2026年山东省青岛市中考数学二模模拟试卷

**基本信息** 2026年青岛中考数学二模卷以科技（如计算机运算）、生活（商场促销）、文化（七巧板）情境为载体，分层考查代数、几何、统计核心知识，突出数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|数轴、轴对称、三视图、概率|基础概念与空间观念结合| |填空题|6/18|函数、几何概率、菱形性质|小切口考查推理能力| |解答题|9/68|二次函数应用（大门抛物线）、动态几何（平移与旋转）|综合题注重模型意识与创新探究，贴合中考命题趋势|

2026年山东省青岛市中考数学二模模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图数轴上点表示的数为，则是  A. B. C. D. 2.下列图案中是轴对称图形的有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下图是由三个大小一样的正方体摆放成的几何体，则它的主视图是（　　） A. B. C. D. 4.由山东科技大学研制的一种计算机每秒可做次运算,它工作秒运算的次数为  （   ） A． B． C． D． 5. 如图，为的直径，点、、在上，且，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.下表是某校合唱团成员的年龄分布表： 年龄岁 频数 对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(    ) A. 平均数、中位数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 7.如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点B按顺时针方向旋转，得到，将向下平移2个单位，得，那么点C的对应点的坐标是(    ) A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，点是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，则的长是(    ) A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为(    ) A. B. C. D. 10．如图是由一些小立方块所搭的几何体从三个不同方向看到的图形，若在所搭的几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，搭成一个大正方体，至少还需要的小立方块个数是（    ）．        A．50 B．51 C．54 D．60 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11.化简= ． 12. 已知关于的函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___ ． 13.如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率______． 14. 如图，菱形中，，，所在直线为反比例函数的对称轴，当反比例函数的图象经过、两点时，的值为______． 15.如图，在菱形ABCD中，，，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为______. 16. 如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是________（填写序号）． 三、作图题（4分） 请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 四、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18. 本小题分 化简：； 解不等式组：． 19. 本小题分 某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得元的礼金卷； 方案二：是得到一次摇奖的机会规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘、，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域指针落在分割线上时重新转动转盘，根据指针指向的区域颜色如表决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券元 请你用列表法或画树状图法求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． 如果一名顾客当天在本店购物满元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 20.（本小题满分6分） 《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分﹣89分为良好；60分﹣79分为及格；60分以下为不及格．为了解学生的体质情况，某校从全校九年级学生中随机抽取10%的学生进行测试，并将测试成绩制成如图表： 成绩 频数 频率 不及格 4 0.08 及格 18 0.36 良好 a 0.24 优秀 16 b 请根据图表中信息解答下列问题： （1）　 　，　 　； （2）已知“”这组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，83，85，则所抽取的这些学生测试成绩的中位数是　 　分； （3）求参加本次测试学生的平均成绩； （4）请估计全校九年级体质测试成绩为“良好”等级及以上的学生数． 21.（本小题满分6分） 在直角坐标系中，点在函数是常数，，上，点，，，，，在轴上，△，△，△，△均为等边三角形． 【探究】 (1)=　 　 ；(2)=　 　 ； (3)=　 　 ； 22.本小题分 测角仪的工作原理主要基于光学原理和电子测量技术，某兴趣小组为了探究测角仪器的工作原理，在物理老师的指导下制作了简易的测角仪器并且用于实践活动中，他们要用测角仪测量安徽境内一座大桥的高度如图，并设计了方案：如图，点，，依次在同一条水平直线上，，垂足为在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，米，在点处测得桥塔顶部的仰角为求桥塔的高度结果精确到米，参考数据：， 23.本小题6分 某商场计划在年前用40000元购进一批新款衬衫进行销售，由于进货厂商促销，实际以8折的价格购进这批衬衫，结果比原计划多购进80件． 该商场实际购进每件衬衫多少元？ 该商场打算在进价的基础上，每件衬衫加价进行销售．由于接近年底，可能会出现滞销，因此会有的衬衫需要打5折降价出售，该商场要想获得不低于20000元的利润，应至少再购进衬衫多少件？ 24.本小题8分 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，，交AD于点F，连接DE、 求证：； 当与满足什么数量关系时，四边形AODE是菱形？请说明理由． 25.本小题分 如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为． 求此抛物线对应的函数表达式； 近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点． 求的最大值． 某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围． 26.本小题分 如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； （3）当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2026年山东省青岛市中考数学二模模拟试卷答案 1、 选择题： 1.【答案】  【解析】解：观察数轴可知：点表示的数， ， 故选：． 观察数轴可知：点表示的数，然后根据绝对值的性质进行计算即可． 本题主要考查了数轴和绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 2.【答案】C  【解析】解：从左到右，第一、三、四个图形是轴对称图形，第二个图形不是轴对称图形， 所以轴对称图形的个数为3个． 故选： 利用轴对称图形定义进行解答即可． 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 3. 【答案】B 4．【答案】B 【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：它工作秒运算的次数为： （4×108）×（3×103）， =（4×3）×（108×103）， =12×1011， =1.2×1012． 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，主要利用单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质求解，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5.【答案】  【解析】 【分析】 本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握常见辅助线的添法是解题的关键． 连接，先求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而可求出的度数，最后根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出即可． 【解答】 解：如图，连接，． ， ． ， ． ． ． ， ． ． 故选：．   6.【答案】  【解析】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为岁，中位数为：岁， 即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：． 由频数分布表可知后两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第、个数据的平均数，可得答案． 本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：如图， 由题意，， 点C绕点B顺时针旋转得到，再向下平移2个单位得到， 故选： 分别利用旋转变换，平移变换的性质画出图形可得结论． 本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 8.【答案】  【解析】解：矩形中，是的中点，， ， 在和中， ≌， ，， 设， 则， 在中，， ， 垂直平分， ， ， 解得， ， ． 故选：． 根据线段中点的定义可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，设，表示出，再利用勾股定理列式求，然后表示出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，然后列出方程求出的值，从而求出，再根据矩形的对边相等可得． 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图，抛物线的开口方向向上，则． 对称轴在轴的右侧，则、异号，所以，故． 又因为抛物线与轴有个交点， 所以， 所以直线经过第一、二、三象限． 当时，，即，所以双曲线经过第一、三象限． 综上所述，符合条件的图象是选项． 故选：． 根据二次函数图象确定、、的符号，由它的符号判定一次函数图象与反比例函数图象所经过的象限即可． 本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．熟练掌握图象与函数关系式中系数的关系是解题的关键． 10．【答案】C 【分析】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的大正方体的共有个小正方体，即可得出答案． 【详解】解：由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列；由左视图可知，搭成的几何体共有3行； 第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第三层有1个正方体， 共有10个正方体， 搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体， 搭成的大正方体的共有个小正方体， 至少还需要个小正方体． 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，关键是求出搭成的大正方体共有多少个小正方体． 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．【答案】-2 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，掌握运算法则、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 12.【答案】  【解析】 【分析】 本题考查的是抛物线与轴的交点问题及一次函数的性质，解答此题时一定要分函数是一次函数与二次函数两种情况讨论．由于函数是二次函数还是一次函数不能确定，故应分类讨论，即当时，此函数是一次函数，由一次函数的性质可知函数图象与轴有交点；当时，根据的取值范围即可判断． 【解答】 解：当，即时，此函数可化为，此函数为一次函数与轴必有交点； 当，即时，，解得且，  综上所述，的取值范围是． 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：设七巧板的边长为，则 ， ， 矩形区域的面积， 空白部分的面积， 故这个点落在空白部分的概率为． 故答案为：． 设七巧板的边长为，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，，进一步求出落在空白部分的概率． 本题考查了几何概率，矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出，的长． 14.【答案】  【解析】解：作轴于， 菱形中，， ， 所在直线为反比例函数的对称轴， ， ， ， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为． 作轴于，根据菱形的性质得出，由所在直线为反比例函数的对称轴，得出，即可求得，解直角三角形求得，，即可求得，代入即可求得的值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形等，求得的坐标是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：连接AC，延长AP，交BC于E， 在菱形ABCD中，，， ，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ≌， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 故答案为： 连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出是等边三角形，进而通过三角形全等证得，从而求得AE、PE，利用即可求得． 本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求得PA、PE是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是________（填写序号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．证明△ADE≌△BCE（SAS），推出，再由直角三角形斜边中线的性质求得，推出，可得到，故①正确；证明，由正切函数的定义可判断②错误；由平行线的性质求得，即可求得，故③错误；证明，推出，再等量代换即可证明故④正确． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形， ∴，即， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴，故③错误； ∵正方形， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④． 三、作图题（4分） 请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作． 【详解】解：如图，等腰即为所作： 4、 解答题： 18. 【答案】 解： ； ， 由不等式，得 ， 由不等式，得 ， 原不等式组的解集是．  【解析】根据分式的减法和除法可以解答本题； 根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题． 本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 19.【答案】解：用列表法列举所有可能出现的结果如下： 共有种可能出现的结果，其中两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的有种， 所以两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率为； 由可得，两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率为； 两款转盘指针都是红色的概率为； 两款转盘指针都是蓝色的概率为； 因此各种情况下所获的购物劵的金额为：一红一蓝：元， 两红：元， 两蓝：元， 由于， 所以选择方案一，即直接获得元的礼金卷比较实惠．  【解析】用列表法列举所有可能出现的结果，即可求出两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率； 分别求出一红一蓝，两红、两蓝的概率，进而求出平均每次所获的奖券的金额即可． 本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 20．【答案】（1）12；0.32；（2）82；（3）78.4分；（4）280人 【分析】（1）先求出样本总数，然后即可求出a、b的值； （2）由题意，先找出中位数所在的区间，然后把数据从小到大排列，找出第25、26个数，即可求出中位数； （3）由加权平均数的计算方法，即可求出答案； （4）先求出测试成绩为“良好”等级及以上的学生数，再估计总体的数量即可． 【详解】解：（1）抽取的总数为：， ∴， ； 故答案为：，； （2）∵抽取的总数是50， ∴中位数是第25、26个数的平均数， ∵第25、26个数落在“良好”区间，即“”这组， ∴先把数据从小到大排列，则 80，81，81，83，83，84，85，85，85，86，87，88， ∴第 25个数是81，第26个数是83， ∴中位数是：； 故答案为：82． （3） 答：平均成绩是78.4分； （4）； 答：全校九年级“良好”等级以上的学生有280人． 【点睛】本题考查条形统计图，由样本估计总体，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等边三角形的性质求得点的坐标，代入是常数，，即可求得的值； （2）过点作轴于，设，则，即，，代入，求得，即可求得，同理求得； （3）通过(2)中的求解过程，观察、的值即可猜想． 【详解】（1）解：△是等边三角形，且点的坐标为， ， 点在函数是常数，，上， ； （2）解：过点作轴于，如图所示： 设， △是等边三角形， ， ，， 点在函数是常数，，上， ，即，解得或（舍去）， ， （3）解：由（2）中的计算过程，分析，，，结构特征，以此类推即可猜想：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数的性质，过点分别向轴作垂线，构造直角三角形是本题的关键． 22.【答案】桥塔的高度约为．  【解析】解：设， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：． ，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 设，解，得到解，求出，再求出，根据即可得到答案． 此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． 23.【答案】解：设每件衬衫的原进价为x元，则实际进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商场实际购进每件衬衫100元． 第一次购进衬衫的数量为件， 设需要再购进衬衫y件， 依题意得：， 解得： 又，均为正整数， 的最小值为 答：应至少在购进衬衫175件．  【解析】设每件衬衫的原进价为x元，则实际进价为元，利用数量=总价单价，结合实际比原计划多购进80件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入中即可求出结论； 利用数量=总价单价，即可求出第一次购进衬衫的数量，设需要再购进衬衫y件，利用总利润=销售单价销售数量-进货总价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再结合y，均为正整数即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24.【答案】证明：， ， 四边形ABCD是矩形， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ； 当时，四边形AODE是菱形． 理由如下：在中，， ， ，， 矩形ABCD沿AC折叠， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 四边形AODE是平行四边形， 又， 四边形AODE是菱形．  【解析】根据全等三角形的判定与性质可得，然后由矩形的性质及等腰三角形的性质可得结论； 根据邻边相等的四边形是菱形证明即可． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握它们的判定定理和性质． 25.【答案】解：由题意知，抛物线顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入抛物线解析式得， 解得， 抛物线对应的函数的表达式为； 将代入中，得， 点，设直线的解析式为， 将点代入得， ， 直线的解析式为， ，， 当时，有最大值，为； 师傅能刷到的最大垂直高度是米， 当时，他就不能刷到大门顶部， 令，即， 解得， 又是关于的二次函数，且图象开口向下， 他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是．  【解析】利用待定系数法即可求出函数表达式； 先求出点坐标为，再求出直线的解析式为，进而求出，根据二次函数性质即可求出当时，有最大值； 根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到，解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键． 26. 如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； （3）当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）由题意得，当时，，求得，再利用三角函数的定义求解即可； （2）作于点，作于点，同（1）利用三角函数的定义求得，，再根据，利用三角形的面积公式代入数据求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，作于点，交延长线于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可；当时， 作于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵在中，，，， ∴， 由平移的性质得，，，，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 解：当时，∴点在线段上，作于点，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 同理，即， ∴， ∵， ∴， ∵ ； ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 由题意， 当时，作于点，交延长线于点， 同理，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 当时， 作于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，公式法解一元二次方程，正确构造辅助线，分类讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $