21.3.2 菱形课件 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

　21.3.2 菱形 数学　八年级下册 　菱形的性质 数学　八年级下册 菱形的定义：有一组邻边 的 叫作菱形. 相等 平行四边形 图形 菱形的性质 几何语言 (1)菱形具有平行四边形的 所有性质. (2)菱形不同于一般平行四 边形的性质： ①四条边都 ； ②每一条对角线 一 组对角, 并且两条对 角线 1 ∵四边形ABCD是菱形, ∴(边) , (角) 1 , (对角线) 1 菱形的周长：C＝4a；菱形的面积：S＝ah或S＝ AC·BD 相等 平分 互相垂直 AB＝BC＝CD＝DA ∠BAD＝∠BCD, ∠ABC＝ ∠ADC,∠BAC＝∠DAC AC与BD互相垂直平分 数学　八年级下册 利用菱形的性质计算 1. (新教材P79 T4改编)如图, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O. (1)若AB＝3 cm, 则菱形的周长为 ； (2)若∠BAD＝80°, 则∠BAC＝ °, ∠ABD＝ °. 12 cm 40 50 数学　八年级下册 2.如图, 已知菱形ABCD. (1)若∠ABC＝60°, 则△ABC是 三角形； (2)若AC＝6, BD＝8, 则AB＝ , 菱形的周长为 , 面积为 . 等边 5 20 24 数学　八年级下册 3. (新教材P73例3改编)如图, 四边形ABCD是菱形, 边长为 4 cm, 对角线AC, BD交于点O, ∠BAD＝60°. (1)求对角线AC, BD的长； (2)求菱形的面积. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB＝AD, AC⊥BD, AO＝ AC, DO＝ BD. 数学　八年级下册 ∵∠BAD＝60°, ∴△ABD为等边三角形. ∴BD＝AB＝AD＝4 cm. ∴DO＝ BD＝2 (cm). ∴AO＝ ＝2 (cm). ∴AC＝2AO＝4 (cm). (2)S菱形ABCD＝ BD·AC＝ ×4×4 ＝8 (cm2). 数学　八年级下册 4.(新教材P73 T1改编)如图, 菱形ABCD的周长为20 cm, 对 角线AC, BD相交于点O, AC＝8 cm. (1)求对角线BD的长； (2)求菱形的面积. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, AO＝ AC＝4(cm), 数学　八年级下册 AD＝20÷4＝5(cm). ∴DO＝ ＝3(cm). ∴BD＝2DO＝6(cm). (2)S菱形ABCD＝ AC·BD ＝ ×8×6＝24(cm2). 数学　八年级下册 利用菱形的性质证明 5. 如图, E是菱形ABCD的对角线上一点. 求证：AE＝CE. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AD＝CD, ∠ADE＝∠CDE. 在△ADE和△CDE中, ∴△ADE≌△CDE(SAS). ∴AE＝CE. 数学　八年级下册 6.如图, 在菱形ABCD中, 过点C分别作边AB, AD上的高CE, CF.求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴BC＝DC, ∠B＝∠D. ∵CE, CF分别为AB, AD上的高, ∴∠BEC＝∠DFC＝90°. ∴△BCE≌△DCF(AAS). ∴BE＝DF. 数学　八年级下册 7.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ( ) A. 对角相等 B. 对边相等 C. 邻边相等 D. 对边平行 C 数学　八年级下册 8.如图, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, H为边 AD的中点, 菱形ABCD的周长为24, 则OH的长是 . 3 数学　八年级下册 9.(新教材P73 T2 改编)如图, 在菱形ABCD中, BD＝4, ∠A∶∠ABC＝1∶2, 则△ABD的周长为 . 12 数学　八年级下册 10.(2025·增城区期末)如图, 四边形ABCD是菱形, AC＝8, DB＝6, DH⊥AB于点H, 则DH的长是 ( ) A.　　 B. C. D. 5 B 数学　八年级下册 11.(新教材P74 T3)如图, 在菱形ABCD中, ∠A＝60°, 连接 对角线BD, E, F分别是边AB, BC的中点, 分别连接DE, DF, EF. 求证：△DEF是等边三角形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB＝AD＝CB＝CD, ∠C＝∠A＝60°. 数学　八年级下册 ∴△ABD和△CBD都是等边三角形. ∴∠ADB＝∠CDB＝60°. ∵E, F分别是AB, BC的中点, ∴DE⊥AB, DF⊥BC, ∠BDE＝ ∠ADB＝30°, ∠BDF＝ ∠BDC＝30°. ∴DE＝DF, ∠EDF＝∠BDE＋∠BDF＝60°. ∴△DEF是等边三角形. 数学　八年级下册 12.如图, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, E是 CD的中点, 连接OE, AE, 过点C作CF∥BD交OE的延长 线于点F, 连接DF. (1)求证：四边形OCFD是矩形； (2)若DF＝2, CF＝3, 求AE的长. 数学　八年级下册 (1)证明：∵CF∥BD, ∴∠ODE＝∠FCE. ∵E是CD的中点, ∴DE＝CE. 又∵∠DEO＝∠CEF, ∴△ODE≌△FCE(ASA).∴OE＝FE. ∴四边形OCFD是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD. ∴∠COD＝90°.∴四边形OCFD是矩形. 数学　八年级下册 (2)解：由(1)得四边形OCFD是矩形, ∴OC＝DF, OE＝CE＝EF. 如图, 过点E作EG⊥AC于点G, ∴OG＝CG.∴EG＝ CF＝ ×3＝ . ∵四边形ABCD为菱形, DF＝2, 数学　八年级下册 ∴OA＝OC＝DF＝2.∴OG＝1. ∴AG＝OA＋OG＝3. 在Rt△AEG中, AE＝ ＝ ＝ . ∴AE的长为 . 数学　八年级下册 　菱形的判定 数学　八年级下册 图形 菱形的判定 几何语言 判定1：有一组邻边 的 形是菱形 ∵ 5 , ∴四边形ABCD是菱形 判定2：对角线互相 的 形是菱形 ∵ 5 , ∴四边形ABCD是菱形 判定3：四条边 的 形是菱形 ∵ 5 , ∴四边形ABCD是菱形 相等 平行四边 ▱ABCD, 且AB＝BC　 垂直 平行四边 ▱ABCD, 且AC⊥BD 都相等 四边 AB＝BC＝CD＝AD 数学　八年级下册 1. (判定1)(新教材P87 T6)如图, 矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O, 且DE∥AC, CE∥BD.求证：四边形OCED 是菱形. 证明：∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴OD＝OC. ∴四边形OCED是菱形. 数学　八年级下册 2.如图, 点E, F分别在▱ABCD的边AB, BC上, AE＝CF, 连 接DE, DF.若∠1＝∠2.求证： (1)△DAE≌△DCF； (2)四边形ABCD为菱形. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A＝∠C. 在△DAE和△DCF中, 数学　八年级下册 ∴△DAE≌△DCF(AAS). (2)由(1)得△DAE≌△DCF, ∴AD＝CD. ∴▱ABCD为菱形. 数学　八年级下册 3. (判定2)(新教材P74例4)如图, 在▱ABCD中, 对角线AC 的垂直平分线与边AD, BC分别相交于点E, F.求证：四边 形AFCE是菱形 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AE∥CF. ∴∠1＝∠2. 又∵∠AOE＝∠COF, AO＝CO, 数学　八年级下册 ∴△AOE≌△COF(ASA). ∴EO＝FO. ∴四边形AFCE是平行四边形, 又∵AC⊥EF, ∴四边形AFCE是菱形. 数学　八年级下册 4.(2025·中山期末)如图, ▱ABCD的对角线AC, BD相交于点 O, 且AC＝4, BD＝2, BC＝ .求证：▱ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OC＝ AC＝ ×4＝2,OB＝ BD＝ ×2＝1. ∵OC2＋OB2＝( )2＝BC2, ∴∠BOC＝90°, 即AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形. 数学　八年级下册 5. (判定3)如图, △BCD为等腰三角形, 把它沿底边BD翻 折后, 得到△BAD.请你判断四边形ABCD的形状, 并说出 你的理由. 解：四边形ABCD是菱形. 理由如下： ∵△BCD为等腰三角形,∴BC＝CD. 由翻折得AB＝BC, AD＝DC. ∴AB＝BC＝CD＝AD. ∴四边形ABCD是菱形. 数学　八年级下册 6.如图, 两个等边三角形拼在一起. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵△ABC和△ADC是等边三角形, ∴AB＝AC＝BC, AD＝DC＝AC. ∴AB＝BC＝CD＝AD. ∴四边形ABCD是菱形. 数学　八年级下册 7.如图, 四边形ABCD是平行四边形, 要添加一个条件, 使它 成为一个菱形, 在下列所给的条件中, 不能添加的条件是 ( ) A.AB＝BC B. AC⊥BD C. AC平分∠BAD D. AC＝BD D 数学　八年级下册 8.如图, 在平行四边形ABCD中, AB＝4, BC＝6, 将线段AB 水平向右平移a个单位长度得到线段EF.若四边形ECDF 为菱形, 则a的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 数学　八年级下册 9.(新教材P75 T2)如图, 两张等宽的纸条交叉叠放在一起, 重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解：四边形ABCD是菱形. 理由如下： 如图, 过点A作AF⊥BC于点F, AE⊥CD于点E. ∴∠AFB＝∠AED＝90°. 数学　八年级下册 ∵AB∥CD, AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴∠ABF＝∠ADE. 在△ABF和△ADE中, ∴△ABF≌△ADE(AAS). ∴AB＝AD.∴▱ABCD是菱形. 数学　八年级下册 10.如图, 在四边形ABCD中, AB∥CD, AB＝AD, 对角线AC, BD相交于点O, AC平分∠BAD, 过点C作CE⊥AB交AB 的延长线于点E, 连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝5, BD＝6, 求OE的长. 数学　八年级下册 (1)证明：∵AB∥CD, ∴∠CAB＝∠DCA. ∵AC平分∠BAD, ∴∠CAB＝∠DAC. ∴∠DCA＝∠DAC.∴CD＝AD. ∵AB＝AD, ∴AB＝CD. 又∵AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB＝AD, ∴四边形ABCD是菱形. 数学　八年级下册 (2)解：∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, OA＝ AC, OB＝ BD＝3. 在Rt△AOB中, ∠AOB＝90°, ∴OA＝ ＝ ＝4. ∵CE⊥AB, ∴∠AEC＝90°. ∵O是AC的中点, ∴OE＝ AC＝OA＝4. 数学　八年级下册 $