2026年第二届“玄符杯”线上全国邀请赛 数学

2026年第二届“玄符杯”线上联合考试参考答案 数学参考答案及评分细准 一、选择题 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D B A C D B 二、填空题 11.(x-3)(x-1) 12. 13.a≤1且a≠0 2 14.83-12 3 三、解答题 16.(本小题满分4分) 1+2-V5 解：原式= (1分) 1+V2+31+V2-V3 =1+2-5 (2分) 1+2)2-5 1+2-V5 (3分) 2W2 2+2-6 (4分) 4 17.(本小题满分6分) 解：(1) 根据条形统计图，可知“正常”、“超重”、“肥胖” 的人数总和为68+16+11=95人： 根据扇形统计图，可知“正常”、“超重”、“肥胖” 的占比总和为100%-5%=95% ∴.总人数=95÷95%=100人 (2分) 注：答案写法，考生作答无需过多的文字描述 补全图如图所示（翻至另一页）： 第1页共9页 人数 0 68 60 过轻：5% 40 正常：68% 肥胖： 30 卫% 16 11 超重： 10 16% 过轻正常超重肥胖等级 (3分) (4分) (2)已知100个学生中，肥胖学生的占比为11% 所以700个人中，肥胖人数约为700×0.11=77人. (6分) 18.(本小题满分9分) 解：（1)根据题设 设“经典原味”x元一份，“芝士咖喱”y元一份 3x+2y=44 则有 (2分) 2x+3y=46 解得 x=8 y=10 故“经典原味”8元一份，“芝士咖喱”10元一份 (4分) (2)已知当定价为20元时，销售量为12份 设在此基础上降价a元 根据题设可知，降价后的利润为20-6-a=14-a元 每日的销售量为12+2a 故日利润w=(14-)12+2) (6分) =-2a2+16a+168 =-2(a-4)2+200≤200 (8分) 当且仅当a=4时取等 .当a=4时，日利润取得最大值为200元，此时售价为20-a=16 故最合适的售价为16元，最大日利润为200元 (9分) 19.(本小题满分9分) 解：(1)如图19-1，过点B作BH LAC与点H .∠BAC=30°，AB=50cm .'BH 25cm,AH=25v3cm (2分) E '.BD=30cm D .'DH =BD2-BH2 =302-252 =5v1cm (3分) ∴.AD=AH-DH=(25V3-5V11)cm≈26.715cm B H 故AD的长为26.7cm (4分) 题19-1 第2页共9页 (2)由题意可知，B点的轨迹是以A点为圆心，AB为半径的圆弧 不难知道，当D在E点时，B与C重合 当点D开始向下运动时，B点开始沿圆弧上升，∠BAD增加 :'sin∠BAD= BH AB 又，BH≤BD,仅当D、H重合时，即BDLAC时，取等 ·当点D运动到BDLACE时，Sin∠BAD有最大值BD AB 此时∠MD最大，而BD=30cm=0.6,所以此时∠BAD=37°(6分) AB 50cm 点D继续往下运动时，∠BAD减小，直到D与C重合 当D与C重合时，有AB=AD=50cm,△ABD为等腰三角形 取BD中点Q,可知AQ⊥BD ·'sin∠DAQ= D2_15cm=0.3 AD 50cm ∴.∠DAQ=17°，∠BAD=34° (8分) DC 题19-2 ∴.D点从E运动到C的过程中， ∠BAD度数的变化过程为0°→37°→34°， ∴.B点的路径为 50cm-(37°+37°-34)π100元 m≈34.9cm 180° 9 故B点的路径总长为34.9cm (9分) 20.(本小题满分9分) 解：(1)FE与⊙A相切，理由如下： (1分) D 如图20-1，连接AD CD为⊙A的切线 A H ∴.∠ADC=90 B 取AC中点H,连接HB、HD E .·∠ABC=90 图20-1 ∴.HA=HC=HB=HD 设∠ACB=,∠ACD=B ∴.∠AHB=2a,∠AHD=2B,∠BHD=2a+2B ·∠HDB=180-2a-2P=90-a-p 2 又∠ADH=90°-∠HDC=90°-∠DCG=90°-B ∴.∠ADB=∠ADH-∠BDH=90°-B-(90°--B)= (3分) 注：上述证明过程也可依据四，点共圆的判定定理完成.考生在采用此方法时，需对其判定依据 作简要说明.若直接引用结论而未加以论证，根据整体得分情况判断是否扣分. 第3页共9页 连接AE、AF, .AE=AD,AF=AC ∠E4D=∠FAC=180-a D ·∠24F=∠DAC-180-&-∠24C 2 M A AE=AD △AFE与△ACD∠EAF=∠DAC AF=AC E ∴.△AFE≌△ACD (5分) 图20-2 ∠AEF=∠ADC=90° ∴.FE与⊙A相切 (6分) (2)如图20-2，取AF中点T :∠AEF=90°，AB=1,BC=2W2 ..TE=AF3 2=2’ (7分) 过E作ER⊥BF于R,过T作TQ⊥ER于Q 可知QR=421 2-2 而QE≤7E-子当仅当Q利T重合时取等 ∴.E到BF的距离即为ER,ER=Q-QR≤TE-QR=1 ∴.当E到BF的距离最小时，Q和T重合，ET⊥BF,设此时E点在E位置 (8分) 过A作AM⊥TE'于点M,可知AM=√2，ME'=2, r=AE'=VAM2+ME2=√6， 故当E到BF的距离最大时，r=√6 (9分)》 注：没有写出ER最大值不扣分 21.(本小题满分10分) 解：(1)如下图所示： 12345 161718196 152425207 (2分) 142322218 131211109 第4页共9页 (2)①表格如下； n 2 3 4 5 6 x 4 6 12 16 20 (3分) ②A (4分) ③设函数关系式：x=m+b(≥2) 「4=2k+b 则有 8=3k+b k=4 解得 b=-4 故x关于n的函数关系式为：x=4n-4（n≥2) (6分) 注：考生可任选两个表格中的数据，进行联立；未写定义域不扣分 (3)存在 在xn螺旋矩阵中，依次填充数字的过程中，经过第3行对应的位置及顺序如下： 第3行第n列→第3行第1列→第3行第n-1列→第3行第2列-→.→第3行第n-2列 ①当2026在第3行第n列： 则有n+2=2026,得n=2024; (7分) ②当2026在第3行第1列： 由(2)知，第2行第1列的数为4n-4,所以第3行第1列的数为4n-5 则有4n-5=2026,可知n无整数解，与题设矛盾，舍去； (8分) ③当2026在第3行第n-1列： 因为第2行第n-1列距离第2行第1列有n-2个数， 所以第2行第n-1列的数为5n-6,第3行第n-1列的数为5n-5 则有5n-5=2026,可知n无整数解，与题设矛盾，舍去； (9分) ④当2026在第3行第2列与第3行第n-2列之间： 由于第2行第1列与第1行第1列差了4n-5个数 第2行第2列的数为4n-3 根据螺旋结构可知，第3行第2列与第2行第2列差了4(n-2)-5=4n-13个数 因此第3行第2列的数为8n-16, 同理第3行第n-2列的数为9n-20, 8n-16≤2026 则有 9n-20≥2026 得227.3≤n≤255.25，即228≤n≤255 综上所述，n的取值范围为228≤n≤255或n=2024,n为整数 (10分) 注：答案写法，考生作答无需过多的文字描述，解释到位即可. 第5页共9页 22.(本小题满分13分) 解：（1).对于任意x,都有2x-6≤x2+bx+c≤2x2-10x+12(*) 令2x-6=2x2-10x+12,化简得x2-6x+9=0,解得唯一解x=3 ∴.当x=3,2x-6=2x2-10x+12=0 ∴.当x=3时，不等式(*)的左右两边均为0，此时x2+bx+c只能为0 即当x=3时，y=ax2+bx+c=0 故抛物线恒过定点(3,0) (2分) (2)①如图22-1 .G经过(1,0) ∴.a+b+c=0(i) 由(*)中的ax2+bx+c≥2x-6 得x2+(b-2)x+c+6≥0 可知该方程的唯一根为，2=3() -2u 又.9a+3b+c=0(iii) 联立(i)、(i)、(iii)解得a=1,b=-4,c=3 .G:y=x2-4x+3 (4分) D 根据题设，设AB:y=k(x-1) 联立G、AB,即y=(x-) y=x2-4x+3 E 得x2-(4+)x+3+k=0 图22-1 由x4x2=3+k,xA=1,得x=3+k ∴.B(3+k,k(k+2) (5分) 联立G:、AB,即y=(x-) y=-x2+4x-3 得x2+(-4)x+3-k=0 由x4x=3-k，x4=1,得x。=3-k ∴.D(3-k,k(2-k),E(3-k,k(k-2) (6分) ：m=太e=业-+2)-2）-2 (7分) xa-xg3+k-(3-) .∴.m的值为2 (8分) ②P点的横坐标为19分)或(11分》或25 2 (13分) 第6页共9页 23.(本小题满分13分) 解：(1)①如图23-1， 在线段DF上取一点2，使得DE=DQ .∠DFC=90 ∴.∠FDC+∠FCD=90° A B 又，∠FDC+∠FDA=90 ∴.∠PFCD=∠FDA .'△DAE≌△CDF ∴.∠FCD=∠EDA E ∴.∠QDH=∠EDH (1分) D DHDH 图23-1 △HDE与△HDQ有 ∠EDH=∠QDH DE=DO ∴.△HDE≌△HDO (2分) .∠HED=∠HQD,EH=HQ .'∠DEF=2∠DFE ∴.∠HQD=2∠QFH=∠QFH+∠QHF ∴.∠QHF=∠QFH ∴.HQ=QF .EH=OF,DF=DO+OF=DE+EH 故DF=DE+EH (3分) B ②法一：如图23-2， 过E作ET⊥AD于T, 过F作FQ⊥DC于Q, 过G作DC的平行线分别交AD、FQ于K、N, 过E作EM⊥KN于M, M-- --G 不难知道ET=FQ,DT=CQ 图23-2 .'GE=GF且∠EGF=90 ∴.∠EGM=90°-∠FGN=∠GFW B ∠EMG=∠GNF=90 △EMG与△GWF有 GE=GF ∠EGM=∠GFN ∴.△EMG≌△GNF ∴.EM=GN,MG=NF KG=MG-MK 第7页共9页 ..MG=NF,MK=ET=FO .∴.KG=NF-FQ=QN=DK ∴.KG=DK,∠CDG=45°，BD⊥DG (5分) 作B关于DG的对称点B 可知BG+CG=B'G+CG≥B'C,仅当B'、G、C共线时，取等 取BD中点O,则有∠COB'=90 .AB=4 ∴.C0=22,B'0=6√2 .B'C=VC02+B02=V22)2+(65)2=45 .GB+GC的最小值为4V5 (7分) 法二：如图23-3 在线段DC上取一点P,使得FP=FC A B 延长CD交EG于T,连接GD、GP 设L为GF与DC的交点 设∠FCD=a,∠FLP=B ∴.∠FPC=o,∠GFP=-B 而∠ETD=∠TGP+∠GPT=90°+B ∠EDC=∠EDA+∠ADC=+90° G 图23-3 .∴.∠GED=(a+90)-(90°+B)=-B ED=FO ,∴.△EDG与△FPG有{∠GFP=∠GED EG=FG ∴.△EDG≌△FPG ∴.DG=PG,∠DGP=∠DGF+∠FGP=∠DGF+∠EGD=∠EGF=90° ∴.△GDP为等腰直角三角形，∠GDP=45 (5分) 接下来的解法同法一 (2)如图23-4 G ①在平面内取一点Q,使得△BMF≌△CQE 设∠EBC=a,∠ECB=B,FM与BC交于点S ∴.∠FBS=60°+B E 由FM⊥BE可得∠FSC=90°+∠EBC=90°+a .∴.∠BFS=∠FS℃-∠FBS=90°+-60°-B=30°+-B 图23-4 0 ∴.∠QEC=30°+a-B .'∠BEC=180°-o-B 第8页共9页 .∠BEQ=∠BEC-∠QEC=180°-a-B-(30°+a-B)=150°-2a ∠QBB=180-050-2@=15+a 2 .∠CBQ=15 若M点固定，则Q点也固定 E在BQ的垂直平分线上，CE最小时，有CE∥BQ 此时∠BCE=15 故tan∠BCE=2-V3; (11分) ②3√2-√6 (13分) 24.（本小题满分6分) B 证明思路：略 25.(本小题满分8分) 解：(1)DH+JH的最小值为2； (1分) AC+AD的最大值为3 2 (2分) 中点 (3分) (2)优弧CDE的时候； (4分) 60°或120°； (5分) AK∥GH且AK=GH (6分) (3)A的轨迹长为5或5网 4 (7分) 2 H=1或V7 (8分) 第9页共9页保密★5月3日14：45前 试卷类型：A 2026年第二届“玄符杯”线上全国邀请赛 数学 本试卷共7页，25小题，满分120分：考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必在微信小程序“班级小管家”中加入群内所发的班级链接，并 在班级内设定自己的姓名与微信昵称一致； 2.答题前的15分钟，群内会发布“试卷”、“答题卡”等重要考试文件，考生根据 自己的需求进行打印或在线上作答；考试结束前的30分钟，群内会发布提交答卷 的链接，考生根据作答情况拍照上传答卷内容，要求：照片清晰、拍摄视角端正 将根据各考生作答情况在考试后的几分钟内关闭提交系统： 3.在提交答卷时，选择题仅需在对应的电子答题卡上，点击所作答的选项即可； 4.在提交答卷时，非选择题请按照上述要求拍照上传，注意每一道题有对应的答题 区域，每一道题可以上传多张照片. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.下列图案中，属于轴对称图形，不属于中心对称图形的是 C. D 2.一个三角形的边长分别为5、6、c,则c的值不可能是 A.3 B.6 c.9 D.11 3.已知x≠0，y≠0，下列运算结果正确的是 A.Vx+V=V B.x+y=x+y c.1+1=x+y D.x2+y2=(x+y)2 x”yy 4.截止2026年4月，音乐作品《ヴミユ)海底譚》在niconico动画网站上的点击量达到 了1166万，数据“1166万”用科学计数法表示为 A.0.1166×108 B.1.166×10 C.1.166×108 D.1.166×10 第1页共7页 5.已知正八边形ABCDEFGH,在C、D、E、F、G、H六个点中，随机取一个点，且 每个点被取到的概率相同，能与A、B构成钝角三角形的概率为 A. B.I 2 c.3 D. 4 8 6.现有8个数，如果去掉一个最大的数，剩余的平均数为14.如果去掉一个最小的数，剩余 的平均数为16，则这组数的极差为 A.13 B.14 C.15 D.16 7.如图1，将两个边长为2的正方形左右拼接，图中的 圆孤经过三个顶点，则圆孤的长度为 A.V1O7 图1 B.V10元 2 C.r D.√2π 2 A 8.如图2，已知菱形ABCD,E是边BC上的一点，若 AE=AC=BE=2,则该菱形的边长为 A.3 B.√5 C.5+1 D.5-1 图2 9.如图3，己知函数y=《(心0，>0)图像上有一 点B,过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 A、C,连接AC,∠BAC的角平分线与函数图像 相切，若A(V3,0),则k= A.√5 83 2 图3 c.35 D.35 4 4 10.如图4，已知矩形ABCD,AB=3,BC=5,将矩 H 形绕点B旋转得到矩形EBGF,点G落在线段AD 上，H为直线AE与直线FD的交点，AH的长为 G A.65 B.6v10 5 5 B C 图4 C.V34 D.4 第2页共7页 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，满分15分. 11.因式分解：x2-4x+3= 12.已知a为锐角，若sima= 3,则tana- 13.若关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有解，则a的取值范围为 14.如图5，已知等腰直角三角形ABC,AB=AC=4,D为线段AB上的点，E为BC延长 线上的点，满足CE=√2AD,连接DE,DE与AC交于点F,连接BF,若∠DFB=45°， 则AD的长为 15.如图6，A(0,4④)，B(2,0),C(2,2),△ABC与△DEF位似，DE_2 B号，位似中心P在y=x-2 第三象限部分上运动，当△DEF在第一象限上的面积最大时，P点的坐标为 图5 图6 三、解答题：本大题共8小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 16.(本小题满分4分) 化简 1+√2+3 17.(本小题满分6分) 为促进学生身心健康发展，某学校对高一年级全体学生进行了一次常规体检，并对身体 质量指数(BMI)进行了统计分析.根据国家学生体质健康标准，将结果划分为“过轻”、 “正常”、“超重”和“肥胖”四个等级，以下是随机抽取部分学生的数据制成的条形 统计图（图7）和扇形统计图（图8）. 人数 70 过轻：5% 60 0 40 正常：% 肥胖： 30 0 16 超重： 10 % 可过轻正常超重肥胖等级 图7 图8 (1)请根据以上信息，求抽取学生的人数，并补全条形统计图和扇形统计图： (2)若高一年级共有700名学生，请根据以上统计图，估计高一年级肥胖学生的数量、 第3页共7页 18.(本小题满分9分) 如图9，某便利店上新两款新品炒面面包：“经典原味炒面面包”和“芝士咖喱炒面面包”， “经典原味”面包体松软，内馅是日式炒面搭配特制酱汁；“芝士咖喱”款则在炒面中 融入浓郁咖喱和拉丝芝士.开业促销期间，小新购买了3个“经典原味”和2个“芝士咖 喱”，共花费44元；小美购买了2个“经典原味”和3个“芝士咖喱”，共花费46元 (1)分别求出“经典原味”款和“芝士咖喱”款的价格； (2)已知“芝士咖喱”的进价成本为6元（忽略热加工的人工费、电费等其余成本）， 促销结束后，该款面包要恢复日常销售价格，当售价为20元时，每天有12份销售量，观 察发现，每降价或涨价1元对应的日销售量增加或降低2份，仅从日利润最大的角度考虑， 售价多少时最为合适？以及最大日利润为多少？请计算说明 图9 19.(本小题满分9分) 图10为某款上悬推窗的展示图，窗户顶部固定，底端与可滑动的支架连接，图11为推窗 的几何简化图，窗框AC=50cm,上窗AB与支架BD在B点处相连，E为窗户关闭时D点 的位置，D点可在CE上滑动，BD=CE=30cm,AB=50cm. (1)当∠BAC=30°时，求AD的长（结果精确至0.1c,下同）： (2)求点D从点E到点C移动的过程中，点B移动的路径总长（π取3.14）· 参考数据：sin37°≈0.6，sin17°≈0.3，√3≈1.732，√11≈3.317. E D B 图10 图11 第4页共7页 20.(本小题满分9分) 如图12，在△ABC中，∠ABC=90°，以A点为圆心，r为半径（AB<<AC)作⊙A, 过C作⊙A的切线，切点为D,A与D位于BC同侧，直线DB与⊙A交于点E,F为BC 延长线上的一点，且BC=BF,连接FE (1)判断直线FE与⊙A的位置关系，并证明： (2)若AB=1,BC=2√2，求当E到BF距离最大时，r的值. y E 图12 21.(本小题满分10分) 列 小玄在计算机课堂上了解到螺旋矩阵，并对其数学性质产生了兴趣 螺旋矩阵是一种从矩阵左上角出发，按照顺时针方向由外向内依次行 1234 填入数字的方阵，对于一个nxn的螺旋矩阵(n为正整数)，填入 213145 规则为：从第1行第1列开始，初始数字为1，依次向右、向下、向 16156. 左、向上…，从最外圈向最内圈螺旋填充，数字逐个增加，直到 10987 填满整个n×n的矩阵，图13为4×4的螺旋矩阵. 图13 (1)根据螺旋矩阵的定义，画出5×5的螺旋矩阵： (2)设在一个nxn的螺旋矩阵中，第2行第1列的数为x,小玄为探究x与n(n≥2)的 关系，列出了如下表格： n 2 5 6 4 ①请帮小玄补全上表（将对应的x值填入表格中）： ②观察x与n的关系，可知它们之间是 A.一次函数关系 B.二次函数关系 C.反比例函数关系 ③根据表格中的数据，求出x关于n的函数关系式： (3)是否存在正整数n,使得在n×n的螺旋矩阵中，第3行存在数字2026？若存在，请 求出所有满足条件的的取值范围：若不存在，请说明理由. 第5页共7页 22.（本小题满分13分) 已知抛物线G:y=ax2+bx+c,对于任意实数x,都有2x-6≤ax2+bx+c≤2x2-10x+12. (1)证明：抛物线G经过定点： (2)若曲线G经过A(1,0),设曲线G,:y=ax2+bx+c,点B为G在第一象限上的点，AB 与G,交于点D,过D作x轴的垂线交G于点E,连接BE,设BE与x轴的所成的夹角的 正切值为m; ①求m的值： ②已知P、Q为G,上的动点，P在Q的左侧，且Q不在抛物线对称轴的右侧，P与Q的 横坐标之差为”，若直线P吧与G,有且仅有3个交点，直接写出所有满足条件P点横坐标. 23.（本小题满分15分) (1)己知正方形ABCD,F为正方形内部的点，满足FD>FC,E为正方形外部的点， 满足△DAE≌△CDF,连接EF,H为EF与AD的交点， ①如图14，若∠DFC=90°，∠DEF=2∠DFE,求DF、DE、EH之间的数量关系： ②如图15，在平面内取一点G,使得GE=GF,∠EGF=90°，且E、F、G顺时针方 向排列，连接GB、GC,若AB=4,求GB+GC的最小值： (2)如图16，已知等边三角形ABC的边长为6，E为△ABC内部一点，F为△ABC外部 一点，满足△BCE≌△ABF,点B绕点E顺时针旋转90°得到点G,平面内取一点M使 得四边形FGEM为平行四边形； ①若将M点固定在某处（即E点运动时，保持M点的位置不变），则当CE取最小时， 求tan∠BCE的值： ②连接AM、BM、CM,当AM平分∠BMC时，BM的长为 B H E E D 图14 G 图15 图16 B C 备用图 第6页共7页 四、附加题：本大题共2小题.请选择其中一道大题作答，如果多做，则按所作的第一题计分 24.(本小题满分6分) 过A作圆的切线，B,C为切点，连接AB,过点 A作一条割线ED,E为AD中点，A点不在格线 上，D点在格线上，请用无刻度直尺作出AB中 点M,不超过三条线，并详细写出证明思路. A D 图17 25.(本小题满分8分) 如图18，D=n=2,Dm,D=5,是-6柜，B为D和G1的中点，C FE 2 为DF的中点，∠BAC=60°，△GAH为等边三角形，J和E关于BF的中点对称，K是 直线HF和直线DA的交点，请直接写出： (1)DH+H的最小值和AC+AD的最大值，并指出DH+JH最小时∠DHJ的平分线与 EF的交点在什么位置； (2)当A在何处时直线GH过E,并指出此时∠EGB的可能大小及AK与GH的关系： (3)若A从乃开始逆时针运动，当SSa时，A轨迹长度和，H长， H E G K D 图18 第7页共7页