21.3.3 正方形 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3 正方形 数学　八年级下册 正方形的性质 数学　八年级下册 图形 正方形的性质 几何语言   (1)正方形既是矩形又 是菱形, 它具有矩形、 菱形的所有性质； (2)正方形的四条边都 , 四个角都 , 对角线 1 , 且对角线平分每一组 1 ∵四边形ABCD是正方形, ∴(边) , (角) 1 1 , (对角线) 1 1　 相等 是直角 相等 且互相垂直平分 对角 AB＝BC＝CD＝AD BAD＝∠ABC＝∠BCD ＝∠ADC＝90°, ∠BAC＝ ∠DAC AC＝BD且AC与BD 互相垂直平分 数学　八年级下册 1. (新教材P76例5改编)如图, 已知正方形ABCD. (1)若边长为2, 则对角线为 , 周长为 , 面积为 ； (2)图中有 个90°角, 有 个45°角. 8 4 8 8 数学　八年级下册 2.如图, 已知正方形ABCD的对角线相交于点O. (1)若周长为4, 则对角线长为 , 面积为 ； (2)图中共有 个等腰直角三角形, 正方形有 条对称轴. 1 8 4 数学　八年级下册 总结：正方形的边长、对角线长、周长、面积中已知任意 一项, 可求出另外三项. 数学　八年级下册 3. 如图, E是正方形ABCD对角线BD上的一点. 求证：AE ＝CE. 证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴AD＝CD, ∠ADB＝∠CDB. 在△ADE和△CDE中, ∴△ADE≌△CDE(SAS). ∴AE＝CE. 数学　八年级下册 4.如图, E是正方形ABCD的边CD上一点, F是CB的延长线 上一点, 且EA⊥AF. 求证：DE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴AB＝AD, ∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°. ∴∠ABF＝90°, ∠DAE＋∠BAE＝90°. 数学　八年级下册 ∵EA⊥AF, ∴∠BAF＋∠BAE＝90°. ∴∠DAE＝∠BAF. 在△ADE和△ABF中, ∴△ADE≌△ABF(ASA). ∴DE＝BF. 数学　八年级下册 5.(新教材P79 T6改编)如图, E是正方形ABCD的对角线BD 上一点, 且BE＝BC, 过点E且与BD垂直的直线交CD于点F, 连接BF.求证：CF＝EF＝DE. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠C＝∠ADC＝90°, DB平分∠ADC. ∴∠EDF＝ ∠ADC＝45°. 数学　八年级下册 依题意, 得EF⊥BD. ∴∠DEF＝90°. ∴∠DFE＝180°－∠EDF－∠DEF＝45°. ∴∠EDF＝∠DFE.∴EF＝DE. ∵BF＝BF, BC＝BE. ∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL). ∴CF＝EF. ∴CF＝EF＝DE. 数学　八年级下册 6.(新教材P77 T3改编)如图, 在正方形ABCD中, E, F分别是 边BC, CD上的点, BE＝CF, 连接AF, DE交于点G.求证： AF＝DE且AF⊥DE. 证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴BC＝CD＝AD, ∠C＝∠ADF＝90°. ∴∠DAF＋∠AFD＝90°. 数学　八年级下册 ∵BE＝CF, ∴BC－BE＝CD－CF, 即CE＝DF. ∴△CDE≌△DAF(SAS). ∴AF＝DE, ∠CDE＝∠DAF. ∴∠CDE＋∠AFD＝90°. ∴∠DGF＝90°, ∴AF⊥DE. 数学　八年级下册 7.如图, 在正方形ABCD内作等边三角形AED, 连接BE, CE, 则∠EBC的度数为 . 15° 数学　八年级下册 8.(新教材P76 T2改编)如图,一块正方形场地的四个顶点分 别是A, B, C, D.李明和张华在边AB上取了一点E, EC＝ 30 m, EB＝10 m. 这块场地的面积为 , 对角线长为 . 800 m2 40 m 数学　八年级下册 9.(新教材P88 T16改编)如图, 正方形ABCD的对角线相交于 点O, O又是正方形A1B1C1O的一个顶点, 而且这两个正 方形的边长相等, 正方形A1B1C1O绕点O转动. 求证： (1)△AOE≌△BOF； (2)四边形BEOF的面积为 正方形ABCD面积的 . 数学　八年级下册 证明：(1)∵四边形ABCD为正方形, ∴∠OAE＝∠OBF＝45°, OA＝OB, BO⊥AC, 即∠AOE＋∠EOB＝90°. ∵四边形A1B1C1O为正方形, ∴∠A1OC1＝90°, 即∠BOF＋∠EOB＝90°. ∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中, ∴△AOE≌△BOF(ASA). 数学　八年级下册 (2)由(1)得△AOE≌△BOF, ∴S△AOE＝S△BOF. ∴S四边形BEOF＝S△BOF＋S△BOE＝S△AOE＋S△BOE ＝S△AOB＝ S正方形ABCD, 即四边形BEOF的面积为正方形ABCD面积的 . 数学　八年级下册 10.如图, 在正方形ABCD中, 点E, F分别在BC和CD上, 且满 足△AEF是等边三角形, 连接AC交EF于点G. (1)求证：CE＝CF； (2)若等边△AEF的边长为2, 求AC的长. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴AB＝AD, ∠B＝∠D＝90°, BC＝CD. ∵△AEF是等边三角形, ∴AE＝AF. 数学　八年级下册 ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL).∴BE＝DF. ∴BC－BE＝CD－DF, 即CE＝CF. (2)解：∵△AEF是等边三角形, ∴AE＝AF＝EF＝2. 由(1)得CE＝CF,∴AC垂直平分EF.∴EG＝FG＝1. ∴AG＝ ＝ ＝ . ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠BCD＝90°. ∴CG＝ EF＝1.∴AC＝AG＋CG＝ ＋1. 数学　八年级下册 11.如图, 在Rt△ABC中, ∠CAB＝90°, AD是边BC上的中 线, E是AD的中点, 过点A作BC的平行线交BE的延长线 于点F, 连接CF. (1)试判断四边形ADCF的形状, 并说明理由. (2)若四边形ADCF是正方形, BF与AE有什么数量关系？ 请说明理由. 数学　八年级下册 解：(1)四边形ADCF是菱形. 理由如下： ∵AF∥BC, ∴∠FAE＝∠BDE. ∵E是AD的中点, ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEB中, ∴△AEF≌△DEB(ASA).∴AF＝BD. ∵AD为Rt△ABC斜边上的中线, ∴AD＝BD＝CD. ∴AF＝AD＝CD. 又∵AF∥CD, ∴四边形ADCF是菱形. 数学　八年级下册 (2)BF＝2 AE.理由如下： 由(1)得△AEF≌△DEB, ∴FE＝BE, AE＝DE.∴BF＝2EF. ∵四边形ADCF是正方形, ∴AF＝AD, ∠FAD＝90°. 设AE＝DE＝m, 则AF＝AD＝2m. 在Rt△AEF中, EF＝ ＝ m, ∴BF＝2EF＝2 m. ∴BF＝2 AE. 数学　八年级下册 正方形的判定 数学　八年级下册 图形 正方形的判定 几何语言     判定1：有一组邻边 1 的 形是正方形 ∵ 5 , ∴四边形ABCD是正方形 判定2：有一个角是 5的 5形是正方形 ∵ 5 , ∴四边形ABCD是正方形 相等 矩 直角 菱 矩形ABCD, 且AB＝BC 菱形ABCD, 且∠A＝90° 数学　八年级下册 1. 已知在四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝∠C＝90°.如果再 添加一个条件, 即可推出该四边形是正方形, 那么这个条 件可以是 ( ) A. ∠D＝90° B. AB＝CD C. AD＝BC D. BC＝CD D 数学　八年级下册 2.已知在四边形ABCD中, AB＝BC＝CD＝AD.如果再添加 一个条件, 即可推出该四边形是正方形, 那么这个条件可 以是 ( ) A. AB∥CD B. ∠A＝90° C. AD∥BC D. ∠A＝∠C B 数学　八年级下册 3. (判定1)如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD平分 ∠ACB, DE⊥BC, DF⊥AC, 垂足分别为E, F.求证：四边 形CFDE是正方形. 证明：∵DE⊥BC, DF⊥AC, ∴∠CFD＝∠CED＝90°. 又∵∠ACB＝90°, ∴四边形CFDE是矩形. 数学　八年级下册 ∵CD平分∠ACB, DE⊥BC, DF⊥AC, ∴DE＝DF. ∴四边形CFDE是正方形. 数学　八年级下册 4.如图, 在△ABC中, AB＝AC, D为边BC的中点, 过点D作 DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为点E, F.求证： (1)△BED≌△CFD； (2)当∠A＝90°时, 四边 形AEDF是正方形. 数学　八年级下册 证明：(1)∵AB＝AC, ∴∠B＝∠C. ∵D是BC的中点, ∴BD＝CD. ∵DE⊥AB, DF⊥AC, ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∴△BED≌△CFD(AAS). 数学　八年级下册 (2)∵∠DEA＝∠DFA＝∠A＝90°, ∴四边形AEDF是矩形. 由(1)得△BED≌△CFD, ∴DE＝DF. ∴四边形AEDF是正方形. 数学　八年级下册 5. (判定2)(新教材P77例6改编)如图, E, F, P, Q分别是正方 形ABCD的四条边上的点, 且AF＝BP＝CQ＝DE.求证： (1)EF＝FP＝PQ＝QE； (2)四边形EFPQ是正方形. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB＝AD, ∠A＝∠D＝90°. ∵AP＝AB－BP, DF＝AD－AF, BP＝AF, ∴AP＝DF. 数学　八年级下册 在△APF和△DFE中, ∴△APF≌△DFE(SAS). ∴PF＝FE. 同理可证PF＝PQ＝QE, ∴EF＝FP＝PQ＝QE. 数学　八年级下册 (2)∵EF＝FP＝PQ＝QE, ∴四边形EFPQ是菱形. 由(1)得△APF≌△DFE, ∴∠AFP＝∠DEF. ∵∠DEF＋∠DFE＝90°, ∴∠AFP＋∠DFE＝∠90°. ∴∠PFE＝90°. ∴四边形EFPQ是正方形. 数学　八年级下册 6.(新教材P77例6改编)如图, E, F, G, H分别是正方形ABCD 各边的中点. 求证： (1)四边形EFGH是菱形； (2)四边形EFGH是正方形. 证明：(1)如图, 连接AC, BD. ∵E, F, G, H分别是正方形ABCD各边的中点, ∴EF＝HG＝ BD, EH＝FG＝ AC. 数学　八年级下册 ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC＝BD. ∴EF＝HG＝EH＝FG.∴四边形EFGH是菱形. (2)∵四边形ABCD为正方形, E, F, G, H分别是正方形ABCD各边的中点, ∴AE＝AF, BE＝BH, ∠BAD＝∠ABC＝90°. ∴△AEF, △EBH是等腰直角三角形. ∴∠AEF＝∠BEH＝45°. ∴∠FEH＝180°－∠AEF－∠BEH＝90°. 由(1)得四边形EFGH是菱形, ∴四边形EFGH是正方形. 数学　八年级下册 总结:正方形的判定方法:四边形 矩形 一组邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 数学　八年级下册 7.(新教材P78 T2改编)如图, 在Rt△ABC中, AB＝AC, ∠A＝ 90°, D, E, F分别是边BC, AB, AC上的中点, 求证：四边 形AEDF是正方形. 证明：∵D, E, F分别是BC, AB, AC的中点, ∴AE∥DF, DE∥AF, DE＝ AC, DF＝ AB. 数学　八年级下册 又∵∠BAC＝90°, ∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∴四边形AEDF是矩形. ∵AB＝AC, ∴DE＝DF. ∴四边形AEDF是正方形. 数学　八年级下册 8.如图, ▱ABCD的对角线AC, BD交于点O, 分别以点B, C为 圆心, 以 AC, BD长为半径画弧, 两弧交于点P, 连接BP, CP. (1)试判断四边形BPCO的形状, 并说明理由. (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时, 四边形 BPCO是正方形？ 数学　八年级下册 解：(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由如下： ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴OC＝ AC, OB＝ BD. 依题意, 得BP＝ AC, CP＝ BD, ∴OB＝CP, BP＝OC. ∴四边形BPCO为平行四边形. 数学　八年级下册 (2)当AC⊥BD, 且AC＝BD时, 四边形BPCO为正方形. ∵AC⊥BD, ∴∠BOC＝90°. 由(1)得四边形BPCO是平行四边形, ∴四边形BPCO是矩形. ∵AC＝BD, ∴OB＝OC. ∴四边形BPCO是正方形. 数学　八年级下册 9.(2025·珠海期末)如图, 已知菱形ABCD 的对角线交于点O, E, F是对角线BD所在直线上的两点, 且∠AED＝45°, DF＝BE, 连接AE, CE, AF, CF, 得四边形AECF.求证：四 边形AECF是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴BO＝DO, AC⊥BD,AO＝CO. 数学　八年级下册 ∵BE＝DF, ∴BE＋OB＝DF＋DO. ∴FO＝EO. ∴EF与AC互相垂直平分. ∴四边形AECF是菱形. ∴∠AEF＝∠CEF. ∵∠AED＝45°, ∴∠AEC＝90°. ∴四边形AECF是正方形. 数学　八年级下册 10.如图, 四边形ABCD为正方形, E为线段AC上一点, 连接 DE, 过点E作EF⊥DE, 交射线BC于点F, 以DE, EF为邻 边作矩形DEFG, 连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； 数学　八年级下册 (1)证明：如图, 过点E作EP⊥CD于点P, EQ⊥BC于点Q. ∴∠EPD＝∠EPC＝∠EQC＝90°. ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠DCA＝∠BCA＝45°. ∴EQ＝EP, ∠PEC＝∠QEC＝45°. ∠QEF＋∠FEC＝45°. ∵四边形DEFG为矩形, 数学　八年级下册 ∴∠DEF＝90°. ∠PED＋∠FEC＝∠FED－∠PEC＝45°. ∴∠QEF＝∠PED. 在△EQF和△EPD中, ∴△EQF≌△EPD(ASA). ∴EF＝ED, ∴矩形DEFG是正方形. 数学　八年级下册 (2)若AB＝2, CE＝ , 则CG的长度为 . 数学　八年级下册 $