精品解析：浙江杭州市临安区2025-2026学年第二学期中学业水平测试七年级(数学) 试题卷

2025学年第二学期期中学业水平测试七年级（数学）试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．答题时在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的答案一律无效． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列结论正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是同旁内角 C. 与是内错角 D. 与是对顶角 5. 下列各式中，能直接运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小吴，小越，小临和小安四位同学各自打算从位于点A的学校步行出发，分别沿，，，的路径前往位于所在直线的苕溪边，假设四位同学步行速度相同，则用时最少的是（ ） A. 小吴 B. 小越 C. 小临 D. 小安 7. 如图，，点在上，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 图书馆有双人桌和三人桌共500张，设双人桌有张，三人桌有张，坐双人桌和坐三人桌的人数相同，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，凹镜面内有一光源，其发出的两束光线经过反射以后得到和，如果，则关于或下列说法中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 幻方是古老的数字问题，在我国古代的《大戴礼记》《洛书》等书籍中均有所记载，在如图所示特殊的“十字幻方”中，横纵两个大长方形内五个数字之和都等于20，则的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算______． 12. 如图，已知直线被直线所截，如果，则______． 13. 若单项式与的和是一个单项式，则______． 14. 如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，点到点的距离为6，则______． 15. 杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 16. 如图所示为地板所铺瓷砖的一部分，所有的瓷砖都是正方形，最小的正方形瓷砖边长是，次小的瓷砖边长是，则最大正方形瓷砖①与次大正方形瓷砖②的面积差是______．（用含的式子表示） 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程组： （1）； （2）． 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，图形的位置如图所示，现将该图形平移，使点与点重合． （1）请画出平移后的图形． （2）连接和，这两条线段满足什么关系？ 19. 先化简，再求值：．其中． 20. 如图，的角平分线和直线交于点，作，已知， （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 若定义是以为系数的二次三项式，可以表示为：，其中，均为实数． 例如：，完成下面的探究： （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 22. 山核桃是临安区的特产，与笋干、香榧共同称为“临安三宝”．某特产店内有两种山核桃供顾客选择，且要求购买山核桃需要整斤购买，若买4斤手剥山核桃和3斤山核桃仁需要600元；若买2斤手剥山核桃和6斤山核桃仁需要750元． （1）分别求出手剥山核桃和山核桃仁的单价； （2）小明共有700块钱用来购买山核桃，且刚好将钱用完，请你给他设计购买方案． 23. 如图，已知中，，点是的边上一点，射线交于点，当时，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转后停止． （1）求的度数； （2）若秒后射线与平行，求此时的值； （3）若秒后射线与边或垂直，求此时的值． 24. 杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解决下列问题：如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． （1）若，求的度数； （2）如图2，为边上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，延长交直线于点，在线段上有一点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中学业水平测试七年级（数学）试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．答题时在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的答案一律无效． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是： ． 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据二元一次方程的定义判断各选项，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】解：∵ 选项A中，项的次数为，不符合条件③，∴ A错误. ∵ 选项B中，方程 是整式方程，含两个未知数，且含未知数的项的次数都是，满足所有条件，∴ B正确. ∵ 选项C中，项的次数为，不符合条件③，∴ C错误. ∵ 选项D中，是分式，方程不是整式方程，不符合条件①，∴ D错误. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则和合并同类项法则，根据初中整式运算的对应规则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解： ，故A选项错误． ，故∴ B选项错误． ，故C选项正确． ，故D选项错误． 4. 如图，下列结论正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是同旁内角 C. 与是内错角 D. 与是对顶角 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据图形，得： A、与是内错角，原说法错误； B、与是同旁内角，原说法正确； C、与是同位角，原说法错误； D、与不是对顶角，原说法错误． 5. 下列各式中，能直接运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的适用条件，平方差公式结构为，要求两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，两项均互为相反数，无相同项，不符合条件，不能直接用平方差公式； B. ，两项都相同，无互为相反数的项，不符合条件，不能直接用平方差公式； C. ，没有完全相同的项，不符合条件，不能直接用平方差公式； D. ，相同项为，相反项为和，完全符合平方差公式的适用条件，可直接用平方差公式计算． 6. 如图，小吴，小越，小临和小安四位同学各自打算从位于点A的学校步行出发，分别沿，，，的路径前往位于所在直线的苕溪边，假设四位同学步行速度相同，则用时最少的是（ ） A. 小吴 B. 小越 C. 小临 D. 小安 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ∴的长度最短 ∵四位同学步行速度相同， ∴用时最少的是小越． 7. 如图，，点在上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 8. 图书馆有双人桌和三人桌共500张，设双人桌有张，三人桌有张，坐双人桌和坐三人桌的人数相同，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干给出的两个等量关系列方程组，两个等量关系分别为：双人桌和三人桌总数量为500张，坐两种桌子的总人数相等． 【详解】解：根据题意，可列方程组为 ． 9. 如图，凹镜面内有一光源，其发出的两束光线经过反射以后得到和，如果，则关于或下列说法中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，得到，根据平行的性质可得，即可得出结论． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C一定正确． 10. 幻方是古老的数字问题，在我国古代的《大戴礼记》《洛书》等书籍中均有所记载，在如图所示特殊的“十字幻方”中，横纵两个大长方形内五个数字之和都等于20，则的值为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出等式，化简得到，再利用完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则，将系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解： ． 12. 如图，已知直线被直线所截，如果，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据对顶角的性质和平行线的性质即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ． 13. 若单项式与的和是一个单项式，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】两个单项式的和仍是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出、的值，再代入代数式计算． 【详解】解：单项式与的和是单项式． 与是同类项． ，， ． 14. 如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，点到点的距离为6，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】由平移的性质得，进而求出结论 【详解】解：连接，则， 由平移的性质得， ∵， ∴． 15. 杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 【答案】574 【解析】 【分析】先设未知数，根据已知条件列二元一次方程组求出手绘团扇和非遗书签的单价，再分别计算两种优惠方案购买指定数量商品的总费用，比较后得到最小成本总和． 【详解】解：设把手绘团扇的价格为元，枚非遗书签的价格为元， 根据题意得： 解得 计算方案一的总费用： 购买把手绘团扇和枚非遗书签，可凑成套把团扇枚书签的套装，剩余把团扇和枚书签按原价购买， 总费用为：（元） 计算方案二的总费用： 原价总费用为（元）， 因为，可享受满减优惠， 总费用为（元） 因为，所以成本总和最少为元． 16. 如图所示为地板所铺瓷砖的一部分，所有的瓷砖都是正方形，最小的正方形瓷砖边长是，次小的瓷砖边长是，则最大正方形瓷砖①与次大正方形瓷砖②的面积差是______．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据图形分别求出大正方形瓷砖①的边长为，次大正方形瓷砖②的边长为，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴大正方形瓷砖①的边长为，次大正方形瓷砖②的边长为， ∴大正方形瓷砖①与次大正方形瓷砖②的面积差是． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 将②代入①得， 解得， 把代入②得，， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴原方程组的解为． 18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，图形的位置如图所示，现将该图形平移，使点与点重合． （1）请画出平移后的图形． （2）连接和，这两条线段满足什么关系？ 【答案】（1） 解：图形如图所示： （2）平行且等于 【解析】 【分析】（1）按平移作图方法作图即可； （2）根据平移的性质可知平行且等于． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：．其中． 【答案】，13 【解析】 【详解】解： 把代入得． 20. 如图，的角平分线和直线交于点，作，已知， （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： ， ， ， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知证明 ， 即可证明 ； （2）由垂线的定义得到，根据角平分线的定义求出 ，再结合平行线的性质可得 ，最后利用平角的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，平分， ， ， ， ． 21. 若定义是以为系数的二次三项式，可以表示为：，其中，均为实数． 例如：，完成下面的探究： （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）7 （2）7 【解析】 【分析】（1）根据定义得到多项式，再将代入计算即可； （2）根据定义得到多项式，再根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得到m的值，最后将m的值代入计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴=， 把代入得； 【小问2详解】 解：由题：， ， 即， ， ． 22. 山核桃是临安区的特产，与笋干、香榧共同称为“临安三宝”．某特产店内有两种山核桃供顾客选择，且要求购买山核桃需要整斤购买，若买4斤手剥山核桃和3斤山核桃仁需要600元；若买2斤手剥山核桃和6斤山核桃仁需要750元． （1）分别求出手剥山核桃和山核桃仁的单价； （2）小明共有700块钱用来购买山核桃，且刚好将钱用完，请你给他设计购买方案． 【答案】（1）手剥山核桃的单价为75元，山核桃仁的单价为100元 （2）方案一：仅购买7斤山核桃仁，方案二：购买4斤手剥山核桃和4斤山核桃仁，方案三：购买8斤手剥山核桃和1斤山核桃仁 【解析】 【分析】（1）设手剥山核桃的单价为元，山核桃仁的单价为元，买4斤手剥山核桃和3斤山核桃仁需要600元；若买2斤手剥山核桃和6斤山核桃仁需要750元．据此列出二元一次方程组并解方程组即可； （2）设买了斤手剥山核桃，斤山核桃仁，列出二元一次方程，求出非负整数解即可． 【小问1详解】 解：设手剥山核桃的单价为元，山核桃仁的单价为元， 由题意得： 解得 答：手剥山核桃的单价为75元，山核桃仁的单价为100元． 【小问2详解】 解：设买了斤手剥山核桃，斤山核桃仁， 则： 化简得： ，b为整数, ， 答：方案一：仅购买7斤山核桃仁． 方案二：购买4斤手剥山核桃和4斤山核桃仁． 方案三：购买8斤手剥山核桃和1斤山核桃仁． 23. 如图，已知中，，点是的边上一点，射线交于点，当时，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转后停止． （1）求的度数； （2）若秒后射线与平行，求此时的值； （3）若秒后射线与边或垂直，求此时的值． 【答案】（1） （2）的值为24秒 （3）的值为6秒或18秒 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理和平行线的性质即可求解； （2）利用平行线的性质求得，即可求得旋转角，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，分别求得旋转角，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即绕点顺时针旋转， ∴（秒）； 【小问3详解】 解：①当时，如图， ∵， ∴，即绕点顺时针旋转， ∴（秒）； ②当时，如图， ∵， ∴， 此时绕点顺时针旋转， ∴（秒）， 综上，的值为6秒或18秒． 24. 杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解决下列问题：如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． （1）若，求的度数； （2）如图2，为边上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，延长交直线于点，在线段上有一点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）画出图形，结合三角形的内角和定理及平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作直线， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图3， 在中，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $