专题01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理7种常见考法归类讲义（57题）-2025-2026学年高二下学期数学题型归纳与解题策略(人教A版选择性必修第三册)

专题01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理7种常见考法归类 【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) （57题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 分类加法计数原理 考点二 分步乘法计数原理 考点三 实际问题中的计数问题 考点四 代数中的数字排列问题 考点五 几何计数问题 考点六 涂色问题 考点七 种植问题 知识点1 分类加法计数原理 基本形式：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法 注：应用分类加法计数原理应遵循的两原则 （1）根据题目特点恰当选择一个分类标准. （2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏. 知识点2　分步乘法计数原理 基本形式：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1× m2×…×mn种不同的方法 注：1、如何区分“完成一件事”是分类还是分步？ 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 2、应用分步乘法计数原理解题的一般思路 知识点3 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系和区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点 针对的是“分类”问题 不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事 注：1、分类应满足：不重不漏(“不重”即各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全集） 分步必须注意：步与步间的连续性 2、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点： 一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步． (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 知识点4 解答计数应用问题的总体思路 根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了. 此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：①枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；②转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；③间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得. 注：解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法. (2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 策略方法 1.应用分类加法计数原理应注意如下问题 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事． (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的． 2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步． (2)计数：求出每一步中的方法数． (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果． 3.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理． 4.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算. 5.与两个计数原理有关问题的解题策略 （1）在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理. （2）对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观. 6.对于组数问题，应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位． 7.解决涂色问题的一般思路 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 8.种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数． 考点一 分类加法计数原理 1．（2026高二·安徽·期中）某合唱队有男队员15人，女队员20人，现需从中选出一名同学担任指挥，则不同的选法共有（    ）. A．15种 B．20种 C．35种 D．300种 2．（2026高二·河北雄安·月考）某学校开设3门球类课程､4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．11种 C．10种 D．9种 3．（2026高二·河北邯郸·期中）已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（   ） A．4 B．19 C．60 D．480 4．（2026高二·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2026高二·广东深圳·期中）从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）某实验室的5名技术人员需要在夜间通过一座最多只能两人同时通行的临时钢架桥．过桥必须使用唯一的一盏工作灯，无灯不能过桥．过桥后需要有人将灯送回，才能让其他人继续过桥．两人同行时，过桥用时以较慢者为准．5名技术人员单独过桥时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、8分钟、9分钟．则这5人全部过桥的最短时间为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 7．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，若函数满足：，都有，则符合条件的函数共有__________个. 考点二 分步乘法计数原理 8．（2026高二·江苏镇江·期中）5名运动员争夺4项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·广东惠州·期中）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·安徽蚌埠·月考）李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（   ）种 A．24 B．14 C．10 D．9 11．（2026高二·江苏南京·期末）某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．40种 C．种 D．种 12．（2026高二·江苏徐州·月考）学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 13．（2026高二·山西晋中·期中）书架上有5本不同的小说和4本不同的散文，随机取出2本，其中1本是小说1本是散文的不同取法有（    ） A．10种 B．20种 C．36种 D．72种 14．（2026高二·山东济南·期中）5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（   ） A．8种 B．15种 C．种 D．种 15．（2026高二·河南新乡·期中）河南集历史人文与自然风光于一体，旅游资源丰富，核心景点有洛阳龙门石窟，洛阳老君山，登封少林寺，开封清明上河园，开封万岁山武侠城．小张和小王准备从以上5个景点中各自选择一个去游玩，则选择方案种数为（    ） A．30 B．25 C．20 D．10 16．（2026高二·江苏南京·月考）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行和相互垂直的共有（   ） A．12对 B．16对 C．18对 D．24对 17．（2026高二·江苏南京·期中）已知展开后共有30项，则为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 18．（2026高二·陕西安康·期中）现用Python生成随机密钥，该密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复），第三位要求从、、、中进行选择，则可生成的密钥数量为（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·广东汕尾·月考）对于直线，若与均在集合内取值，则不同的直线条数共有（   ） A．101 B．91 C．90 D．72 考点三 实际问题中的计数问题 20．（2026高二·广东江门·期中）有本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同种的取法是（    ）． A． B． C． D． 21．（2026高二·湖南长沙·月考）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙处，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有a，b两种运输方式，第2，3，5个环节有b，c两种运输方式，第4个环节有c，d，e，f四种运输方式，则快件从甲送到乙使用4种运输方式的不同的方法种数是（   ） A．60 B．70 C．77 D．78 22．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法. 23．（2026·河北邯郸·模拟预测）某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种． 24．（2026高二·江苏无锡·月考）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种. 25．（2026高二·山东泰安·月考）有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. (1)只需一人，有多少种不同的选法？ (2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ (3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 考点四 代数中的数字排列问题 26．（2026高二·北京延庆·期中）由数字，，，构成的三位数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 27．（2026高二·上海松江·月考）由1、2、3、4可以组成______个2在百位的没有重复数字的四位数. 28．（2026高二·山东枣庄·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．60 29．（2026高二·北京大兴·期末）用这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 30．（2026高二·河北石家庄·期中）用这6个数字，可组成_______个数字允许重复的三位数． 31．（2026·河北石家庄·模拟预测）各位数字之和为的三位正整数的个数为________________. 32．（2026高二·贵州黔西南·月考）从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成______（用数字表示）个三位数. 33．（2026高二·北京顺义·月考）从，，，，这个数中任选个数，组成没有重复数字的三位数的个数为__________． 34．（2026高二·山东济南·月考）用数字，组成四位数，且，都至少出现一次，则共有__________个四位数. 35．（2026高一·浙江杭州·月考）将四个数组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第个四位数是（   ） A． B． C． D． 36．（2026高二·全国·专题练习）用数字，，，，，，，组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位个数，那么这样的四位数一共有_____个. 考点五 几何计数问题 37．（2026高二·上海宝山·期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 38．（2026高三·全国·专题练习）以1，1，1，，，为六条棱长的四面体个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 39．（2026·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 40．（2026高三·江苏南京·月考）记为点到平面α的距离，给定四面体，则满足（i=2，3，4）的平面的个数为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 41．（2026·全国）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（    ） A．95 B．91 C．88 D．75 42．（2026高三·重庆渝中·月考）已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（    ）个. A．10 B．12 C．16 D．20 43．（2026高二·上海宝山·期中）直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（  ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 44．（2026高二·江苏扬州·期中）已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_________． 考点六 涂色问题 45．（2026高二·宁夏吴忠·期中）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 46．（2026高二·河北衡水·期中）如图，若从种不同的颜色中选种颜色涂在图中的号区域，要求相邻区域不同色，且所选的种颜色都要用到，不同的涂法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 47．（2026高二·安徽·期中）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 48．（2026高二·广东·期中）某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 49．（2026高二·江苏镇江·期中）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 50．（2026高二·广东梅州·月考）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    51．（2026高二·天津南开·期中）将图中四棱锥的五个顶点涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，每条棱的两个端点不同色，共有______种不同涂法；若要求4种颜色全部使用，则共有______种不同涂法． 考点七 种植问题 52．（2026高二·广西河池·月考）现有5种不同的农作物可供下图中的4块地种植，每一块地种一种农作物，且相邻的两块地种的农作物不能相同，若最多使用3种农作物，则不同的种植方法数为_______________. 53．（2026高二·四川达州·月考）某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有四个区域，现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的花卉种植方案共有（    ） A．210种 B．420种 C．180种 D．260种 54．（2026高二·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有__________种． 55．（2026高二·河南南阳·期末）南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是______. 56．（2026高二·安徽六安·期中）用5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是__________. 57．（2026高二·河北唐山·月考）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是________ $专题01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理7种常见考法归类 【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) （57题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 分类加法计数原理 考点二 分步乘法计数原理 考点三 实际问题中的计数问题 考点四 代数中的数字排列问题 考点五 几何计数问题 考点六 涂色问题 考点七 种植问题 知识点1 分类加法计数原理 基本形式：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法 注：应用分类加法计数原理应遵循的两原则 （1）根据题目特点恰当选择一个分类标准. （2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏. 知识点2　分步乘法计数原理 基本形式：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1× m2×…×mn种不同的方法 注：1、如何区分“完成一件事”是分类还是分步？ 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 2、应用分步乘法计数原理解题的一般思路 知识点3 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系和区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点 针对的是“分类”问题 不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事 注：1、分类应满足：不重不漏(“不重”即各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全集） 分步必须注意：步与步间的连续性 2、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点： 一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步． (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 知识点4 解答计数应用问题的总体思路 根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了. 此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：①枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；②转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；③间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得. 注：解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法. (2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 策略方法 1.应用分类加法计数原理应注意如下问题 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事． (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的． 2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步． (2)计数：求出每一步中的方法数． (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果． 3.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理． 4.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算. 5.与两个计数原理有关问题的解题策略 （1）在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理. （2）对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观. 6.对于组数问题，应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位． 7.解决涂色问题的一般思路 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 8.种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数． 考点一 分类加法计数原理 1．（2026高二·安徽·期中）某合唱队有男队员15人，女队员20人，现需从中选出一名同学担任指挥，则不同的选法共有（    ）. A．15种 B．20种 C．35种 D．300种 【答案】C 【详解】选一名指挥，可以从15名男队员中选，有15种选法； 也可以从20名女队员中选，有20种选法. 根据分类加法计数原理，总选法数为种. 2．（2026高二·河北雄安·月考）某学校开设3门球类课程､4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．11种 C．10种 D．9种 【答案】A 【分析】根据分类加法计数原理计算即可. 【详解】种. 3．（2026高二·河北邯郸·期中）已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（   ） A．4 B．19 C．60 D．480 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理即可直接求解. 【详解】选类，有6种选法， 选类，有4种选法， 选类，有5种选法， 选类，有4种选法， 故共有种. 【点睛】 4．（2026高二·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个； 若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标， 则符合题意的点有，，，，共4个． 综上，在第二象限内的点的个数为． 5．（2026高二·广东深圳·期中）从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用分类加法原理计算求解. 【详解】1—15中，5的倍数为5，10，15，故甲只能取这3个数. 若甲取5时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，4，共4种取法； 若甲取10时，乙需取比甲小的数，即1，...，9，共9种取法； 若甲取15时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，...，14，共14种取法； 故根据分类加法计数原理共有种. 6．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）某实验室的5名技术人员需要在夜间通过一座最多只能两人同时通行的临时钢架桥．过桥必须使用唯一的一盏工作灯，无灯不能过桥．过桥后需要有人将灯送回，才能让其他人继续过桥．两人同行时，过桥用时以较慢者为准．5名技术人员单独过桥时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、8分钟、9分钟．则这5人全部过桥的最短时间为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【分析】用最快的人往返送灯，同时让慢的人结伴过桥以减少总耗时，需要对比两种最优策略的总时间，取最小值. 【详解】策略1：最快的人（1分钟）往返送灯 1分钟和2分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 1分钟和9分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 1分钟和8分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 1分钟和5分钟过桥，耗时分钟，总耗时. 策略2：次快的人（2分钟）配合往返，让最慢的两人结伴过桥， 第一步：1分钟和2分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 第二步：1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 第三步：8分钟和9分钟结伴过桥，耗时分钟，总耗时； 第四步：2分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 第五步：1分钟和5分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 第六步：1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 第七步：1分钟和2分钟过桥，耗时分钟，总耗时. 两种策略对比后，最短时间为分钟. 7．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，若函数满足：，都有，则符合条件的函数共有__________个. 【答案】 【分析】根据函数的定义，结合值域的性质、分类计数原理和分步计数原理进行求解即可. 【详解】当集合中所有元素只和集合中一个元素对应时，显然符合，都有，此时可以构成个函数； 当集合中元素只和集合中二个元素对应时，这时这两个元素分别为，共5种情况， 以为例，集合中每一个元素都有2种对应方式，因此这样可以形成 个函数，但是会出现集合中所有元素都与或2对应， 因此构成函数的个数为个， 所以这种方式一共有个不同的函数； 当集合中元素只和集合中三个元素对应时，这时这三个元素分别为，共2种情况， 以为例，集合中每一个元素都有3种对应方式，因此这样可以形成 个函数，但是会出现集合中所有元素都与或2或3对应，或，或，或对应，所以可以形成个不同的函数， 所以这种方式构成的函数有个； 当集合中元素和集合中四个元素都对应时，这样出现，不符合题意， 综上所述：符合条件的函数共有个. 考点二 分步乘法计数原理 8．（2026高二·江苏镇江·期中）5名运动员争夺4项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于每项冠军，都有5种选择， 根据分步计数原理，可得获得冠军的可能种数是种. 9．（2026高二·广东惠州·期中）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解． 【详解】由题可知，不同报法的种数是． 10．（2026高二·安徽蚌埠·月考）李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（   ）种 A．24 B．14 C．10 D．9 【答案】B 【分析】分类讨论利用分步乘法原理和分类加法计数原理计算即可. 【详解】分两类： 第一类：选衬衣加裤子，共有种选法； 第二类：选连衣裙，共有种选法， 根据分类加法计数原理共有种选法. 11．（2026高二·江苏南京·期末）某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．40种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法， 第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。 根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为． 12．（2026高二·江苏徐州·月考）学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】应用乘法原理计算求解. 【详解】学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有种. 13．（2026高二·山西晋中·期中）书架上有5本不同的小说和4本不同的散文，随机取出2本，其中1本是小说1本是散文的不同取法有（    ） A．10种 B．20种 C．36种 D．72种 【答案】B 【详解】由题意，取1本小说，有5种取法；取1本散文，有4种取法， 由分步乘法计数原理，得不同的取法有种. 14．（2026高二·山东济南·期中）5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（   ） A．8种 B．15种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】由题意知，每位大学生都有3种选择，根据分步乘法计数原理，共有种选法. 15．（2026高二·河南新乡·期中）河南集历史人文与自然风光于一体，旅游资源丰富，核心景点有洛阳龙门石窟，洛阳老君山，登封少林寺，开封清明上河园，开封万岁山武侠城．小张和小王准备从以上5个景点中各自选择一个去游玩，则选择方案种数为（    ） A．30 B．25 C．20 D．10 【答案】B 【详解】因小张和小王可以从5个景点中各自选择一个去游玩， 故选择方案种数为． 16．（2026高二·江苏南京·月考）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行和相互垂直的共有（   ） A．12对 B．16对 C．18对 D．24对 【答案】C 【详解】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可. 相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的有4对，共6对， 正方体有三组相对面，故对. 17．（2026高二·江苏南京·期中）已知展开后共有30项，则为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】A 【详解】根据多项式展开的规律和分步乘法计数原理知：展开式的每一项都是从每个括号中各取一个项相乘得到，总项数等于每个括号内项数的乘积. 第一个括号中有2个项，第二个括号中有3个项，第三个括号中有n 个项， 因此总项数为，解得. 18．（2026高二·陕西安康·期中）现用Python生成随机密钥，该密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复），第三位要求从、、、中进行选择，则可生成的密钥数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定密钥每一位的选择种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复）， 则密钥第一位有种选择，第二位也有种选择， 第三位要求从、、、中进行选择，有种选择， 由分步乘法计数原理可知，可生成的密钥数量为个. 19．（2026高二·广东汕尾·月考）对于直线，若与均在集合内取值，则不同的直线条数共有（   ） A．101 B．91 C．90 D．72 【答案】B 【分析】根据乘法原理和加法原理计算即可． 【详解】当时，直线方程为，只有1条直线； 当时，任取一个值，直线有条； 所以不同的直线条数为． 考点三 实际问题中的计数问题 20．（2026高二·广东江门·期中）有本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同种的取法是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，共有3种组合方式： 数学和语文：； 数学和英语：； 英语和语文：； 总的不同取法为：． 21．（2026高二·湖南长沙·月考）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙处，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有a，b两种运输方式，第2，3，5个环节有b，c两种运输方式，第4个环节有c，d，e，f四种运输方式，则快件从甲送到乙使用4种运输方式的不同的方法种数是（   ） A．60 B．70 C．77 D．78 【答案】A 【分析】利用分步计数，先确定第4环节不能使用c运输方式，从而确定3种运输方式，再分类讨论第1，6两个环节的两类运输方式，从而可用间接法来确定第2，3，5环节的运输方式，最后利用分步计数乘法原理即可求解. 【详解】若第4个环节使用c运输方式，由题意可得快件从甲送到乙至多使用3种运输方式， 故第4个环节必须使用d，e，f三种运输方式中的1种， 若第1，6两个环节都使用b运输方式，则快件从甲送到乙至多会使用3种运输方式， 故从甲送到乙要使用4种运输方式，则满足条件的运输方法可分为两类． 第一类：第1和第6环节都用a运输方式，则第2，3，5环节必须使用两种不同的运输方式， 第4环节必须使用d，e，f中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有（种）； 第二类：第1和第6环节运输方式不同，则第2，3，5环节只需至少一个环节使用c运输方式， 第4环节必须使用d，e，f中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有（种）． 由分类加法计数原理可得，满足条件的运输方式有（种）． 22．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法. 【答案】29 【分析】利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理来求解即可. 【详解】设：列从左到右为，行从下到上为， 起点()，简记为，终点()，简记为 如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格， 则小明必经过和， 当小明经过到达时，按以下步骤： 从到，这三步中有一步向右，两步向上，故有种走法， 下面又分两类情形到达， 第1类是从到，只有2种走法，然后再向右走到， 而从到，这三步中有一步向上，两步向右，故有种走法， 所以第1类从到的走法有种； 第2类是从到，这三步中有一步向右，两步向上，故有种走法， 然后从到，只能全向右走，只有1种走法， 所以第2类从到的走法有种； 所以小明经过到达的走法有种； 当小明经过到达时，按以下步骤： 从到，只能全向右走，只有1种走法， 再从到，只能全向上走，也是只有1种走法， 最后从到，只有2种走法， 所以小明经过到达的走法有种； 故小明从起点到终点不同的走法共有种. 23．（2026·河北邯郸·模拟预测）某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种． 【答案】390 【详解】第一步，安排女性普法员，分别去两个社区，有种安排方案； 第二步，安排4名男性普法员去三个社区，总共有种情况， 其中一个社区没人，即都在女性普法员所在社区，共有种情况， 因为社区至少有1名普法员，所以男性普法员的安排方案有种； 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的方案. 24．（2026高二·江苏无锡·月考）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种. 【答案】10 【详解】由题设，若三人为甲、乙、丙，传递过程如下： 甲①②③④甲， 其中①④一定不会是甲，所以中间四个人的可能情况为： {乙，甲，乙，丙}、{乙，甲，丙，乙}、{乙，丙，甲，乙}、{乙，丙，甲，丙}、{乙，丙，乙，丙}、{丙，甲，乙，丙}、{丙，甲，丙，乙}、{丙，乙，甲，乙}、{丙，乙，甲，丙}、{丙，乙，丙，乙}，共10种情况. 25．（2026高二·山东泰安·月考）有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. (1)只需一人，有多少种不同的选法？ (2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ (3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)7 (2)10 (3)20 【分析】（1）若只需选1人参加，用分类加法计数原理求出全部不同选法即可； （2）将男生女生归为一类，再用分步乘法计数原理求出所有不同选法即可. （3）用分步乘法计数原理，求出所有不同的选法； 【详解】（1）； （2）； （3）. 考点四 代数中的数字排列问题 26．（2026高二·北京延庆·期中）由数字，，，构成的三位数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】百位有4种选择，十位有4种选择，个位有4种选择，故构成的三位数共有个， 故选：A 27．（2026高二·上海松江·月考）由1、2、3、4可以组成______个2在百位的没有重复数字的四位数. 【答案】6 【分析】用列举法写出所有四位数可得． 【详解】满足题意的四位数有1234，1243，3214，3241，4213，4231，共6个， 故答案为：6. 28．（2026高二·山东枣庄·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．60 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】个位只能是2和4，十位和百位可以从剩下的数字中选择， 故符合条件的偶数有， 故选：A 29．（2026高二·北京大兴·期末）用这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据分步乘法计数原理运算求解即可. 【详解】因为百位不为0，有9个数字可选， 则十位有9个数字可选， 个位有8个数字可选， 所以可以组成个没有重复数字的三位数. 故选：C. 30．（2026高二·河北石家庄·期中）用这6个数字，可组成_______个数字允许重复的三位数． 【答案】180 【分析】利用分步计数原理可求答案. 【详解】先安排首位有5种选择，再安排十位有6种选择，最后安排个位有6种选择， 故共有个. 故答案为:180 31．（2026·河北石家庄·模拟预测）各位数字之和为的三位正整数的个数为________________. 【答案】 【分析】由于本题数据比较小，故采用直接列举法即可. 【详解】因为或或或， 所以各位数字之和为的三位数有，，，，，，，，，共个. 故答案为： 32．（2026高二·贵州黔西南·月考）从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成______（用数字表示）个三位数. 【答案】48 【详解】从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成个三位数 33．（2026高二·北京顺义·月考）从，，，，这个数中任选个数，组成没有重复数字的三位数的个数为__________． 【答案】 【分析】分别考虑百位、十位和个位的情况，根据分步乘法原理计算即可. 【详解】由题意，百位可从，，，这个数中任选个数，共有种选择， 十位可从百位外剩下的个数中任选个数，共有种选择， 个位可从百位、十位外剩下的个数中任选个数，共有种选择， 故共有个． 34．（2026高二·山东济南·月考）用数字，组成四位数，且，都至少出现一次，则共有__________个四位数. 【答案】14 【详解】由题意，每一位都可以从数字4，5中任选1个，因此由数字4，5组成的四位数共有个． 其中，不符合条件的只有两种：一种是四位都取4，另一种是四位都取5． 所以满足4，5都至少出现一次的四位数共有14个． 35．（2026高一·浙江杭州·月考）将四个数组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第个四位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将四个数组成没有重复数字的四位数， 从小到大排列：， 所以第个四位数是. 36．（2026高二·全国·专题练习）用数字，，，，，，，组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位个数，那么这样的四位数一共有_____个. 【答案】 【分析】根据特殊元素“”是否被选择进行分类讨论，根据分类加法计数原理可得解. 【详解】以特殊元素“”为研究对象分类讨论. （1）若四位数中有“”，则“”有种放法， 其他位置上的数字从，，，中挑选，故共有种； （2）若四位数中无“”，则这四位数字可以全为奇数或者有个偶数. ①全为奇数，有种； ②有个偶数，则必从，，中选个并可放置在任意数位上，其余位置填奇数，共有种； 故满足条件的四位数有个， 故答案为：. 考点五 几何计数问题 37．（2026高二·上海宝山·期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 【答案】12 【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况. 【详解】 从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种. 故答案为：12 38．（2026高三·全国·专题练习）以1，1，1，，，为六条棱长的四面体个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由这些边为三角形仅有四种，，，，讨论底面三角形为、，结合对称性确定四面体个数. 【详解】以这些边为三角形仅有四种，，，． 固定四面体的一面作为底面： 当底面的三边为时，另外三边的取法只有一种情况，即； 当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，． 其余情形得到的四面体均在上述情形中． 由此可知，四面体个数有3个． 故选：B 39．（2026·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 40．（2026高三·江苏南京·月考）记为点到平面α的距离，给定四面体，则满足（i=2，3，4）的平面的个数为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】分两种情况：与平面平行、经过△中位线分别求出它们满足要求的个数，加总即可. 【详解】当与平面平行时，如下图存在2种情况. 当经过△中位线时，如下图其中一条中位线有2种情况，故三条中位线，共有6种情况. 综上，共有2+6=8种情况. 故选：C. 41．（2026·全国）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（    ） A．95 B．91 C．88 D．75 【答案】B 【分析】首先确定以为对角线的矩形中整点的个数，再确定上的整点数，最后根据对称性求出△中整点的个数. 【详解】由题设，直线分别交x、y轴于、，    以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线上的整数点有、、、、、，共6个， 所以，矩形对角线两侧的三角形中整点的个数为个， 综上，△中整点的个数为个. 故选：B 42．（2026高三·重庆渝中·月考）已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（    ）个. A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内，计算出五边形的总顶点数，从而得到结果. 【详解】由结构图知：每个顶点同时在3个面内， 所以五边形面数为个， 故选B. 【点睛】本题以分子为载体，考查空间问题的计数问题，考查空间想象能力与推理能力，属于中档题. 43．（2026高二·上海宝山·期中）直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（  ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 【答案】D 【分析】由题确定圆上的整点，然后由两点确定一条直线及过圆整点的切线条数可得答案. 【详解】因，，则公共点为： ，共12个. 若这样的直线为圆的切线，则满足题意的切线有12条； 若这样的直线不为圆的切线，则由两点确定一条直线，满足的直线有条. 则这样的直线有78 条. 故选：D 44．（2026高二·江苏扬州·期中）已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_________． 【答案】11 【分析】设倾斜角为，由，对分情况讨论，利用计数原理计算即可． 【详解】设倾斜角为，，则，不妨设，则， 若，a有2种取法，b有2种取法，排除1个重复(与)，故这样的直线有条； 若，a有2种取法，b有2种取法，c有2种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有条， 从而，符合要求的直线有条． 故答案为：11． 考点六 涂色问题 45．（2026高二·宁夏吴忠·期中）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 【答案】D 【分析】分别用5种颜色，4种颜色和3种颜色，根据相邻的区域不能涂同一种颜色求解. 【详解】如图所示： 当选择5种颜色时，从6种颜色中选5种共有种方法, 将选出的5种颜色分配给5个区域有种方法,总方法数为种， 当选择4种颜色时，从6种颜色中选4种共有种方法, 从（A,D）或（B,C）中选择一组涂同一颜色，有2种选择， 比如选择（A,D）组，将选出的4种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 当选择3种颜色时，从6种颜色中选3种共有种方法, 则（A,D），（B,C）各涂同一颜色，有1种选择， 将选出的3种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 则所有的方法数为种. 46．（2026高二·河北衡水·期中）如图，若从种不同的颜色中选种颜色涂在图中的号区域，要求相邻区域不同色，且所选的种颜色都要用到，不同的涂法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】由题知，种颜色都要用到，则必有两块区域颜色一致，且不相邻， 图中有且仅有两块不相邻区域同色，其中和不相邻，和不相邻，共组，从组中选一组，有种， 把这一组看作一个整体，从种颜色中选种，涂在区域上，有种，故共有种. 47．（2026高二·安徽·期中）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 【答案】C 【详解】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E， 用三种颜色：区域和相同，（种）， 用四种颜色：区域或相同，共有2种，再选取四种颜色， 及（种）， 用五种颜色：（种）.一共有（种）. 48．（2026高二·广东·期中）某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 【答案】260 【详解】第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选， 若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选； 若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选， 所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案． 49．（2026高二·江苏镇江·期中）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 【答案】 【分析】分别确定“英语角”、“语文学苑”、“理综世界”、“数学天地”这四个区域所用粉笔的颜色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法： 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 50．（2026高二·广东梅州·月考）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    【答案】72 【分析】设各区域为，中间区域A与其他区域都相邻，从开始分步填涂其它区域可解. 【详解】根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：    ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法， 若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种. 51．（2026高二·天津南开·期中）将图中四棱锥的五个顶点涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，每条棱的两个端点不同色，共有______种不同涂法；若要求4种颜色全部使用，则共有______种不同涂法． 【答案】 72 48 【分析】分两种情况：用三种颜色和四种颜色，分别求出每种情况数即可得到答案． 【详解】当只用三种颜色时， 同色、 同色且P与两组皆异色， 而从4种颜色选择3种，有种选择； 当用四种颜色时，同色或同色，所以从和中二选一，涂相同颜色，看成一组，再将四种颜色进行全排列，故有种选择； 综上，共有种选择，其中4种颜色全部使用时，有种． 考点七 种植问题 52．（2026高二·广西河池·月考）现有5种不同的农作物可供下图中的4块地种植，每一块地种一种农作物，且相邻的两块地种的农作物不能相同，若最多使用3种农作物，则不同的种植方法数为_______________. 【答案】 【分析】分用2种农作物和3种农作物两种情况求解. 【详解】若只用2种农作物，则种植方法数有， 若用3种农作物，先从5种不同的农作物选3种农作物，有种方法， 第一块地有3种种植方法，第二块地有2种种植方法， 若第三块地与前两块地种不同作物，则第四块地有2种种植方法， 若第三块地与第一块地种种相同作物，则第四块地只有1种种植方法， 则种植方法数有， 所以总共有种种植方法. 故答案为：. 53．（2026高二·四川达州·月考）某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有四个区域，现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的花卉种植方案共有（    ） A．210种 B．420种 C．180种 D．260种 【答案】D 【分析】分区域1与区域3种同种花卉和不同花卉两种情况，根据分步乘法计数原理可得. 【详解】当区域1与区域3种植同一种花卉时，先种1、3，再种2、4， 由分步乘法计数原理可知，该花坛种植方案共有种； 当区域1与区域3不种植同一种花卉时，先种1、3，再种2、4， 由分步乘法计数原理可知，该花坛种植方案共有种. 故该花坛的花卉种植方案共有种. 故选：D 54．（2026高二·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有__________种． 【答案】396 【分析】先按扇形区域中不相邻的两个区域是否是同种鲜花分类，每一类情况下分步完成即可求解. 【详解】将六个扇形区域标号为1到6（如图所示），分两类完成这件事情： 第一类：若1和3种植的鲜花相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 按照分类加法计数原理得，共有种. 故答案为：396. 55．（2026高二·河南南阳·期末）南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是______. 【答案】 【分析】分别求出用了种，种，种月季时的种植方案数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】对该区域种植月季，有种不同的月季可供选择， 当只选择种或种月季种植，不可能相邻区域种植的月季不同； 当选择种月季种植时， 第一步：先种植①④⑤区域，有种种植方法； 第二步：再种植②区域，必和④区域相同，只有种种植方法； 第三步：种植③区域，必和①区域相同，只有种种植方法； 故选择3种月季种植时，有种种植方法； 当选择种月季种植时， 第一步：先种植①④⑤区域，用了种月季中的种，有种种植方法； 第二步：再把还没有用过的种月季选种植下去，有②③两个区域可供种植， 有种种植方法； 第三步，种植最后一个区域，只有种种植方法， 故选择种月季种植时，有种种植方法；， 当选择全部的种月季种植时，有种种植方法； 所以该方案恰好只用到四种月季的概率是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于染色问题，相邻区域要不同的颜色，我们可利用所用颜色的数量进行分类求解，有时候会比较方便快捷. 56．（2026高二·安徽六安·期中）用5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是__________. 【答案】240 【分析】根据题意，写出每个区域可选的方法数，利用分步乘法原理，可得答案. 【详解】由题意，区域A可选的方法数为5，区域B可选的方法数为4，区域C可选的方法数为3， 区域D可选的方法数为4，可得总的方法数为. 故答案为：. 57．（2026高二·河北唐山·月考）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是________ 【答案】1920 【分析】根据题意，按照地图涂色问题的方法，分步讨论每个区域的涂色方法，由分步计数原理计算求解即可. 【详解】如图， 设5个区域分别是A，B，C，D，E. 第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择； 第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择； 第四步：若区域D与区域A.种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种； 若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择，则区域E可选择的花卉有4种， 故不同的种植方法种数是：. 故答案为： $