8.5 乘法公式 课件--2025-2026学年冀教版 数学 七年级下册

8.5 乘法公式 ac+ad+bc+bd 多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积 .即(a+b)(c+d)= . 每一项 相加 思考 由上可知，两个二项式相乘，运算结果一般有四项.如果两个特殊形式的多项式(a+b)与(a-b)相乘，那么运算结果是否也是特殊形式的多项式呢？ 计算： (1) (x+1)(x－1)=_______. (2) (a+2)(a－2)=_______. (3) (2x+1)(2x－1)=________. 问题1 上面四个式子中，两个乘式之间有什么特点？ 问题2 它们的计算结果都是几项式？有什么特点？ x2-1 a2-4 4x2-1 二项式，运算结果都是前一项的平方减去后一项的平方，即两数的平方差. 有一项完全相同，另一项互为相反数. 问题3 用含a，b的式子将你发现的规律表示出来:(a+b)(a－b)=______. a2-b2 活动1 利用代数验证平方差公式 特殊 一般 (a+b)(a－b)= = a2-b2 验证： a2－ab+ab－b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． (a＋b)(a－b)＝a2－b2 用字母表示为 平方差公式 我们是否可以从几何图形的角度验证平方差公式呢？ 合并同类项 问题3 两个图形（着色部分）的面积有什么关系？ 如图1，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分剪拼成一个如图2所示的长方形. a b 图 1 a a-b 图 2 b 问题1 图1中两个着色部分的面积为 . 两个图形的面积相等 问题2 图2中两个着色部分的面积为 . a2-b2 ( a+b )( a-b ) 活动2 利用几何图形验证平方差公式 数形结合 ( a+b )( a-b )=a2-b2 思考：我们如何确定式子中的a和b呢？ 小明说：“在前面的就是a，在后面的就是b.”你认为他的说法正确吗？ 算式 与平方差公式中a对应的项 与平方差公式中b对应的项 写成“a2-b2”的形式 计算结果 (m+2)(m-2) (2m+3)(2m-3) (x+2y)(-x+2y) (1+3y)(1-3y) m 2 m2-22 m2-4 2m 3 (2m)2-32 4m2-9 2y x (2y)2-x2 4y2-x2 1 3y 12-(3y)2 1-9y2 填一填 相同项是a，相反项是b，且a，b的位置可以调换 平方差公式：( a+b )( a-b )=a2-b2 例1 计算： (1) (2x＋y)(2x－y)； (2) (5y + x)(－5y + x)； (3) (－5a＋3b)(－5a－3b). 解：（1）(2x＋y)(2x－y) ＝(2x)²－y² ＝4x²－y². （3）(－5a＋3b)(－5a－3b) ＝(－5a)²－(3b)² ＝25a²－9b². 注意： 1.不要漏括号. 2.确定相同项和相反项. （2）( x + 5y)( x－5y) ＝( x)²－(5y)² ＝ x²－25y². 例2 用平方差公式计算103×97. 解： 103×97 =(100+3)(100-3) =1002-32 =9991 103和97可以分被拆成哪两个数相加、减呢？ ( a+b )( a-b )=a2-b2 1.判断：下列各式能否用平方差公式计算? (1) (-a+b)(a+b) (2)(a-b)(-a-b) (3)(-b+a)(a-b) (4)(-b-a)(b-a) (5)(a+b)(-a-b) 平方差公式特征 1.两个项数相同的多项式相乘. 2.相乘的两个多项式含有相同项和相反项. 2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）(x+2)(x-2)=x2-2. （2）(-a+b)(-a-b)=-a2-b2. 改正： （1）(x+2)(x-2)=x2-4. 改正： （2）(-a+b)(-a-b)=a2-b2. 3.若(x＋3y)(x－3y)＝x²－ky²，则k的值是_____. 9 4.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是_________． 28-1 解析：(2-1)A=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1) A=(22-1)(22+1)(24+1) =(24-1)(24+1) =28-1. 5.用平方差公式计算20152 － 2014×2016. 解：原式= 20152 － (2015－1)(2015+1) = 20152 － (20152－12 ) = 20152 －20152+12 =1. 通过今天的学习，你收获了什么数学知识？学习了哪些思想方法？ 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． (a＋b)(a－b)＝a2－b2 数形结合 特殊 一般 注意事项： 1.不要漏括号. 2.确定相同项和相反项. 由前面所学的知识，我们可以知道多项式乘多项式的法则：(ab)(pq)=apaqbpbq 问题1 利用多项式与多项式相乘，计算(a+b)2. (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+2ab+b2. = a2 + ab + ab + b2 =a(a+b)+b(a+b) (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-2ab+b2. = a2 - ab - ab + b2 =a(a-b)-b(a-b) 问题2 计算 (a-b)2，若用-b代替(a+b)2中的b，你发现了什么？ 活动1 利用多项式乘多项式探究完全平方公式 问题3 比较(a+b)2和 (a-b)2 的计算结果，它们在结构上有什么特点？ 结构上分别是两数的平方和与这两个数的积的2倍的和或差. (a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍. (a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2 用字母表示为 完全平方公式 我们是否可以利用几何图形验证完全平方公式呢？ 注意：两数相加，则加上积的2倍；两数相减，则减去积的2倍. b a a b a2 ab ab b2 如图，这是由边长为a+b的正方形分割成的四部分. 问题1 试用不同的方法分别表示出这个正方形的面积，并化为最简形式. (a＋b)2 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2 活动2 利用几何图形验证完全平方公式 问题2 结合图形，给出完全平方公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2的几何解释. 大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个小长方形的面积 a2＋2ab＋b2 算式 与完全平方公式中a对应的项 与完全平方公式中b对应的项 计算结果 (2x+3)2 (m+2n)2 (2b-c)2 (3m-2)2 2x 3 4x2+12x+9 m 2n m2+4mn+4n2 2b c 4b2-4bc+c2 3m 2 9m2-12m+4 填一填 完全平方公式： (a＋b)2=a2＋2ab＋b2； (a－b)2=a2－2ab＋b2 例1 计算： (1) (x＋3y)2； (2) ( ab－cm)2； (3) (－4a－3b)2. 解：（1）(x＋3y)2 ＝x²＋2·x·3y＋(3y)² ＝x²＋6xy＋9y². （3） (－4a－3b)2 ＝(－4a)²－2·(－4a)·3b＋(3b)² ＝16a²＋24ab＋9b². （2）( ab－cm)2 ＝( ab)²－2· ab·cm＋(cm)² ＝ a²b²－ abcm＋c²m². 还有其他计算方法吗？ (－4a－3b)2 ＝[－(4a＋3b)]² ＝(4a＋3b)² 注意符号！ 完全平方公式常用变形： (ab)2=[(a+b)]2=(a+b)2 (ba)2=[(ab)]2=(ab)2 (1) 1022； 解：(1)1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. （2）992 = (100–1)2 =10000-200+1 =9801. 例2 运用完全平方公式计算： 102和99可以分别看成什么数与什么数相加减呢？ 计算更简便！ 在计算15×15，25×25，…，95 × 95时，小明是这样做的: 15 × 15 = 1 × 2 × 100 + 25 = 225， 25 × 25 = 2 × 3 × 100 + 25 = 625， 35 × 35 = 3 × 4 × 100 + 25 = 1225； …… 你认为小明的做法正确吗？ 正确 验证：记个位数字是5的两位数为 10a+5(其中1 ≤ a＜10，a为整数)， 则(10a+5)2 =100a2 +100a+25=100a(a+1)+25. 如何用完全平方公式来验证呢？ 1.下列式子能用完全平方公式计算的是( ) A. (a＋b)(a－b) B. (a－2b)(2b＋a) C. (a＋2b)² D. (2a－b)(2a＋b－1) C 2.计算(－3m－4n)²的结果是 ( ) A. 9m²－16n² B. 9m²＋24mn＋16n² C. 9m²－24mn＋16n² D. 9m²－24mn－16n² B 3.计算：(a-b)2+2ab-2b2= . a2-b2 4.运用完全平方公式计算:2032. 解：2032 ＝(200＋3)² ＝(200)²＋2×200×3＋32 ＝40000+1200+9 ＝41209. 5.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. a2+b2,a2-ab+b2是否可以由完全平方公式变形得到呢？ 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 计算时要注意符号 (ab)2=(a+b)2 (ba)2=(ab)2 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 4ab=(a+b)2-(a-b)2 通过今天的学习，你收获了什么数学知识？ 拓展 通过本节课的学习，结合图形，你能给出完全平方公式(a－b)2=a2－2ab＋b2的几何解释吗？ a Ⅰ Ⅲ Ⅱ Ⅳ a b b $