精品解析：福建莆田市城厢区南门学校2025-2026学年 九年级下学期返校考数学试题

2025-2026学年南门中学九年级下学期返校考数学试题 一、单选题 1. 在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．下列剪纸图案中可以看成中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程变形为的依据是（　　） A. 分数的基本性质 B. 等式的性质 C. 去分母 D. 倒数的定义 3. 歼-20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它的巡航速度约为每小时3185000米．将数据3185000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程有两个不相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点都在双曲线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（ ） A. 袋中红球有90个 B. 第101次摸到红球的可能性较大 C. 第101次会摸到红球 D. 红球的数量占袋中总球数的 7. 如图，用放大镜从正上方观察一个三角形．当放大镜位于某一位置时，观察到的三角形的各边长度均为原三角形的3倍，则此时放大镜中观察到的三角形的面积与原三角形的面积的比值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 8. 如图，四边形内接于，延长交于点，连接．下列四个角中，与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 9. 某车间甲车床一天可制作480个工件．该车间新引进乙车床，通过调试，乙车床一天用同样的工时（小时）制作560个工件．设乙车床每小时比甲车床多制作的工件数为，下列推断正确的是（ ） A. B. 是乙车床一天总工时的反比例函数 C. 是甲车床一天总工时的正比例函数 D. 是甲车床每小时制作的工件数的反比例函数 10. 已知是一元二次方程的实数根，，设，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知是二元一次方程的一个解，则的值是__________． 12. 近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程___________． 13. 若锐角，则．已知，则的值为______ ． 14. 如图，在 中，，， 将 绕点A 逆时针旋转 ，得到，连 接，则 的长是________． 15. 下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是________． 16. 如图，在四边形中，，，，，．为线段上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点在线段上由点向点运动时，与的交点总在线段上，则的最小值是___ ． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） （1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ （2）若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 20. 如图，E是正方形的边上一点，将绕点C顺时针旋转得到，点E的对应点F在边上． （1）在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点G恰好落在线段上，证明平分． 21. 2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想 驶向星辰大海”为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同． （1）求甲同学参加A赛道的概率； （2）求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）若实数m，n满足，且，求的值． 23. 材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“连续合数”，如，，，因此4，12，20这三个数都是“连续合数”． 材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“行知数”．例如：在自然数231和132中，，则231和132都是“行知数”；在自然数396和693中，，则称396和693是“行知数”． （1）求证：任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍； （2）已知三位数（其中a，b，c为整数，且，）满足既是“连续合数”，又是“行知数”，求所有符合条件的三位数的值． 24. 如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长． （2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P， ①求证：PE＝PF． ②若DF＝EF，求∠BAC的度数． 25. 已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是直线下方抛物线上的点，连接交于点，连接，记，的面积分别为，．求的最大值； （3）直线与抛物线交于，两点，已知点，连接交抛物线于另一点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年南门中学九年级下学期返校考数学试题 一、单选题 1. 在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．下列剪纸图案中可以看成中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转后，能够与原来的图形重合的图形，这个点称为对称中心．中心对称图形的关键特点是绕对称中心旋转后，图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化． 由中心对称图形的定义可知，只有选项符合题意． 2. 把方程变形为的依据是（　　） A. 分数的基本性质 B. 等式的性质 C. 去分母 D. 倒数的定义 【答案】B 【解析】 【分析】根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：将方程两边都乘2，得，这是依据等式的性质． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 3. 歼-20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它的巡航速度约为每小时3185000米．将数据3185000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，将大数表示为的形式，其中，值可正可负，当表示的数绝对值小于1时，值为负；当表示的数绝对值大于10时，值为正；熟记科学记数法的表示方法，准确找到是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 下列方程有两个不相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根的判别式． 结合根的判别式对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，即，此时，该方程有两个不相等实数根，符合题意，选项正确； 选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，选项错误； 选项，即，此时，该方程有两个相等实数根，不符合题意，选项错误； 选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，选项错误． 故选：． 5. 若点都在双曲线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．把点代入反比例函数的关系式求出，，，比较得出答案． 【详解】解：把点代入反比例函数的关系式， ，，， 故， 故选：A． 6. 不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（ ） A. 袋中红球有90个 B. 第101次摸到红球的可能性较大 C. 第101次会摸到红球 D. 红球的数量占袋中总球数的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据频率估计概率，摸到红球的频率为，故概率约为；每次摸球独立且概率不变，因此第101次摸到红球的可能性较大，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知； 选项B正确； 选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例， 故选B． 7. 如图，用放大镜从正上方观察一个三角形．当放大镜位于某一位置时，观察到的三角形的各边长度均为原三角形的3倍，则此时放大镜中观察到的三角形的面积与原三角形的面积的比值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的定义，相似三角形对应边的比称为相似比，即放大镜中观察到的三角形与原三角形的相似比为，由此即可得出结果，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当放大镜位于某一位置时，观察到的三角形的各边长度均为原三角形的3倍， ∴当用放大镜观察三角形时，得到的三角形与原三角形相似，且相似比等于放大镜放大的倍数，即放大镜中观察到的三角形与原三角形的相似比为， ∴此时放大镜中观察到的三角形的面积与原三角形的面积的比值是， 故选：D． 8. 如图，四边形内接于，延长交于点，连接．下列四个角中，与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的概念得到，得到． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 则与一定相等的是， 故选：D． 9. 某车间甲车床一天可制作480个工件．该车间新引进乙车床，通过调试，乙车床一天用同样的工时（小时）制作560个工件．设乙车床每小时比甲车床多制作的工件数为，下列推断正确的是（ ） A. B. 是乙车床一天总工时的反比例函数 C. 是甲车床一天总工时的正比例函数 D. 是甲车床每小时制作的工件数的反比例函数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实际问题与反比例函数，设甲车床每小时制作工件数为a，乙车床每小时制作工件数为b，一天总工时为t小时，则，由甲、乙一天制作工件数，可得 ， 代入得 ，即p与t成反比， p与a成正比，即可解答． 【详解】解：设甲车床每小时制作工件数为a，乙车床每小时制作工件数为b，一天总工时为t小时，则， ∵ 甲车床一天制作480个工件，乙车床一天制作560个工件， ∴ 甲每小时制作个，乙每小时制作个， ∴， ∴ p与t成反比例关系，其中t为乙车床一天总工时， 故p是乙车床一天总工时的反比例函数， 选项A：由于一天总工时t的值不确定， 所以的值不恒为80，不符合题意； 选项B：p是乙车床一天总工时的反比例函数，符合题意； 选项C：p与t成反比，非正比，不符合题意； 选项D：，与a成正比，非反比，不符合题意； 故选：B． 10. 已知是一元二次方程的实数根，，设，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是一元二次方程的实数根，即可得出，代入变形后的得出． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 11. 已知是二元一次方程的一个解，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解与代数式求值的结合应用，以及因式分解的能力．将已知解代入方程得到关于a和b的关系式，再通过观察所求代数式的结构特征，利用完全平方公式进行因式分解求值． 【详解】解：将代入二元一次方程，得 ． ． 故答案为：25． 12. 近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系，是解题的关键．根据某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，列出方程即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列出方程为： ． 故答案为：． 13. 若锐角，则．已知，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由，设，则，求出，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，，， 由， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在 中，，， 将 绕点A 逆时针旋转 ，得到，连 接，则 的长是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质和等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得出是等边三角形是解题的关键．由旋转的性质可知，，，故是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：4． 15. 下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列出代数式，根据图形列出代数式即可，熟练运用知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 能表示图中阴影部分面积，  ，不能表示图中阴影部分面积 能表示图中阴影部分面积，  能表示图中阴影部分面积， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，，，．为线段上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点在线段上由点向点运动时，与的交点总在线段上，则的最小值是___ ． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用旋转性质得出，通过角的互余关系推导出；结合、证明，利用相似三角形的性质建立与的函数关系式，将问题转化为求二次函数的最值，进而确定的最小值． 【详解】解：设交于点，如图所示， 设，则， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，最大值为， 即的最小值为． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，乘方等内容，先计算乘法、算术平方根，乘方，再运算加减法，即可作答． 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入，得． 19. 为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） （1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ （2）若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 【答案】（1）A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元 （2）要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可． （1）设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得即可求解； （2）设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．即可求解； 【小问1详解】 解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元， 由题意得解得 答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元． 【小问2详解】 解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克， 由题意得． 解得， 答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克． 20. 如图，E是正方形的边上一点，将绕点C顺时针旋转得到，点E的对应点F在边上． （1）在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点G恰好落在线段上，证明平分． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 证明：如图，由旋转变换的性质可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）连接，分别以F为圆心，为半径作弧，以C为圆心，为半径作弧，两弧交于点G，连接、即可； （2）根据旋转的性质得到，，结合正方形的性质，利用证明，得到，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想 驶向星辰大海”为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同． （1）求甲同学参加A赛道的概率； （2）求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用古典概型的定义，结合等可能性事件的概率公式计算甲同学参加 A 赛道的概率。 （2）通过列表法枚举甲、乙两名同学参加赛道的所有等可能结果，统计出 “至少有一人参加 A 赛道” 的结果数，再根据概率公式求解；也可通过对立事件 “两人都不参加 A 赛道” 的概率间接求解。 【小问1详解】 解：∵竞赛设置了A，B，C，D四个赛道， ∴甲同学参加A赛道的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲\乙 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的结果为7种， ∴甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率为． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）若实数m，n满足，且，求的值． 【答案】（1） 证明：在一元二次方程中， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程必有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，继而推导出，则方程必有两个不相等的实数根，即可解答； （2）先求出，进而推导出，得到m和都满足方程，可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得 ， ∵， ∴， ∴m和都满足方程， 对于一元二次方程， 有， ∵m和是方程的两个根，且， ∴， ∴． 23. 材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“连续合数”，如，，，因此4，12，20这三个数都是“连续合数”． 材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“行知数”．例如：在自然数231和132中，，则231和132都是“行知数”；在自然数396和693中，，则称396和693是“行知数”． （1）求证：任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍； （2）已知三位数（其中a，b，c为整数，且，）满足既是“连续合数”，又是“行知数”，求所有符合条件的三位数的值． 【答案】（1） 证明：设一个“连续合数”分成的两个连续偶数为， (n为整数) ， 则 ∵n为整数， ∴是奇数， ∴任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍； （2）所有符合条件的三位数为132，220 【解析】 【分析】（1）设任何一个“连续合数”分成的两个连续偶数为，（其中n表示自然数），利用平方差公式求出，由此即可得到结论； （2）由题意得：，，再根据“连续合数”的定义结合（2）的结论得到为奇数，从而得到或，据此讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵三位数是“行知数”， ，其中，，且a，b，c为整数， ，， ，且为整数 ， ∵由（1）得“连续合数”是4的奇数倍， ∴是4的奇数倍， ∴为奇数 ， 或， 当时，得或， ∵为奇数 ， ∴， 此时； 当时，得 ， ∵为奇数 ， ∴， 此时． 综上所述，所有符合条件的三位数为132，220． 【点睛】本题主要考查了新定义，整除问题，平方差公式，得出并且证明任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍是解本题的关键． 24. 如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长． （2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P， ①求证：PE＝PF． ②若DF＝EF，求∠BAC的度数． 【答案】（1）； （2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH． ∵∠FGA＝∠ABC＝90°， ∴FG∥BC， ∴△OFH∽△OCB， ∴＝＝， 同理＝， ∴FH＝OE， ∵OE⊥AB．FH⊥AB， ∴OE∥FH， ∴四边形OEHF是平行四边形， ∴PE＝PF． ②∠BAC＝45° 【解析】 【分析】（1）解直角三角形求出AB，再证明∠AFB＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）①过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．想办法证明四边形OEHF是平行四边形可得结论． ②想办法证明FD＝FB，推出FO⊥BD，推出△AOB是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1， ∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝， ∵AC是直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OCB是等边三角形， ∵OF＝FC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°， ∵AE＝EB， ∴EF＝AB＝． （2）①略 ②∵OE∥FG∥BC， ∴＝＝1， ∴EG＝GB， ∴EF＝FB， ∵DF＝EF， ∴DF＝BF， ∵DO＝OB， ∴FO⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°． 【点睛】本题考查了解直角三角形、直径的性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，题目的综合性较强，添加辅助线较多，解题的关键是熟记并且灵活运用有关的性质定理． 25. 已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是直线下方抛物线上的点，连接交于点，连接，记，的面积分别为，．求的最大值； （3）直线与抛物线交于，两点，已知点，连接交抛物线于另一点，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 解：∵直线与抛物线交于，两点，已知点，连接交抛物线于另一点， 整理得，， 然后把，，点都向左平移一个单位长度， 得，，点， 此时设，， 依题意，得， 得， 整理得， ∴ ∵点， ∴ 设的解析式为， 依题意，得， ∴， 整理得， ∴， ∵， 则， ∵， ∴， 即， 即，关于对称轴为直线对称， ∵把，，点都向左平移一个单位长度，得出，关于对称轴为直线对称， ∴将图象向右平移1个单位可得点M，Q关于直线对称， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，即可作答． （2）先求出一次函数的解析式，整理得，再证明，得，结合，是同高，三角形的面积比等于底边的比，故，再运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）先理解题意，把，，点都向左平移一个单位长度，得，，点，此时设，，整理得，故，再求出的解析式，整理得，即，所以，故，关于对称轴为直线对称，所以将图象向右平移1个单位可得点M，Q关于直线对称，即可证明． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． ∴把，分别代入， 得 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 令， 解得 ∵抛物线与轴交于点，点， ∴点， 过点作，交于点H，如图所示： 依题意，设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵点是直线下方抛物线上的点， ∴设，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，的面积分别为，． ∴（同高，三角形的面积比等于底边的比） ∴，， 令， ∵， ∴开口方向向下，在对称轴为直线处取得最大值， 且把代入， 得． 即的最大值为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的平移，待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象性质，一元二次方程的根与性质关系．难度较大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $