精品解析：2026年福建省莆田市擢英中学6月中考模拟数学试题

莆田擢英中学九年级下学期数学学科素养模拟测评 2026.06.05 一、单选题 1. 下列各数绝对值最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ ，，，  又∵   ∴ 绝对值最大的是． 2. 2025年政府工作报告中指出，截至2025年底，中国新能源汽车保有量为4397万辆，其中4397万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】∵ 万，将原数表示为科学记数法时，得到，满足，原数小数点向左移动了位， ∴ ，即， 故选：D． 3. 如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图，关键是要理解俯视图的概念，分别分析各组成部分的视图，再进行组合判断．由俯视图的定义，即从物体的上面向下面投射所得的视图，然后分别分析长方体和圆柱体的俯视图，再综合考虑它们组合后的俯视图． 【详解】解：A为从上向下看得到的图形，即为俯视图； B为从左向右看得到的图形，即为左视图； C为从下向上看得到的图形，不是三视图； D为从前向后看得到的图形，即为主视图． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误． 选项B：∵，∴B计算正确． 选项C：∵，∴C计算错误． 选项D：∵，∴D计算错误． 5. 将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：三角尺中，，， ， ， ， ， ，选项符合题意． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上如图所示： 7. 我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，前三个月累计进馆1092人次，设进馆人次的月平均增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据增长率分别表示出三个月的进馆人次，再根据累计进馆人次列方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 9. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、四边形、四边形均为正方形．若，，则的值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积求出边长、，根据正方形的边长求出，在中利用勾股定理求出，进而得到正方形的边长． 【详解】解：∵为正方形， ， ∴， ∵为正方形，， ∴，， ∴在中，， ∵为正方形， ∴． 10. 如图，点是抛物线的顶点，点、点在抛物线上，轴，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把抛物线解析式化成顶点式可得，即点；再结合以及图形可求得点B、点C的纵坐标为，点D的纵坐标为，然后求出、，最后代入求出比例即可． 【详解】解：∵， ∴点， ∵， ∴点B的横坐标为，点C和点D的横坐标为， ∴点B、点C的纵坐标为，点D的纵坐标为， ∴，， ∴． 二、填空题 11. 使分式 有意义的的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不等于零，即可求出 的取值范围 【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ， 解得 ． 故答案为： ． 12. 因式分解： =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 13. 如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算正六边形的内角，再利用平行四边形的对角相等得到，根据图形即可求出的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， ， 四边形是平行四边形，， ， ． 14. 方程的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为_____． 【答案】10或11 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长．熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解：， ， 解得：，， 若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为； 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为． 则这个三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 15. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，，于点C，点A在反比例函数（）的图象上．若，，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，求出点坐标，即可求出k的值． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，某款“不倒翁”的主视图是圆弧和两线组成的轴对称图形，倒至最歪位置时，点的对应是点，点的对应是点，若半径为，，，那么原来与地面接触点和现在与地面的接触点之间的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接并延长交于C，延长至不倒翁最高点A，连接，则四边形是矩形，进而得到，，、，，利用特殊角的三角函数求得，进而得到，最后求得的长度即可解答． 【详解】解：如图：连接并延长交于C，延长至不倒翁最高点A，连接，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵倒至最歪位置时，点的对应是点，点的对应是点， ∴ ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∵原来与地面接触点和现在与地面的接触点之间的距离是的长度， ∴，即原来与地面接触点和现在与地面的接触点之间的距离是． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用算术平方根、特殊角的三角函数值、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，为边上的一点，为的中点，连接并延长至点，连接，使得．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵ ∴ ∵为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴． 19. 先化简，再求值：，其中. 【答案】；2 【解析】 【分析】先约分化简，再计算括号，最后代入化简即可． 【详解】解：原式= = = 将x=3代入， 原式=2. 【点睛】本题考查分式的混合运算、乘法公式等知识，解题的关键是灵活掌握分式的混合运算法则，注意简便运算，属于中考常考题型． 20. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】（1）10%，30%， 补全频数分布直方图如下： （2）4 （3）全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【解析】 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 【小问2详解】 解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 21. 如图，在中，，以AB为直径的交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD． （1）求作的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）如图所示，直线PQ即为所求； （2）证明：如图，连接AP， ， ， ， ， 是的切线， ， ， 是的直径， ，， ， ， . 【解析】 【分析】（1）作射线OP，以点P为圆心，任意长为半径画弧交射线于M，N，以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，交AC于点Q，则直线PQ即为所求； （2）如图，连接AP，则BP=PC，根据中位线的性质证得，由切线的性质，平行线的性质证，根据直径所对的圆周角是直角，得，证得问题得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．根据题意得： 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 此时； 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 【小问2详解】 解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． ∵， 解得：， 设共花费w元，则 ， ∵ ∴w随m的减小而减小 ∴当时，w最小，最小值为11200， 此时， 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 23. 【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． （2）如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： （3）如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】（1）错误；正确；错误 （2） 证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可． 【小问1详解】 解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 24. 如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． （1）若，请直接写出，的度数． （2）求证：是的切线． （3）若平分，求的长． 【答案】（1）， （2） 证明：设， ∵平分， ∴， 连接，则， 又∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理解题即可； （2）设，根据（1）的推理过程得到，然后根据角平分线得到，然后求出，即可得到结论； （3）先根据角平分线的定义和三角形的外角得到，即可得到，然后证明，根据对应边成比例得到长，然后根据切线得到，然后证明，求出的值，再在Rt中利用勾股定理解题即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， 连接，则， 又∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得， 在Rt中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． （1）当时，求该函数表达式； （2）若点，都在直线上，求的值； （3）当时，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为直线，再根据当时，点，关于对称轴对称，求出的值，即可求解； （2）先根据点，点都在直线上，求出的关系，得出点坐标，再将点、点代入二次函数即可求解； （3）先根据二次函数的系数，求出二次函数的增减性，在结合题意和数形结合进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，点，关于对称轴对称， ∴， ∴该函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵点，点都在直线上， ∴， 由①②得：，即， ∴点坐标为： 将点，坐标代入函数表达式：， 解得：； 【小问3详解】 解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧，随的增大而增大，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ①当时，和在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵， ∴，与矛盾，不成立； ②当时，和在对称轴左侧，随的增大而减小， 在对称轴左侧，当，有，与矛盾，不成立； ③当时，在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 点对称点为， 当，，需要， 解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田擢英中学九年级下学期数学学科素养模拟测评 2026.06.05 一、单选题 1. 下列各数绝对值最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 2025年政府工作报告中指出，截至2025年底，中国新能源汽车保有量为4397万辆，其中4397万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，前三个月累计进馆1092人次，设进馆人次的月平均增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 9. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、四边形、四边形均为正方形．若，，则的值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，点是抛物线的顶点，点、点在抛物线上，轴，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 使分式 有意义的的取值范围是___________． 12. 因式分解： =__________． 13. 如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 14. 方程的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，，于点C，点A在反比例函数（）的图象上．若，，则k的值为__________． 16. 如图，某款“不倒翁”的主视图是圆弧和两线组成的轴对称图形，倒至最歪位置时，点的对应是点，点的对应是点，若半径为，，，那么原来与地面接触点和现在与地面的接触点之间的距离是________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 如图，在中，为边上的一点，为的中点，连接并延长至点，连接，使得．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中. 20. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 21. 如图，在中，，以AB为直径的交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD． （1）求作的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 22. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． （2）如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： （3）如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 24. 如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． （1）若，请直接写出，的度数． （2）求证：是的切线． （3）若平分，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． （1）当时，求该函数表达式； （2）若点，都在直线上，求的值； （3）当时，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $