8.5 第1课时 平方差公式-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“平方差公式”，通过基础夯实题（如选择题、计算题）导入，衔接整式乘法基础，以具体实例为支架，引导学生从算式和几何图形中抽象公式，构建知识脉络。 其亮点在于分层设计（基础夯实、能力提升、素养提优），结合几何直观（图形面积验证公式）、推理意识（规律探究题）、运算能力（多步骤计算），如第8题用等面积法验证公式，第12题通过幂的规律推导结果。采用易错警示、整体思想等教学方法，帮助学生深化理解，提升应用能力，教师可利用丰富例题实现分层教学，提高效率。

第八章　整式的乘法 第1课时　平方差公式 8.5　乘法公式 初中数学培优课堂  　平方差公式 1.(2025浙江温州期中)若等式(　　    )(3a+5b)=9a2-25b2成立, 则括号内所填的代数式是 ( ) A.3a+5b　　    B.-3a+5b C.3a-5b　　    D.-3a-5b     C     初中数学培优课堂 解析　∵(3a-5b)(3a+5b)=9a2-25b2,∴括号内所填的代数式是 3a-5b.故选C. 初中数学培优课堂 2.【学科特色·易错题】计算(0.1x+0.3y)·(0.1x-0.3y)的结果为 ( ) A.0.01x2-0.09y2　　    B.0.01x2-0.9y2 C.0.1x2-0.9y2　　    D.0.1x2-0.3y2     A     初中数学培优课堂 解析　原式=(0.1x)2-(0.3y)2=0.01x2-0.09y2,故选A. 初中数学培优课堂 易错警示　本题易出现系数不平方而错选D. 初中数学培优课堂 3.(2025河北保定期中)下列算式不能用平方差公式计算的是  ( ) A.(2a+b)(2a-b)　　    B.(x-y)(y+x) C.  　　    D.(-3x+y)(y-3x)     D     初中数学培优课堂 解析    A.(2a+b)(2a-b)能用平方差公式计算,不符合题意;B.(x- y)(y+x)=(x-y)(x+y)能用平方差公式计算,不符合题意;C.   =  能用平方差公式计算,不符 合题意;D.(-3x+y)(y-3x)=(y-3x)(y-3x)不能用平方差公式计算, 符合题意.故选D. 初中数学培优课堂 4.(2025河北保定新秀学校月考)为了美化校园环境,学校将正 方形花坛的一组对边各增加3 m,另一组对边各减少3 m,则所 得长方形花坛的面积与原来相比 ( ) A.减少了9 m2　　    B.增加了9 m2 C.保持不变　　    D.无法确定     A     初中数学培优课堂 解析　设原正方形花坛的边长为a m,则正方形花坛的面积为 a2 m2,长方形花坛的长和宽分别为(a+3)m,(a-3)m,则长方形花 坛的面积为(a+3)(a-3)=(a2-9)m2,a2>a2-9,且a2-(a2-9)=9 m2,则所 得长方形花坛的面积与原来相比减少了9 m2.故选A. 初中数学培优课堂 5.计算:(a+b)(b-a)=_____. b2-a2 初中数学培优课堂 解析    (a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)=b2-a2. 初中数学培优课堂 6.(2025河北石家庄期中)若a=2 025×2 027,b=2 0262,则a___ b.(填 “>”“<”或“=”) < 初中数学培优课堂 解析　∵a=2 025×2 027,∴a=(2 026-1)×(2 026+1)=2 0262-12, ∴b-a=2 0262-(2 0262-1)=1>0,∴a<b. 初中数学培优课堂 7.计算:(1)(-a-3b)(a-3b). (2)(xn+2y)(xn-2y). (3)(xy+1)(x2y2+1)(xy-1). (4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). 初中数学培优课堂 解析    (1)(-a-3b)(a-3b) =-(a+3b)(a-3b) =-a2+(3b)2 =9b2-a2. (2)(xn+2y)(xn-2y) = -(2y)2 =x2n-4y2. 初中数学培优课堂 (3)(xy+1)(x2y2+1)(xy-1) =(xy+1)(xy-1)(x2y2+1) =(x2y2-1)(x2y2+1) =x4y4-1. (4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) =9x2-16-(6x2-4x+9x-6) =9x2-16-6x2+4x-9x+6 =3x2-5x-10. 初中数学培优课堂 8.(2024河北沧州任丘期末)乘法公式的探究及应用: (1)如图1,可以求出阴影部分的面积是________(写成两数 平方差的形式). 如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,其面积 是________(写成多项式乘法的形式). 比较图1和图2的阴影部分的面积,可以得到乘法公式:______ _________(用式子表达). (2)运用你所得到的公式,计算1 003×997的值. 初中数学培优课堂   图1       图2 初中数学培优课堂 解析    (1)a2-b2;(a+b)(a-b);(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)根据题意得1 003×997=(1 000+3)×(1 000-3)=1 0002-32=1 00 0 000-9=999 991. 初中数学培优课堂   初中数学培优课堂 9.(2025江苏扬州期中,★★☆)运用平方差公式计算(x+3y-z)(x -3y+z),下列变形正确的是 ( ) A.[x-(3y+z)]2 B.[(x-3y)+z][(x-3y)-z] C.[x+(3y-z)][x-(3y-z)] D.[(x+3y)-z][(x+3y)+z]     C     初中数学培优课堂 解析　运用平方差公式计算(x+3y-z)(x-3y+z),应变形为[x+(3y- z)][x-(3y-z)]. 初中数学培优课堂 10.【学科特色·整体思想】(2025陕西咸阳期中,★★☆)若(3m +n)·(3m-n)=18,则18m2-2n2的值为 ( ) A.36　　    B.24　　    C.18　　    D.9     A     初中数学培优课堂 解析　∵(3m+n)(3m-n)=18,∴9m2-n2=18, ∴18m2-2n2=2(9m2-n2)=36.故选A. 初中数学培优课堂 11.(2025贵州黔东南州期中,★★☆)已知(x-a) 的结果中 不含字母x的一次项,则(1-a)(-a-1)的值为( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      B     初中数学培优课堂 解析    (x-a) =x2+ x- , ∵结果中不含字母x的一次项, ∴ -a=0,∴a= , ∴(1-a)(-a-1)=a2-1= -1=- .故选B. 初中数学培优课堂 12.【新考向·规律探究题】(2025山东菏泽期末,★★☆)计算 (2+1)·(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)的结果的个位数字是 ( ) A.1　　    B.3　　    C.5　　    D.7     C     初中数学培优课堂 解析    (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2-1)·(2+1)(22+1)(24+1) (28+1)(216+1)=232-1.∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,……, ∴2的整数次幂个位上的数的循环规律为2,4,8,6,周期为4.32÷4= 8,故232的个位数字为6,即232-1的个位数字为6-1=5.故选C. 初中数学培优课堂 13.【学科特色·教材变式P96T4(2)】(2024四川凉山州中考,★ ★☆)已知a2-b2=12,且a-b=-2,则a+b=____. -6 初中数学培优课堂 解析　∵a2-b2=12,∴(a+b)(a-b)=12, ∵a-b=-2,∴a+b=-6. 初中数学培优课堂 14.(★★☆)求证:当n为不等于3的自然数时,(n-1)·(n+1)-(n-5) (n-7)能被12整除. 证明    (n-1)(n+1)-(n-5)(n-7) =(n2-1)-(n2-12n+35) =n2-1-n2+12n-35 =12n-36 =12(n-3), ∵n为不等于3的自然数,∴12(n-3)能被12整除. 初中数学培优课堂   15.【新课标·几何直观】(2025河北保定期中)某数学兴趣小 组在学习了“平方差公式”后,构造了如下的四种图形,想用 “等面积法”来验证“平方差公式”. 图1 初中数学培优课堂   图2 初中数学培优课堂 图3   图4 初中数学培优课堂 (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 _________.(填序号,图1,图2,图3,图4分别对应方法①②③ ④) (2)【应用】利用“平方差公式”计算:2 0262-2 022×2 030. (3)【拓展】计算: × × × × ×  . 初中数学培优课堂 解析    (1)①③.详解:题图1中,左图阴影部分可以看成两个正 方形的面积差,即(a2-b2),拼成的右图是底为(a+b),高为(a-b)的 平行四边形,面积为(a+b)(a-b),∴(a+b)(a-b)=a2-b2,故题图1可 以验证平方差公式;题图2中,左图阴影部分的面积为4·  =(a-b)2,右图阴影部分的面积可以表示为(a-b)2,故题图2不能验 证平方差公式;题图3中,左图阴影部分可以看作两个正方形的 面积差,即(a2-b2),拼成的右图是底为(a+b),高为(a-b)的平行四 边形,面积为(a+b)(a-b),∴(a+b)(a-b)=a2-b2,故题图3可以验证 初中数学培优课堂 平方差公式;题图4中,左图阴影部分可以看作两个正方形的面 积差,即(a+b)2-(a-b)2,拼成的右图是长为2a,宽为2b的长方形,面 积为4ab,∴(a+b)2-(a-b)2=4ab,故题图4不能验证平方差公式. (2)原式=2 0262-(2 026-4)(2 026+4)=2 0262-(2 0262-42)=2 0262- 20262+42=16. (3)∵ × × × × × ×  = × × × × ×  = × × × × = ×  初中数学培优课堂 × × = × × = ×  =1- , ∴原式= ÷ = ×2=2- . 初中数学培优课堂 $