2026年2月17日～18日福建省第四届“鸿煦杯”网络数学竞赛初级组决赛试题

2026年第4届“鸿煦杯”网络数学竞赛 初级组决赛参考答案与评分标准 批卷结束前，本参考答案仅供阅卷人员查阅使用，请勿传播。 1.5 -3.5 325 05 225335。 215 0 0 35325215 05 2 2.53 3.5 由我国著名数学家刘微设计的“牟合方盖”立体模型，为彰显我国古代数学的突出成就，我们 以其作为每届竞赛的标志。 HXMC Hong Xu Cup Network Mathematics Competition 特别鸣谢 命题人（排名不分先后)：yfx)、CHESTER ZHANG 竞赛命名：旭 标志设计：锂离子 注意：阅卷时，请严格遵守此评分标准划分的评分方法，如考生做法与本答案不 同，可重新划分类似于此评分标准的评分方式，但每个得分点至少划定为3分。 每份试卷由2人批阅，如同一题不同阅卷人的评卷分差超过6分，则由阅卷组组 织第三名阅卷人员参与复评阅卷，并以复评得分为最终得分。 第一天 2026年2月17日 一、（15分) 设四个正整数a,b,c,d满足abcd=22o26,M是使得2"(a-bb-c(c-d)(d-a)的最大非负整 数。 (1)求M的最小值； （2)若a,b,c,d均为偶数，求M的最小值。 （yf)供题) 【解答】(1)取a=l,b=2o3,c=l,d=2o3,则(a-b)b-c(c-d)(d-a)是奇数，可知M=0,此 即最小值。 ，，。。。，。。，。。。。。。。。。。。。。，。，，。，。，，，，，，。，。，。。0个 (2)因a,b,cd均为正整数，abcd=22026,故a=2,b=2",c=2,d=2"（x,y,z0均为正整 数)，还可不妨设x≠y,y≠z,z≠0,0≠x（否则M=+0)。 ..9分 于是，M=min{x,y}+min{y,z}+min{a,w}+min{w,x}≥4。当a=2,b=4,c=2,d=22o2时， 等号成立。故M的最小值为4.15分 评卷注意：第(1)问以及第（2)问后半部分如果最小值和构造仅给出其一，扣3分。 二、（15分) 已知等边△PQR的三个顶点都在等腰直角三角形ABC的边上，求2的取值范围 （yfx)供题) 【解答】不妨设BC=2为斜边，如下图，有3种可能性。 情况1 情况2 情况3 (1)若为情况1，作PH⊥QR于H,设QH=t,则PH=V3≤1， 于是0<&a=52w=5s5 SAABC 4 30…3分 (2)若为情况2，作RH⊥QP于H,设QH=t,则PH=QH=t,RH=√3，BQ=(5-1L。 所以BP=(W5+1≤2，B0=N5-1e>0,即0<1s6-2】 2 故0<=52=5r625-3。… 6分 4 (3)若为情况3，作RD⊥QP于D,则A,P,D,R四点共圆，所以∠PAD=∠PRD=30°。 设AD交BC于点E,则BE=V3-1,CE=2-V3。 对△ABE和截线ADE,由梅涅劳斯定理知， D.5A-l,故5-E=6-2 OD BE PA PA BA 2 9分 设PA=t,则 初级组决赛试题参考答案一1一（共7页） 08-62.Pe-9745-16:2,8-2r4a6-26+8-46 2 2 因为P靠近B时，R靠近A,故最大时，R与A重合，此时=√6-√2。 所t以P0=2-6,5+4-25≥4-25，P0=2-6,5+4-25≤8-4w5。 2 2 因为=5p02,所以25-3s名4吧52N5-3.12分 2 综上， 的取值范围是0<a≤5 M630……15分 Q C R E 情况1 情况2 情况3 评卷注意：每一个情况按以上评分标准中关于该情况的标准进行给分，例如，考生若仅写出情 况3，则其可得的最高分为12-6=6分。若考生完成三个情况的考虑后，未取并集总结出答案， 而是分情况总结出了三种情况下的答案，可给1分。 三、(15分) 对2026个非负实数，，5m满足觉=1013，i记S=置5+，T= (25x+1), 求ST的最大值和最小值。 (yf供题) 【解答】由S.T的展开式，可知5≥4+4525，T≥1+25觉 ，所以 04 s7≥424+52X1+2W5觉 03 =44+5,+85 1013 2026 ,+10(∑x∑》 1014 e1014 ≥44+v52) = ≥44+5尼) =412(4+√5065)， 当x=V1013,为2=名==x06=0时等号成立. ...... 6分 由均值不等式和柯西不等式， 初级组决赛试题参考答案一2一（共7页) 5065+登6W5+25xo ST≤(E 2026 2026 5065+ l5×1013+2N5rx10132 ≤( k=l ）2026 2026 =52026 12分 当x=名，=…=0=的 5,x014=名1015==x2026 25时，等号成立。 5 综上，ST的最大值为52026，最小值为41012(4+√5065)。15分 评分注意：如果考生作答时未给出最大值或最小值的构造，则这一部分扣3分。例如，考生完 成最小值求解后，未给出取等条件，则最小值部分的解答得3分。 四、（15分) 午马拥有无穷多根完全相同的火柴，火柴的燃烧是不均匀的，但一根火柴可燃烧的时间总 是1秒。除此之外，午马还有一个具有如下功能的计时器： （1)计时器可以在任何时刻被午马启动和关闭以记录一段时间； (2)如果午马明确地知道计时器中记录的某一段时间的具体长短，那么它可以选择打开计 时器，计时器将在经历时间1后自动关闭（例如，计时器记录了2秒时间，如果午马知道这是 2秒，那么它可以使用功能（2)，但如果午马认为这是3秒，那么它就不可以使用功能（2)： （3)功能（1)和（2)可以同时使用。 证明：对任意正实数，午马都可以使用计时器和有限根火柴记录一段秒的时间，满足 k-<109 （yfx)供题) 【解答】使用一次功能(1入（2)统称为一次操作。 先证明·个引理。 引理：对任意正整数，午马有策略使得它可以用有限次操作记录一段长度为2"秒的时 间。 【证明】来对n归纳。 当=1时，将一根火柴从两端点燃，与此同时通过操作以开始计时，火柴燃尽时，计时 结束，由此记录一段长度为2秒的时间。 假设对不大于n-1的正整数，命题成立，来看n的情形。 根据归纳假设，可以记录出长度为2,22，…，2*的-1段时间，利用功能（2)，先启动 一段2秒的时间，与此同时开始计时，第一段时间结束时，启动一段22秒的时间，并以此类 推。 直到最终2”秒的时间结束瞬间，关闭计时器，由此得到一段长为 21+22+…+2-"=1-2"秒的时间。 接下来，启动这段时间的瞬间点燃一根火柴，直到这段时间结束瞬间，点燃火柴另一端。 这一瞬间开始计时，火柴燃尽时结束计时，则最终可以记录到一段二(1-(1-2")》=2"秒的时 间，归纳证毕。引理得证。 ..9分 初级组决赛试题参考答案一3一（共7页) 回到原题。不妨设0<r<1,将实数r写作二进制2，其中4,4，…为互不相同的正整 i-l 数（如果r在二进制下是有限小数，那么认为对充分大的正整数k,a4→+∞）。 于是，存在正整数k,使得∑2"<10”。12分 如果k=1,那么r<10”,于是可以取充分大的正整数，使得2"<r。记录一段长度为 t=2"秒的时间，则-<r<109,结论成立；如果k≥2，那么由引理知，可以记录一段长 为1=号2%秒的时间，于是k-2<10,结论也成立。…15分 评分注意：考生若能给出引理，但未能证明，则引理证明部分的9分可得3分。 初级组决赛试题参考答案一4一（共7页） 第二天 2026年2月18日 一、（15分) 设a,b为实数，满足对任意实数c,均有Lc尸+aLc」+b≥0，求a2-4的最大值。 (这里，Lx」表示不超过实数x的最大整数。) （yfx)供题) 【解答】若a2-4b≤0，则x2+ax+b≥0对任意实数成立，满足要求。.3分 若a2-4b>1,则方程x2+ax+b=0必有两个实根，设为，名2（名<x2), 由韦达定理得，名+为=-0,2=b,6分 则2-x=√(x1+x2)》2-4xx2=√a2-4b>1,故存在整数，使得1<<2,9分 于是取c=0,则Lc+Lc+b=号+ax+b<0,矛盾！所以a2-4b≤1.12分 又当a=-3,b=2时，验证满足要求，且a2-4b=1。 因此a2-4b的最大值为1。… 15分 评分注意：若考生解答时，仅说明最大值为1而不证明，不给答案分。 二、（15分) 如图，在平行四边形ABCD中，E为⊙BCD中BD(不含点C)的中点，点P,Q是线段AE 垂直平分线上的两点，满足∠PBC=∠QDC=90°，证明：PB=QD。 （yx)供题) B D 【解答】先证明一个引理。 引理：在△ABC中，N,H分别是△ABC外接圆中BAC的中，点和△ABC的垂心。设线段NH 的垂直平分线分别交AB,AC于P,Q,则四边形NPHQ是菱形。 N 初级组决赛试题参考答案一5一（共7页）】 【证明】如图，作NX⊥AB,NY⊥AC,垂足分别为X,Y,M为BC中点，HM交△ABC外接圆 于D,K为NH中点。 则AD为直径，且BC,HD相互平分于M,所以AN⊥ND,KM∥ND。因此，KM⊥AN。 因为NX⊥AB,NY⊥AC,NM⊥BC,故由西姆松定理，知XYM共线。 由N的定义，知AN⊥XY,结合KM⊥AN,XYM共线，知MKXY共线。 所以∠NPQ=∠NXY=∠NYX=∠NQP,可知四边形NPHQ是菱形。 引理得证。 .9分 回到原题，设BP∩DQ=R,则A,E分别是△BRD的垂心和外接圆BRC中点。由引理知， 四边形APEQ是菱形，于是EP=EQ。 结合引理的证明，可知∠PQE=90°-∠BRD=∠BRE,于是 ∠BEP-∠DEQ=∠PER+∠BER-∠QER-∠DER=∠BED-∠PEQ=O 又因为EB=ED,所以△BEP兰△DEQ,所以PB=QD。..15分 评卷注意：若考生不给出引理直接证明，可按情况酌情给分。 三、（15分) 求所有正整数n>1,使得存在n-1次整系数多项式f(x),满足下列条件： (1)对任意正整数m,均有(n-1)f(m): （2)f(x)的根恰为n-1个模n同余的不同整数。 （yf)供题) 【解答】若n为合数，取p为n的最小素因子，则p≤√n<n-l,于是pl(n-lf(m)对任意正 整数m成立。 由于f(x)的n-1个根模n同余，而pn,所以这些根模p同余，设余数为r, 则取m=r+1,有0=f(m)=1(modp）,矛盾！.6分 因此，n为素数，下证：对任意素数n=p,多项式f(x)=(x-p(x-2p小…(x-p(p-l1)满足 条件。 由p为素数，知gcd(n,(p-19=1,故对任意正整数a和素数q<p,同余方程 印+m0o1g)有解i,且至少有号 个懈i满足1≤i≤p-1.9分 设M.,N。分别为m-p,m-2p,,m-p(p-l)中g倍数的个数和其中含g幂次为a的数的 个数，则N。=M。-M1,于是 初级组决赛试题参考答案一6一（共7页）】 gUm=%e-pe-2n--p-m-2a-立，≥2月 =,-9 由q的任意性，知(p-1)川f(m)。 综上，所求的正整数n为全体素数。.….....… 15分 评分注意：考生如仅给出最终结论（即所求的正整数为全体素数)而不证明，可给答案分3 分。 四、（15分) 已知2026个正实数4,4,4满足觉 aaisi a,as,+45 ≥2025，求4,42…a2026的最小值。 （这里，a+2026=a40） （yfx)、CHESTER ZHANG供题) 【解答】设a,k=b,则 b-≥2025。 台6.+45 因为2026=2025+1=452+1，所以gcd(2026,45)=gcd(1,45)=1,故45,90,135，…，2026×45构 成模2026的完全剩余系，这表明bb2…b206=(a,a2…a20263.3分 令年=tan2g(0为锐角)人则 45 21 2026 之+451+做D = cos2 因为2026- 觉45≥2025，所以觉45 台6.+45 ≤1 台6+45 故对固定的k,》c0s28,≤sin28。……6 (∑cos0,)2 由柯西不等式和均值不等式，sin20≥∑cos26,≥ ≥2025(202 Icos8)2,故 2025 sin0≥45zascos8 9分 对k=12,…,2026将上式相乘，得tan8tan0,…tan0,o6≥45226 也就是 bb2…b226= 452026 a42…a2262 452026 2452026，解得a,a2…a206≥452026。 0 12分 当4=42==a226=45时，等号成立，故a,4…26的最小值为45206。 15分 评分注意：如若考生未限定换元后各日角的范围而在后文直接使用均值不等式，在应得分数基 础上，扣3分。 初级组决赛试题参考答案一7一（共7页）注意保密★启用前 2026年第4届“鸿煦杯”网络数学竞赛 初级组决赛试题 本试卷共8题，共2页，满分120分。 2 1.5 -3.5 32.5 05 225335 215 0. 0 3532521.5 0.5 2 2.5 3 ● 3.5 由我国著名数学家刘徽设计的“牟合方盖”立体模型，为彰显我国古代数学的突出成就，我们 以其作为每届竞赛的标志。 HXMC Hong Xu Cup Network Mathematics Competition 特别鸣谢 命题人（排名不分先后）：y=fx)、CHESTER ZHANG 竞赛命名：旭 标志设计：锂离子 注意：杜绝舞弊，诚信作答。在考试开始前请停留于本页，待考试开始后，再翻 开下一页作答。在高级组决赛结束前不得对外透漏试卷内容。考试结束，请按对 应规则提交试卷。 第一天 2026年2月17日 一、（15分) 设四个正整数a,b,c,d满足abcd=226,M是使得2(a-bb-c(c-d)(d-a)的最大非负整 数。 (1)求M的最小值； (2)若a,b,c,d均为偶数，求M的最小值。 (y)供题) 二、（15分) 已知等边△PQR的三个顶点都在等腰直角三角形ABC的边上，求的取值范围。 S△ABG (yfx)供题) 三、（15分) 对2026个负实数满足定=1013，记8-5s+4,7-25+, 求ST的最大值和最小值。 (yfx)供题) 四、（15分) 午马拥有无穷多根完全相同的火柴，火柴的燃烧是不均匀的，但一根火柴可燃烧的时间总 是1秒。除此之外，午马还有一个具有如下功能的计时器： （1)计时器可以在任何时刻被午马启动和关闭以记录一段时间； (2)如果午马明确地知道计时器中记录的某一段时间：的具体长短，那么它可以选择打开计 时器，计时器将在经历时间后自动关闭（例如，计时器记录了2秒时间，如果午马知道这是 2秒，那么它可以使用功能(2)，但如果午马认为这是3秒，那么它就不可以使用功能（2)： （3)功能（1)和（2)可以同时使用。 证明：对任意正实数「，午马都可以使用计时器和有限根火柴记录一段，秒的时间，满足 k-<10-9 (yf)供题) 初级组决赛试题一1一（共2页) 第二天 2026年2月18日 一、（15分) 设a,b为实数，满足对任意实数c,均有Lc?+aLc小+b≥0，求a2-4b的最大值。 (这里，Lx」表示不超过实数x的最大整数。) (yfx,供题) 二、（15分) 如图，在平行四边形ABCD中，E为⊙BCD中BD(不含点C)的中点，点P,Q是线段AE 垂直平分线上的两点，满足∠PBC=∠QDC=90°，证明：PB=QD。 (yfx)供题) B 三、（15分) 求所有正整数n>1,使得存在n-1次整系数多项式f(x),满足下列条件： (1)对任意正整数m,均有(n-I)川f(m): （2)f(x)的根恰为n-1个模n同余的不同整数。 （yx供题) 四、（15分) 已知2026个正实数4,4：，4满足觉 日26，+45≥2025，求aa2…a02s的最小值。 （这里，ak+2026=a40） (yx)、CHESTER ZHANG供题) 初级组决赛试题一2一（共2页）