9.3 公式法 课件--2025-2026学年冀教版 数学 七年级下册

9.3 课时1 平方差公式法 1.平方差公式：(a + b)(a - b) = _______. a2 - b2 2.由平方差公式可知： ①(x＋5)(x－5)=x2－25;  ②(3x＋y)(3x－y)=9x2－y2;  ③(3m＋2n)(3m－2n)=9m2－4n2. 尝试完成下列填空: ①x2－25=　　 　　;  ②9x2－y2=　 　 ;  ③9m2－4n2=　　 　　.  (x＋5)(x－5) (3x＋y)(3x－y) (3m＋2n)(3m－2n) 显然，平方差公式将上面的式子因式分解了. 平方差公式： (a + b)(a - b) = a2 - b2 整式的乘法 因式分解 思考 多项式a2-b2有什么特点？ 是a，b两数的平方差的形式. a2 - b2 = (a + b)(a - b) 共有两项； 两项符号相反； 且都是平方形式. 两数的和与差的积. 公式的左边： 公式的右边： 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 3 利用公式，如何将 4x2 - y2 分解因式呢?  2x2 - y2  2x+y2x-y a2 - b2 = (a + b)(a - b) a2 = (a+b) (a-b) 试试将题目中的数替换公式中的a，b. 4x2 - y2 解： - b2 （1）x2+y2； 下列多项式能否用平方差公式因式分解？请说明理由. （2）x2-y2； （3）-x2+y2； （4）-x2-y2； 这是两数平方和； x2-y2 = (x+y)(xy)； -x2+y2 = (y+x)(yx)； 这是两数平方和的相反数. 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2  ( )2的形式. 例1 把下列各式分解因式： (1)4x2-9y2； (2)9-(3m-1)2. 解：(1)4x2-9y2 =(2x)2-(3y)2 =(2x+3y)(2x-3y). (2)9-(3m-1)2=32-(3m-1)2 =[3+(3m-1)][3-(3m-1)] =(2+3m)(4-3m). 注意 1.平方数也可以写成( )2的形式. 2.(3m-1)要当作一个整体，带入公式要加括号. 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 6 解：x4-y4 = (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y). 例2 分解因式：x4-y4. 还可以进一步分解 能否写成两项平方差的形式？ 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 7 例3 把下列各式分解因式： (1) a3-16a； (2) 2ab3-2ab. 解：(1) a3-16a =a(a2-16) =a(a+4)(a-4). (2) 2ab3-2ab =2ab(b2-1) =2ab(b+1)(b-1). 如何将式子转化成符合平方差公式的形式呢？ 说一说 结合例题，用平方差公式分解因式时要注意什么. 提公因式 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 8 （1）公式中的a，b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. （2）分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式． （3）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 平方差公式：a2 - b2 = (a + b)(a - b) 9 1. 课堂上老师在黑板上布置了以下的题目： 用平方差公式分解因式： （1）-a2+b2；（2）-a2-b2； （3）36a2-b2；（4）16m2-25. 涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( ) B A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 返回 2.下面分解因式的结果是否正确？如果不正确，指出错在哪里，并改正过来. (1)4x 2－y 2＝(4x＋y )(4x－y )； (2)ab 2－9a 3 ＝(b＋3a)(b－3a). (1)4x 2＝(2x )2. 正确结果应为4x 2－y 2＝(2x )2－y 2＝(2x＋y )(2x－y )． (2)应先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解. 正确的应为ab 2－9a 3＝a (b 2－9a 2)＝a (b＋3a)(b－3a)． 解： 3.把下列各式分解因式： (1)4x 2－100； (2)12y 4－3y 2； (3)x 3－64x； (4) (a-b)2-(c-b)2. (1)4x 2－100＝4(x 2－25)＝4(x 2－52)＝4(x＋5)(x－5). (2)12y 4－3y 2＝3y 2(4y 2－1)＝3y 2[(2y )2－12]＝3y 2(2y＋1)(2y－1)． (3)x 3－64x＝x (x 2－64)＝x (x 2－82)＝x (x＋8)(x－8). 解： (4) (a-b)2-(c-b)2=[(a-b)+(c-b)][(a-b)-(c-b)]=(a-c)(a+c-2b). 平方差公式分解多项式 平方差公式：a2-b2=( )( ) 多项式 的特征 每一项都是整式的______. 注意事项 有公因式时，应先提出_______. 进行到每一个多项式都不能再分解为止. 公因式 a+b a-b 可化为____个整式. 两项符号_______. 两 相反 平方 拓展：如图，某公园准备在一块边长为a m的正方形草地的四周修建一条宽为1 m的人行路，求人行路的面积(用含a的代数式表示)，并将你的解法与同桌交流讨论. a 1 1 (a+2)2 - a2 = (a+2+a)(a+2-a) =2(2a+2) =(4a+4) m2 人行路的面积： (a+2)2 - a2 (a+2)2 - a2 = a2+4a+4-a2 =(4a+4) m2 整式乘法 因式分解 像平方差公式一样，若把完全平方公式反过来，就可以因式分解： 完全平方公式： 整式的乘法 因式分解 (a ± b)2=a2±2ab+ b2 是二次三项式； 有两个同号的数或式的平方； 中间有两底数之积的±2倍. 公式的左边： 两数的和或差的平方. 公式的右边： 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. a2 ±2ab＋ b2=(a ±b)2 问题1 利用公式，如何将 4m2 +12mn+ 9n2 分解因式呢?试完成下列填空. a2 +2ab+ b2 = (a + b)2 a2 -2ab+ b2 =(a - b)2 a2 = (a+b)2 + 2ab + b2 4m2 +12mn+ 9n2  2 +2·  ·  +  2   2 2m 2m 3n 3n 2m+n 方法：将题目中的数或式替换公式中的a，b. 问题2 仿照上面的思路，将下列式子因式分解. ③ a²+4ab+4b²=___________________________. ② m²-6m+9= _____________________________. ① x²+4x+4= _____________________________. x2 +2· x· 2 + 22  x+22 m2 -2· m· 3 + 32  m-32 a2 +2· a· 2b + (2b)2  a+2b2 注意符号 a2 (a±b)2 2ab b2 (2) 例1 把下列各式分解因式： (1)t2＋22t＋121； (2)m2＋ n2－mn. 解：(1)t2＋22t＋121 =t2＋2×11t＋112 =(t＋11)2. 注意顺序 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 17 例2 把下列各式分解因式： (1)； (2)－(x＋y)2＋4(x＋y)－4； (3). 解：(1) (2)－(x＋y)2＋4(x＋y)－4 =－[(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22] =－(x＋y－2)2 注意 1.有公因式时，应先提取公因式. 如何将式子转化成符合完全平方公式的形式呢？ 2.平方项为负的先提出负号. (3) (3). 注意 底数可以是多项式，3m-1当作一个整体. 例3 把下列各式分解因式：a4－2a2+1. 解：原式=(a2)2－2·a2·1+12 =(a2 -1)2 =[(a +1)(a -1) ]2 =(a +1) 2(a -1) 2 提示：符合平方差公式特征，还可以进一步分解. 四次方能否写成平方的形式呢？ 说一说 结合例题，用完全平方公式分解因式时要注意什么. (1)完全平方公式中的a，b既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. (3)当多项式有公因式时，应先提取公因式，再看能否利用完全平方公式进行因式分解. 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法. 完全平方式：a2 +2ab+ b2= (a + b)2 a2 -2ab+ b2=(a - b)2 21 2.若将多项式 加上一个单项式后，就能够在我们所学范围内因式分解，则单项式 不可能是( ) 1.下列各式：①x2-6x+9；②25a2+10a+1；③x2-4x-4；④4x2-x+ .其中不能用完全平方公式因式分解的个数为( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D A. B. C. D. （1）a2－4a+4； 3.下列多项式能否用完全平方公式因式分解？请说明理由. （2）1+4a²； （3）4b2+4b-1； （4）a2+ab+b2； a2 - 4a + 4  (a-2)2 只有两项 4b²与-1的符号不统一 ab不是a与b的积的2倍. （5）x2+x+0.25. x2 + x + 0.25  (x+0.5)2 3. 把下列各式因式分解. (1)16x ²－(x ²＋4) ²； (2)(a－b) ²＋4ab； (3)－2a ³b ²＋8a ²b ²－8ab ²； 解：（1）原式＝(4x＋x ²＋4)(4x－x ²－4)＝－(x＋2) ² (x－2) ². （2）原式＝(x－y) ²－2(x－y)＋1＝(x－y－1) ². （3）原式＝－2ab ² (a ²－4a＋4) ＝－ 2ab ² (a－2) ². 完全平方公式分解因式 完全平方公式：a2±2ab＋ b2 = (a ± b)2 多项式 的特征 中间有两底数之积的______倍 注意事项 有公因式时，应先提出_______. 进行到每一个多项式都不能再分解为止. 公因式 是____次____项式 有两个_____的数或式的平方. 二 同号 ±2 三 $