专题18：探索规律（专项训练）-2026年小升初数学复习讲练测（江苏专用）

**基本信息** 以“观察-归纳-验证-应用”为主线，系统覆盖算式、数字、图形、数表四大规律类型，通过问题链引导抽象思维与模型构建，培养数学眼光与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算式的规律|8题（含等式/运算规律、字母表达）|观察算式结构→归纳数量关系→符号化表达规律|从具体算式到抽象公式，渗透代数思想| |数字排列的规律|8题（含数列、数阵、倍尔数）|分析数字特征→寻找周期/递变关系→推导通项公式|从简单数列到复杂数阵，培养数感与抽象能力| |图形的变化规律|8题（含点阵、组合图形、传统文化图案）|转化图形要素→建立数量模型→验证规律普适性|从图形直观到数学表达，发展空间观念与几何直观| |数表中的规律|6题（含杨辉三角、九宫格、日历表）|拆解数表结构→关联行列关系→构建规律模型|综合运用数字与图形规律，提升系统思维|

【专项训练】2026年小升初数学复习讲练测（江苏专用） 专题18：探索规律 目录 考点一算式的规律 1 考点二数字排列的规律 3 考点三图形的变化规律 4 考点四数表中的规律 6 考点一算式的规律 1．观察一组等式：，，，…根据规律，（    ）2。 A．5 B．6 C．7 2．观察下边算式的规律，14285.7×42的正确得数应是（    ）。 14285.7×7＝99999.9 14285.7×14＝199999.8 14285.7×21＝299999.7 …… A．399999.6 B．499999.5 C．599999.4 D．699999.3 3．1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝（    ）。 A． B． C． D． 4．观察下列表达式：解答问题：的末位数字是（ ）。 5．回文数和回文算式在数学中具有对称美的特点。不仅在数学学习中具有趣味性，还蕴含着一定的数学规律和逻辑。例如： 52×275＝572×25；54×495＝594×45；23×352＝253×32… 按照上面回文算式的规律，在下面的横线上填上合适的数或算式。 12×462＝_____；93×______＝_____＝682×_____。 6．请你观察下面几组算式。 24÷3÷2＝24÷（3×2） 100÷5÷4＝100÷（5×4） 560÷7÷8＝560÷（7×8） （1）根据你的观察，再写出一组这样的算式：___________________。 （2）规律：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以后两个数的（ ），它们的结果不变。 （3）请你用字母A、B、C表示算式中的三个数，尝试表达这个规律：______________________。 7．自主探究并运用。 （1）计算下面各题。 （ ）    （3＋2）×（3－2）＝（ ） （ ）    （5＋3）×（5－3）＝（ ） （ ）    （10＋8）×（10－8）＝（ ） （2）根据你发现的规律计算：a²－b²＝____________________。 （3）利用上面的规律计算。          8．先阅读理解，再解决问题。 在分数四则运算中，有一些奇妙的规律，掌握这些规律，能让我们灵活解决一些实际问题。比如： ，而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… （1）根据发现的规律，写出一道这样的等式。 －＝× （2）请你利用这一规律，计算下面算式。 考点二数字排列的规律 9．，，，，……这些数中第21个数应该是（    ）。 A． B． C． D． 10．观察下面这组数字中的规律，可知横线上应填（    ）。 ，1，，_____。 A．1 B． C． 11．有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 12．下图的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第7行第3个数（从左往右数）为（ ）。               13．小明按规律写了一串数：1，2，3，﹣4，5，6，7，﹣8，9，10，11，﹣12，…，他写的第90个数是（ ），此时他已经写了（ ）个负数。 14．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这个规律写出的第6个数是（ ）。 15．在分数、、、、、、、、、、、、、、、……中，是第几个分数？第2024个分数是多少？ 16．“倍尔数”是以数学家倍尔的名字命名的一个数列。它的形状像一个三角形，人们又称它为“倍尔三角形”。 …… （1）请写出两条“倍尔三角形”中每行数形成的规律。 （2）请你试着写出第7行“倍尔数”吧。 考点三图形的变化规律 17．观察下面每个图形中□和个数的变化规律，照这样画下去，第5个图形有（    ）个□。 A．16 B．5 C．17 18．丽丽用小棒摆五边形，如图，摆1个五边形用了5根小棒，摆2个五边形用了9根小棒，摆3个五边形用了13根小棒，……，按此规律摆下去，用85根小棒能摆（    ）个五边形。 A．19 B．21 C．23 D．25 19．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为（    ）。 A．37 B．33 C．20 D．29 20．按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 21．如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有（ ）个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有（ ）个黑色圆片。 22．先观察下面每个图形中小长方形个数与所列算式之间的关系，再填一填。 （1）2＋4＋6＋8＋10＝（ ）×（ ）。 （2）2＋4＋6＋8＋10＋…＋（ ）＝10×11。 （3）我的发现：从（ ）起，n个（ ）相加，和等于（ ）。 23．中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 （1）如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有（ ）个交点，照这样的规律，第9幅图有（ ）个交点。 （2）根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 24．先看看表格中三角形的个数有什么变化，然后填一填，再回答下列问题。 三角形个数 6 12 （1）如果在三角形内部画上5条横线，图中有多少个三角形？ （2）如果图中三角形的个数是84，图中应画多少条横线？ 考点四数表中的规律 25．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，M的值是（    ）。 A．60 B．72 C．86 D．98 26．下面各正方形的四个数之间都有相同规律，根据此规律可以求出a的值是（    ）。 A．78 B．69 C．57 D．54 27．将奇数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第（ ）行、第（ ）列。 28．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算术》，他在这部著作中画了一个由数构成的三角形图（如图），我们把它称为“杨辉三角”。根据如图“杨辉三角”的规律，第n行有______个数，第n行的第2个数是______。 29．洛书的构成像一只乌龟，有一句口诀是：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中。”把圆点转化为数字，就变成九宫格。这个九宫格，非常奇妙，横、纵、斜3个数字相加，结果都是15。这其中的奇妙，就是易经衍化万物的规律。 根据所给数字，完成九宫格（图3）。请你在空白方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个数之和为36。 30．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 【专项训练】2026年小升初数学复习讲练测（江苏专用） 专题18：探索规律 目录 考点一算式的规律 1 考点二数字排列的规律 7 考点三图形的变化规律 11 考点四数表中的规律 17 考点一算式的规律 1．观察一组等式：，，，…根据规律，（    ）2。 A．5 B．6 C．7 【答案】B 【分析】观察已知的3个等式，发现： 1个加数的和：1＝12； 2个加数的和：1＋3＝22； 3个加数的和：1＋3＋5＝32； …… 规律：从1开始的连续奇数相加的和等于奇数个数的平方，据此规律解答。 【解答】等式中有6个连续奇数，所以。 2．观察下边算式的规律，14285.7×42的正确得数应是（    ）。 14285.7×7＝99999.9 14285.7×14＝199999.8 14285.7×21＝299999.7 …… A．399999.6 B．499999.5 C．599999.4 D．699999.3 【答案】C 【分析】观察算式发现：第一个因数是14285.7不变，第二个因数依次是7的1倍、2倍、3倍。从第二个算式开始，积的整数部分都是六位数，最高位依次是1、2（呈依次加1的规律），后面五位都是9；积的小数部分依次是9、8、7（呈依次减1的规律）。因为42＝7×6，第二个因数是7的6倍。根据上述规律，积的整数部分最高位应是5，后面五位是9，即599999，积的小数部分应是4。 【解答】14285.7×42＝599999.4 故答案为：C 3．1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从1开始的连续奇数连加规律推导方法为举例计算找规律，先计算前几组简单的奇数和，观察和与奇数个数的关联，总结通用规律后，直接套用规律推导算式结果 【解答】 从1开始的n个连续奇数相加，所得的和等于n的平方。 故答案为：B。 4．观察下列表达式：解答问题：的末位数字是（ ）。 【答案】4 【分析】根据题意，可以算出每个加数的个位的和是多少，看末位就是所求；通过计算的个位依次是2，4，8，6，可知每4个数末位都是这样循环的，用2015除以4计算商和余数，商表示2，4，8，6的个数，再把余数对应的数字相加。 【解答】通过计算的个位依次是2，4，8，6，末位是这四个数的循环； 2015÷4＝503……3 （2＋4＋8＋6）×503＋（2＋4＋8） ＝20×503＋14 ＝10060＋14 ＝10074 所以算式的末位数字是4。 5．回文数和回文算式在数学中具有对称美的特点。不仅在数学学习中具有趣味性，还蕴含着一定的数学规律和逻辑。例如： 52×275＝572×25；54×495＝594×45；23×352＝253×32… 按照上面回文算式的规律，在下面的横线上填上合适的数或算式。 12×462＝_____；93×______＝_____＝682×_____。 【答案】264×21 286 26598 39 【分析】根据题目给出的3个回文算式，总结通用规律：左边的两位数，数字顺序反转后，是等式右边的两位数；左边的三位数，数字顺序反转后，是等式右边的三位数；左右两边乘积相等，据此规律，进行解答。 【解答】根据分析：左边两位数：12反转得21（即右边两位数） 左边三位数：462反转得264（即右边三位数） 因此：12×462＝264×21； 左边两位数93反转得39（即右边的两位数） 已知右边三位数是682，反转得286（即左边三位数） 因此，93×286＝26598＝682×39 6．请你观察下面几组算式。 24÷3÷2＝24÷（3×2） 100÷5÷4＝100÷（5×4） 560÷7÷8＝560÷（7×8） （1）根据你的观察，再写出一组这样的算式：___________________。 （2）规律：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以后两个数的（ ），它们的结果不变。 （3）请你用字母A、B、C表示算式中的三个数，尝试表达这个规律：______________________。 【答案】（1）30÷5÷2＝30÷（5×2） （2）积 （3）A÷B÷C＝A÷（B×C） 【分析】（1）（2）仔细观察三个算式可知，算式的左边都是一个数连续除以两个数，算式的右边都是一个数除以两个数的积，据此发现的规律为：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以后两个数的积，与其类似的算式为：30÷5÷2＝30÷（5×2）。 （3）如果用A表示被除数，B和C表示两个除数，那么前面的规律用字母表示为：A÷B÷C＝A÷（B×C）。 【解答】（1）30÷5÷2＝30÷（5×2）（答案不唯一） （2）规律：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以后两个数的积，它们的结果不变。 （3）这个规律用字母表示为：A÷B÷C＝A÷（B×C）。 7．自主探究并运用。 （1）计算下面各题。 （ ）    （3＋2）×（3－2）＝（ ） （ ）    （5＋3）×（5－3）＝（ ） （ ）    （10＋8）×（10－8）＝（ ） （2）根据你发现的规律计算：a²－b²＝____________________。 （3）利用上面的规律计算。          【答案】（1）5 5 16 16 36 36 （2）（a＋b）×（a－b） （3）504；7.5； 【分析】（1）按照整数四则运算法则计算出每道算式的结果； （2）观察（1）的计算结果，我们会发现：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差。 （3）根据（2）的规律，计算三道算式的结果，不直接算平方再相减，而是套用平方差公式简化计算。据此解答。 【解答】（1） （2） （3） 8．先阅读理解，再解决问题。 在分数四则运算中，有一些奇妙的规律，掌握这些规律，能让我们灵活解决一些实际问题。比如： ，而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… （1）根据发现的规律，写出一道这样的等式。 －＝× （2）请你利用这一规律，计算下面算式。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）观察题目中给出的例子，发现规律：对于连续正整数n和n＋1，＝×，据此写出类似的等式。 （2）利用发现的规律，将每个乘法转化为差的形式，然后通过加减抵消简化计算。 【解答】（1），而，所以有； ，而，所以有； ，而，所以有；… 所以＝×，取n＝5，则： ＝，即（答案不唯一） （2） ＝ ＝ ＝ ＝ 考点二数字排列的规律 9．，，，，……这些数中第21个数应该是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析分母的规律，第一个分数分母为2，第二个为4，第三个为6，第四个为8，第五个为10，则第个为2。分子的规律，每一个分数的分子都比分母小1，所以第个分数的分子为，即第个分数为。 【解答】将代入公式求解： 第21个数应该是。 10．观察下面这组数字中的规律，可知横线上应填（    ）。 ，1，，_____。 A．1 B． C． 【答案】B 【分析】观察这组数据，发现除了数字1以外，其他的数都是分数，所以先将数字1转化成分数，，观察这组数据：，，，，分析相邻两项的关系，；；发现：后一项与前一项的商都是，所以，，据此算出结果即可。 【解答】因为，这组数据相邻两项的商： ； ； ； 所以，要求的数为： 故答案为：B 11．有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 【答案】D 【分析】第一个数是8，是4×1＋4，第二个数是12，即4×2＋4…，则观察选项，可得第n个数是多少。 【解答】第一个数：4×1＋4 第二个数：4×2＋4 第n个数：4×n＋4＝4n＋4 第n个数是（4n＋4）。 故答案为：D 12．下图的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第7行第3个数（从左往右数）为（ ）。               【答案】 【分析】第n行有n个数，两端的数都是，且上一行的每个数＝下一行相邻两个数的和，从已知的行逐步推导到第7行即可。 【解答】第5行：两端都是，第二个数＝​，第三个数＝，即第5行：； 第6行：两端都是，第二个数＝​，第三个数＝，即第6行：； 第7行：第一个数是​，第二个数＝​，第三个数＝​​； 即则第7行第3个数（从左往右数）为。 13．小明按规律写了一串数：1，2，3，﹣4，5，6，7，﹣8，9，10，11，﹣12，…，他写的第90个数是（ ），此时他已经写了（ ）个负数。 【答案】90 22 【分析】观察这串数，发现规律：每4个数为一组，每组前3个数是正数，第4个数是负数；且数字（不考虑负号）是从1开始依次增加1。 求第90个数是几，就是求90里有几个4，用除法计算，再结合余数的情况确定第90个数是正数还是负数；商表示有几组，每组有1个负数，有几组就有几个负数。 【解答】90÷4＝22（组）……2（个） 余数是2，表示是一组数里的第2个数，即是正数90； 每4个数为一组，每组里有1个负数，那么22组就有22个负数。 14．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这个规律写出的第6个数是（ ）。 【答案】 【分析】根据题意可知，分子的规律依次是32、42、52、62……分母的规律是：1×5、2×6、3×7、4×8……；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加2的平方，即（n＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多4，则第几个数，它的分母就是n（n＋4），由此即可解答。 【解答】当n＝6时 （6＋2）2＝82＝64 6×（6＋4）＝6×10＝60 按这个规律写出的第6个数是。 15．在分数、、、、、、、、、、、、、、、……中，是第几个分数？第2024个分数是多少？ 【答案】126或140； 【分析】分母是1、2、3、…、的分数分别有1、3、5、…、个，再加上分母是12的第5个分数或分母是12的倒数第5个分数就可知是第几个分数。连续的奇数1＋3＋5＋…加到多少接近2024，就可知道第2024个分数是多少。 【解答】分母是1、2、3、…、11 的分数共有： 因为按照规律，是分母为 12 的分数中的第5个或第19个，所以是第121＋5＝126（个）分数，或第121＋19＝140（个）分数。 因为 分母是45的分数有89个，所以需要再减去1个分母是45的分数 ，则第2024个分数是 。 答：是第126或140个分数，第2024个分数是。 16．“倍尔数”是以数学家倍尔的名字命名的一个数列。它的形状像一个三角形，人们又称它为“倍尔三角形”。 …… （1）请写出两条“倍尔三角形”中每行数形成的规律。 （2）请你试着写出第7行“倍尔数”吧。 【答案】（1）①每行开头的第一个数都是上一行最后一个数。 ②每行的第二个数都是前一个数与前一个数上方那个数的和。 （2）203，255，322，409，523，674，877 【分析】（1）观察给出的数字，可得：上一行的最后一个数是下一行的第一个数，这个数加上上一行的第一个数就是这行的第二个数，第二个数加上上一行的第二个数就是这一行的第三个数，以此类推； （2）根据（1）的结论写出第7行“倍尔数”。 【解答】（1）答：①每行开头的第一个数都是上一行最后一个数。 ②每行的第二个数都是前一个数与前一个数上方那个数的和。 （2） 答：第7行“倍尔数”是：203，255，322，409，523，674，877 考点三图形的变化规律 17．观察下面每个图形中□和个数的变化规律，照这样画下去，第5个图形有（    ）个□。 A．16 B．5 C．17 【答案】A 【分析】先数出前4个图形里□的数量：第1个图形有8个，第2个有10个，第3个有12个，第4个有14个；观察发现，后一个图形比前一个图形的□数量多2个，按这个规律即可求出第5个图形的□数量。 【解答】第1个图形：8个 第2个图形：8＋2＝10（个） 第3个图形：10＋2＝12（个） 第4个图形：12＋2＝14（个） 第5个图形：14＋2＝16（个） 所以第5个图形有16个□。 18．丽丽用小棒摆五边形，如图，摆1个五边形用了5根小棒，摆2个五边形用了9根小棒，摆3个五边形用了13根小棒，……，按此规律摆下去，用85根小棒能摆（    ）个五边形。 A．19 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】先观察小棒数量的变化规律：摆1个五边形用5根，摆2个用9根，摆3个用13根。可以发现，每多摆1个五边形，小棒数量就增加4根，因此推导出摆n个五边形的小棒总数公式为（4n＋1）根。已知小棒总数为85根，将其代入公式列方程4n＋1＝85，解方程即可。 【解答】摆1个五边形：5＝1×4＋1 摆2个五边形：9＝2×4＋1 摆3个五边形：13＝3×4＋1 摆n个五边形：（4n＋1）根小棒 令4n＋1＝85 解：4n＋1－1＝85－1 4n＝84 4n÷4＝84÷4 n＝21 用85根小棒能摆21个五边形。 19．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为（    ）。 A．37 B．33 C．20 D．29 【答案】A 【分析】根据题意，第1幅图的点数为1＋4×0，第2幅图的点数为1＋4×1，第3幅图的点数为1＋4×2；第4幅图的点数为1＋4×3，那么第n幅图的点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3；将n＝10，代入计算出第10幅图即可；据此解答。 【解答】根据分析，第n幅图的点数应为： 1＋4（n－1） ＝1＋4n－4 ＝4n－3 当n＝10时，4×10－3＝37 第10幅图的点数为37。 20．按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 【答案】148 【分析】根据图形可知，第一个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有4块，可以写成3×1＋1；第二个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有7块，可以写成3×2＋1；第三个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有10块，可以写成3×3＋1；……由此可以得出一般规律，第n幅图形黑颜色的正方形瓷砖有（3n＋1）块，由此进行解答。 【解答】第n幅图形中有（3n＋1）块黑瓷砖。 当n＝49时 49×3＋1 ＝147＋1 ＝148（块） 21．如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有（ ）个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有（ ）个黑色圆片。 【答案】 26 10 【分析】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 22．先观察下面每个图形中小长方形个数与所列算式之间的关系，再填一填。 （1）2＋4＋6＋8＋10＝（ ）×（ ）。 （2）2＋4＋6＋8＋10＋…＋（ ）＝10×11。 （3）我的发现：从（ ）起，n个（ ）相加，和等于（ ）。 【答案】（1）5 6 （2）20 （3）2 连续偶数 【分析】（1）通过图形展示的排列，推导规律。第1个算式：2＝1×2，是1个偶数（2），结果＝加数个数×（加数个数＋1）。第2个算式：2＋4＝2×3，是2个连续偶数（2、4）相加，结果＝加数个数×（加数个数＋1）。第3个算式：2＋4＋6＝3×4，是3个连续偶数（2、4、6）相加，结果＝加数个数×（加数个数＋1）。即，连续偶数相加的和＝偶数的个数×（偶数的个数＋1）。 （2）由规律可知，连续偶数相加时，最后一个偶数的大小＝偶数的个数×2。 （3）根据（1）中的结论：连续偶数相加的和＝偶数的个数×（偶数的个数＋1），将偶数的个数设为n个，将n代入公式计算求解，计算时，连续的偶数必须从2起。 【解答】（1）2、4、6、8、10一共有5个连续偶数， 所以，2＋4＋6＋8＋10＝5×6。 （2）10×11表示有10个偶数，则最后一个偶数为：。 2＋4＋6＋8＋10＋…＋20＝10×11。 （3）从2起，n个连续偶数相加，和等于。 23．中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 （1）如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有（ ）个交点，照这样的规律，第9幅图有（ ）个交点。 （2）根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 【答案】（1）18 48 （2）75幅 【分析】（1）根据题意，已知第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，先计算两幅图交点数的差，得出每增加一幅图交点数增加5个，据此总结出第n幅图交点数的计算方法，再代入第3幅和第9幅图的序号计算结果。 （2）根据已知的交点总数378个，结合总结的规律，先减去固定多出的3个交点，再用所得的差÷每幅图增加的5个交点，即可求出对应的图序号。 【解答】（1）计算相邻两幅图交点数的差值：13－8＝5（个），可知每增加1幅图，交点数增加5个。 总结规律：第n幅图的交点数＝8＋（n－1）×5，化简后为5n＋3。 计算第3幅图交点数：5×3＋3＝18（个） 计算第9幅图交点数：5×9＋3＝48（个） （2）378－3＝375（个） 375÷5＝75 答：有378个交点的是第75幅图。 24．先看看表格中三角形的个数有什么变化，然后填一填，再回答下列问题。 三角形个数 6 12 （1）如果在三角形内部画上5条横线，图中有多少个三角形？ （2）如果图中三角形的个数是84，图中应画多少条横线？ 【答案】18；24 （1）36个 （2）13条 【分析】先数出上面一层有6个三角形，再数出第一、二层合成有6个三角形，最后再数出第一、二、三层合成有6个三角形，加在一起，即可求得第三个图有几个三角形；用相同的方法，再加上第一、二、三、四层合成有6个三角形，加在一起，即可求得第四个图形有几个三角形。 （1）五条横线，可以分成5＋1层，每增加一层，增加6个三角形，共有6×（5＋1）个三角形。 （2）n条横线，则有6×（n＋1）个三角形，用84除以6，再减1，即可求得图中应画多少条横线。 【解答】 三角形个数 6 12 18 24 （1）6×（5＋1） ＝6×6 ＝36（个） 答：图中有36个三角形。 （2）84÷6－1 ＝14－1 ＝13（条） 答：图中应画13条横线。 考点四数表中的规律 25．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，M的值是（    ）。 A．60 B．72 C．86 D．98 【答案】C 【分析】每个正方形左上数字是0、2、4、6；正方形右上数字是4、6、8，依次加2的规律，每个正方形左下数字是2、4、6，依次加2的规律，右下数字为右上×左下＋左上，据此求出M。 【解答】右上为8＋2＝10 左下为6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 M的值 是86。 26．下面各正方形的四个数之间都有相同规律，根据此规律可以求出a的值是（    ）。 A．78 B．69 C．57 D．54 【答案】B 【分析】观察每组数据，1×3＋0＝3，3×5＋2＝17，5×7＋4＝39，由此可知，每组四个数中，左下角和右上角的数字相乘加上左上角的数字就是右下角的数字，右上角的数字依次比前一个表多2，左下角的数字是从1开始依次加2，找出规律即可求解。 【解答】左下角的数是7，右上角的数是9。 所以a的值是：7×9＋6 ＝63＋6 ＝69 27．将奇数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第（ ）行、第（ ）列。 【答案】254 D 【分析】先看奇数的排列规律，用2025加1再除以2，求出它是第几个奇数。再用这个序号除以4，根据商和余数确定它在第几行第几个。最后根据行数是奇数还是偶数，对照每行的排列顺序，判断出它在第几列。 【解答】求2025是第几个奇数：（2025＋1）÷2 ＝2026÷2 ＝1013（个） 求行数和余数：1013÷4＝253……1 确定行数：253＋1＝254（行） 第254行为偶数行，从D列开始排，即在D列。 所以2025所在的行、列分别为第254行、第D列。 28．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算术》，他在这部著作中画了一个由数构成的三角形图（如图），我们把它称为“杨辉三角”。根据如图“杨辉三角”的规律，第n行有______个数，第n行的第2个数是______。 【答案】 n n－1 【分析】第①空：观察“杨辉三角”的行数与个数的关系： 第1行有1个数， 第2行有2个数， 第3行有3个数 第4行有4个数 …… 由此可归纳出，第n行有n个数。 第②问：观察第n行的第2个数： 第2行第2个数是1， 第3行第2个数是2， 第4行第2个数是3， 第5行第2个数是4 …… 由此可归纳出，第n行的第2个数是n－1。 【解答】由分析可知： “杨辉三角”的规律，第n行有n个数，第n行的第2个数是n－1。 【点睛】关键点是通过观察前几行的数量和数字，归纳并抽象出第 n 行的通用规律。 29．洛书的构成像一只乌龟，有一句口诀是：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中。”把圆点转化为数字，就变成九宫格。这个九宫格，非常奇妙，横、纵、斜3个数字相加，结果都是15。这其中的奇妙，就是易经衍化万物的规律。 根据所给数字，完成九宫格（图3）。请你在空白方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个数之和为36。 【答案】见详解 【分析】图2中，这个九宫格横、纵、斜3个数字相加，结果都是15，中心数为15÷3＝5，保持对称结构，每行或每列其它两个数的和为15－5＝10，以此类推，图3中，求出中心数应该是36÷3＝12，再根据横、纵、斜的已知数求出所填的数，据此解答。 【解答】36÷3＝12 36－12＝24 24－5＝19 24－4＝20 24－6＝18 36－（5＋18） ＝36－23 ＝13 36－（20＋5） ＝36－25 ＝11 30．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 【答案】（1）圈出的4个数的个位数字都相同，每相邻两个数之间相差10（答案不唯一） （2） （3）38，48，58，68 【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； （2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； （3）设小丽圈出的第一个数字为a，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于212，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【解答】（1）我发现圈出的4个数，每个数的个位数字相同，每相邻两个数之间相差10。（答案不唯一） （2）41－11＝30，64－34＝30 若把长方形中最上面的一个数记为a，则最下面那个数是a＋30。 （3）解：设小丽圈出的第一个数字为a。 a＋（a＋10）＋（a＋20）＋（a＋30）＝212     4a＋60＝212    4a＝152 a＝38 a＋10＝38＋10＝48 a＋20＝38＋20＝58 a＋30＝38＋30＝68 答：她圈的是38、48、58、68。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $