宁夏回族自治区银川一中2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟数学试卷（三）

**基本信息** 2026年高考数学全真模拟卷（三）覆盖函数、数列、立体几何等核心知识，通过文旅主题概率（第8题）、AI知识调查统计（第16题）等情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的核心素养，与高考命题趋势高度契合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算（1）、函数单调性（4）、立体几何体积（6）|基础题注重概念辨析，多选题（9-11）考查复数、椭圆性质等综合应用| |填空题|3题/15分|二项式定理（12）、双曲线离心率（13）、三角形动点最值（14）|第14题结合等边三角形动态问题，考查空间想象与转化能力| |解答题|5题/77分|抛物线证明（15）、统计独立性检验（16）、立体几何线面角（17）、函数恒成立（18）、数列递推证明（19）|第19题三问递进，从不等式证明到数列单调性再到求和估值，体现逻辑推理与创新应用|

2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（三） 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．3 8．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．二面角的正弦值为 D．该平行六面体的体积为 11．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆”的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．短半轴长为 B．成等比数列 C． D．的外接圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．二项式的展开式中，含项的系数为_______. 13．若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 14．在中，，，，点D，E，F分别是，，上的动点，且为等边三角形，则周长的最小值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知抛物线的焦点为，为抛物线上任意一点，点到焦点的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的两条直线分别与抛物线交于点，与，且，求证：直线的斜率之和为0． 16．（15分） 某高校为调查人们对AI知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取200人作为样本，得到如下数据. 人数分数学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 (1)若得分不小于60分，则认为对AI知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. (2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取10个人，再从这10人中随机抽出3人进行访谈，记这3人中分数在的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17．（15分） 如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． (1)求证：； (2)若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18．（17分） 已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 已知数列满足，. (1)证明：； (2)设，证明：数列为递减数列； (3)设为数列的前项和，求，其中表示不超过的最大整数（）. 绝密★启用前 数学试题 第1页（共6页） 试卷第2页，共5页 数学试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（三） 数学参考答案及评分标准 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B D C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：（1）抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 1分 因为点到焦点的距离与到点的距离之和最小值为3，所以，解得， 3分 故方程为. 4分 证明：（2）设过的直线斜率为，则直线方程为， 5分 联立抛物线方程可得， 6分 设直线与抛物线的交点为，则. 7分 ，， 9分 所以； 10分 设直线的斜率为​，的斜率为，则，， 11分 因为，所以，即， 12分 因为是两条不同的直线，所以，即，直线的斜率之和为0. 13分 16．（15分） 解：（1）表格如下： 2分 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 30 60 90 不熟悉 70 40 110 合计 100 100 200 零假设为：熟悉AI程度与参与人员学历互相独立，即熟悉AI程度与参与人员学历无关联. 3分 根据列联表中的数据，经计算得 5分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为熟悉AI程度与参与人员学历有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 6分 根据表中数据，熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和，不熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 7分 由可见，在被调查者中，熟悉AI的人中，本科以上学历是本科及以下学历的频率的将近2倍，于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为本科以上学历熟悉AI的概率明显大于本科及以下学历熟悉AI的概率，即本科以上学历更容易熟悉AI. 8分 （2）从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取10个人，这10人中，分数在的人数为3，则可取0，1，2，3； 9分 ，，，， 13分 的分布列为 14分 0 1 2 3 . 15分 17．（15分） 解：（1）在四棱锥中，由平面平面，得平面， 1分 又平面，平面平面，则， 2分 而点为的中点，因此为中点，，又， 3分 所以. 4分 （2）由四边形为矩形，得， 由平面，平面平面，平面平面， 6分 得平面，又，则直线两两垂直， 7分 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 8分 则，由点在线段上，设， ， 10分 设平面的法向量， 则，取，得，由直线与平面所成角的正弦值为 12分 得，而，解得， 14分 所以线段的长为. 15分 18．（17分） 解：（1）由题可知， 1分 当时，，函数在上单调递增；当时，若，，若，，所以函数在上单调递减，在上单调递增. 3分 （2）当时，不等式恒成立， 4分 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 5分 设，，， 6分 令，，，所以在上单调递增. 7分 由于，， 8分 由零点存在定理，存在，使得，即， 9分 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 11分 所以. 12分 因为，所以， 13分 令，，，即在上单调递增， 14分 所以，即， 15分 所以，所以， 16分 所以，即实数的取值范围为. 17分 19．（17分） 解：（1）因为，，所以， 则，即， 1分 则，则， 又，所以， 2分 若，则，则， 3分 因为，所以恒成立，故对任意恒成立； 4分 （2）由（1）可知， ， 5分 因为，所以，， 6分 则，故， 7分 则，故数列为递减数列； 8分 （3）因为，所以， 则 9分 ， 10分 因为，所以，故， 因为，，所以， 11分 则， 12分 令，则， 则在上单调递增，故，即， 13分 令，则，则， 14分 故， 15分 则， 16分 则，则，则， 故，故. 17分 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（三） 数学部分试题解析部分 1．A 解：，解得，故， 定义域是，故， 则． 2．B 解：将圆的一般方程配方为标准方程：， 得圆心为，半径，（），直线，即， 圆心到直线的距离为：， 圆与直线相切等价于，代入得： ， 两边平方整理得 ，即圆与相切， 充分性：若，可得或，当时，不满足，圆与直线不相切，因此充分性不成立， 必要性：若圆与相切，则，必然满足，因此必要性成立， 综上，是圆与相切的必要不充分条件. 3．D 解：由题意得，，化简得， 又，，即，故， ，， 故数列的前20项和为. 4．B 解： ，，，， 又函数（）在区间上单调递增， ，解得． 5．D 解：，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需.综上：. 6．C 解：设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为， 正四棱台的侧面是等腰梯形，设斜高为，则， 侧面积为：， 解得，或（舍去），， 设棱台的高为，则， 上底面积，下底面积， 该正四棱台的体积：． 7．D 解：由题设， 又，且，， 所以，即， 所以，可得（负值舍去）. 8．C 解：若甲体验儒家文化，则有： 当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有： 当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1； 当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即；所以. 9．AC 解：由题意得，， 则，故A正确； ， ，故不一定相等，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 10．BC 解：由题可得， 因为 所以不垂直，A错误； 因为，所以， 所以即，B正确； 取AD中点O，连接，则由题意易知， 所以是二面角的一个平面角， 因为， 则， ， 所以， 所以二面角的正弦值为，C正确. 因为四面体为正四面体，故顶点在底面的投影落在直线上， 因为， ， 所以，所以， 所以该平行六面体的体积为，D错误. 11．BCD 解：对于A，由椭圆，可得，即， 因为椭圆离心率，则，所以， 短半轴长为，不等于，所以A错误； 对于B，由选项A知：，可得，则，即，所以成等比数列，故B正确； 对于C，由， 由选项B知，可得，即， 因为所以，故C正确； 对于D，由， 可得，即， 则直角的外接圆半径，故D正确． 12.解：的展开式的通项为， 令，得，则含项的系数为. 13.解：由圆与圆，两方程相减，得， 即得恰为双曲线的一条渐近线，则有， 故的离心率为. 14.解：在中，，，，则， 又因为，所以， 又因为为等边三角形，所以， 所以， 设，则由正弦定理可得，所以， 在中，，所以， 又因为，所以， 所以， 所以周长 （其中）. 当时，可得周长的最小值为. 答案第14页，共15页 数学试题参考答案 第10页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（三） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。 1.设集合M={xx2+2x-8≤0}，集合N={xy=log,(x+2},则M∩N=() A.{d-2<x≤2}B.{x-2<x<2}C.{x-4≤x≤2}D.{x-4≤x<2} 2.已知圆C:x2+y2-2a+2y=0,(ab≠0)，则d=b”是“圆C与直线y=x相切”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,己知S=30,2a=4。,则数列 1 的前20项和为() 10 c.19 20 B. D. 11 20 21 4.已知函数f()=cos-(o>0)在区间0 3 3 上单调递增，则ω的取值范围是() B.(0,1] C D.[1,+o) 5.函数f(x)=(x-1)e-x2在(-1，a)上存在最大值，则实数a的取值范围为() A.a>-1 B.a>0 C.-1<a<1 D.0<a≤1 6.一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为3√3， 则该正四棱台的体积为() A.14 B.28 C.28V2 D.28 3 3 7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x),当x∈[0,2]时，f(x)=log2(x+a), 若20-()+1，则实数a=（) A.-1 B.1 C.2 D.3 数学试题第1页（共6页） 8.五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题 文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体 验，记事件A=“甲体验儒家文化”，B=“乙体验湖光山色”，则P(B|A)=() A B. c. D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知复数z1=cosa+isina,z2=cosB-isin B,z,=cos(a+B)+isin(a+B),z4=1, 复数3,2，，24在复平面内对应的点分别为，，乃，A,则下列说法中正确的是() A.Or op. B.1-s=52- C.OA.OP=OP.OP D.OAOR=OD·OP 10.已知平行六面体ABCD-AB,C,D中，AA=AB=AD=2, ∠DAB=∠DAA=∠BAA=60,则下列说法正确的是() A.BB LAC B.BD⊥AA C.二面角C-4D-4的正弦值为2V2 3 D.该平行六面体的体积为2√5 11.定义离心率是5-上的椭圆为黄金椭圆.已知“黄金椭圆"C:+ 4 +=1(0<b<2)的 左、右焦点分别为耳，F,左、右顶点分别为A,A,上、下顶点分别为B,B2,则下列说法 正确的是() A.短半轴长为√5-1 B.AA,B,BEF成等比数列 C.∠FBB2=∠BAA D.△FB4的外接圆半径为5+1 2 数学试题第2页（共6页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.二项式- 的展开式中，含x项的系数为一 13.若圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(心-1)2=1的公共弦所在直线是双曲线 :-1(a>0,b>0)的一条渐近线，则c的离心率为 14,在△ABC中，C=号，BC=1,4C=B,点D,压，F分别是AC,BC,AB上的动点， 且△DEF为等边三角形，则△DEF周长的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,P为抛物线C上任意一点，点P到焦点F的 距离与到点Q(0,2)的距离之和的最小值为3. (1)求抛物线C的方程； (2)若过点Q(0,2)的两条直线4,42分别与抛物线C交于点A,B与M,N,且 QAOB=OMOW,求证：直线4，，的斜率之和为0. 数学试题第3页（共6页） 16.(15分) 某高校为调查人们对AI知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取200人作为样本，得到如下数据 人数分数学历 [40,50) [50,60) [60,70) [70.80) [80,90) [90,1001 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 (1)若得分不小于60分，则认为对AI知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉： 学历 熟悉程度 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的2×2列联表，并依据小概率值，=0.001的独立性检验，能否 认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. (2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取10个人， 再从这10人中随机抽出3人进行访谈，记这3人中分数在[8090)的人数为X,求X的分布 列及数学期望. n(ad-be)' 附：X= n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 数学试题第4页（共6页） 17.(15分) 如图，在四棱锥E-ABCD中，AB/ICD,AB=1,AD=AE=CD=2,点G为DE的中点， 且平面ABG与CE交于点F. (1)求证：AB=GF; (2)若平面ABFG⊥平面ADE，,四边形ABFG为矩形， AD⊥AE,点H在线段CD上，直线FH与平面BCE所成角的 D D 正弦值为求线Da的长. G 18.(17分) 已知函数f(x)=e+a,g(x)=ax+ln(x+a. (I)讨论函数∫(x)的单调性： (2)当a=0时，若不等式f(x)≥8(x)+x+1恒成立，求实数m的取值范围， 数学试题第5页（共6页） 19.(17分) 己知数列{a}满足a(a+1-a)=1，,4=2. (1)证明：a,≥√2n+2: (②设五，-￠，证明：数列，}为递减数列； n (3)设Sn为数列 1 的前n项和，求[Soo],其中[x]表示不超过x的最大整数 (e7≈1097，e8≈2981)· 数学试题第6页（共6页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（三） 数学参考答案及评分标准 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D 0 D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-10 13.√5 14.32 7 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)抛物线的准线方程为y=号，焦点坐标为F 0 .1分 因为点P到焦点F的距离与到点(0,2)的距离之和最小值为3，所以2+ 2 =3,解得p=2, 3分 故方程为X2=4y.4分 证明：(2)设过Q(0,2)的直线斜率为k,则直线方程为y=x+2, 5分 联立抛物线方程可得x2-4-8=0, 6分 设直线与抛物线的交点为A(,乃)，B(x2,2),则x+x2=4k,xx2=-8.7分 4=Vx-0)+(,-2)2=k1+2,lOB=Vx,-02+,-22=x,1+k2,9分 所以AOB=8(1+k2): .10分 设直线4的斜率为k,1的斜率为k,则2AOB=81+k),OM:OW=8(1+好) 11分 数学试题参考答案第1页（共12页） 因为OAOB=OMW,所以81+k)=8(1+),即=，12分 因为，12是两条不同的直线，所以飞≠k2,即k+k2=0,直线4,1，的斜率之和为0..13分 16.(15分) 解：(1)表格如下： 2分 学历 熟悉程度 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 30 60 90 不熟悉 70 40 110 合计 100 100 200 零假设为H。：熟悉AI程度与参与人员学历互相独立，即熟悉AI程度与参与人员学历无关 联.。 3分 n(ad-be)' 根据列联表中的数据，经计算得xa+bc+a+eb+d90110x10x100 200×(30×40-70×60 -≈18.18>10.828=x00 ……….5分 根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H,不成立，即认为熟悉AI程度与参与人 员学历有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.6分 根据表中数据，熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别 301 903≈033和 60_2 ≈0.67，不熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为 903 707☆0.64和4040.36,7分 11011 11011 由06 0.36 ≈1.86可见，在被调查者中，熟悉AI的人中，本科以上学历是本科及以下学历的频 率的将近2倍，于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为本科以上学历熟悉A虹的 概率明显大于本科及以下学历熟悉AI的概率，即本科以上学历更容易熟悉AI8分 (2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取10个人，这 数学试题参考答案第2页（共12页） 10人中，分数在[80,90)的人数为3，则X可取0,1,2,3；9分 P(X=0)= C357 12040 K:毫西 .13分 X的分布列为.… .14分 X 0 1 2 3 P > 21 7 1 24 40 40 120 8()=0+1 2x +3× 1 369 140 401204010 …15分 17.(15分) 解：(I)在四棱锥E-ABCD中，由AB/ICD,AB￠平面ECD,CDC平面ECD,得ABII平 面ECD,.1分 又ABC平面ABG,平面ABGO平面ECD=GF,则GF/1AB/CD,.2分 而点G为DB的中点，因此F为CB中点，GF=CD=1,又AB=1,3分 2 所以AB=G..4分 (2)由四边形ABFG为矩形，得AB⊥AG, 由ABC平面ABFG,平面ABFG⊥平面ADE,平面ABFGO平面ADE=AG,.6分 得AB⊥平面ADE,，又ADLAE,则直线ABE,AD,AB两两垂直，.7分 以点A为原点，直线AE,AD,AB分别为x,2轴建立空间直角坐标系，8分 则E(2,0,0),B(0,0,1),C(0,2,2),F(,1,1),由点H在线段CD上，设H(0,2,),0≤t≤2， FH=(11,t-10,BC=(0,2,1),BE=(2,0,-1),10分 设平面BCE的法向量n=(x,y,z）), 则i-8C-2y+5=0 E=2x--0,取x=1,得n=Q-1,2),由直线H与平面BCB所成角的正弦值为V5 12分 得1cos(RR,= 12t-4|-3 丽2+-少，V6子，而0≤1≤2，解得1=1，…14分 所以线段DH的长为1.15分 数学试题参考答案第3页（共12页） G 18.(17分) 解：(1)由题可知f'(x)=e+,… .1分 当a≥0时，f'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增；当a<0时，若x<n(-a,'(x)<0, 若x>ln(-a),f'(x)>0,所以函数f(x)在（-o,h(-a)上单调递减，在(h(-ad),+o)上单 调递增… 3分 (2)当a=0时，不等式f(x)之g(x)+x+1恒成立，4分 即e≥血+m+1对任意x>0恒成立，即m≤e-r-对任意x>0恒成立，…5分 设)=e_nm1,x∈(0+w）),r)=e-1-+=e+=C+l，6分 x2 令G(x)=xe+hnr,xe(0,+m),G(x)=2xe+xe+1>0,所以G(x)在(0，+o)上单调 递增.… 7分 由于G0)=e>0, e 由零点存在定理， 存在信 使得G(x)=0,即xeo+lnx=0,9分 所以当x∈(0，x)时，G(x)<0,F'(x)<0,当x∈(x,+o)时，G(x)>0,F'(x)>0, 即F(x)在(0，x)上单调递减，在(o,+∞)上单调递增，.11分 所以F(an=F(k,)=e_lm-1 12分 因为e=-x,所以x,e=-=上n1=n」 e0,.13分 令5(x)=xe,x∈(0，+o),5'(x)=(x+1)e>0,即s(x)在(0，+o)上单调递增，14分 数学试题参考答案第4页（共12页） 所以。=血天，即三m, 15分 所以e=,所以r=e--1=1--1-l, Xoxoxoxo xo 16分 所以m≤1，即实数m的取值范围为(-o,1] .17分 19.(17分) 解：(1因为a(aa-a,)=l,a≠0，所以a1=a,+上 d. 1)2 则ah=a+ a++2>d+2,即->2，…1分 a 则a-a4=ad-a-1++a-G>2(n-1),n≥2，则G>a+2(n-1)=2n+2,n22, 又aG=4,所以a22n+2,n21, .2分 若a>0,则a1-a,=2>0,则a1>a,>0,…3分 a. 因为4=2，所以4+1>a.>0恒成立，故an≥√21+2对任意n∈N恒成立；4分 2)由1)可知，b6=@2a2+ +2 a n+1 nn+1 .5分 n(n+1) n(n+1) 因为a*,片以,0是2--片 6分 则-2n22,故G+2<0,…7分 则b1<b.,故数列bn}为递减数列； 8分 1 1 (3)因为a1=a+后，所以a=ana, 1,1 1 则S200= 十…十 4142400 =42-4+4-42+…+0001-4000.9分 =4201-41=4201-2， 10分 因为a之V21+2,所以a1≥V4004>63,故S20>63-2=61, 因为。底1女2.心之2+2，前以心，父-是 a t2三21+221分 数学试题参考答案第5页（共12页) 11.1 则a心0-a=aou-Gw+aw-ai++G-4≤2200200…+ 1 +2×2000, 12分 令国-h-10s1,则f闭-1生0. 则f(x)在(0,1)上单调递增，故f(x)<f(1)=0,即hx<x-1,0<x<1,13分 令x=”-1,则n”-l<-,则上-n-1n” n hh-l’14分 故5++，<1n2+h2+n201=n201<8,15分 3 2 2001 2 2000 zm1-G<X8+2×2000=4004,16 2 则a501<4008,则a1<V4008<64,则S,0<64-2=62,故61<S<62,故[S0]=61. .17分 数学试题参考答案第6页（共12页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（三） 数学部分试题解析部分 1.A 解：x2+2x-8=(x+4)-(x-2)≤0，解得-4≤x≤2，故M={xx2+2x-8≤0={x-4≤x≤2} y=log,(x+2)定义域是x>-2,故N={xy=log(x+2}={xx>-2}, 则M∩N={x-2<x≤2}. 2.B 解：将圆C的一般方程配方为标准方程：x2+y2-2ax+2by=0→(x-)2+(y+b)2=a2+b2, 得圆心为(a,-b),半径r=√昼+b,(ab≠0)，直线y=x,即x-y=0, 圆心到直线的距离为：d= la-(-B)la+bl V12+(-1)2 √2 圆与直线相切等价于d=r,代入得： latb=va+b, √2 两边平方整理得(a-b)2=0,即圆C与y=x相切一u=b, 充分性：若d=b,可得a=b或a=-b,当a=-b时，不满足a=b,圆与直线不相切，因 此充分性不成立， 必要性：若圆C与y=x相切，则a=b,必然满足d=,因此必要性成立， 综上，4=b是圆C与y=x相切的必要不充分条件. 3.D 解：由题意得，5+5d=0,化简得4+2d=6, 又2a=ao,.2(a+4d)=4+9d,即a4=d,故4=d=2, 8ag-e,言间 2 故数列 S 的前20项利+号目引目+品引1分 4.B 数学试题参考答案第7页（共12页） 解：f)=og=coa,o>0,e[0引ar晋[引 又函数r)=o管o上cmam司(o>0)在区间[0写上单调港带， π .3 3 0,解得ae(0,1. w>0 5.D 解：f'(x)=xe-2x=x(e-2),令f(x)=0,得x=0或x=ln2 当x∈(-1,0)时，f'(x)>0,f(x)递增，当x∈(0，n2)时，f'(x)<0,f(x)递减，当 x∈(n2,+o)时，f'(x)>0,f(x)递增 因此，x=0是极大值点，x=n2是极小值点.要使(-1，ad)上存在最大值，需a>0,又因为 f(0)=-1,且f(1)=(1-1)e-12=-1, 若a>1,函数在(n2,a递增，会超过f(0),因此需a≤1.综上：0<a≤1. 6.C 解：设正四棱台的上底边长为a,则侧棱长为a,下底边长为2a, 正西棱合的侧面是分极特形.设斜商为4，则A=女（么，口-（9-9。 侧面积为：a+2a4-女5a-35d=35, 22 4 解得a=2,或a=-2（舍去)，.a=2, 段楼台的药为，则松（份网可-=5 上底面积S=2=4,下底面积S2=(2a=42=16, 该正四按台的体积：r4S+8+及鸟)背×2x4+16+4x10-282 3 7.D 解：由想设)42到③)引=+小}g(任 又fo-le,a,且2fo-f+1,a>0, 所以21e,a-le:行a1,即log:d-le:6+20. 数学试题参考答案第8页（共12页） 所以a2=3+2a一a2-2a-3=(a+1)(a-3)=0,可得a=3(负值舍去). 8.C 解：若甲体验儒家文化，则有： 当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为CC=6: 当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为CA?=6: 综上所述：不同的选法种数为6+6=12，即n(A)=12: 若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有： 当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1： 当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为C=2: 当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为C=2: 综上所述：不同的选法种数为1+2+2=5，即n(AB)=5;所以P(B|A)= n(AB)5 n(A)12 9.AC 解：由题意得，(cos,sin),P(cosB,-sinB),P(cos(a+B),sin(a+B),A(1,0), 则Og=o=1,故A正确； (cosa-1)'+sin'a=2-2cosa, 32-z=V(cosB-1)'+sim2B=√2-2cosF,故名-z3,-不一定相等，故B错误； OA.OR=cos(a+B),OP·OP,=cosacosB-sin asin B=cos(au+B),故C正确： O4.OR=cosa,OP.OP =cosB cos(a+B)-sin Bsin(a+B)=cos(a+28),D. 10.BC 解：由题可得AA·AB=ABAD=AA·AD=2×2c0s60=2, 因为BB·AC=BB·(4B,+AD)=AA(AB+AD)=AA·AB+AA·AD=4≠0 所以BB,AC不垂直，A错误； 因为BD=AD-AB,所以BD·AA=(AD-AB)AA=AD·AA-AB·AA=0, 数学试题参考答案第9页（共12页） 所以BD⊥AA即BD⊥AA,B正确： 取AD中点O,连接OB,OA,则由题意易知BO⊥AD,OA⊥AD, 所以∠AOB是二面角C-AD-A的一个平面角， 因为Q4=A-AD,0B=AB-24D, 则o4o8=（4-3404-3404A-4AD-4DA+4D=2-11+1=1, 10A=VA4-A02=V3,0B=VAB2-A02=5, 所以coS∠AOB= OAOB 11 OAOB3x33 以三面角C-4D-4的正弦旗为，1-Y -2W2 C正确， 3 因为四面体A-ABD为正四面体，故顶点A在底面ABCD的投影落在直线AC上， 因为4C=VaB+AD=Va6+AD+2AB.AD=V4+4+4=25, A4AC=AA(AB+AD)=AA·AB+AA·AD=4, 所以cos∠AAC= AAAC 43 44C2x253,所以sim∠4AC-V-cos°∠A4c- 3 所以该平行六面体的体积为4B.ADsin60×4sm∠44C=2×2x5×2 5×2x6=4N2,D错 2 3 误 11.BCD 解：对于A由精圆C若+若-0<：2，可得=4，即a-2, 因为椭圆c离心率e=9-5-1,则c=V5-1,所以B=4-c2=2N5-2, a 2 短半轴长为b,不等于√5-1，所以A错误： 数学试题参考答案第10页（共12页） 对于B,由选项A知：a=2,c=√5-1b2=2√5-2，可得b2=aC,则(2b)=(2)-(2c),即 BB,=AAEE,所以4A,BBE引成等比数列，故B正确； 对于C,由m<RB,-云m<B44- b a 由选项B知=ac,可得合分即m∠R8风-m44, 因为∠RBA(0引A4e0到所以<RA,=∠B44,故C正确： 对于D,由∠B,AA+∠A,BB2=90,∠BB2=∠BA,A, 可得∠FBB2+∠A,BB2=90,即∠FB,A=90, 则直角△RBA的外接圆半径R=4=a+C-5+1,故D正确。 2 2 2 B 2解：（-的T式的为=G(=G-号，-025 5-3r 令5--1，得r=1,则含x项的系数为C-(-2=-10, 2 13.解：由圆(x-2)+y2=4与圆x2+(y-1)=1,两方程相减，得-4x+4+2y-1=3, 即将2x恰为双陆线c普若a>6>0的条近线，则右台2. 放C的离心率为a=日+白=5 14解：在4c中，c子s0-1,4c5,则m8C, 又因为0<B<元，所以B= 3, 义因为DBP为等边三角形，所以B陀+∠BBF=,ZDC+BBR:弧 3 所以∠DEC=∠BFE, 设∠DEC=a,则由正弦定理可得 mg2所必6mC_2rn” EF BE 3 数学试题参考答案第11页（共12页) 在Rt△DEC中，coS∠DBC=EC DE ,所以EC=DE cos∠DEC=DE cos=EF cos, 又因为BC+BB=BC=1,所以2 Bsin0+EF cosa=L, 5 5 所以EF= 2sina+3 cosa 35 35 所以ADBF周长'2sina+Bcos2 sina+3 2 cosa 33 35 (其中cosp= 2 √7(sin acos+cosasin)√7sin(a+p) 当s血(a+)=1时，可得DBF周长的最小值为35_3V工 √7 7 D 数学试题参考答案第12页（共12页）