）按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 【变式训练1】（24-25四年级下·河北廊坊·期末）按要求作图（每个小方格的边长为1cm）。 （1）图形①是一个轴对称图形，根据给出的对称轴补全它的另一半。 （2）画出图形②向右平移5格后的图形。 （3）在图中画一个以线段AB为底，且高是4cm的三角形，并画出底边AB上的高。 【变式训练2】（24-25四年级下·河北唐山·期末）按要求在方格中画图。（每小格的边长表示1cm） （1）以线段AB为底，画一个高4厘米的三角形。 （2）以线段CD为底，画一个高3厘米的平行四边形。 （3）以线段EF为上底，画一个高4厘米的梯形。 高频考点九 平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课后作业）下面不同长度的小棒各有2根。（摆一摆，填一填） (1)任选3根小棒，( )（填“一定”或“不一定”）能围成一个三角形。 (2)要围成一个平行四边形，最多用( )种不同长度的小棒，最少用( )种不同长度的小棒。 (3)要围成一个梯形，最多用( )种不同长度的小棒，最少用( )种不同长度的小棒。 【变式训练1】（25-26四年级上·福建莆田·期末）请你在下面的方格纸上按要求量一量，画一画。 （1）量出方格纸中角的度数，并在图上标出来。 （2）以这个角的两条边为一组邻边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 （3）再画一个下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形。 【变式训练2】（25-26四年级上·福建龙岩·期末）画一画，量一量，想一想。8分 (1)在上面方格中画一个梯形。 (2)在梯形中画一条线段，把梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 (3)这个平行四边形的四个内角的度数分别是多少？请在图中标出。 (4)根据测量出的度数，你有什么发现或猜想？写在右下方框里。 我的发现或猜想：    高频考点十 平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（25-26四年级上·天津滨海新区·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．正方形相邻的两条边互相平行 B．平行四边形具有稳定性 C．长方形是特殊的平行四边形 D．梯形是特殊的平行四边形 【变式训练1】（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）用木条钉成一个长方形框架，长12厘米，宽8厘米。将长方形框架拉成平行四边形框架，平行四边形框架的高可能是（    ）厘米。 A．7 B．8 C．9 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课后作业）谁的篱笆更牢固，为什么？ 高频考点十一 平行四边形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级上·河北唐山·期末）按要求作图。 （1）以线段EF为一条边，画一个平行四边形。 （2）画出这个平行四边形的一条高。 （3）找出点D，使四边形ABCD是直角梯形，画出这个梯形。 【变式训练1】（25-26四年级上·河北唐山·期末）学校要建一个科技活动基地，形状是平行四边形。 （1）在下面方格纸上，找到点D，画出平行四边形ABCD。 （2）若从点M出发，铺一条到AB最短的路。请在图上画出这条路。 （3）请画出平行四边形ABCD的高，高是（    ）cm。       【变式训练2】（24-25四年级上·浙江杭州·期末）（1）在下图中，以AB、BC为邻边画一个平行四边形，再画出BC边上的高。 （2）在下图中，找一个点D，使得D和E、F、G围成一个等腰梯形。 （3）在你画好的等腰梯形DEFG中画一条线段，将其分成一个平行四边形和梯形。 高频考点十二 画平行四边形 【典例精讲】（25-26四年级上·浙江温州·期末）画一画（小方格的边长表示1厘米）。 （1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形。 （2）在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形。 【变式训练1】（25-26四年级上·新疆喀什·期末）在下面方格里画一个底是5厘米、高是3厘米的平行四边形，并标出相应的底和高。（每个小方格的边长是1厘米） 【变式训练2】（25-26四年级上·河北邢台·期末）图中每个小方格边长为1厘米，按要求完成下面各题。 （1）按角的种类分，是_____角。 （2）以为梯形的两条边，画一个等腰梯形。 （3）过点画梯形边上的高，并标出垂足。 （4）在梯形中画一条线段，将梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 高频考点十三 梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级上·福建福州·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD。如果点A沿着AB所在的直线慢慢往右移动，与点B重合后停止运动。这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→梯形 B．梯形→平行四边形→三角形 C．梯形→三角形→平行四边形→梯形 D．梯形→平行四边形→梯形→三角形 【变式训练1】（25-26四年级上·福建莆田·期末）已知的线段为梯形的下底，将梯形补画完整，并画出底边上的高。 【变式训练2】（25-26四年级上·河北廊坊·期末）在方格纸上按要求画图形。（温馨提示：不用尺子画图要减分的哦） （1）如图，以AB、BC为梯形的两条边，找到点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为等腰梯形。 （2）过点B画梯形CD边上的高，标出垂足E。 （3）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分为一个平行四边形和一个三角形。 高频考点十四 梯形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）按要求完成下面各题。 (1)在图中把平行四边形画完整。 (2)画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 (3)画出这个梯形的高。 【变式训练1】（25-26四年级上·河北秦皇岛·期末）在下面方格中，按要求画图。 （1）在下面方格中画出一个直角梯形和一个等腰梯形。 （2）标出直角梯形的上底、下底和高。 （3）画一条线段，把等腰梯形分成一个梯形和一个平行四边形。 【变式训练2】（25-26四年级上·北京丰台·期末）在下面的方格中画图形（每个小方格表示边长1厘米的正方形）。 ①画一个底和高都是3厘米的平行四边形。 ②连接图中的四个点，构成一个等腰梯形。 高频考点十五 画梯形 【典例精讲】（24-25四年级下·安徽蚌埠·期末）按要求画一画。 （1）画出①号图形绕点A逆时针旋转90°后的图形，并将旋转后的图形向下平移3格。 （2）画出一个上底为4厘米，下底为6厘米，高为3厘米的等腰梯形（每个小方格的边长表示1厘米）。画出这个梯形的对称轴。 【变式训练1】（25-26四年级上·天津南开·期末）动手画。 （1）下面方格中每个小正方形的边长为1cm，请以给出的线段为底画一个高为3cm的平行四边形，并画出一条高。 （2）在画出的平行四边形中增加一条线段，把它分成两个梯形，并把其中一个梯形用阴影表示出来。    【变式训练2】（25-26四年级上·北京西城·期末）在方格纸上画图。在下侧方格纸内，以AB为底，画一个高是2厘米的梯形。 高频考点十六 多边形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·全国·课后作业）先照样子画一画，把图形分成三角形，再填空。 （1）我发现：多边形所分成的三角形的个数总比多边形的边数少（    ），因此，多边形的内角和＝180°×（边数－________）。 （2）若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形有（    ）条边。 【变式训练1】（24-25四年级下·山西大同·期末）如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是( )度，剪去的涂色部分是( )三角形。 【变式训练2】（23-24四年级下·江苏盐城·期末） 知识小分享 将三角形的一条边延长，与相邻的边会组成一个新的角，这个角就是三角形的一个外角。比如图1中，∠1就是三角形的一个外角，∠1和∠2组成一个平角。 图1 在图2中，我发现∠1、∠2、∠3是三角形的3个外角。 我还能求出∠1、∠2、∠3这3个角度数的和呢！我是这样想的…… 图2 小月的思考过程：用“3个平角的和”减去“三角形的内角和”，就可以求出∠1、∠2、∠3的和。 180°×3＝540°    540°－180°＝360° 你能读懂她的思考过程吗？带着你的理解，求出图3中，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和。 图3 模块五 真题演练 实战操作 【真题演练1】（25-26四年级上·山东烟台·期中）一个三角形的两条边分别是8厘米和4厘米，第三条边最长是( )厘米，如果这是一个等腰三角形，第三边是( )厘米。（填整数） 【真题演练2】（25-26四年级上·河南驻马店·期中）在一个直角三角形中，其中的一个锐角是54度，求另一个锐角的度数是多少度？ 【真题演练2】（25-26四年级上·山东烟台·期中）一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，这个三角形的顶角是( )°，底角是( )°，按角分，这是( )三角形。 【真题演练4】（23-24四年级下·四川德阳·期末）按要求做一做。（每个小正方形的边长是1cm） （1）画出A号图形指定底边上的高。 （2）先根据对称轴补全B号轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移9格后的图形。 【真题演练5】（23-24四年级下·山东德州·期末） 从上面的5根小棒中，挑选3根围成一个三角形，这个三角形三边的长可能是( )，也可能是( )，还可能是( )。 模块六 分层训练 突破自我 『基础夯实 能力提升』 1．（24-25五年级上·江苏苏州·期末）有3厘米、4厘米、7厘米的小棒各2根，任选3根围成一个三角形，一共有（    ）种不同的围法。 A．4 B．5 C．7 D．10 2．（25-26四年级上·河北廊坊·期末）下面四个图形，只有一组平行线的图形是（    ）。 A． B． C． D． 3．（25-26四年级下·全国·课后作业）下面不能围成三角形的是（    ）。 A．；； B．；； C．；； 4．（25-26四年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）电动伸缩门就是利用了平行四边形的( )性，手电筒、汽车灯和太阳射出来的光线，都可以近似地看成是( )线。 5．（25-26四年级下·全国·课后作业）钝角三角形中，两个锐角的和( )（填“大于”或“小于”）一个钝角。 6．（25-26四年级上·河北唐山·期末）如图，将一张长14厘米、宽6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是一个( )形，这个图形的高是( )厘米。 7．（25-26四年级下·全国·课后作业）钝角三角形中没有锐角。( )（判断对错） 8．（25-26四年级下·全国·课后作业）一个顶角是70°的等腰三角形，两个底角都是55°。( )（判断对错） 9．（24-25四年级下·全国·课后作业）求出下面图中未知角的度数。 10．（25-26四年级上·福建龙岩·期末）如图，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3是直角，请求出∠1和∠2的度数。 『创新拓展 拔尖冲刺』 1．（25-26四年级上·河南新乡·期末）红星路小学在农耕园里开辟了两块花圃（如图），总务处张老师沿着每块花圃的一周围上栅栏。下面说法中，（    ）是正确的。 A．两个花圃用的栅栏同样长 B．长方形花圃用的栅栏长 C．平行四边形花圃用的栅栏长 2．（25-26四年级上·福建福州·期末）根据以下四位同学观察一个图形的描述，可以确定这个图形是（    ）。 甲：它有两组对边互相平行。 乙：它相对的角都是相等的。 丙：用铁丝围这个图形，沿着其中一个顶点展开后是下面这样一条线段。 丁：它不是一个轴对称图形。 A．平行四边形 B．三角形 C．梯形 D．长方形 3．（24-25四年级下·全国·课后作业）将两个完全相同的五边形按照如下图所示的方式各裁去一个角，关于剩下的图形，下面说法正确的是（    ）。 A．甲和乙的内角和相等 B．甲的内角和比乙的内角和大180° C．甲的内角和比乙的内角和大360° 4．（25-26四年级下·全国·课后作业）现有4厘米、5厘米、7厘米和12厘米长的小棒各1根，从中选3根围成一个三角形。要使它的周长最长，应选择( )厘米、( )厘米和( )厘米长的小棒。 5．（25-26四年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平行四边形是特殊的梯形，具有容易变形的特性。( )（判断对错） 6．（24-25四年级下·全国·课后作业）看图分别求出∠1，∠2，∠3的度数。 7．（25-26四年级上·甘肃张掖·期末）活动课上，小军将一个平行四边形纸板沿着高剪开之后拼贴成一个长方形（没有重合部分）。在拼好的长方形纸板四周贴上一圈花边需要多少分米（花边没有浪费）？ 8．（24-25四年级下·全国·课后作业）已知一个等腰三角形的一个内角是72°，则另外两个内角分别是多少度？ 9．（24-25四年级·全国·随堂练习）如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 10．（25-26四年级上·福建三明·期末）按要求在点子图上作图。（相邻两点之间的距离表示1cm） (1)画一个底是4cm、高是3cm的平行四边形，并作出它的高。 (2)画一个上底是5cm，下底是6cm，高是4cm的梯形，并画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $