湖北黄石市实验中学2025-2026学年度下学期期中教学质量检测八年级数学试卷

2025--2026学年度下学期八年级数学期中形成评价 （满分120分 时间120分钟） 命题人：罗小芬 审题人：石一峰 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此判断即可． 【详解】A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，故此选项不合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 2，4，6 B. 1，2， C. 4，5，6 D. 1，1， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，4，6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、∵， ∴1，2，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； C、∵， ∴4，5，6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴1，1，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵平行四边形邻角互补，即． ∴， 故选：B 5. 下列说法错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的判定方法以及菱形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质分别判断得出答案． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意； B、两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故原说法错误，符合题意； C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，不合题意； D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查平行四边形的判定，菱形的判定，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，正确掌握相关判定方法是解题关键． 6. 代数式有意义时，应满足的条件为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式，二次根式有意义的条件，根据分式，二次根式有意义的条件得到，求出结果即可． 【详解】解：代数式有意义， ， ， 故选：D． 7．若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．对角线相等的四边形 D．任意四边形 【答案】D 【详解】解：如图，四边形为，各边中点依次为、、、， ∴是的中位线， 故且； 同理：且； ∴且， ∴四边形为平行四边形， 故选D ． 8. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别为、的中点， 是中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（   ） A． B．25 C． D．13 【答案】D 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，延长至，使，作于，连接交于，    ∴，，， ∵底面周长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴最短距离为． 故选：D． 10. 如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出的一个同类二次根式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解本题的关键．利用同类二次根式定义写出答案即可． 【详解】的同类根式有、…（答案不唯一） 故答案为： ． 12 若，则y=________. 【答案】6. 【解析】∵， ∴且， 解得， ∴； 故答案为：6 13．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接EF，若，则的长为______． 【答案】12 【详解】解：∵点E，F分别是，的中点，若， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：12． 14. 如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】根据题意可得，， ∴四边形是菱形， ∴设和交于点O， ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案：24． 15. 如图，点是的边上的中点，连接，点为中点，若，，，则的度数为___________°，的长是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设为的中点，连接并延长交于点，首先根据三角形的中位线得出的值，进而根据平行四边形的判定和性质求出的值，再证明为直角三角形、和为等腰三角形，进而解得，易得，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：设为的中点，连接并延长交于点， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴，， 即，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、二次根式的性质化简，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线等知识，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识点并灵活运用． 三、解答题（本大题共6小题，共45分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）直接合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ； 17. 已知，，分别求代数式和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式应用，分式的加减．根据题意利用完全平方公式，分式的加减分别计算代数式的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ． 18. 如图，四边形中，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的运算，得到为直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，可得是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，由此即可求解； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 在中，， 根据勾股定理得：， ， ， 为直角三角形，即， 则； 【小问2详解】 解：根据题意得：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，一个表格表示个单位长度 （1）作关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的长度； （3）求点到的距离． 【答案】（1）见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，勾股定理及其逆定理应用； （1）根据“关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变”分别画出点及即可； （2）根据勾股定理，即可求解； （3）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 设到的距离为， ∴． 20. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）他应该往回收线8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理求出的长，即可求解； （2）设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接，根据勾股定理求出长，即可求解． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，米， ∴米； 小问2详解】 解：如图，设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接， 由勾股定理得： 米， ∵米， ∴他应该往回收线8米． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论． 条件①：∠ABD=30°； 条件2：AB=BC． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用AAS即可证明△ABF≌△CDE； （2）若选择条件①：先证明四边形AECF是平行四边形，利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得AE=AF，即可证明平行四边形AECF是菱形． 若选择条件②：先证明四边形AECF是平行四边形，得到AO=CO，再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形AECF是菱形． 【小问1详解】 证明：∵BE=FD， ∴BE+EF=FD+EF， 即BF=DE， ∵AB∥CD， ∴∠ABF=∠CDE， 又∵∠BAF=∠DCE=90°， ∴△ABF≌△CDE(AAS)； 【小问2详解】 解：若选择条件①： 四边形AECF是菱形，　 由（1）得，△ABF≌△CDE， ∴AF=CE，∠AFB=∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAF=90°，BE=EF， ∴AE=BF， ∵∠BAF=90°，∠ABD=30°， ∴AF=BF， ∴AE=AF， ∴平行四边形AECF是菱形． 若选择条件②： 四边形AECF是菱形， 连接AC交BD于点O， 由（1）得，△ABF≌△CDE， ∴AF=CE，∠AFB=∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AO=CO， ∵AB=BC， ∴BO⊥AC， 即EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)求式子的最大值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 23.【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质，如图①，菱形的边长为，，则______，______； 【操作发现】（2）如图②，在图①的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）不变，，理由见解析． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： 菱形的边长为，， ，，，， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：四边形，是菱形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：的大小不变，且，理由如下： 四边形是菱形，， ， ， ， ， ． 故的大小不变，且． 24. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是______； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由题意可求得，的值，再将其代入A，B的坐标即可求得； （2）由折叠的性质可得， ，由三角形外角性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形； （3）分别以，为圆心，长为半径画圆和线段垂直平分线与轴交点得出点的可能性，进而得出点N的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， 解得：， ∴， ∴点， 点， ∴点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：证明： ∵是中点， ∴， 由折叠可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：∵、、、为顶点的四边形是菱形，分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示： ， ， ， 此时 ． 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度下学期期中教学质量检测 八年级数学试卷 出卷人：罗小芬 审卷人：石一峰 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列二次根式中，最简二次根式是() A.√12 B.3 C.√ 22 D. 2.下列计算正确的是（) A.V4=±2 B.√2+√5=V5 c.2W2x35=√6 D.√8÷2=2 3.下列各组数中能作为直角三角形三边长的是() A.2,4,6 B.1,2,√3 C.4,5,6 D.1,1, 4.在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=140°，∠C的度数是（) A.70° B.110° C.40° D.140° 5.下列说法错误的是() A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6.代数式 K+有意义时，x应满足的条件为() A.x≠-1 B.x≠0 C.x2-1 D.x>-1 7.若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是() A.平行四边形 B.矩形 C.对角线相等的四边形 D.任意四边形 B 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC, 交DE于点F,若AC=6,BC=8,则EF的长为() A.2 B.1 C.4 D. 9.如图，例柱形玻璃杯的杯高为13cm,底面周长为10cm,在杯内壁离杯底3cm的点A处有一滴蜂蜜，此时， 一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬 行的最短路程为（杯壁厚度不计)（)cm A.55 B.25 C.102 D.13 10.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,将长方形沿对角线AC折叠，点D落在了Di 位置，AD与BC相交于点E.则BE的长等于() 7 3 5 A. B. cm C. 4 D.-cm 6 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.请写出√5的一个同类二次根式 12若y=√x-3-V6-2x+6,则y一 13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AB,AO的 中点，连接EF,若EF=3,则BD的长为 14.如图，分别以点A、B为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于M、N两点，已知AB=6,则以 A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是 15.如图，点E是口ABCD的AD边上的中点，连接BE,点F为BE中点，若AB=6,AD=4, ∠BAD=120°，则∠DFC的度数为 ,DF的长是 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16.(本题6分)计算： (1)25+32-55-32:(2)(（N6+2)(5-1) 17.(本题6分)已知a=V2+1,b=2-1,分别求代数式a2+2ab+b和2+的值 a b 18.(本题6分)如图，四边形ABCD中，AB=L,BC=1,CD=√7，AD=3,∠B=90°. D (1)求∠BCD的度数： (2)求四边形ABCD的面积， B 19.（本题8分)如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为A(-2,1),B(-4,5),C(-5,2),一 个表格表示1个单位长度 (1)作关于y轴对称的△AB,C,并写出点C的坐标： (2)求AB的长度： (3)求点C到AB的距离. 54+32+1012 20.(本题8分)小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. (1)求风筝的垂直高度CE: (2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ B D E 2L.(本题8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E,F在对角线BD上，BE-EF=FD,∠BAF=∠DCE=90°. （1)求证：△ABF≌△CDE: (2)连接AE,CF,已知 (从以下两个条件中选择一个作为己知，填写序号)，请判断四边形AECF的形状， 并证明你的结论. 条件①：∠ABD=30°： 条件2：AB=BC (注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分) 22.(本题10分)阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分 母和分子都柔以分子的有理化因式，从而浦掉分子中的根式比如：-6.（行-6万+V 。1一，分子有理化 √7+√6 可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：比较√万-√6和√6-√的大小可 以先将它们分子有理化加下：万-6万66-5=65：因为行+6>6+5，所以万-6<6-5.再 例如：求y=√x+2-√x-2的最大值.做法如下： 解：由x+220,x-220可知x22,而y=+2--互=+2-2当x=2时，分母+2+V=有最小值2， 4 所以y的最大值是2. 解决下述问题： 1 (1)由材料可知， 一=5+2 (2)比较3-2和√2-√的大小： (3)求式子y=√x+I-√x-I的最大值. 23.(本题11分)【问题情境】(1)数学探究课上，某兴趣小组探究含60°角的菱形的性质，如图①，菱形ABCD的边长为 10,∠ABC=60°，则∠ABD=,BD=: 【操作发现】(2)如图②，在图①的基础上，小贤在菱形ABCD的对角线BD上任取一点P(点P不与点B重合)，以AP为 边向右侧作菱形APEF,且∠APE=60°，连接DF,求证：△ABP≌△ADF: 【拓展延仲】(3)在(2)中，随着点P位置的改变，∠BDF的度数是否发生变化？若不变，直接写出∠BDF的度数：若变 化，请说明理由， D B B 图1 图2 备用图 24.(本题12分)在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点0、A、C的坐标分别为O(0,0),A(-x,0),C(0,y), 且x、y满足y=√x-4+√4-x+6. (1)矩形的顶点B的坐标是： (2)若D是AB中点，沿DO折叠矩形OABC,使A点落在点E处，折痕为DO,连接BE并延长BE交y轴于Q点.求 证：四边形ODB是平行四边形： (3)若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请 直接写出点N的坐标：若不存在，说明理由. y B E D A X