上海市浦东新区建平中学西校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 聚焦四边形与坐标变换，分层设计探究性问题，通过折叠、旋转等动态情境培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|平行四边形判定、特殊四边形性质|结合图形辨析核心概念，如第1题考查平行四边形判定条件| |填空题|12/36|多边形对角线、坐标与图形、中位线|融合几何性质与代数计算，如第10题通过坐标求等腰直角三角形顶点| |解答题|6/52|四边形证明、动态几何、综合探究|设置分层任务，如第24题“特殊平行四边形旋转”含操作发现与迁移探究，第25题折叠与平行四边形存在性问题，培养创新意识与模型观念|

上海市浦东新区建平中学西校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．（2分）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加以下条件不能证明它是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD B．BC∥AD C．∠A＝∠C D．∠A+∠D＝180° 2．（2分）下列命题中正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．平行四边形对角线互相平分 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是菱形 3．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5．若∠BAD＝120°，则AC的长是（　　） A．2.5 B．5 C．6 D．10 4．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C坐标为（　　） A．（3，4） B．（4，5） C．（5，3） D．（3，5） 5．（2分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是（　　） A．24 B．26 C． D． 6．（2分）如图，A、B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且m∥n，以下说法：①三角形ABC的周长不变；②三角形ABC的面积不变；③∠C的度数不变；④点C到直线m的距离不变．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 7．（3分）过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则m+n的值是 　 　 ． 8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为　 　 ． 9．（3分）在四边形ABCD中，两条对角线交于点O，已知BO＝DO，AC＝6cm，则当AO＝　 　 cm时，四边形ABCD是平行四边形． 10．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，5），则A点的坐标是 　 　 ． 11．（3分）已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 　 　 ． 12．（3分）已知点A坐标为（2+a，﹣3a﹣4），点B的坐标为（5，﹣3），若AB∥x轴，则a＝　 　 ． 13．（3分）如图平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°．则∠ODC＝　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　 　 ． 15．（3分）如图，已知▱ABCD的周长为12，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接CE，则△CDE的周长是　 　 ． 16．（3分）如图，已知：G是△ABC的重心，S△ABC＝12，那么S△GBD＝　 　 ． 17．（3分）如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，PE＝2，则点P到AB的距离为　 　 ． 18．（3分）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一点，Q是BC中点，若菱形周长是16，∠A＝120°，则PC+PQ的最小值为　 　 ． 三、解答题（本大题共有6题，第19～21题每题6分，第22～24题每题8分，第25题10分，满分52分） 19．（6分）如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，DE＝2，求△AEF的面积． 20．（6分）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）． （1）图中点C关于x轴对称的点D的坐标是 　 　 ． （2）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B'，那么A、B'两点之间的距离是 　 　 ． （3）求四边形ABCD的面积． 21．（6分）长方形ABCO在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为（15，9），将△ABD沿直线BD折叠，点A恰好落在边OC上的点E处． （1）点A的坐标为　 　 ，点C的坐标为　 　 ； （2）求CE和AD的长； （3）求四边形DOEB的面积． 22．（8分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：MB＝MC； （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AB：AD＝　 　 时，四边形MENF是正方形．（只写结论，不需证明） 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，3），B（1，1），C（4，0），D（4，4）． （1）把四边形ABCD经过平移后得到四边形A1B1C1D1，点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣1）．请你画出四边形A1B1C1D1，并写出点B1，C1，D1的坐标； （2）若四边形ABCD内有一点P（a，b），则经过（1）的平移后的对应点P1的坐标为　 　 ； （3）求四边形A1B1C1D1的面积． 24．（8分）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． 【操作发现】 （1）当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 　 　 ；直线DG与BE的夹角度数为 　 　 ； 【深入探究】 （2）如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，且AB＝2AE，∠DAB＝∠GAE＝60°，猜想DG与BE的数量关系与直线DG与BE的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，AB＝2，在菱形AEFG绕点A旋转过程中，直接写出线段CE的最小值． 25．（10分）如图1，将矩形OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA＝8，OC＝16．把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E． （1）点E的坐标为 　 　 ；点D的坐标为 　 　 ； （2）如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG，试判断四边形BCGD的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线OB上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 上海市浦东新区建平中学西校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B B D C C 一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．（2分）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加以下条件不能证明它是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD B．BC∥AD C．∠A＝∠C D．∠A+∠D＝180° 【答案】D 【解答】解：已知四边形ABCD中AB∥CD，再添加AB＝CD或AD∥BC，或能推导出AB＝CD或AD∥BC的条件．则： ∵已知AB∥CD， A，AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B，BC∥AD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C，∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC， 两组对边分别平行，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，是本来就成立的结论， 该条件没有给出新的有效信息，无法推出另一组对边平行或AB＝CD， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意； 故选：D． 2．（2分）下列命题中正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．平行四边形对角线互相平分 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】B 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； B、平行四边形的性质为对角线互相平分，故B正确，符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形才是矩形，仅有一个角是直角的四边形不是矩形，故 C错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，对角线互相平分只能判定四边形是平行四边形，不能判定是菱形，故D错误，不符合题意． 故选：B． 3．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5．若∠BAD＝120°，则AC的长是（　　） A．2.5 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝BC， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝5． 故选：B． 4．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C坐标为（　　） A．（3，4） B．（4，5） C．（5，3） D．（3，5） 【答案】D 【解答】解：由题意可得： ∴点C的横坐标为4﹣1＝3， 点C的纵坐标为4+1＝5， ∴点C的坐标为（3，5）． 故选：D． 5．（2分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是（　　） A．24 B．26 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OAAC，OBBD，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∵AC＝6，BD＝4， ∴OA＝3，OB＝2， ∴AB， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4． 故选：C． 6．（2分）如图，A、B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且m∥n，以下说法：①三角形ABC的周长不变；②三角形ABC的面积不变；③∠C的度数不变；④点C到直线m的距离不变．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解答】解：∵A、B为定点， 则AB为定值， 随着点C的运动，AC+BC的长度是变化的，即△ABC的周长变化的； 所以结论①错误，不符合题意； 由于两平行线间的距离相等，即点C到底边AB的距离不变， 即△ABC的面积不变； 所以结论②正确，符合题意； 随着点C的运动，∠C的度数是变化的； 所以结论③错误，不符合题意； ∵两平行线间的距离相等， 即点C到直线m的距离不变； 所以结论④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有②④； 故选：C． 二、填空题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 7．（3分）过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则m+n的值是 　24　 ． 【答案】24． 【解答】解：由题意可得：n﹣3＝10，n＝13， m＝13﹣2＝11， ∴m+n＝13+11＝24． 8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为　8　 ． 【答案】8 【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝3，BD＝5， ∴， ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∴四边形OCED的周长， 故答案为：8． 9．（3分）在四边形ABCD中，两条对角线交于点O，已知BO＝DO，AC＝6cm，则当AO＝　3　 cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】3． 【解答】解：在四边形ABCD中，两条对角线交于点O， 当AO＝3cm时， CO＝AC﹣AO＝6﹣3＝3（cm）， ∴AO＝CO， ∵BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：3． 10．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，5），则A点的坐标是 　（﹣6，3）　 ． 【答案】（﹣6，3）． 【解答】解：如图，过A作AE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F， ∵点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，5）， ∴OC＝1，OF＝2，BF＝5， ∴CF＝OC+OF＝1+2＝3， ∵∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°， ∴∠ACE＝∠CBF， ∵∠AEC＝∠BFC＝90°，AC＝BC， ∴△AEC≌△CFB（AAS）， ∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝5， ∴OE＝CE+OC＝6， ∴点A的坐标为（﹣6，3）， 故答案为：（﹣6，3）． 11．（3分）已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 　（3，﹣2）　 ． 【答案】（3，﹣2） 【解答】解：因为点P在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， 所以点P的横坐标为3，纵坐标为﹣2， 所以点P的坐标为（3，﹣2）， 故答案为：（3，﹣2）． 12．（3分）已知点A坐标为（2+a，﹣3a﹣4），点B的坐标为（5，﹣3），若AB∥x轴，则a＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵点B的坐标为（5，﹣3），且AB∥x轴， ∴﹣3a﹣4＝﹣3， ∴， 故答案为：． 13．（3分）如图平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°．则∠ODC＝　25°　 ． 【答案】25° 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ODA＝∠OAD＝65°， ∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ODA＝25°． 故答案为：25°． 14．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAC4＝2， 在Rt△BFC中，E是斜边BC的中点，BC＝8， 则FEBC8＝4， ∴DF＝DE+FE＝2+4＝6， 故答案为：6． 15．（3分）如图，已知▱ABCD的周长为12，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接CE，则△CDE的周长是　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：已知▱ABCD的周长为12，AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AD+CD＝6， 由题意可得：点E在AC的垂直平分线上， ∴AE＝CE， ∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝6． 故答案为：6． 16．（3分）如图，已知：G是△ABC的重心，S△ABC＝12，那么S△GBD＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵G是△ABC的重心， ∴，AD是△ABC的中线， ∴， ∵S△ABC＝12， ∴， ∴， 故答案为：2． 17．（3分）如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，PE＝2，则点P到AB的距离为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD． ∵PE⊥AD于点E，且点P在AC上， ∴点P到AB的距离等于PE的长度，即为2， 故答案为：2． 18．（3分）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一点，Q是BC中点，若菱形周长是16，∠A＝120°，则PC+PQ的最小值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：如图，连接AP，AC，AQ， ∵四边形ABCD为菱形， ∴点A和点C关于BD对称， ∴AP＝CP， ∴PC+PQ＝AP+PQ， ∴PC+PQ的最小值即为AP+PQ的最小值， ∵AP+PQ≥AQ， ∴PC+PQ的最小值为AQ， ∵∠BAD＝120°，四边形ABCD为菱形 ∴∠ABC＝60°，AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形， ∵点Q为BC的中点， ∴AQ⊥BC， ∵菱形周长是16， ∴AB＝BC＝4，BQ＝2， ∴AQ2， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共有6题，第19～21题每题6分，第22～24题每题8分，第25题10分，满分52分） 19．（6分）如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，DE＝2，求△AEF的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF， ∴AB∥CD，AB＝CD，DE+BD＝BF+BD， ∴∠ABE＝∠CDF，BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． （2）解：∵AB⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝5，AD＝BC＝3， ∴BD4， ∵DE＝BF＝2， ∴EF＝DE+BD+BF＝2+4+2＝8， ∴S△AEFEF•AD8×3＝12， ∴△AEF的面积为12． 20．（6分）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）． （1）图中点C关于x轴对称的点D的坐标是 　（3，2）　 ． （2）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B'，那么A、B'两点之间的距离是 　5　 ． （3）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）（3，2）；（2）5；（3）21． 【解答】解：（1）根据题意得点C的坐标为（3，﹣2）； 所以点C关于x轴对称的点D的坐标是（3，2）； 故答案为：（3，2）； （2）将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′（﹣3+3，﹣2），即（0，﹣2）， A、B′两点之间的距离是：3﹣（﹣2）＝5； 故答案为：5； （3）S△ACD6， ∴四边形ABCD的面积为：S△ABC+S△ACD＝15+6＝21． 21．（6分）长方形ABCO在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为（15，9），将△ABD沿直线BD折叠，点A恰好落在边OC上的点E处． （1）点A的坐标为　（0，9）　 ，点C的坐标为　（15，0）　 ； （2）求CE和AD的长； （3）求四边形DOEB的面积． 【答案】（1）（0，9）；（15，0）； （2）CE＝12，AD＝5； （3）． 【解答】解：（1）∵四边形ABCO是长方形，点B的坐标为（15，9）， ∴AO＝BC＝9，OC＝AB＝15， ∴点A的坐标为（0，9），点C的坐标为（15，0）． 故答案为：（0，9）；（15，0）； （2）已知点B的坐标为（15，9），将△ABD沿直线BD折叠，点A恰好落在边OC上的点E处． ∴BE＝AB＝15，DE＝AD， 在直角三角形BCE中，由勾股定理得：， ∴OE＝OC﹣CE＝15﹣12＝3， 设DE＝AD＝x，则OD＝AO﹣AD＝9﹣x， 在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+OD2＝DE2， 即32+（9﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴AD＝5； （3）由（2）得，AD＝5， ∴OD＝9﹣5＝4， ∵将△ABD沿直线BD折叠，点A恰好落在边OC上的点E处， ∴S△ABD＝S△EBD， ∴四边形DOEB的面积＝S△BDE+S△ODE＝S△ABD+S△ODE ， ∴四边形DOEB的面积为． 22．（8分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：MB＝MC； （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AB：AD＝　1：2　 时，四边形MENF是正方形．（只写结论，不需证明） 【答案】（2）菱形； （3）1：2． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC， ∵M是AD的中点， ∴AM＝DM， 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM＝CM； （2）解：四边形MENF是菱形；理由如下： ∵E、N、F分别是线段BM、BC、CM的中点， ∴EN是△BCM的中位线， ∴ENCM＝FM，EN∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形， 同理：NF是△BCM的中位线， ∴NFBM， ∵BM＝CM， ∴EN＝NF， ∴四边形MENF是菱形； （3）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形；理由如下： ∵AB：AD＝1：2，M是AD的中点， ∴AB＝AM， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴∠AMB＝45°， 同理：∠DMC＝45°， ∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 由（2）得：四边形MENF是菱形， ∴四边形MENF是正方形； 故答案为：1：2． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，3），B（1，1），C（4，0），D（4，4）． （1）把四边形ABCD经过平移后得到四边形A1B1C1D1，点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣1）．请你画出四边形A1B1C1D1，并写出点B1，C1，D1的坐标； （2）若四边形ABCD内有一点P（a，b），则经过（1）的平移后的对应点P1的坐标为　（a﹣5，b﹣4）　 ； （3）求四边形A1B1C1D1的面积． 【答案】（1） ， B1（﹣4，﹣3），C1（﹣1，﹣4），D1（﹣1，0）； （2）（a﹣5，b﹣4）； （3）9． 【解答】解：（1）把四边形ABCD经过平移后得到四边形A1B1C1D1，如图， B1（﹣4，﹣3），C1（﹣1，﹣4），D1（﹣1，0）． （2）由（1）得平移的规律为：向左平移5个单位，再向下平移4个单位， ∴点P1的坐标为（a﹣5，b﹣4）， 故答案为：（a﹣5，b﹣4）； （3）∵四边形A1B1C1D1是梯形， ∴． 24．（8分）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． 【操作发现】 （1）当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 DG＝BE ；直线DG与BE的夹角度数为 　90°　 ； 【深入探究】 （2）如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，且AB＝2AE，∠DAB＝∠GAE＝60°，猜想DG与BE的数量关系与直线DG与BE的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，AB＝2，在菱形AEFG绕点A旋转过程中，直接写出线段CE的最小值． 【答案】【操作发现】（1）DG＝BE，90°； 【深入探究】（2）DG＝BE；直线DG与BE的夹角度数为60°；理由见解析； 【迁移探究】（3）如图4，线段CE的最小值为21． 【解答】解：【操作发现】（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AG＝AE，AD＝AB，∠GAE＝∠DAB＝90°， ∴∠GAE﹣∠DAE＝∠DAB﹣∠DAE， ∴∠GAD＝∠EAB， 在△GAD和△EAB中， ， ∴△GAD≌△EAB（SAS）， ∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE， 如图2，延长BE交GD于点M，交AD于点N， ∵∠DNM＝∠ANB，∠ABN+∠ANB＝90°， ∴∠DNM+ADG＝90°， ∴∠DMN＝90°， ∴直线DG与BE的夹角度数为90°， 故答案为：DG＝BE，90°； 【深入探究】（2）DG＝BE；直线DG与BE的夹角度数为60°；理由如下： ∵四边形ABCD和四边形AEFG是菱形， ∴AG＝AE，AD＝AB，∠GAE＝∠DAB＝60°， ∴∠GAE﹣∠DAE＝∠DAB﹣∠DAE， ∴∠GAD＝∠EAB， ∴△GAD≌△EAB（SAS）， ∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE， 如图3，延长BE交DG的延长线于点H，交AD于点T， ∵∠DTH＝∠ATB，∠H+∠DTH+∠ADG＝180°，∠DAB+∠ATB+∠ABT＝180°， ∴∠H＝∠DAB＝60°， ∴直线DG与BE的夹角度数为60°； 【迁移探究】（3）如图4，当点E在AC上时，线段CE的最小值， 连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，AC＝2AO， ∵AB＝2， ∴OB， ∴OA， ∴AC＝2OA＝2， ∵AE1， ∴CE＝AC﹣AE＝21， 即线段CE的最小值为21． 25．（10分）如图1，将矩形OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA＝8，OC＝16．把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E． （1）点E的坐标为 　（6，8）　 ；点D的坐标为 　　 ； （2）如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG，试判断四边形BCGD的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线OB上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（6，8）；； （2）四边形BCGD是菱形，理由见解析； （3）或或或． 【解答】解：（1）四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝16， ∴AB＝OC＝816BC＝AO＝8，AB∥OC，∠ABC＝∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝∠BOC ∵把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E， ∴∠BOC＝∠BOD，DE＝AE，BD＝BC＝8，∠BDE＝∠OCB＝90°， ∴∠EOB＝∠EBO， ∴EO＝EB， 设AE＝x，则OE﹣BE＝8﹣x， 在Rt△AEO中，OA2+AE2＝OE2， ∴82+x2＝（16﹣x）2， 解得：x＝6， 即DE＝AE＝6， ∴点E的坐标为（6，8），BE＝10， 如图1，过点D作DL⊥OC于点L，交AB于点K，则KL＝OA＝8， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为； 故答案为：（6，8）；； （2）四边形BCGD是菱形，理由如下： ∵DG∥BC， ∴∠BGD＝∠CBG， ∵把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E， ∴∠DBG＝∠CBG，BD＝BC＝8，∠BDE＝∠OCB＝90°， ∴∠DBG＝∠DGB， ∴DG＝DB＝CB， ∴四边形BCGD是平行四边形， ∵BD＝BC， ∴四边形BCGD是菱形； （3）当点N1与点G重合时，点M1与点A重合时，四边形DM1ON1是平行四边形， 在Rt△EDB中，∠EDB＝90°，EB＝AB﹣AE＝16﹣6＝10，DB＝BC＝OA＝8， ∴， ∵DG∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠DHB＝∠ABC＝90°， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点D到x轴的距离为，点G到x轴的距离为， ∴， ∴， ∴； 当四边形ODN1M是平行四边形时，此时点N1与G重合，DN1∥OM且DN1∥OM，则； 当四边形ODN2M2是平行四边形时，此时点M2与C重合，DO∥N2M2且DO＝N2M2， 即线段OD向右平移8个单位得到线段N2M2，则点M2是点0的对应点，点N2是点D的对应点， ∵， ∴，即； 当四边形ODM1N3是平行四边形时，此时点M1与A重合，DM1∥ON3，且DM1＝ON3，即线段DM1向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段ON3，则点O是点D的对应点，点N3是点M1的对应点， ∵， ∴，即； 当四边形ODM4N4是平行四边形时，DM4∥ON4且DM4＝ON4， ∵AB∥x轴，AD∥OG， ∴四边形ABOM4是平行四边形， ∴OM4＝AB＝16， 即线段DM4向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则点O是点D的对应点N4是点M4的对应点， ∵， ∴，即； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $