精品解析：上海市金陵中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

金陵中学2025学年第二学期高二期中考试试卷 数学学科 一、填空题（本题共有12题，满分36分） 1. 经过、两点的直线斜率为______. 2. 直线恒过定点________. 3. 方程表示圆，的取值范围为_____ 4. 圆心为，半径为3的圆的标准方程为_________. 5. 若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是_______. 6. 直线与的夹角的大小_________． 7. 经过圆：上一点且与圆相切的直线一般方程为______. 8. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是___________________. 9. 已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为__________. 10. 以为渐近线，且过点的双曲线的标准方程为______. 11. 已知点在直线上，则的最小值为_______. 12. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为_______ 二、单选题（本题共有4题，满分12分） 13. 直线的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 14. 设是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ） A. 双曲线 B. 直线 C. 线段 D. 射线 15. 已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（ ） A. B. C. D. 16. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上存在有点到原点的距离超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①②③ C. ①② D. ①③ 三、解答题（本题共有5题，满分52分） 17. 设常数，已知直线：，：． （1）若，求的值； （2）若，求与之间的距离． 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 19. 已知离心率的椭圆：的一个焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程. 20. 已知双曲线的实轴长为8，焦距为10，两个焦点分别为，为双曲线上一点. （1）求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程； （2）设，求的面积. 21. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. （1）求的值和抛物线的准线方程； （2）直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵中学2025学年第二学期高二期中考试试卷 数学学科 一、填空题（本题共有12题，满分36分） 1. 经过、两点的直线斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜率公式可求得结果. 【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为. 故答案为：. 2. 直线恒过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的直线方程，直接求出定点坐标作答. 【详解】依题意，直线，由得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 3. 方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 4. 圆心为，半径为3的圆的标准方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程的定义，即可求解. 【详解】由题可先设出圆的方程：， 再圆心为点，r=3代入圆的方程可求出则圆的方程为： 故答案为： 5. 若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点坐标和实轴长，建立关于的方程组，可得答案. 【详解】由焦点，可得，由实轴长为，即，可得，， 故双曲线的标准方程为. 故答案为：. 6. 直线与的夹角的大小_________． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用两直线夹角公式去求解即可. 【详解】直线与的斜率分别为： 设直线与的夹角为 则，又，则 故答案为： 7. 经过圆：上一点且与圆相切的直线一般方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，由直线与切线垂直得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 8. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是___________________. 【答案】 【解析】 【分析】 由表示椭圆，根据椭圆的标准方程列不等式组求解即可. 【详解】因为表示椭圆，则得. 故答案为：. 9. 已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长. 【详解】 由椭圆方程为，得， 因为点在椭圆上，所以，， 所以的周长为， 故答案为：. 10. 以为渐近线，且过点的双曲线的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程，设双曲线方程为，代入点坐标，求得，整理即可得答案. 【详解】已知双曲线的渐近线为，所以设双曲线方程为， 又因为双曲线过点，代入可得，即， 所以，整理可得双曲线的标准方程为. 11. 已知点在直线上，则的最小值为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解. 【详解】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题. 12. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率． 【详解】解：，不妨令，，， ，， 又由双曲线的定义得：，， ，． ， ． 在△中，， ，，． 双曲线的离心率． 故答案为：． 二、单选题（本题共有4题，满分12分） 13. 直线的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线斜率，先写出一个方向向量，再根据向量垂直的坐标表示逐一判断即可. 【详解】直线的斜率为，所以该直线的一个方向向量是. 对于A，，所以与垂直，所以A正确； 对于B，，所以与不垂直，所以B错误； 对于C，，所以与不垂直，所以C错误； 对于D，是直线的一个方向向量，不是法向量，所以D错误. 14. 设是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ） A. 双曲线 B. 直线 C. 线段 D. 射线 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，即可得答案． 【详解】因为，所以动点M的轨迹是射线． 故选：D 15. 已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 16. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上存在有点到原点的距离超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①②③ C. ①② D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3. 【详解】对于①，将换成，方程不变，所以图形关于轴对称， 当时，，即曲线经过，， 当时，方程变为， 由解得， 所以只能取整数解1， 当时，方程变为， 解得或，即曲线经过，， 由对称性得曲线还经过，， 故曲线一共经过6个整点，，，，，，，故①正确； 对于②，当时，由得， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过， 由对称性可得曲线上任意一点到原点的距离不超过，故②错误； 对于③，如图： 在轴上方图形面积大于矩形面积， 在轴下方图形面积大于等腰直角三角形面积， 因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键. 三、解答题（本题共有5题，满分52分） 17. 设常数，已知直线：，：． （1）若，求的值； （2）若，求与之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案． 【小问1详解】 根据题意，直线：，：， 若，则，解可得a 【小问2详解】 根据题意，若，则有，解可得或， 当时，直线：，：，两直线重合，不符合题意， 当时，直线：，：，即，两直线平行，此时与之间的距离 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 19. 已知离心率的椭圆：的一个焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）由离心率求出，再求出，可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，点，，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，然后代入弦长公式可求得参数值得直线方程． 【详解】（1）由题意知，，，∴，， ∴椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，点，，联立方程组， 化简，得. 由已知得，，即， ∴，且，. ∴， 解得，符合题意， ∴直线的方程为或. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设出直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入弦长公式求解． 20. 已知双曲线的实轴长为8，焦距为10，两个焦点分别为，为双曲线上一点. （1）求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程； （2）设，求的面积. 【答案】（1），和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，得出即可求解； （2）利用双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，，即， 所以，， 所以双曲线的标准方程为， 双曲线的渐近线方程为，即和. 【小问2详解】 如图， 设，， 由双曲线的定义可得：，则有，① 又由，则有，② 联立①②解可得， 则△的面积. 21. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. （1）求的值和抛物线的准线方程； （2）直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. 故抛物线的标准方程为： 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $