精品解析：福建省莆田市城厢区 擢英中学2025-2026学年九年级下学期模拟考试卷 数学试题

2025-2026学年擢英中学九年级下模拟考试卷 数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 2. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对各选项分析判断，即可得解． 【详解】解：A、图形是中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，不符合题意； C、图形是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，符合题意． 3. 邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示44000000为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】44000000的小数点向左移动7位得到4.4， 所以44000000用科学记数法表示为4.4×107， 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体形成的基本原理解答即可． 本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别利用各运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不可以合并，原选项错误，不符合题意； B、，原选项正确，符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意． 故选：B ． 6. 一个正比例函数的图像经过点和点．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，求正比例函数解析式等知识，首先根据关于原点对称的点坐标关系，求出a和b的值，进而确定点坐标，再代入正比例函数的一般式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴和点， 设该正比例函数为， 将点代入，可得， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为． 故选：D． 7. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 8. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，得出种植花苗的长为，宽为，又因为种植花苗的面积为，故，即可作答． 【详解】解：∵在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，且种植花苗的面积为， ∴， 故选：C 9. 如图，将 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到，点 D 恰好在上 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的定义结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，图⑨的棋子颗数为（ ） A. 53 B. 69 C. 85 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探索，合理找出变化规律是解题的关键． 分析出变化规律后求解即可． 【详解】解：①有5颗棋子，； ②有8颗棋子，； ③有13颗棋子，； ④有20颗棋子，； ∴⑨有颗棋子； 故选：C． 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意可得，从而可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 解得：， 故答案为： 12. 已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大， ∴ ∴ ∴写出一个符合条件的a的值为（答案不唯一）． 13. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据各组频数之和等于数据总数求出第5组的频数，再利用频率频数数据总数计算第5组的频率． 【详解】解：第5组的频数为： ， 第5组的频率为：． 14. 如图，测量河宽（假设河的两岸平行），在点测得，在点测得．若，则河宽为______m．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握并利用三角形的外角性质确定等腰三角形，再结合直角三角形的边角关系求解边长是解题的关键． 本题根据外角性质可得角的关系，结合角的度数，可得，在中，借助三角函数即可解决求的问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 15. 已知点，，在抛物线上，则的大小关系是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，开口向上， ∵点，，在抛物线上， ∵，，，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在矩形纸盒中，恰好能放进两个外切且均以r为半径的圆形纸片，已知与相切，与相切，其中， 则r的值为_______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】分别过作，垂足分别为，分别延长交于点，连接，设交点为，易证是直角三角形，求出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：分别过作，垂足分别为，分别延长交于点，连接，设交点为， 由题意得， ∵， ∴，， ∵与相切，与相切， ∴（平行线间距离处处相等）， 同理， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴ ． 三、解答题（9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法法则，再进行加减混合运算即可． 【详解】解：原式 【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，求证：． 【答案】 证明： ， 在和中， 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定定理，根据平行线的性质得到然后利用""证明，即可求解． 【详解】略​​​​​​​ 19. 先化简，再求值：，其中是满足条件的合适的非负整数． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，在根据分式的性质化简，最后将代入求解 【详解】解：原式＝ ； 的非负整数， 当时，原式＝ 【点睛】本题考查了分式的化简求值，不等式的整数解，正确的计算是解题的关键． 20. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由： （3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）79，79，27； （2）乙班成绩比较好，理由： 乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好． （3）42人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解； （2）结合平均数，方差代表的数据信息说明； （3）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数． 【小问1详解】 解：甲班成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，故中位数，众数； 乙班数据方差 【小问2详解】 略 【小问3详解】 获奖人数：（人）． 答：两个班获奖人数为42人． 【点睛】本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数，方差的定义是解题的关键． 21. 如图，在平行四边形中，已知. （1）作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.） （2）直接写出四边形的形状． 【答案】（1） 解：如图，图形即为所求： （2）四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、平行四边形的性质、等角对等边、菱形的判定，利用尺规正确作图是解题的关键． （1）利用尺规作的平分线交于点，在上截取，再连接即可； （2）利用角平分线的定义和平行四边形的性质得到，根据等角对等边得出，结合得到，再利用菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ， 平行四边形， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． 22. 如图，在中，，以为直径作，过点C作直线交的延长线于点D，使． （1）求证：为的切线； （2）若平分，且分别交于点，当时，求的长． 【答案】 (1)证明：如图，连接OC ∵为的直径 ∴，即∠A+∠ABC= 又∵OC=OB ∴∠ABC=∠OCB ∵ ∴∠BCD+∠OCB=，即∠OCD= ∵OC是圆O的半径 ∴CD是的切线． （2）EF=． 【解析】 【分析】（1）如图，连接OC，欲证明CD是的切线，只需求得∠OCD=； （2）由角平分线及三角形外角性质可得，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分 ∴∠CDE=∠ADE 又∵ ∴，即∠CEF=∠CFE ∵∠ACB=， ∴CE=CF=2 ∴EF= 【点睛】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键． 23. 已知抛物线（为常数，）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），． ①求a的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与x 轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 【答案】（1）对称轴为直线 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称轴的计算公式即可求解； （2）①令，设该方程的两根为，由，得，根据，可求得的值，进而求得a的值； ②由①得抛物线的解析式，由题意得上方的平行线不能在顶点下方，要使最大，则直线经过顶点，从而得直线，由此求得m与n的值，即可求得的最大值． 【小问1详解】 解：因为， 所以该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 ①解：令，则， 设该方程的两根为， 因为点在原点的左侧，， 所以， 由根与系数关系得：， 即， 所以，， 把代入， 得， 所以； ②解：因为， 所以该函数表达式为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 因为该抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线和之间，且， 所以如图，上方的平行线不能在顶点下方， 因为直线和之间的距离为9， 所以要使最大，则直线经过顶点， 此时直线为， 所以当时， 解得，， 所以的最大值为． 24. 阅读材料，回答问题． 由自然数1，2，3，4， … ，n 组成的一列数称为一个排列，一个排列的形式可以是递增、递减或随机无序的．我们把按从小到大的递增排列叫做顺序排列，如：1，2，3，4， … ，n 就是一个顺序排列．显然，随机给定一列数，它的顺序排列是固定且唯一的．对于不是顺序排列的一列数，它必然存在数排在之前，但是，此时我们称为一个反序对．一个排列的所有反序对的总个数称为这个排列的反序数 ， 记 为 ，例 如 ， ．若一个排列的反序数是奇数，则称这个排列为奇排列；若反序数是偶数，则称这个排列为偶排列． （1） ______；它是 一个_____排列； （2）在以1，2，3组成的所有排列中随机抽取一列，求抽取的排列满足反序数大于1且为偶排列的概率； （3）将排列中相邻的两个数互换位置称为相邻对换．排列 至少要通过多少次相邻对换才能得到顺序排列？请简要说明； （4）证明：在一个有 n 个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 【答案】（1）4，偶 （2） （3）至少要经过6次相邻对换， 理由如下：  中将5向右做2次相邻对换得到 ； 再将4向右做3次相邻对换得到； 再将3向右做1次相邻对换得到顺序排列 ； 则至少要经过6次相邻对换； （4） 证明：设对换位置的两个数为a，b，则这两个数有相邻和不相邻两种情况： 若这两个数相邻，即将排列  变成新排列 ， 通过观察可知，变换后的排列，其反序对的变化与a，b 之外的数无关， ①若，则变换位置后，反序对增加1，新排列的反序数增加1， 奇偶性改变； ②若，则变换位置后，反序对减少1，新排列的反序数减少1， 奇偶性改变； 所以经过一次相邻对换，排列的奇偶性一定发生改变； 若a，b 不相邻，设中间有k 个数，即将排列 ，变成新排列 ， 可以分为以下两步： ①将a 向右进行相邻对换，通过次相邻对换得到 ②再将b向左做相邻对换，通过k次相邻对换到达a原来的位置， 得到最终的排列 ， 总共进行了 次相邻对换， 因为为奇数， 所以经过次（奇数次）相邻对换后，排列的奇偶性也一定发生改变； 综上所述，在一组有n 个数的排列 中，如果将任意两个数互换位置， 其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出所有反序对，即可解答； （2）先写出1，2，3可以组成的排列，再结合材料定义解答即可； （3）根据顺序排列的定义解答即可； （4）分这两个数相邻，即 ，a，b 不相邻，设中间有k 个数，即 ，两种情况讨论即可证明结论． 【小问1详解】 解：中，有共4个反序对， 则 ，它是一个偶排列； 【小问2详解】 解：易知1，2，3可以组成六个排列，其反序数及奇偶性分别为： ① ，为偶排列； ② ，为奇排列； ③ ，为奇排列； ④ ，为偶排列； ⑤ ，为偶排列； ⑥ ，为奇排列； 则排列满足反序数大于1且为偶排列的概率为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 25. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长， （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点； ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1） 解：由旋转的性质可知，， ， ， ； （2） （3） ①证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，进而推出，，即可证明； （2）利用相似三角形性质，以及直角三角形性质推出，利用勾股定理推出，进而得到，再利用相似三角形性质，以及勾股定理求解，即可解题； （3）①利用平行线性质，等腰三角形性质推出，再结合旋转性质，以及角的和差分析求证，即可证明； ②延长、相交于点，过点作于点，证明，设，则，结合全等三角形性质，勾股定理，以及等腰三角形性质分别求出，再证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质以及勾股定理是解题关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 证明①， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②延长、相交于点，过点作于点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年擢英中学九年级下模拟考试卷 数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示44000000为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个正比例函数的图像经过点和点．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（） A. B. C. D. 7. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到，点 D 恰好在上 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，图⑨的棋子颗数为（ ） A. 53 B. 69 C. 85 D. 100 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：_______． 13. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）． 14. 如图，测量河宽（假设河的两岸平行），在点测得，在点测得．若，则河宽为______m．（结果保留根号） 15. 已知点，，在抛物线上，则的大小关系是___________． 16. 如图，在矩形纸盒中，恰好能放进两个外切且均以r为半径的圆形纸片，已知与相切，与相切，其中， 则r的值为_______． 三、解答题（9小题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中是满足条件的合适的非负整数． 20. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由： （3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 21. 如图，在平行四边形中，已知. （1）作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.） （2）直接写出四边形的形状． 22. 如图，在中，，以为直径作，过点C作直线交的延长线于点D，使． （1）求证：为的切线； （2）若平分，且分别交于点，当时，求的长． 23. 已知抛物线（为常数，）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），． ①求a的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与x 轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 24. 阅读材料，回答问题． 由自然数1，2，3，4， … ，n 组成的一列数称为一个排列，一个排列的形式可以是递增、递减或随机无序的．我们把按从小到大的递增排列叫做顺序排列，如：1，2，3，4， … ，n 就是一个顺序排列．显然，随机给定一列数，它的顺序排列是固定且唯一的．对于不是顺序排列的一列数，它必然存在数排在之前，但是，此时我们称为一个反序对．一个排列的所有反序对的总个数称为这个排列的反序数 ， 记 为 ，例 如 ， ．若一个排列的反序数是奇数，则称这个排列为奇排列；若反序数是偶数，则称这个排列为偶排列． （1） ______；它是 一个_____排列； （2）在以1，2，3组成的所有排列中随机抽取一列，求抽取的排列满足反序数大于1且为偶排列的概率； （3）将排列中相邻的两个数互换位置称为相邻对换．排列 至少要通过多少次相邻对换才能得到顺序排列？请简要说明； （4）证明：在一个有 n 个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 25. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长， （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点； ①求证：； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $