9.3 第1课时 利用平方差公式因式分解-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“利用平方差公式因式分解”，从基础判断多项式是否符合平方差形式导入，通过分解\(a^3 - 9a\)等例题过渡到综合应用，构建从公式直接应用到结合提公因式法的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合分类讨论、方程思想与实际应用（如圆环面积计算、密码编译），通过连续奇数平方差证明等培养推理能力，分层设计（基础、能力、素养）助力学生发展运算能力与应用意识，教师可直接用于分层教学，提升教学效率。

第1课时　利用平方差公式因式分解 第九章　因式分解 9.3　公式法 初中数学培优课堂  　利用平方差公式因式分解 1.(2025河北廊坊霸州期末)下列多项式中,不能用平方差公式 分解因式的是 ( ) A.x2-y2　　　B.y2-x2　　　C.-x2-y2　　　D.x4-y4 　C     初中数学培优课堂 解析　A.x2-y2=(x+y)(x-y),可以用平方差公式分解因式,故不 符合题意;B.y2-x2=(y+x)(y-x),可以用平方差公式分解因式,故 不符合题意;C.-x2-y2,不是两数(或式)的平方差,故不能用平方 差公式分解因式,符合题意;D.x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)· (x-y),可以用平方差公式分解因式,故不符合题意.故选C. 初中数学培优课堂 2.(2024河北石家庄裕华月考)若a+b=3,a-b= ,则a2-b2的值为  ( ) A.1　　　B. 　　　C. 　　　D.9 　A     初中数学培优课堂 解析　∵a+b=3,a-b= ,∴a2-b2=(a+b)(a-b)=3× =1.故选A. 初中数学培优课堂 3.如果多项式 +a能用平方差公式分解因式,那么a不可 能是 ( ) A.-25　　　B.-1　　　C.-9y2　　　D.-3y 　D     初中数学培优课堂 解析　∵ +a= x2+a能用平方差公式分解因式,∴a的符 号为负号,且绝对值一定能写成平方的形式,-25=-52,-1=-12,-9y2 =-(3y)2,而-3y不能写成平方的形式.故选D. 初中数学培优课堂 4.(2024云南中考)分解因式:a3-9a= ( ) A.a(a-3)(a+3)　　　B.a(a2+9) C.(a-3)(a+3)　　　D.a2(a-9) 　A     初中数学培优课堂 解析　a3-9a=a(a2-9)=a(a-3)(a+3).故选A. 初中数学培优课堂 5.(2025河南平顶山鲁山期末)分解因式9a2- =_ _.    初中数学培优课堂 解析    9a2- =(3a)2- =  . 初中数学培优课堂 6.把下列各式分解因式: (1)0.09a2-0.16.　　    (2) a2-81b2. (3)9(x+y)2-y2.　　    (4)16a4-1. (5)(a-b)x2+(b-a)y2. (6)4(x+2y)2-25(x-y)2. 初中数学培优课堂 解析    (1)0.09a2-0.16=(0.3a)2-(0.4)2 =(0.3a+0.4)(0.3a-0.4). (2) a2-81b2=  . (3)9(x+y)2-y2=[3(x+y)]2-y2 =[3(x+y)+y][3(x+y)-y] =(3x+4y)(3x+2y). (4)16a4-1=(4a2+1)(4a2-1) =(4a2+1)(2a+1)(2a-1). 初中数学培优课堂 (5)(a-b)x2+(b-a)y2=(a-b)x2-(a-b)y2 =(a-b)(x2-y2)=(a-b)(x+y)(x-y). (6)4(x+2y)2-25(x-y)2=[2(x+2y)]2-[5(x-y)]2 =[2(x+2y)+5(x-y)][2(x+2y)-5(x-y)] =(2x+4y+5x-5y)(2x+4y-5x+5y) =(7x-y)(9y-3x)=3(7x-y)(3y-x). 初中数学培优课堂 7.请用简便方法计算: (1)3.14×5.52-3.14×4.52. (2)6212-1482-769×373. 初中数学培优课堂 解析    (1)3.14×5.52-3.14×4.52=3.14×(5.52-4.52) =3.14×(5.5+4.5)×(5.5-4.5)=3.14×10×1=31.4. (2)6212-1482-769×373 =(621+148)×(621-148)-769×373 =769×473-769×373=769×(473-373) =769×100=76 900. 初中数学培优课堂 8.【学科特色·教材变式P119T5】如图,一个圆环的外圆半径 为R,内圆半径为r,面积为S. (1)写出圆环面积的计算公式. (2)当R=15.25 cm,r=5.25 cm时,请你利用因式分解的方法求圆 环的面积.(结果保留π)   初中数学培优课堂 解析    (1)S=S大圆-S小圆=πR2-πr2=π(R2-r2). (2)S=π(R2-r2)=π(R+r)(R-r)=π×(15.25+5.25)×(15.25-5.25)=205π (cm2). 初中数学培优课堂   9.(2025河北唐山三十九中月考,★★☆)下面是课堂投影屏上 显示的抢答题,需要回答横线上序号处缺少的内容.下列回答 错误的是 ( ) 　B     初中数学培优课堂 分解因式:2a(x2-1)-2b(x2-1). 解:原式=2(x2-1)　　①　     =　　②　    . 初中数学培优课堂 A.①填(a-b) B.②填(x+1)(x-1) C.该过程用到了提公因式法 D.该过程用到了公式法 初中数学培优课堂 解析    2a(x2-1)-2b(x2-1)=2(x2-1)(a-b) =2(x+1)(x-1)(a-b), 故①填(a-b),故A正确,不符合题意; ②填2(x+1)(x-1)(a-b),故B错误,符合题意; 同时用到了提公因式法和公式法,故C,D正确,不符合题意.故 选B. 初中数学培优课堂 10.(2025河北保定期中,★★☆)一位密码编译爱好者在他的 密码手册中有这样一条信息:a-b,x-1,3,x2-1,a,x+1分别对应下 列六个字:我,数,爱,国,祖,学.现将代数式3a(x2-1)-3b(x2-1)因式 分解,结果呈现的密码信息可能是 ( ) A.我爱数学　　　B.我爱祖国 C.爱数学　　　D.爱祖国 　A     初中数学培优课堂 解析　∵3a(x2-1)-3b(x2-1) =(3a-3b)(x2-1) =3(a-b)(x-1)(x+1),分别对应4个汉字:爱,我,数,学,所以呈现的 密码信息可能是“我爱数学”.故选A. 初中数学培优课堂 11.(2025河北张家口桥东期末,★★☆)若 的结 果为整数,则整数n的值不可能是 ( ) A.44　　　B.55　　　C.66　　　D.77 　D     初中数学培优课堂 解析    652×11-352×11=11×(652-352)=11×(65+35)×(65-35)=11× 100×30,44=22×11,所有因数均在分子中存在,符合条件,故A不 符合题意;55=5×11,所有因数均在分子中存在,符合条件,故B 不符合题意;66=2×3×11,所有因数均在分子中存在,符合条件, 故C不符合题意;77=7×11,分子中无因数7,因此无法整除,故D 符合题意.故选D. 初中数学培优课堂 12.(2025四川内江中考,★★☆)已知a,b满足a+b=2,则a2-b2+4b =___. 4 初中数学培优课堂 解析　∵a+b=2,∴a2-b2+4b=(a+b)(a-b)+4b =2(a-b)+4b=2(a+b)=4. 初中数学培优课堂 13.【学科特色·分类讨论思想】(★★☆)若多项式xa-y2(其中1 ≤a≤6,且a为整数)能够利用平方差公式进行因式分解,则a的 可能取值有___个. 3 初中数学培优课堂 解析　当a=2时,x2-y2=(x+y)(x-y); 当a=4时,x4-y2=(x2+y)(x2-y); 当a=6时,x6-y2=(x3+y)(x3-y). 综上,a的可能取值有3个. 初中数学培优课堂 14.【学科特色·方程思想】(★★☆)已知两个正方形的边长 的和是10 cm,若它们面积的差是40 cm2,则它们面积的和是___ ___. cm2 58 初中数学培优课堂 解析　设这两个正方形的边长分别为x cm,y cm, 则 由②得(x+y)(x-y)=40, ∴x-y=4③,联立①③,得 解得  ∴x2=49,y2=9, 所以这两个正方形的面积和为49+9=58( cm2).故答案为58 cm 2. 初中数学培优课堂 15.(2024河北张家口期中,★★☆)如图,卡片A,B,C各代表一个 代数式,从三张卡片中取两张求和,并进行因式分解. (k+3)2A    -k2B    +4C (1)若选择B,C卡片,请按要求进行因式分解. (2)嘉嘉发现:若选择A,B卡片,不论k为何整数,其结果都可以 被m(m≠1)整除.请确定满足条件的最小正整数m的值. 初中数学培优课堂 解析    (1)-k2+4=4-k2=(2+k)(2-k). (2)(k+3)2-k2=(k+3+k)(k+3-k)=3(2k+3), ∵(k+3)2-k2的值总可以被m(m≠1)整除, 所以3(2k+3)是m的整数倍, ∴满足条件的最小正整数m的值是3. 初中数学培优课堂   16.【新课标·推理能力】(2025河北保定十七中期中)【发 现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍. 【验证】(1)172-152的结果是8的多少倍? 【证明】(2)试说明两个连续奇数2n+1与2n-1(n为整数)的平 方差是8的整数倍. 初中数学培优课堂 【延伸】(3)两个连续偶数2m+2与2m(m为整数)的平方差还 是8的整数倍吗?如果是,请说明理由;如果不是,将上述平方差 的结果加上正整数k,使得最后的结果是8的整数倍,并直接写 出k的最小值. 初中数学培优课堂 解析    (1)∵172-152=(17+15)×(17-15)=32×2=64=8×8, ∴172-152是8的8倍. (2)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n, ∴两个连续奇数2n+1,2n-1的平方差是8的倍数. (3)两个连续偶数2m+2与2m(m为整数)的平方差不是8的整倍 数.k的最小值为4. 详解:∵(2m+2)2-(2m)2=(2m+2+2m)(2m+2-2m) =4(2m+1), 初中数学培优课堂 ∴两个连续偶数的平方差是4的整数倍,不是8的整数倍, ∵4(2m+1)+4=8m+4+4=8(m+1),∴若使得最后的结果是8的整 数倍,加上的正整数k的最小值为4. 初中数学培优课堂 $