28.第四单元 小专题9 常见的相似三角形模型-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦三角形专题，系统梳理相似三角形六大核心模型（A字型、8字型、母子型、旋转型、一线三等角型、对角互补型），严格对接中考说明，分析相似三角形判定与性质的高频考点权重，归纳选择、填空、解答等常考题型，融入达州中考真题（如2022年翻折问题、2015年圆与相似综合题），体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“模型解读+真题训练+技巧指导”三维模式，如一线三等角型通过“已知等角证相似”突破解题关键，培养几何直观与推理能力；母子型结合射影定理结论速解计算，强化模型意识。帮助学生掌握相似判定技巧，教师可依此设计专题复习，提升学生中考得分率与复习效率。

小专题9　常见的相似三角形模型 第四单元　三角形 《中考导学案》 2026达州数学 1 模型一 A字型 有一个公共角或有公共顶点的一对等角，此时需要找另一对角相等.若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论. 正A字型(DE∥BC) 斜交型 双垂直共角型 已知：∠1＝∠2，结论：△ADE∽△ABC. 模型解读 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 2 例1 如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°， BC＝2，D为AB的中点.若点E在边AC上，且， 则AE的长为(　　) A.1 B.2 C.1或 D.1或2 D 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 1.(渠县期末) 如图，阳光通过窗口AE射到室内， 在地面上留下3米宽的亮区BC，已知亮区BC到窗 口下的墙脚的距离CD＝5米，窗口高AE＝1.5米， 那么窗口底部离地面的高度DE为(　　) A.2米 B.2.5米 C.3米 D.4米 针对训练 B 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 2.如图，△ADE∽△ACB，DE＝5，S△ADE∶S四边形BCED＝ 9∶16，则BC的长为(　　) A.8 B. C. D.10 C 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 模型二 8字型 有一组隐含的等角(对顶角)，需要从已知条件、图中隐含条件或通过证明得另一对角相等.若题中未明确指出相似三角形对应顶点，则需要分类讨论. 模型解读 AB∥CD正8字型 ∠A＝∠C或∠B＝∠D斜8字型 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 6 AB∥CD∥EF三平行型 ∠A＝∠C或∠ABF＝∠CDF共享型 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 7 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B， 且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N. 若AC＝2，则MN的长为__________.    首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 3.如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，，则AE的长为__________.  针对训练 1 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 4.如图，在△ABC中，D为BC边中点，过点D的直线交AB的延长线于点M，交AC于点N，记＝m，＝n，则m＋n＝__________.  2 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 模型三 母子型 有一个公共角，又已知一对角相等，可以得到两个三角形相似.不仅要熟记模型，还要熟记模型的结论，当题目中给出三角形边的乘积或比例关系时，要能快速地判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC可以得到AC2＝AD·AB. 模型解读 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 11 母子型，也称共边共角型 双垂直共角共 已知：∠ACD＝∠ABC 结论：△ACD∽△ABC 线型，也称射影 定理型 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 12 例3 如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AB＝4AD＝4，则AC的长为(　　) A.1.5 B.2 C.2.5 D. B 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于 点O，BE⊥AC于点E.若CE＝3AE＝6，则边AD的 长是(　　) A.2 B.2 C.4 D.6 针对训练 C 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 模型四 旋转型(“手拉手”模型) 根据两组对应边之比始终相等，以及旋转角相等得到两个三角形相似.该模型的难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对考生的综合能力要求较高，考查知识点有相似、旋转、勾股定理、锐角三角函数等. 模型解读 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 15 结论：△ABD∽△ACE. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 16 结论：△OAC∽△OBD，∠AEB＝∠AOB＝90°. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 17 例4 如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的 中点，连接EF.如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ(0°＜θ＜90°)， 使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H，则∠BHD的度数为 __________，DH的长为__________.  90° 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 6.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝ ∠ADE，连接BD，CE.若AC∶BC＝3∶4，则BD∶CE等于__________.  针对训练 5∶3 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 模型五 一线三等角型(K型) 1.点P在线段AB上(同侧型) 已知：∠1＝∠2＝∠3， 结论：△APC∽△BDP. 模型解读 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 20 　　2.点P在线段AB的延长线上(异侧型) 已知：∠1＝∠2＝∠3， 结论：△APC∽△BDP. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 21 3.以等腰三角形或等边三角形为背景，三个等角顶点在同一直线上，也形成“一线三等角”模型，其中∠1＝∠2＝∠3，可根据三角形内角和及补角得到另一组等角，可得图中两阴影部分三角形相似. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 22 拓展链接：“一线三垂直”常存在的图形背景 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 23 例5 如图，在△ABC中，AC＝AB＝4，∠C＝30°，D为边BC上一点， 且CD＝，E为AB上一点.若∠ADE＝30°，则BE的长为________.  【思路点拨】先根据等腰三角形的性质求出BC的长，即可求出BD的长，再证△ACD∽△DBE，即可求出BE的长.   首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 7.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边 BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝ 2.4，则AD的长为(　　) A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 针对训练 C 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 8.(2022·达州) 如图，点E在矩形ABCD的AB边上， 将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处. 若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为(　　) A.9 B.12 C.15 D.18 C 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 9.如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为 (　　) A. B. C. D. A 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 10.(2015·达州) 如图，AB为半圆O的直径，AD， BC分别切☉O于A，B两点，CD切☉O于点E，连接 OD，OC，下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC ＝CD；③S△AOD∶S△BOC＝AD2∶AO2；④OD∶OC＝ DE∶EC；⑤OD2＝DE·CD.正确的有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 模型六 对角互补型 已知：在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°. 作法：过点D分别作DF⊥BC于点F，DE⊥BA交BA的延长线于点E. 结论：△AED∽△CFD.(若BD平分∠ABC，则△AED≌△CFD) 模型解读 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 29 例6 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，求AP的长. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 解：过点P作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R.∴∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°. ∴四边形PQBR是矩形.∴∠QPR＝90°＝ ∠MPN，BQ＝PR，PQ∥BC. ∴∠QPE＝∠RPF.∴△PQE∽△PRF. ∴＝2.∴PQ＝2PR＝2BQ. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝＝5. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 31 ∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC. ∴AQ∶QP∶AP＝AB∶BC∶AC＝3∶4∶5. 设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x. ∵BQ＋AQ＝AB，∴2x＋3x＝3.∴x＝. ∴AP＝5x＝3. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 11.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，BC＝8，D是AB的中点，E为BC上一点，且BE＝2，F为AC上一点.若∠FDE＝135°，则DF的长为_________.  针对训练   首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 12.如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝4，∠B＋∠D＝180°.当∠EPF＝∠BAD时，点P在AC上，PE，PF分别交BC，CD于点M，N，固定点P，使△PEF绕点P旋转，请求出的值. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 解：过点P作PG∥AB交BC于点G，作PH∥AD交CD于点H，则∠HPG＝∠DAB. ∵∠EPF＝∠BAD，∴∠EPF＝∠GPH，即∠EPH＋∠HPN＝∠EPH＋∠GPM. ∴∠HPN＝∠GPM. ∵∠B＋∠D＝180°， ∴∠PGC＋∠PHC＝180°. 又∵∠PHN＋∠PHC＝180°， 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 ∴∠PGC＝∠PHN.∴△PGM∽△PHN. ∴.① 由PG∥AB，PH∥AD可得 ，即.② 由①②可得. 首页 模型一 模型二 模型三 模型四 模型五 模型六 本讲内容结束 $