第五节一元二次不等式讲义——2027届高三数学一轮复习

第五节　一元二次不等式 知识清单 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ________ {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.分式不等式的解法 (1)>0⇔________；(2)<0⇔________； (3)≥0⇔________；(4)≤0⇔________． 3．绝对值不等式的解集：|x|>a(a>0)的解集为________________；|x|<a(a>0)的解集为________________． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　) 2．(人教A版必修一P53T1(5)改编)不等式－2x2＋x≥－3的解集为________． 3．(人教A版必修一P54T1改编)使有意义的x的取值范围是________． 4．(人教A版必修一P55练习T3改编)某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器每个的售价的范围为________元． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　不含参的不等式 例1 (1)解下列不等式 ①－x2－3x<－4； ②|1－2x|≤7； (2)(链接·2025年全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教B版必修一P75例3)求不等式≥1的解集． 笔记： (1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集． (2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． 命题点二　含参的一元二次不等式 例2解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0. [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类． 　跟踪训练　解关于x的不等式12x2－ax>a2. 命题点三　三个二次之间的关系 例3 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}． (1)求a，b，c之间的关系，并判断a＋b＋c的正负； (2)求关于x的不等式bx2＋cx＋3a>0的解集． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：“三个二次”之间的关系及其应用 (1)一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值； (2)对于不等式ax2＋bx＋c>0，若其解集为(－∞，m)则a>0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m<n；若其解集为(m，n)，则a<0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m<n. 　跟踪训练　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx－1. (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x<－1或x>}，求f(x)； (2)在(1)的条件下，求不等式>0的解集； (3)设关于x的方程f(x)＋ax＋b＋1＝0有两实数根x1，x2，且满足x1＋x2＝2，求的值． 提示：请完成课时作业5 第五节　一元二次不等式 必备知识·助学教材 知识清单 1．{x|x<x1，或x>x2} 2．(1)f(x)g(x)>0　(2)f(x)g(x)<0　(3)　(4) 3．(－∞，－a)∪(a，＋∞)　(－a，a) 自主诊断 1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．解析：不等式－2x2＋x≥－3等价为2x2－x－3≤0，解得－1≤x≤，所以不等式－2x2＋x≥－3的解集为{x|－1≤x≤}． 答案：{x|－1≤x≤} 3．解析：要使有意义，则x2＋x－12≥0，解得x≤－4或x≥3. 答案：{x|x≤－4，或x≥3} 4．解析：设这批削笔器每个的售价定为x元，x≥15，由题意可得[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，解得10<x<20，又x≥15，所以15≤x<20，故每个售价定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)． 答案：[15，20) 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)①由－x2－3x<－4得x2＋3x－4>0，即(x＋4)(x－1)>0，解得x<－4或x>1， 所以不等式－x2－3x<－4的解集为{x|x<－4，或x>1}． ②|1－2x|≤7⇔|2x－1|≤7⇔－7≤2x－1≤7，解得－3≤x≤4， 所以不等式|1－2x|≤7的解集为{x|－3≤x≤4}． (2)≥2，即为≤0，即故－2≤x<1，故解集为[－2，1)．故选C. 答案：(1)见解析　(2)C 真题探源　解析：由≥1得≥0， 由题意知x－2≠0，因此(x＋3)(x－2)≥0且x≠2， 所以所求不等式的解集为(－∞，－3]∪(2，＋∞)． 例2　解析：若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1. 若a<0，原不等式等价于(x－1)>0， 解得x<或x>1. 若a>0，原不等式等价于(x－1)<0. ①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解； ②当a>1时，<1，(x－1)<0，解得<x<1； ③当0<a<1时，>1，(x－1)<0，解得1<x<. 综上所述，当a<0时，解集为； 当a＝0时，解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，解集为； 当a＝1时，解集为∅； 当a>1时，解集为. 跟踪训练　解析：因为12x2－ax>a2， 所以12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－. ①当a>0时，－<， 不等式的解集为<，或>； ②当a＝0时，x2>0，不等式的解集为{x|x≠0}； ③当a<0时，－>， 不等式的解集为，或x>. 综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x，或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<，或x>. 例3　解析：(1)因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)， 则－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 所以a<0，－＝1+2＝1，＝(－1)×2＝－2， 故b＝－a，c＝－2a，此时a＋b＋c＝－2a>0. (2)bx2＋cx＋3a>0⇔－ax2－2ax＋3a>0⇔x2＋2x－3>0， 解得x<－3或x>1， 所以不等式bx2＋cx＋3a>0的解集为{x|x<－3，或x>1}． 跟踪训练　解析：(1)因为不等式f(x)>0的解集为{x|x<1或x>}， 所以a>0，且解得故f(x)＝2x2＋x－1. (2)因为f(x)＝2x2＋x－1， 所以不等式>0，可化为>0，即>0， 而x≠0，x≠－，可得>0，解得x>－且x≠0， 则不等式的解集为{x<x<0或x>0}． (3)由题意得关于x的方程f(x)＋ax＋b＋1＝0有两实数根， 则ax2＋(a＋b)x＋b＝0有两实数根， 所以Δ＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，易知此式恒成立， 因为x1＋x2＝2，由韦达定理，x1＋x2＝， 所以b＝－3a，x1x2＝－3， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $