2026年中考数学压轴题几何模型 专题28 相似三角形之K字型相似

该初中数学中考复习讲义聚焦“K字型相似”专题，针对中考高频的一线三等角模型，涵盖直角几何、矩形正方形、折叠综合及动点探究题型。通过模型讲解（同侧型、异侧型、变异型）、例题分析、课堂随练、巩固提高四环节，梳理考点联系，指导构造相似方法，结合真题训练突破线段比例与长度求解难点。 亮点在于“模型关联”与“分层突破”策略，如将K字型相似与一线三等角全等模型衔接，培养推理意识；通过矩形折叠、等边三角形动点等中考典型例题，强化几何直观。设基础随练与综合提高题，配合模型证明步骤规范训练，提升应用意识，助力学生高效掌握相似转化思想，教师可依此精准把控复习节奏。

专题28 相似三角形之K字型相似 K字型相似，又叫一线三等角相似模型，由两角互余及等角性质推导生成，是直角背景下三角形相似判定的经典几何模型，可快速构造相等角、转化边角关系，高效求解线段长度与比例问题。中考常以直角几何、矩形正方形、折叠综合、动点探究题型出现，题目条件典型、套路固定，适用性广、逻辑性强，是几何构造思想与相似转化思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析K字型相似模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 学习K字型相似，需要和全等三角形模型当中的一线三等角全等模型联系起来，事实上，当相似比等于1（或者对应边相等）的时候，K字型相似就成了一线三等角全等模型。 K字型相似主要有以下几种类型： 一、同侧型 （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 二、异侧型 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 三、变异型 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 典例分析 【例1】如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及求反比例函数的比例系数，作轴，证推出得，即可进一步推出点的坐标，即可求解； 【详解】解：作轴，如图所示： 则， ∴； ∵， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点， ∵，，，为矩形的四个顶点， ∴，解得， ∴， ∴； 故选：B 【例2】如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A． ①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似． 容易证明，从而可得，进而可得，从而可得②正确，过点作，交于点，构造，结合四边形是平行四边形可得，可得①正确，再利用角关系证明，，可得，从而得出结论③正确，过点作，设，由可得，解三角形求出，，从而求出，故结论④正确，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误． 【详解】解：如图1，过点作，交于点， ∵在正方形中， ∴，，，， ∴、是等腰三角形， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴，故结论②正确； ∴，即是等腰三角形， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故结论①正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确， 过点作，如图2； 设，由可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确， ∵，， ∴不一定等于，， ∴ 不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． 故选C． 【例3】如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 【例4】如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接．当时，长为（　　）    A．6 B． C．10 D．6 【答案】B 【分析】证明，由相似三角形的性质得出，求出，过点Q作于点M，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点Q作于点M，    ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．先证明是解题的关键． 【例5】如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（　　） A． 或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，∠B＝90°，根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况分类计算即可； 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝90°， ∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3， 在Rt△ABE中，AE， ∵E是BC的中点， ∴AD＝6， 由折叠可知，PD＝PD'， 设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x， 当△APD'是直角三角形时， ①当∠AD'P＝90°时， ∴∠AD'P＝∠B＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠PAD'＝∠AEB， ∴△ABE∽△PD'A， ∴， ∴， ∴x， ∴PD； ②当∠APD'＝90°时， ∴∠APD'＝∠B＝90°， ∵∠PAE＝∠AEB， ∴△APD'∽△EBA， ∴， ∴， ∴x， ∴PD； 综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 课堂随练 【练1】如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定与性质推出y与x的函数关系式，然后利用函数的性质以及图象确定出△ABC的边长，从而求解面积即可． 【详解】解：∵△ABC，△ADE为等边三角形， ∴∠B＝∠ADE＝60°， ∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD， ∴∠CDE＝∠BAD， 又∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCF， ∴， 设AB＝BC＝a， ∵BD＝x，CF＝y， ∴， 即． ∵，，对称轴为直线， ∴当时，y取得最大值， 此时，由图象可知， ∴a＝6， ∴等边三角形ABC的面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等，熟练根据相似三角形的判定与性质推出二次函数解析式，利用二次函数的性质分析是解题关键． 【练2】如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个 ①； ②当时，； ③以点为圆心、为半径画，当时，与相切； ④当时，． A． B． C． D． 【答案】．D 【分析】利用锐角三角函数求出BC可判断①，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断④ 【详解】解：在中，． ， 故①正确； 作AG⊥BD于G， 在Rt△ABC中，， ∵AD=AB=5，AG⊥BD ∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG， 在Rt△DCB中，， ∴DG=BG=， 在Rt△BGA中，， ∴， 故②当时，正确； AD=t，BE=2t，cosA=， 当时，，， ∴， ∵， ∴cosA=，∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠AED=∠ACB=90°， ∴∠DEB=90°， ∴与相切， 故③以点为圆心、为半径画，当时，与相切正确； 过E作EH⊥AC于H， 当时， ∵∠EHD=∠DCB=90°， ∴△EHD∽△DCB， ∴， ∵AE=5-2t， ∴AH=，EH=，，， ∴， 整理得， 因式分解得， ∴或（舍去）， 故④当时，正确； 正确的结论有4个． 故选择D． 【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键． 【练3】在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴， ∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上， ∴，， ∵CE⊥x轴， ∴，， ∵在矩形OABC中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设点A坐标为，则点C坐标为， 连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点A坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系． 【练4】如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由余角的定义可推出，并不能说明，说明①错误；再根据，可推出，进而可证明，说明②正确；连接BD，由三角形中位线可知，再由可进一步推出，即，即，说明④正确；在中，，即可求出CG长度，即可求出AB=2，说明③正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴不能说明，故①错误． ∵， ∴， 又∵ ∴，故②正确． 如图连接BD， 由题意可知， ∵G和F分别为CD和BC的中点， ∴， ∵ ∴，即， ∴ 在中，，即, 解得 ∴，故③正确． ∵， ∴，即，故④正确． 综上正确的有②③④共3个． 故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强．能够连接常用的辅助线和证明是解答本题的关键． 【练5】如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 巩固提高 1．如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点．(1)求证：；(2)若，且，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用同角的余角相等得到，即可证明出；（2）首先根据相似三角形的性质得到，即，求出，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形∴， ∵沿直线将翻折，使得点落在边上，∴∴ ∵∴∵∴； （2）∵∴，即解得 ∵四边形是矩形∴ ∵沿直线将翻折，使得点落在边上，∴∴ ∵∴，即解得∴． 【点睛】本题主要考查矩形折叠问题，三角形相似的判定，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到相等． 2．如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】当∠BPC=∠A时，∠ABP+∠APB+∠A=180°，而∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时三角形ABP与三角形DPC相似． 【详解】证明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，∴∠A=∠D ∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据已知得出∠ABP=∠DPC是解题的关键． 3．（1）问题： 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可． 【详解】（1）证明：如题图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，∴∠ADP = ∠BPC， ∴△ADP△BPC，，∴ADBC = APBP， （2）结论仍然成立，理由如下，， 又，， ，设，， ，，∴ADBC = APBP， （3），，，，， 是等腰直角三角形，，，， ，，，， ,，，，． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键． 4.在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图①，当点在线段上运动时，交于． ①求证：．②当是等腰三角形时，直接写出的长． （2）如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1) ①证明见解析；②AE的值是1或 2或； (3)存在，D在BC的延长线上，且CD= 2 【分析】(1) ①求出∠B=45°，根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2．求出即可； ②分为三种情况，①DE=AE,②AD=AE，③AD=DE，根据等腰三角形性质(等腰三角形两边相等)，三角形全等推出即可；(2)存在，可证 得到CD=AC=2． 【详解】解(1) ①∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°。AB=AC,∴∠B=∠C=45° ∵∠ADE=45°,∴∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2,即45°+∠1=45°+∠2．∴∠1=∠2． ②解:当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况: 第一种情况: DE=AE,∵DE=AE,∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C,∴∠AED=90°，∠ADC=90° ,即DE⊥．AC． ∴AD= DC．∴E为AC的中点，∴ 第二种情况: AD=AE，此时D和B重合，E和C重合,即AE=AC=2; 第三种情况: AD=DE, 在△ABD和△DCE中． ∴  ,∴BD=CE，AB=DC, 设BD=CE=x,在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°, AB=AC=2, ∴BC= ． ∴DC=-x．∴-x=2,∴x=-2,∴AE= 综合上述: AE的值是1或 2或 (3)解:存在，理由如下：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵∴ ∴ 又∵ ,∴ ， 故存在点，使是等腰三角形，此时D在BC的延长线上，且CD= 2 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识点的应用，用了分类讨论思想． 5．如图，在中，，，是的中点，连接，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连接．以下四个结论：；点是的中点；；，其中正确的结论序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明即可判断；设，则，由勾股定理得到，由得到，证明，得到，进而得到，即可判断；由得到，结合即可判断；过点作于，由得到，进而可得，即可判断；掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，∴，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵点是的中点，∴，∴在中，，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴，故正确；设， ∵点是的中点，∴，在中， ，∴， ∵，∴，∴ ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴，故错误； ∵，∴，∴，∵，∴，故正确； 过点作于，如图，∵，∴，∴ ∵，∴， 即，故错误；∴正确的结论是，故选：． 6．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在， 【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值． 【详解】（1）证明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°， ∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE； （2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E为AD的中点，∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)， ∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG， ∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC． 又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF； （3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况： ①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立； ②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka， ∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝， ∵△AEF∽△DCE，∴，即， 解得，．∴存在使得△AEF与△BFC相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 7．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即，∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ．故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8．如图，在平行四边形中，， 且，点E、F、G 分别为线段上的点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，延长，交于点，过作于，根据平行可得，设，则，再证明，得到，然后在中根据勾股定理求出，可得到与是同一个点，最后在中根据勾股定理求即可． 【详解】延长，交于点，过作于，∵平行四边形中，， ∴，，，，∴，， ∵，∴，，， ∵，∴，∴，∴，∴ 设，则，∴， ∵∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴∴， 在中，∴，解得或（舍去）， ∴，即与是同一个点，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 9．如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 【答案】4或7． 【分析】由是等边三角形，得出，利用等式性质可得，，以、、为顶点的三角形与相似有一组角相等，再添一组角即可，由M在射线BC上，有两种可能，一种当点在上，一种点在的延长线上，过D作，则有DM∥AB易证是等边三角形，，当点在的延长线上时，作，可证△△和△∽△求出，进而有，综合即可． 【详解】解：是等边三角形，，， ，， 如图，当点在上时，作， ，，∴∥，， 是等边三角形，，， 当点在的延长线上时，作， ，，，△， ，，△， ，，，，综上所述：或7，故答案为：4或7． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，会利用相似三角形的性质列出比例解决问题是关键． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②④ 【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相似三角形对应边成比例即可求得． 【详解】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 又∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACD，故①正确； ②作AG⊥BC于G， ∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，∴BG＝ABcosB， ∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，∵BD＝6，∴DC＝10，∴AB＝DC， 在△ABD与△DCE中，∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正确； ③当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC＝∠AED， ∵∠AED＝90°，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8， 当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE＝90°，∴∠BAD＝90°， ∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，∴cosB＝＝，∴BD＝，故③错误； ④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，设BD＝y，CE＝x，∴，∴， 整理得：y2−16y＋64＝64−10x，即（y−8）2＝64−10x，∴0＜x≤6.4，故④正确；故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键． 11．（1）【问题情景】：如图1，正方形中，点是边上一点（不与点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： ①小聪：过点作的延长线的垂线；②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】如图2，点是菱形的边上一点（不与点重合），，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______（用含的代数式表示）； （3）【学以致用】：如图3，在（2）的条件下，连接，与相交于点，当时，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）小聪的证明：作交的延长线于，证明，得到，从而证明是等腰直角三角形，，从而得到； 小明的证明：在上截取，使得．证明，得出，则可得出结论；（2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解；（3）过点作交的延长线于点，证明，得出，在上截取，使，连接，作于点．由（2）可知，，求出和，则可得出答案． 【详解】解：（1）小聪的证明：作交的延长线于， 顺时针旋转得到，，，， 在和中，，， ，，，是等腰直角三角形，， 又，； 小明的证明：在上截取，使得． ∵，由图可知，∴． ∵顺时针旋转得到，∴． ∴，∴． 在和中，，∴， ∴，； （2）如图2，在上截取，使得，连接， ∵四边形是菱形，，， ，，∵将绕点顺时针旋转得到， ，， ，，， ，，， ，故答案为：； （3）过点作交的延长线于点， 设菱形的边长为．，， ，，，， ，由（2）知，，∵，∴， ，，， 在上截取，使，连接，作于点．由（2）可知，， ，，，， ，，，，． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 12．【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【分析】（1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案； 【详解】（1）证明：，，， ，∴，， ，，； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ，，， ，， ，，，，， ，，，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，，，， ，，， ，，，， ，，， ，，． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． 13．某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作： 第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2； 第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD； 第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G； (1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___； (2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由． ②当时，连接DG，请直接写出___； (3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长． 【答案】(1)∠CAD=∠GAD；(2)①AD∥BC； ②3(3)9 【分析】（1）根据题目的尺规作图发现AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD； （2）①由AD平分∠CAG再结合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；②易证，可得（3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，由（2）可得， 即可用一线三等角模型构造相似解题． 【详解】（1）由尺规作图步骤发现AD平分∠CAG∴∠CAD=∠GAD； （2）①∵∴ ∵∠CAD=∠GAD, ∴∴AD∥BC ②∵∴∵ ∴ ∴∴∵∴ （3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，如图 由（1）（2）可得, 设则∵点P为AB的中点∴ ∵∴∴ ∴∴∴，解得∴． 【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图的步骤判断是作角平分线． 14．如图，在矩形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作，垂足为点，交或的延长线于点． (1)若．①当时，__________________；②已知点是边的中点，当点在边上运动时，能不能经过点？若能，求出的长度；若不能，请说明理由； (2)若．当点在边上运动时，求使得下列两个条件都成立的的取值范围：点始终在边上；点在某一位置时，点恰好与点重合． 【答案】(1)①2；②不能，见解析(2)的取值为12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、二次函数的最值等知识点，利用相似建立函数关系式是解此题的关键．（1）①当时，为等腰直角三角形，从而得到也为等腰直角三角形，可得到，即可得解；②假设过点，则有，证明得出，设，则有，建立二元一次方程，判断方程是否有解，即可得出答案；（2）设，则，根据（1）中的关系式，求出关于的函数关系式，且的最大值小于等于，据此求出的取值范围，再根据点恰好与点重合，则均为直角三角形，利用勾股定理建立关于的一元二次方程，然后又可以求出的取值范围，即可得出的值． 【详解】（1）解：①如图， ， ， ，，， ，，故答案为：2； ②不能；理由如下：假设过点，则有， ∵，∴， 又∵，∴，∴， 设，则有，整理得， ，该方程无解．∴不能经过点； （2）解：由（1）可知，， 设，则，， 当时，有最大值，当点始终在线段上时，，则有，∴， 又，∴，当在某位置时，点恰好与点重合， 则均为直角三角形，在中，有， 在中，有，又∵， ∴，整理得：，，∴， 故的取值为12时，题中两个条件才成立． 15．（1）【问题解决】如图，点在线段上，点在同侧，．求证：． （2）【探究应用】如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且、、分别经过点，则边的长为______． （3）【拓展延伸】如图，在中，，点是边的中点，点分别在边上，．若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由知，据此得，从而得证；（2）过点作，交于，交于，易证，运用相似三角形的性质可得出，然后在Rt中运用勾股定理可求出，进而求出，再在Rt中，根据勾股定理求出的值； （3）根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ，，； (2) 解：如图，过点作，交于，交于， 在中，，，， 直线，，，， ，，，， ，，在Rt中，，， 在Rt中，，故答案为：； (3)解： ， ，，， 点是边的中点，，，，，故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 16．数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长；(2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 【答案】(1)(2)3(3)或 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， 又∵，∴∽，∴， 即，∴． （2）解：如图4，当时， ∵，，∴∽，∴， ∵，∴点D为BC的中点，∴． 如图5，当时， ∵，∴，过点A作，交BC于点F， ∴，，，不合题意，舍去，∴． （3）解：分两种情况：①如图6所示，过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，则∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形 ∵点A的坐标为（2，4），∴AD＝2，OD＝CE＝4，∵∠OBA＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE， 在△ABC与△BOE中， ∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE， 设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x－2，∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4， ∴x＝3，x－2＝1，∴点B的坐标是（3，1）； ②如图7，同理可得，点B的坐标（－1，3），综上所述，点B的坐标为（3，1）或（－1，3）． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 17．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】（2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答．（2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答．（3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴∴ ∵∴∴∴； （2）成立，理由如下：∵∴ 即∵∴∴∴； （3）∵是等腰三角形∴ ∵，∴与（1）、（2）同理，得 ∵∴∵∴ ∵∴∴即 解得（为线段，负值舍去）∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题28相似三角形之K字型相似 K字型相似，又叫一线三等角相似模型，由两角互余及等角性质推导生成，是直角背景下三角形相似 判定的经典几何模型，可快速构造相等角、转化边角关系，高效求解线段长度与比例问题。中考常以直角 几何、矩形正方形、折叠综合、动点探究题型出现，题目条件典型、套路固定，适用性广、逻辑性强，是 几何构造思想与相似转化思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析K字型相 似模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 学习K字型相似，需要和全等三角形模型当中的一线三等角全等模型联系起来，事实上，当相似 比等于1（或者对应边相等）的时候，K字型相似就成了一线三等角全等模型。 K字型相似主要有以下几种类型： 一、同侧型 D (锐角型) (直角型) (钝角型) 条件：如图，∠1=∠2=∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：，∠1+∠C=∠2+∠DEB(外角定理)，∠1=∠2 ∴.∠C=∠DEB,.∠1=∠3，∴.△ACE∽△BED。 二、异侧型 B E 条件：如图，∠1=∠2=∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：，∠1=∠2，∴.∠CBE=∠EAD(等角的补角相等)，∴.∠C=∠DEB,,∠1=∠3，∴.△ACE∽△BED。 .∠2=∠C+∠CEB(外角定理)，∠3-∠DEA+∠CEB,∠2=∠3.∴.∠C-∠DEA,.△ADE∽△BEC 三、变异型 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2=∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD 证明：，∠1+∠C=∠2+∠DEB(外角定理)，∠1=∠2，.∠C=∠DEB,,∠1=∠3，∴.△ACE∽△BED。 4E=CE,:C为AB的中点，∴AE=EB,BE_-CE,BE-=BD,∠2=∠3，△BEDn△ECD BD ED BD ED CE ED ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=9P.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：，∠ABD=∠AFE=90°，∴.∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴.∠CBF=∠A, ∠ABD=∠BDE=90,∴.△ABC∽△BDE,,∠ABD=∠AFE=90,∴.∠ABC=∠BFC=9O°， ∴.△ABC∽△BFC,同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM 证明：，∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90, ,'∠AMB=∠NMC(对顶角相等)∴.△ABM∽△NCM.同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 典例分析 【例1】如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB:BC=3:2,点A(3,0),B(0,6分别在x轴，y轴上， 反比例函数y=的图象经过点D,则k值为() VA B A A.12 B.14 C.7 D.9 【例2】如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且 BE=BF,连接AC、AE、AF,过点E作EG⊥AF于点G,分别交AB、AC、DC于点M、H、N.则 下列结论：①MN=AF;②∠EAH=∠EHA:®EN,BF=EC-HN;④若BF:FC=3:4,则an∠FAC=2 ⑤图中共有5个等腰三角形.其中正确的结论是() D M G E BF A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤ 【例3】如图，矩形ABCD中，EF⊥AB,将aABH以AH为折痕对折，使点B的对应点G落在线段EF上， EF与折痕AH的交点为点I,其中AF=2,BF=4,则线段GI的长度为() D G H F B A.82 B.4 C.32 D.72 3 2 【例4】如图，边长为10的等边△ABC中，点D在边AC上，且AD=3,将含30°角的直角三角板 (∠F=30°)绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q,连接PQ.当EF PO时，DQ长 为() A.6 B.√39 C.10 D.65 【例5】如图，在矩形ABCD中，CD=4,E是BC的中点，连接AB,tan∠AEB=4, 行，P是4D边上一动点， 沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D处，当△APD是直角三角形时，PD的值为() P --1D D A. 或6 B.8 D. 3 7 7 c9 3 课堂随练 【练1】如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B,C重合），以AD为边向右作 等边△ADE,边DE与AC相交于点F,设BD=x,CF=y,若y与x的函数关系的大致图象如图②所示， 则等边三角形ABC的面积为() 3 B D 图① 图② A.3 B.35 C.6V5 D.9√5 【练2】如图，在8C中，∠C=90,AB=5 sem.co=号动点D从点4出发沿者射线4C的方向以每秒 1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动.已知点D和点E同时出发， 设它们运动的时间为t秒.连接BD.下列结论正确的有()个 ①BC=4; ②当AD=AB时，tanZABD=2; ③以点B为圆心、BE为半径画0B,当1=2空 时，DE与OB相切； 13 ④当LCBD=∠ADE时，t 25 11 A.1 B.2 C.3 D.4 【练3】在平面直角坐标系xO中，矩形OABC的点A在函数y=(x>0的图象上，点C在函数 4 y=x<0)的图象上，若点B的横坐标为2，则点A的坐标为(） 32 A. c(2 a9 【练4】如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、 GF,已知4GLGF,AC=√6，则下列结论：①∠DGA=∠CGF;②△DAG△CGF;③AB=2:④BE=√2CF. 正确的个数是() D G H A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【练5】如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别是边AC,BC上的点.将ABC沿DE翻折，点C正 好落在线段AB上的点F处，使得AF:BF=I:2,若BE=2,则CE的长度为() y E A.14 B. 12 C.16 D. 18 5 巩固提高 1.如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，沿直线CE将△CBE翻折，使得点B落在AD边上，记作点F 0味证：△f△DFC:包若是-子且C0=10,求BC的长 F D 2.如图，在四边形ABCD中，ADIIBC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2,若点P是AD上的一点，且 LBPC=∠A,求证：△ABP∽△DPC. D B 3.(1)问题： 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当LDPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由. (3)应用：如图3，在△ABC中，AB=22,LB=45°，以点A为直角顶点作等腰R1△ADE.点D在BC 上，点E在4C上，点F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=5,求CD的长. D A P B B D 图1 图2 图3 4在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,BC=2V2,点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45° (A、D、E按逆时针方向)· 图1 图2 备用图 (1)如图①，当点D在线段BC上运动时，DE交AC于E. ①求证：∠1=∠2.②当△ADE是等腰三角形时，直接写出AE的长 (2)如图②，当点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E,是否存在点 D,使△4DE'是等腰三角形？若存在，写出点D的位置；若不存在，请简要说明理由 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,D是AB的中点，连接CD,过点B作BG⊥CD,分别 交CD、C4于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF.以下四个结论：①4G=FG, AB FB ②点F是GE的中点；®AF=5AB;④5C=55r,其中正确的结论序号是() 3 G F E D B A.①④ B.①③ C.①②③ D.②③④ 6.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F,延长FE与直线CD相交于点G,连接 FC(AB>AE)·(1)求证：△AEF∽△DCE;(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不 相似，请说明理由，(3)设B=k,是否存在这样的k值，使得△4EF与△B℉C相似？若存在，证明你的结 BC 论并求出k的值；若不存在，请说明理由 G D 7.如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若 BD:DE=2:3,则CF= A E D 8.如图，在平行四边形ABCD中，LA=60°，AB=6,且AB>AD,点E、F、G分别为线段CD、BC、AD 的点，4GEF=120°，DE=4,C=4则GF C G B 9.如图，等边AABC的边长为6，点D在AC上且DC=2,点E在BC上，连接AE交BD于点F,且 ∠AFD=60°，若点M是射线BC上一点，当以B、D、M为顶点的三角形与△ABF相似时，则BM的长 为一 A D E 10.如图，在△ABC中，AB=AC=I0,点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=,DE 交AC于点E,且Cos∠a=5,下列结论：①△4DE∽△4CD:②当BD=6时，△4BD与△DCE全等：③ △DGE为直角三角形时，BD为8或答，④0<CB64.其中正确的结论是一 (把你认为正确结 论的序号都填上) 11.(1)【问题情景】：如图1，正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与点B,C重合），连接EA.将 EA绕点E顺时针旋转90°得到EF,连接CF,求LFCD的度数.以下是两名同学通过不同的方法构造全等 三角形来解决问题的思路： ①小聪：过点F作BC的延长线的垂线；②小明：在AB上截取BM,使得BM=BE; 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程. (2)【类比探究】如图2，点E是菱形ABCD的边BC上一点（不与点B,C重合），∠ABC=a(a>90), 连接EA.将EA绕点E顺时针旋转a得到EF,连接CF,则LFCD的度数为（用含a的代数式表示）； (3)【学以致用】：如图3，在(2)的条件下，连接，与CD相交于点G,当a=120时，若DC=, CG 2 求E的值。 C D D G B B E B E 图1 图2 图3 12.【基础巩固】(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AB边上一点，F是BC边上一 点，∠CDF=45°，求证：AC·BF=AD·BD; 【尝试应用】(2)如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A=∠B=∠CDF=45°，若AC=9, BF=8,求线段CF的长. 【拓展提高】(3)在△ABC中.AB=4√2，LB=45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在 BC上，点E在AC上.若CE=2V5,求CD的长. C F D B D B 图1 图2 B D 图3 13.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中 AB=AC,如图1，进行了如下操作： G E A A A M D P B C B 图1 图2 图3 第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交B4的延长线和AC于点E,F,如图2； 第二步，分别以点E,F为圆心，大于？EF的长为半径画弧，两弧相交于点D,作射线AD; 第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G; (I)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为； (2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由. ②当4B=AC=6,BC=2时，连接DG,请直接写出4D- AG = (3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM,PC,当 ∠CPM=∠B时，求AM的长， 14.如图，在矩形ABCD中，点M是BC边上的一个动点（点M与点C不重合），连接AM,过点M作 MN⊥AM,垂足为点M,MN交CD或CD的延长线于点N. D E B M 备用图 (1)若AB=6,BC=8.①当BM=6时，CN= ;②已知点E是CD边的中点，当点M在 BC边上运动时，MN能不能经过点E？若能，求出BM的长度；若不能，请说明理由； (②)若AB=6,BC=b.当点M在BC边上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：点N始终 在CD边上；点M在某一位置时，点N恰好与点D重合. 15.(1)【问题解决】如图①，点B在线段CE上，点A、D在CE同侧，∠ACE=∠ABD=∠BED=90°.求 证：△ACB~△BED. (2)【探究应用】如图②，在ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2,直线l∥42∥1，I与之间距离 是1，与4之间距离是2，且4、马、马分别经过点A、B、C,则边AC的长为· (3)【拓展延伸】如图③，在ABC中，CA=CB,点D是边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上， ∠EDF=∠A.若AE=9,AB=I0,则BF的长为· A A E F B E 图① D B 图② 图③ 16.数学模型学习与应用.【学习】如图1，∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥AC于点C,DE1AC于点 E.由∠I+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D;又∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到ABC≌△DAE. 我们把这个数学模型称为“一线三等角模型； B 1△2 图1 图2 图3 (I)【应用】如图2，点B,P,D都在直线1上，并且LABP=LAPC=∠PDC=Q.若BP=x,AB=2, BD=5,用含x的式子表示CD的长；（②）【拓展】在ABC中，点D,E分别是边BC,AC上的点，连接AD, DE,LB=LADE=∠C,AB=5,BC=6,若aCDE为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,4)，点B为平面内任一点.AOB是以OA为斜边 的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标， 17.三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称 一线三垂直模型).解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件， 利用全等或相似三角形解决问题 D 万 A P A D B B D 图1 图2 图3 【证明体验】如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，LDPC=∠A=LB=90°，求证： AD·BC=AP·BP 【思考探究】(2)如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=B时，上述结论 是否依然成立？说明理由，【拓展延伸】(3)请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图3，在ABC中， AB=22,∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰RtAADE,点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上， 且∠EFD=45°，若CE=√5，求CD的长.