2026年山东济南高新区学考第二次模拟测试 九年级数学试题

**基本信息** 2026年济南高新区九年级数学二模卷以神舟十九号亚磁环境、阳光体育采购等真实情境为载体，通过基础题（相反数、因式分解）、中档题（圆的证明、统计图表）、创新题（四边形旋转探究、抛物线综合）的梯度设计，考查数学眼光（几何直观、空间观念）、思维（推理意识、运算能力）与语言（模型意识、数据意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|代数（科学记数法）、几何（投影、轴对称）|第3题结合神舟十九号考科学记数法，体现科技前沿| |填空题|5/20|概率（阴影区域）、几何（正五边形周长）|第13题正五边形与圆弧结合，考查空间观念| |解答题|10/90|统计（班徽投票分析）、函数（抛物线平移）、几何探究（矩形旋转）|第24题通过矩形旋转探究培养推理意识，第25题抛物线与正方形结合提升创新应用能力|

绝密★启用前 2026年济南高新区学考第二次模拟测试 九年级数学试题2026.05 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列各数中，2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A． B． C． D． 3．2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，神舟十九号载人飞船有很多创新之处，首次以果蝇为实验对象，建立太空亚磁环境，已知亚磁环境的磁感应强度小于0.000005特斯拉，0.000005用科学记数法表示为（　　） A．5×10﹣5 B．0.5×10﹣6 C．5×10﹣6 D．5×10﹣7 4. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我国四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将一个含30°角的直角三角板，按如图所示的位置摆放在直尺上，若∠1＝27°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．123° C．150° D．153° 7．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 8．如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第8题图 第9题图 9.如图，在矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点作的垂线分别交，于点M，N，则的长是（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论： ；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根； ；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11．分解因式：___________． 12．如图，正方形ABCD是由8个大小相等的三角形构成，随机的往正方形ABCD内投掷一个排球，落在阴影区域的概率为　 　 ． 第12题图 第13题图 13．如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的周长为 　 　 ．（结果保留π） 14．关于x的方程解为非负数，则的取值范围是 . 15．如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_________． 三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. (本题满分7分) 17. (本题满分7分)解不等式组 ，并写出该不等式组的正整数解． 18．(本题满分7分) 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：BF∥DE． 19．(本题满分8分) 某工厂在斜坡上安装一块广告牌，其侧面结构如图所示，斜坡与水平线的夹角，广告牌长为，与水平线的夹角，三个支撑杆，，固定该广告牌（点C，M，B在同一条直线上，且），其中． (1)求广告牌的端点D到水平线的高度； (2)求水平支撑杆的长度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 20. (本题满分8分) 如图，是圆的直径，交圆于点，且与圆的切线互相垂直，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 21.(本题满分9分) 九（1）班开展班级文化建设活动，现从A，B，C，D四款班徽设计图中挑选一款作为本班班徽，全班同学通过投票选出最受欢迎的班徽，根据投票结果得到以下不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）九（1）班参与投票的总人数为 ；并补全条形统计图； （2）D类所占的百分比为　 　 ；B类所对应的扇形圆心角α＝　 　 °； （3）为确定本班班徽，全班同学分为10组，分别从“内涵”、“美观”、“契合度”三个维度对A，C两款设计图进行打分，根据打分结果，得到以下统计表： 设计图得分 A C 平均数 中位数 平均数 中位数 内涵 7 7 8.3 8 美观 7.8 8 7.4 8 契合度 7.1 7 7.8 8 请从“美观”这一维度分析哪款设计图最受欢迎； （4）全班投票确定“内涵”、“美观”、“契合度”三个维度占比为3：4：3，若按照这个比例计算（3）中两款设计图的综合得分，得分高者作为本班班徽，请结合数据说明九（1）班最终会选择哪款班徽． 22．(本题满分10分) 某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． （1）求篮球和足球的单价； （2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 23．(本题满分10分) 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求和直线的解析式； （2）点在直线下方且在反比例函数的图象上，连接， ①如图1，延长交轴于点，当和相似时，求点的坐标； ②如图2，连接，当时，求点的坐标. 24．(本题满分12分) 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　 　，直线CF与DG形成的锐角度数为 。 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系及夹角大小是否发生变化？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边在AE右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 25．(本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点的横坐标为，当矩形是正方形时，求的值； (3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 九年级数学试题 第 2 页 共 8 页 九年级数学试题 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年济南高新区学考第二次模拟测试数学 参考答案及评分标准2026.05 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.） 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 A 0 C A B B D D B C 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 1.(x-3y)x+3yy123:1318π+12：14k≤3且k≠1；15.2 8 5 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.(7分)原式=-1-4+3-23+1 ……5分 =-4-3… ……7 分 17.(7分)解不等式①，得X<2,…2 分 解不等式②，得X≥-3，…4 分 故不等式组的解集为；-3≤X<2;… ……………6 分 故该不等式组的正整数解为1.… 7 分 18.（7分)证明：四边形ABCD为平行四边形， AB=CD,ABCD…2分 ∴∠BAF=∠DCE …3分 在△ABF和△CDE中， AF=CE ∠BAF=∠DCE, AB=CD ∴.△ABF≌△CDE(SAS) ……………4 分 ∴.∠AFB=∠CED … …5分 .∴.180°-∠AFB=180°-∠CED 即∠BFE=∠DEF… …6分 .BF/∥DE.…7分 19.(8分)(1)解：过点D作DE⊥AB于点E… …1 分 ∴.∠AED=∠BED=90°， 在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=37°，AD=3.1 E B ·sin∠DAE=DE …4 AD …2分 答案第1页，共11页 ∴.DE=AD·sin37°≈3.1×0.601≈1.863≈1.86(m) …3分 答：广告牌AD的端点D到水平线AB的高度约为1.86米 (2)解：∠BED=90,∠B=∠C=90°， .四边形BCDE为矩形， ∴.CD=BE,BC=DE …4分 在Rt△ADE中，cOS∠DAE=A AD ∴.AE=ADC0S37≈3.1X0.798≈2.473，… …5分 .BM=BC-CM=DE-CM, ∴.BM=1.86-0.7=1.16,(若BC代入1.863也正 确) …6分 在Rt△ABM中，tan∠MAB=BM AB' AB=BM。≈16=2.871，（若BC代入1.863，此处为 tan22°0.404 2.878）…7分 ∴.CD=BE=AB-AE≈2.871-2.473=0.398≈0.40m.(若BC代入1.863，此处为 0.41m) 答：水平支撑杆CD的长度为0.40米. …8分 20.(1)证明：连接OC. ·CD是⊙O的切线， ∴.CD⊥OC… 分 又.CD⊥AE, ∴.OC‖AE… …2 分 .∠DAC=∠OCA, …3分 .OC=OA, .∠OAC=∠OCA,… 4分 ∴.∠DAC=∠OAC,即∠EAC=∠CAB; (2)解：如图，过点C作CG⊥AB于点G,分别连接CF和CB, .∠EAC=∠CAB,CG⊥AB,CD⊥AE …FC=BC,CG=CD=4 44…ggg0gg。40·。9 F 6分 :LEAC=∠CAB=∠EAB,∠EAC=∠COB, 2 'tan∠BAE=tan∠COG=CG-4 0 OG3’ ∴.0G=3,0C=5, .BG=OB-OG=2… …7分 在△FDC和△BGC中 答案第2页，共11页 CG=CD ∠CDF=∠CGB=90° FC=BC ,Rt△FDC≌Rt△BGC(HL) …FD=BG=2… 8分 21.解：(1)50， 分 得票数 61 16 16 12 1 6 D款式 …2分 (2）16%,72;… ……4 分 (3)结合表格，从“美观”这一维度来看，A款和C款得分的中位数相等，但A款得分的平均数比C 款高，所以A款设计图更受欢迎； ……… …6 分 (4)A款设计图综合得分： 7x3+7.8×4+7.1×3=7.35 3+4+3 …7分 C款设计图综合得分： 8.3×3+7.4×4+7.8×3 =7.79>7.35 3+4+3 …8分 ∴.九(1)班最终会选择C款. ………9 分 22.(1)解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为x-20元，…1分 由题意得， 10000_8000 …3分 X X-20 解得x=100,… 。。。。。。。。。。。 …4分 经检验，X=100是原方程的解，且符合题意，…5分 .X-20=80, 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元；…6分 (2)解：设购买篮球a个，总费用为y元 由题意得，y=100a+80120-a=20a+9600, …7分 足球的数量不能多于篮球数量的？ .120-a≤2a, .a≥72，… 8分 两种球都要购买， ∴.72≤a<120,且a为整数 :y=20a+9600,20>0,y随a增大而增大， .当a=72时，y有最小值， …………………9分 此时120-a=48,y=11040元…10分 答案第3页，共11页 答：当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元 23.()解：点C1,m在反比例函数y=6x>0上， m=6=6, …1分 1 即C1,6, 设直线1的解析式为y=kx+b,将A-1,0,C1,6代入y=kx+b, 得引，…2分 解得(， 直线l的解析式为y=3X+3;…3分 (2)解：①在△ABO中，∠AOB=90° 当△ABO和△ACD相似时，则△ACD中必须有一个角是90° ∠CAD是公共角，C在第一象限，D在x轴正半轴 .只有∠ACD=90°一种情况，…4分 作CE⊥x轴于点E, .C1,6, .E1,0,CE=6,OE=1, A-1,0, ∴.AE=A0+0E=1+1=2, 在Rt△AEC中，∠CAE+∠ACE=90°， :'∠ACD=90°，即∠ACE+∠ECD=90°，∴.∠CAE=∠④ 在△AEC和△CED中：G △AEC-ACEDAE-CS,即2-6 CE ED 6 ED ,解得ED=18, 点D在x轴上，且在E点右侧，.OD=OE+ED=1+18=19,∴D(19,0, 设CD所在直线的解析式为y=px+q,则心解得：i, .19 CD所在直线的解析式为y3x+3 …6分 :点P是直线CD与反比例函数y=6的交点 联立方程：号x+96整理得：父-19x+18=0,解得：X=1,x=18 3x+3x 当x=1时，y=6(与点C重合，舍去)； 当x=18时，y= 6_1 183' p18,3 …7分 3 6 ②设点PP 过C作CM⊥y轴，过P作PN⊥y轴 6 C1,6,Pp, 点P在直线1下方，M0,6,N0,6 P PN=p,CM-1,MN=6-6,ON-6, 2,OM=6, S△POC=S梯形CMNp+SAONP-S△OMc -(PN+CMI-MN+ON-PN-OM-CM 2 答案第4页，共11页 p*168}2xp 1x6×1 P2 P p8 2 过点P作一条平行于y轴的直线，交直线AC于点Q, 点Q在直线y=3x+3上，则点Q的坐标是P,3p+3, PQ-3p3 ∴.点A-1,0到直线x=p的距离是p--1=p+1,点C1,6到直线x=p的距离是p-1, Sc=56a5aoPQ:(p+1)}PQ-(p-1)PQ=3p+39, :3 SA PAC=4S△POC 33p+3-6 43p-3 D 9p*98=12p 12 p 3p+6-9=0 p 3p2-9p+6=0即p2-3p+2=0 (p-1p-2=0 解得p=1或p=2 当p=1时，y=6(与点C重合，舍去)； 63, 当p=2时，y= P2,3.… …10分 24.(1CF=2GD;60°.…4分 2解：不发生变化，理由如下，…5分 由图1可知，∠FAG=∠CAD,∠FGA=∠CDA, △AFG-△ACD,AFAC' ·AG-AD 由图2可知，由旋转可得：∠CAF=∠DAG, .∴.△ACF-△ADG,… 6分 ..CF=AC DG AD' ..AD-1.AC=2CF=2 ·CD2,…AD1’DG1' .CF=2GD;.…7分 延长CF交DG于点H,交AD于点M, .△ACF-△ADG,∴.∠ACF=∠MDH, 在△ACM△MDH∠ACF+∠CAD+∠AMC=∠MDH+∠DMH+∠MHD=180°， 又，'∠AMC=∠DMH, ∴.∠MHD=∠CAM=60°，…8分 3解：当AD=AB时，四边形ABCD是正方形， ①如图3，当点E在线段CD上时，连接ACAH, 答案第5页，共11页 B A G ABCD AEFG 图3 四边形 和四边形 为正方形， AC=AE=2, ∠CAD=∠EAH=459,ADAH .∠CAE=∠DAH, △ACE-△ADH,DH-AD=2 CE AC 2 .AD=CD=4,DE=2,∴.CE=4-2=2, DH-32CE-92: …10分 2 ②如图4，当点E在线段CD延长线上时，连接AC、AH, G B ABCD AEFG D 图4 四边形 ，四边形 为正方形， ∴.∠CAD=∠EAH=45°， AC_AE=2, AD AH .∴.∠CAE=∠DAH, △ACE-△ADH,:DH-AD-2 CE AC2' AD=CD=4,DE=2,∴.CE=4+2=6, DH=2cE=32; …12分 综上所述，DH的长为V2或32. 25. (①）解：抛物线C:y=ax2-6x+c与x轴交于点A1,0和点g与，交于点C(0,5) 心，… …2分 解得：乙，…3分 .抛物线C1的函数表达式为y=x2-6x+5.…4分 (2)解：抛物线C1的函数表达式为y=x2-6x+5, .y=0时，x2-6x+5=0,解得：x1=1,x2=5,.A(1,0),B(5,0), 点P是抛物线y=x2-6x+5在x轴下方的一个动点，点P的横坐标为p, .1<p<5. 设P(p,p2-6p+5),PE⊥y轴于点E,PF⊥x轴于点F, OFP,P℉=-p2+6p-5,…5分 ,矩形PEOF是正方形， 答案第6页，共11页 .OF=PF,即p=-p+6p-5 ，…6分 解得：A产5 5-V5 ，P22 …8分 (3)解：设BC与抛物线C1的对称轴交于点E,直线BC的解析式为y=mx+n, ·B(5,0),C(0,5), ∴d,解得：(，直线BC的解析式为y=-x+5, ,抛物线C的函数表达式为y=x2-6x+5=(x-3)2-4, .对称轴为直线x=3, 对于直线BC,当X=3时，y=-3+5=2,∴.E(3,2), :将抛物线y=x2-6x+5=(x-3)2-4向右平移h个单位长度后，得到新抛物线C2, ∴.抛物线C2的解析式为y=(x-3-h)子-4， …9分 对于抛物线C2,当x=3时，y=(3-3-h}-4=h2-4, N(3,h2-4),…10分 如图，当点N在点E上方时， C C? C EN IOC,OCG-ANEG,OC-OG NE GN' .OG=4GN, ∴.OC=4EN,即5=4(h2-4-2), 解得：h=29(负值舍去).…1分 如图，当点N在点E下方时， C ENOC.CNEG-( 解得：h19(负值舍去).…12分 综上所述：h的值为29或19 答案第7页，共11页