21.3.1 矩形 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.1 矩形 数学　八年级下册 矩形的性质 数学　八年级下册 矩形的性质 矩形的定义：有一个角是 的 叫作矩形. 直角 平行四边形 图形 矩形的性质 几何语言 (1)矩形具有平行四边形的所有性质. (2)矩形不同于一般平行四边形的 性质： ①矩形的四个角都是 ； ②矩形的对角线 1 ∵四边形ABCD是矩形, ∴(边) , (角) 1 , (对角线) 1 1 直角 相等 ∠DAB＝∠ABC＝∠BCD ＝∠ADC＝90° AC＝BD, OA＝OC, OB＝OD AB CD, AD BC 数学　八年级下册 1. 如图, 矩形ABCD的对角线相交于点O.若AD＝6, BD＝ 10, 则AC＝ , AB＝ , 矩形ABCD的周长为 , 面积为 . 10 8 28 48 数学　八年级下册 2.如图, 在矩形ABCD中, 对角线相交于点O, AC＝8, ∠AOB ＝50°, 则OB＝ , ∠DAC＝ °. 4 25 数学　八年级下册 3. (新教材P69例1改编)如图, 在矩形ABCD中, 两条对角 线AC, BD相交于点O, ∠AOD＝60°, AC＝4.求AD, AB的 长及矩形ABCD的面积. 解：在矩形ABCD中, AC＝BD＝4, OA＝OD＝2. ∵∠AOD＝60°, 数学　八年级下册 ∴△AOD是等边三角形. ∴AD＝OA＝2. ∵∠DAB＝90°, ∴AB＝ ＝2 . ∴S矩形ABCD＝AB·AD＝2 ×2＝4 . 数学　八年级下册 4.(新教材P70 T1改编)如图, 矩形ABCD的一条对角线AC长 8 cm, 两条对角线的一个交角∠BOC＝120°, 求这个矩 形的周长和面积. 解：∵∠BOC＝120°, 四边形ABCD为矩形, ∴∠AOB＝60°且AO＝BO. 数学　八年级下册 ∴△ABO是等边三角形. ∵AC＝8 cm, ∴AB＝ AC＝4(cm), BC＝ ＝4 (cm). ∴C矩形ABCD＝2(AB＋BC)＝(8＋8 )(cm), S矩形ABCD＝AB·BC＝4×4 ＝16 (cm2). 数学　八年级下册 5. 如图, 在矩形ABCD中, AC与BD交于点O, BE⊥AC于点 E, CF⊥BD于点F. 求证：BE＝CF. 证明：∵BE⊥AC, CF⊥BD, ∴∠BEO＝∠CFO＝90°. ∵四边形ABCD是矩形, ∴BO＝OC. 在△BOE和△COF中, ∴△BOE≌△COF(AAS).∴BE＝CF. 数学　八年级下册 6.如图, 在矩形ABCD中, BF＝CE. 求证：AE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AB＝CD, ∠B＝∠C＝90°. ∵BF＝CE,∴BF＋FE＝CE＋FE,即BE＝CF. 在△ABE和△DCF中, ∴△ABE≌△DCF(SAS).∴AE＝DF. 数学　八年级下册 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： 如图, 在Rt△ABC中, ∵ , ∴ . CD为斜边AB上的中线　 CD＝ AB 数学　八年级下册 7.(2025·增城区期末)如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, D为 AB的中点. 若AB＝10, 则CD的长为 ( ) A.5 B. 4.8 C. 2.4 D. 无法确定 A 数学　八年级下册 8.(2025·中山期末)如图, 在Rt△ABC中, ∠ABC＝90°, BD 为斜边AC上的中线. 若∠A＝40°, 则∠DBC＝ . 50° 9.已知直角三角形的两边长分别为6和8, 则斜边上的中线长 是 . 4或5 数学　八年级下册 10.(2025·中山期末)矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是 ( ) A. 对角线相等　　　 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 A 数学　八年级下册 11.如果直角三角形斜边上的中线和高分别是6和5, 那么它 的面积是 ( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 D 数学　八年级下册 12.(新教材P70 T2)如图, 四边形ABCD是矩形, 点E在BC的延 长线上, DE∥AC.△DBE是等腰三角形吗？试说明理由. 解：是. 理由如下： ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC, AC＝BD. 又∵AC∥DE,∴四边形ACED是平行四边形. ∴AC＝DE.∴BD＝DE. ∴△DBE是等腰三角形. 数学　八年级下册 13.(新教材P79 T8改编)如图, 将矩形ABCD沿AC对折, 使 △ABC落在△AEC的位置, 且CE与AD相交于点F. (1)求证：EF＝DF； (2)若AB＝ , BC＝3, 求折叠后的 重叠部分(阴影部分)的面积. 数学　八年级下册 (1)证明：∵四边形ABCD为矩形, ∴AB＝CD, ∠B＝∠D＝90°. 由折叠可知, AE＝AB,∠E＝∠B＝90°, ∴AE＝CD, ∠E＝∠D. 又∵∠AFE＝∠CFD, ∴△AEF≌△CDF(AAS). ∴EF＝DF. 数学　八年级下册 (2)解：∵四边形ABCD为矩形, ∴AD＝BC＝3, CD＝AB＝ . 由(1)得△AEF≌△CDF, ∴FC＝FA. 设FA＝x, 则FC＝x, FD＝3－x. 在Rt△CDF中, CF2＝CD2＋DF2, 即x2＝( )2＋(3－x)2, 解得x＝2. ∴折叠后的重叠部分的面积为 AF·CD＝ ×2× ＝ . 数学　八年级下册 矩形的判定 数学　八年级下册 图形 矩形的判定 几何语言 判定1：有一个角是 的 形是矩形 ∵ 5 , ∴四边形ABCD是矩形 判定2：对角线 的 形是矩形 ∵ 5 , ∴四边形ABCD是矩形 判定3：有 是 1的 形是矩形 ∵ 5 1 , ∴四边形ABCD是矩形 直角 ▱ABCD, 且∠BAD＝90° ▱ABCD, 且AC＝BD 平行四边 相等 平行四边 三个角 直角 四边 ∠BAD＝∠ABC＝∠BCD ＝90° 数学　八年级下册 1. (判定1)如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, EG∥CB, FG∥CA.求证：四边形EGFC是矩形. 证明：∵EG∥CB, FG∥CA, ∴四边形EGFC是平行四边形. 又∵∠C＝90°, ∴四边形EGFC是矩形. 数学　八年级下册 2.如图, 在▱ABCD中, E为CD的中点, AE＝BE.求证：四边 形ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD＝BC, AD∥BC. ∵E为CD的中点, ∴DE＝CE. 在△ADE和△BCE中, 数学　八年级下册 ∴△ADE≌△BCE(SSS). ∴∠D＝∠C. ∵AD∥BC, ∴∠D＋∠C＝180°. ∴∠D＝90°. ∴四边形ABCD是矩形. 数学　八年级下册 3. (判定2)(新教材P78习题T1)如图, 四边形ABCD是平行 四边形, 对角线AC, BD相交于点O, 且∠1＝∠2.四边形 ABCD是矩形吗？为什么？ 解：四边形ABCD是矩形. 理由如下： ∵∠1＝∠2, ∴OB＝OC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB＝ BD, OC＝ AC.∴BD＝AC. ∴四边形ABCD是矩形. 数学　八年级下册 4.(新教材P71 T2改编)如图, 在四边形ABCD中, AC与BD交 于点O, ∠1＝∠2, AD＝BC. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若△OAB是等边三角形, 求证：四边形ABCD是矩形. 数学　八年级下册 证明：(1)∵∠1＝∠2, ∴AD∥BC. 又∵AD＝BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC, OB＝OD. ∵△OAB是等边三角形, ∴OA＝OB. ∴OA＝OC＝OB＝OD.∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形. 数学　八年级下册 5. (判定3)如图, A是直线MN上一点, AP, AQ分别是∠NAC 和∠MAC的平分线, CB⊥AQ于点B, CD⊥AP于点D.求证： 四边形ADCB是矩形. 证明：∵AQ, AP分别平分∠MAC和∠NAC, ∴∠BAC＝ ∠MAC, ∠DAC＝ ∠NAC. 数学　八年级下册 ∵∠MAC＋∠NAC＝180°, ∴∠BAC＋∠DAC＝90°.∴∠BAD＝90°. ∵CB⊥AQ, CD⊥AP, ∴∠CBA＝90°, ∠CDA＝90°. ∴四边形ADCB是矩形. 数学　八年级下册 6.(新教材P71例2)如图, ▱ABCD的四个内角的平分线分别 相交于点E, F, G, H.求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD. ∴∠BAD＋∠ADC＝180°. ∵AF, DF分别平分∠BAD, ∠ADC, 数学　八年级下册 ∴∠DAF＋∠ADF＝ ∠BAD＋ ∠ADC ＝ (∠BAD＋∠ADC)＝90°. ∴∠F＝90°. 同理∠H＝∠AEB＝90°. ∴∠FEH＝∠AEB＝90°. ∴四边形EFGH是矩形. 数学　八年级下册 7.下列说法正确的是 .(填序号) ①有一组对角是直角的四边形一定是矩形； ②有一组邻角是直角的四边形一定是矩形； ③对角线互相平分的四边形是矩形； ④对角互补的平行四边形是矩形； ⑤四个角都相等的四边形是矩形. ④⑤ 数学　八年级下册 8.在四边形ABCD中, AD∥BC, AB＝CD.下列条件能使四边 形ABCD为矩形的是 ( ) A. AB∥CD B. AD＝BC C. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D C 数学　八年级下册 9.(原RJ八下P54例2)如图, 在▱ABCD中, 对角线AC, BD相 交于点O, 且OA＝OD, ∠OAD＝50°, 求∠OAB的度数. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC＝ AC, OB＝OD＝ BD. 数学　八年级下册 ∵OA＝OD, ∴AC＝BD. ∴▱ABCD是矩形. ∴∠DAB＝90°. ∵∠OAD＝50°, ∴∠OAB＝∠DAB－∠OAD＝40°. 数学　八年级下册 10.(新教材P71 T3改编)如图, 在四边形ACBD中, DB∥AC, E是AC的中点, DB＝AE, 连接AB, BE, DE. (1)求证：四边形DBCE是平行四边形. (2)若要使四边形ADBE是矩形, 则 △ABC应满足什么条件？说明你的理由. 数学　八年级下册 (1)证明：∵E是AC的中点, ∴AE＝EC. ∵DB＝AE, ∴EC＝BD. 又∵DB∥AC, ∴四边形DBCE是平行四边形. 数学　八年级下册 (2)解：当△ABC满足AB＝BC时, 四边形ADBE是矩形. 理由如下： ∵DB＝AE, DB∥AC, ∴四边形ADBE是平行四边形. ∵AB＝BC, E为AC中点, ∴∠AEB＝90°. ∴平行四边形ADBE是矩形, 即△ABC满足AB＝BC时, 四边形ADBE是矩形. 数学　八年级下册 $