专题04 图形的性质（5大考点）（北京专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 图形的性质 5大考点概览 考点01几何图形 考点02三角形 考点03四边形 考点04圆 考点05作图 几何图形 考点01 1．（2025·北京海淀·模拟预测）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边落在含角的三角尺的一条直角边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京西城·一模）如图，点在直线上，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京平谷·一模）如图，中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点A为圆心，长为半径画弧交射线于点D，则的度数为（   ） A．152° B． C． D． 4．（2026·北京大兴·一模）如图，直线交于点O，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京通州·一模）如图，直线与交于点O，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京石景山·一模）中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，），则平面镜与地面的夹角______． 三角形 考点02 1．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，得到两弧的交点，过这两个交点的直线分别交，于点D，E，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京丰台·一模）如图，，分别以点为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，连接，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（2026·北京顺义·一模）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（    ）． A．100° B．105° C．110° D．115° 4．（2026·北京朝阳·一模）如图，是内部一点．若以为圆心，长为半径画弧，分别与射线，交于点，（点，均不与点重合），连接，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京昌平·一模）如图，直线，，是直线上两点，，是直线上两点，于点，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，，，D是内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，分别取线段的中点F，G，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 7．（2026·北京海淀·一模）在中，，．D为的延长线上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，点E在直线上，求证：； (2)如图2，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 8．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接． (1)连接，求的度数（用含的式子表示）； (2)用等式表示与的数量关系，并证明． 9．（2026·北京丰台·一模）如图，在中，，，D为的中点，过点D作，交于点E，点F在线段上，且，连接． (1)求证：平分； (2)连接，将射线绕点F顺时针旋转，交的延长线于点G． ①依题意补全图形； ②用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 10．（2026·北京昌平·一模）已知，如图，点是上的点，连接，点关于直线的对称点为点，连接，将射线绕点逆时针旋转得到，在射线上取一点，使，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若，用等式表示，，三者之间的数量关系，并证明． 11．（2026·北京·模拟预测）在中，，平分，交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接． (1)如图1，求证：， (2)如图2，过点作交的延长线于点，判断与的数量关系，并证明． 四边形 考点03 1．（2026·北京顺义·一模）每一个外角都是的正多边形为（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 2．（2026·北京朝阳·一模）若一个六边形的每个外角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京顺义·一模）如图，在正方形中，点E在的延长线上，于点F．若，，则的面积为______． 4．（2026·北京丰台·一模）如图，在正方形中，E为的中点，，垂足为F．若，则的面积为____． 5．（2026·北京大兴·一模）如图，在正方形中，点E是中点，连接，点F为上一点，．若，则的面积为____． 6．（2026·北京通州·一模）如图，在矩形中，平分交于点E，连结，点F为的中点，连接，若，，则的长为______． 7．（2026·北京平谷·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 8．（2026·北京西城·一模）如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 9．（2026·北京西城·模拟预测）如图，在正方形中，点E在上，连接交对角线于点F，若，则________． 10．（2026·北京海淀·一模）如图，在矩形中，，．点E在的延长线上，连接，交于点F．若的面积为15，则的面积为______． 11．（2026·北京·一模）如图，在正方形中，，点E为上一点，连接交于点F，延长交的延长线于点G，连接，若，则的长为________． 12．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 13．（2026·北京丰台·一模）如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 14．（2026·北京石景山·一模）如图，在 中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 15．（2026·北京朝阳·一模）如图，在中，点在边上，，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 16．（2026·北京大兴·一模）如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 17．（2026·北京昌平·一模）如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 18．（2026·北京通州·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 19．（2026·北京西城·一模）如图，在四边形中，，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，过点B作，交于点G，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点F是的中点，，求的长． 20．（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 21．（2026·北京·一模）如图，在四边形中，，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 22．（2026·北京西城·模拟预测）如图，在中，是边上的中线，过点D作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 圆 考点04 1．（2026·北京石景山·一模）如图，在中，，，以为直径画圆，与交于点，与交于点，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京昌平·一模）如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京通州·一模）如图，内接于，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，，如果，则的半径长为（   ） A． B．2 C．4 D．1 5．（2026·北京大兴·一模）《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为_____． 6．（2026·北京顺义·一模）定滑轮在生活中起着改变力的方向的作用．如图，滑轮支架竖直向下，且与吊板垂直，绳子的部分竖直向下，与相切于点B，绳子的部分与相切于点D．连接，，若，则绳子的部分所在直线与吊板所在直线所成的锐角的大小为_____°． 7．（2026·北京西城·一模）如图，在边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为________． 8．（2026·北京平谷·一模）如图，内接于，，若，则的长为___． 9．（2026·北京海淀·一模）如图，为的直径，点A为的中点．若，则的大小为______°． 10．（2026·北京海淀·模拟预测）如图，是的直径，弦，若，则的度数为___________． 11．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点A作⊙的切线，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)，，求的长． 12．（2026·北京丰台·一模）如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的长． 13．（2026·北京石景山·一模）如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 14．（2026·北京顺义·一模）如图，是的直径，点C，D在上，，连接，过点B作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交于点F，若，，求的长． 15．（2026·北京朝阳·一模）如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，边交于点，，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作，交的延长线于点，交于点．若，，求的长． 16．（2026·北京昌平·一模）如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作射线交，分别于点，，若，，求的半径． 17．（2026·北京通州·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 18．（2026·北京西城·一模）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 19．（2026·北京平谷·一模）如图，为直径，是的切线，连接交于点为上一点，连接并延长交于点，交切线于点，若． (1)求证：为中点 (2)连接交于点 ，若，，求的值． 20．（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，，与分别相切于点，，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，补全图形，若，，求的长． 作图 考点05 1．（2026·北京海淀·一模）如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点C，在下方交于点D，连接交于点O．以点O为圆心，长为半径画弧，交线段于点M，连接，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·北京昌平·一模）如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·一模）如图，在中，分别以点B和C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，直线交于点E，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，连接并延长，交于点G，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京西城·一模）如图，在中，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点（点与点不重合），连接交于点，则的大小为（   ） A． B．65° C． D． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04图形的性质 ☆5大考点概览 考点01几何图形 考点02三角形 考点03四边形 考点04圆 考点05作图 考点01 几何图形 1,(2025北京海淀·模拟预测)将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边落在 含45°角的三角尺的一条直角边上，则x的度数是() 45 30 D A. 45 B.60° C.75° D.80° 【答案】C 【分析】求出∠ACB的度数，得到∠ABC的度数，由对顶角相等得到∠DBE的度数，再由三角形外角的性 质可得答案。 【详解】解：由题意得，∠ACB=180°-90°=90°，∠A=45°，∠D=30°， ∠ABC=90°-45°=45°， .DBE=∠ABC=45°， C=∠DBE+∠D=75°. 2.(2026北京西城一模)如图，点O在直线AB上，OC⊥OD,OE平分∠BOC,若∠BOC=130°，则∠DOE 的大小为() 1/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.40° B.35° C.30° D.25 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得到∠COE,利用垂直的定义得到∠COD,则∠DOE=∠COD-∠COE 【详解】解：OE平分∠BOC,∠BOC=130°， ∠C0E=∠B0C=65°， 2 OC⊥OD, .∠COD=90°， .DOE=∠COD-∠COE=90°-65°=25° 3.(2026北京平谷一模)如图，△ABC中，∠ABC=56°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,BC 于点E,F,若分别以点E,F为圆心，大于F长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点M,作射线M, 再以点A为圆心，AB长为半径画弧交射线BM于点D,则∠BAD的度数为() D B F A.152 B.124° C.114° D.134° 【答案】B 【分析】由作图可得，BD平分∠ABC,AD=AB,可得∠ADB=∠ABD=28°，再由三角形内角和定理即 可求解 【详解】解：由作图可得，BD平分∠ABC,AD=AB, ∠ADn=∠A8D-号ABC-号56=28， ·∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=124°. 4.(2026北京大兴.一模)如图，直线AD,BE交于点O,CO⊥BE,若∠AOB=28°，则∠COD的大小是 () 2/75 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.28 B.56° C.62° D.72° 【答案】C 【分析】根据平角的定义进行求解即可； 【详解】解：直线AD,BE交于点O,CO⊥BE, ∠BOC=90°， ∠AOB=28°， .∠COD=180°-90°-∠AOB=62° 5.(2026北京通州一模)如图，直线AB与CD交于点O,∠AOD=130°，OE⊥AB,则∠COE的度数为 () D A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【分析】根据题意求出∠BOC=∠AOD=130°，∠BOE=90°，进而求解即可. 【详解】解：∠AOD=130° ∴.BOC=∠AOD=130° OE⊥AB ∠BOE=90° ∴∠COE=∠BOC-∠BOE=130°-90°=40° 6.(2026北京石景山一模)中国古代重要文献《准南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的 方法.如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜MN,太阳光线AO与地面DE的夹角∠AOD=46°，反 射光线OB恰好垂直于地面DE(反射角∠BOC等于入射角∠AOC,OC⊥MN),则平面镜MN与地面DE 的夹角∠MOD= 3/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】68 【分析】由题意可得∠AOC=∠BOC,∠BOD=∠COM=90°，再结合∠AOD+∠COD=∠BOD-∠COD求 出∠C0D=22°，即可得出结果 【详解】解：由题意可得：∠AOC=∠BOC,BOD=∠COM=90°， ∴∠AOD+∠COD=∠BOD-∠COD, ∠A0D=46°， :.46°+∠COD=90°-∠COD, ∠C0D=22°， MOD=∠COM-∠COD=68°. 考点02 三角形 1.(2026北京大兴一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，分别以4，B为圆心，大于AB的 长为半径作弧，得到两弧的交点，过这两个交点的直线分别交AB,AC于点D,E,连接BE,则∠CBE的 大小为() B A C A.209 B.30° C.40° D.50° 【答案】D 【分析】先得出DE垂直平分AB,则AE=BE,再得出∠ABE=∠A=20°，则可得∠BEC的度数，然后利 用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：由题意，画出图形如下： 4/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 由作图可知，DE垂直平分AB, :.AE=BE, ∴∠ABE=∠A=20°， ·∠BEC=∠ABE+∠A=40°， ÷∠C=90°， ∠CBE=180°-∠C-∠BEC=50° 2.(2026北京丰台一模)如图，AB=2,分别以点A,B为圆心，AB长为半径画弧，在AB两侧交于点 C,D,连接CD,则CD的长为() C D A.1 B.5 C.2 D.2V3 【答案】D 【分析】先分析作图过程，证明ADBC是菱形，再利用菱形的性质得到∠AOC=90°，AO=1,最后用勾股 定理计算， 【详解】解：如图所示，连接AC,BC,AD,BD, 根据题意可得AC=BC=AD=BD=AB=2, ∴.四边形ADBC是菱形， 5/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :'.CDL AB,CD=20C,0A=AB=1, 2 ∴.∠AOC=90°， ∴.CD=20C=2NAC2-OA2=2V4-1=25. 3.(2026北京顺义一模)如图，∠MON=40°，点P在射线OM上，以点P为圆心，PO长为半径画弧，分 别交射线OM,ON于点A,B,连接AB,分别以点A,B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于 点C,连接AC,则∠OAC的大小为(). M A.100° B.105° C.110° D.115° 【答案】C 【分析】利用作图的方法和痕迹，得到OP=AP=BP和∠B4C=60°，再利用等腰三角形的底角相等及三角 形内角和为180°，求出答案。 【详解】解：如图所示，连PB,CB 由作图可知，OP=AP=BP,AC=AB=CB, △ABC为等边三角形， .∠BAC=60° ∠MON=40°，OP=BP, ∴.∠PBO=∠MOW=40°， 则∠APB=80°， AP BP, ∴.∠PAB=∠PBA, 在APHB中，∠PAB=∠PBA=180°-∠APB_180,80°=50， 2 2 ∠OAC=∠PAB+∠BAC=50°+60°=110°. 6/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026北京朝阳一模)如图，O是∠BAC内部一点.若以O为圆心，OA长为半径画弧，分别与射线 AB,AC交于点M,N(点M,N均不与点A重合)，连接OM,ON,若∠BAC=40°，则∠MON的大小 为() 0· -B A.100° B.80° C.50° D.40° 【答案】B 【分析】延长AO至点D,由题意可得OM=ON=OA,根据等边对等角得到∠ONA=∠OAN, ∠OMA=∠OAM,因此∠NOD=2∠OAN,∠MOD=2∠OAM,再由角的和差即可求解. 【详解】解：延长AO至点D, D 由题意可得OM=ON=OA, ∠ONA=∠OAN,∠OMA=∠OAM, ∴∠NOD=∠ONA+∠OAN=2∠OAN, ∠MOD=∠OMA+∠OAM=2∠OAM, ·∠MON=∠NOD+∠MOD =2∠OAN+2∠OAM =2(∠OAN+∠OAM) =2∠BAC =2×40° =80°. 5.(2026北京昌平.一模)如图，直线∥1，A,B是直线l上两点，C,D是直线1上两点，AD L BC 于点E,若∠ADC=35°，则∠ABC的大小为() 7/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E D A.35 B.45 C.55 D.65 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义以及直角三角形的两个锐角互余；由垂直的关系求出∠BCD 的度数，再由“两直线平行，内错角相等”得到∠ABC的度数. 【详解】：AD⊥BC ∴.∠CED=90° ∴.∠BCD=90°-∠ADC=55° ×412 ∴.∠ABC=∠BCD=55 6.(2026北京顺义一模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是△ABC内部一点，连接AD, 将线段AD绕点A逆时针旋转120°，得到线段AE,连接BD,CE. E B (I)求证：BD=CE; (②)连接DE,分别取线段BC,DE的中点F,G,连接FG,用等式表示线段FG与CE的数量关系，并证 明. 【答案】(1)见详解 (②)FG=。CE,证明见详解 2 【分析】(1)首先根据旋转的性质可得AD=AE,∠DAE=120°，结合∠BAC=120°证明∠BAD=∠CAE,然 后利用“SAS”证明△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质即可证明结论： (2)连接4GAF，首先证明∠F4G=∠CMB,再证明4识-4G-} CPg),进而可证明△4AFG∽△4CE,根据相 似三角形的性质，即可获得答案。 【详解】(1)证明：将线段AD绕点A逆时针旋转120°，得到线段AE, .AD=AE,∠DAE=120°， ∠BAC=120°， 8/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BAC=∠DAE, ·∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ·△ABD≌△ACE(SAS), ..BD=CE; (2)线段FG与CE的数量关系为FG=CB,证明如下： 如图，连接AG,AF, AB=AC,点F为线段BC的中点，∠BAC=120°， AF L BC,∠BAF= ∠BAC=60°， 2 AD=AE,点G为线段DE的中点，∠DAE=120°， AG⊥DB,∠DAG=1∠DAB=60°， 2 ∠BAF=∠DAG, ∠BAF-∠DAF=∠DAG-∠DAF,即∠BAD=∠FAG, ,△ABD≌△ACE, ∠CAE=∠BAD=∠FAG, AB=AC,AF⊥BC,∠BAC=120°， ∠4CF7180°-∠BAC)=30 40=sin30°=1 在Rt△4CF中，sin∠ACp=4F= 同理可得，在Rt△AEG中，Sin∠AEG=4A =s1n30°=2' 1 AE AF AG 1 AC AE 2' ∠FAG=∠CAE, 9/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△AFG∽△ACE, FG AF 1 CE AC2' 1 FG-CE. 7.(2026北京海淀一模)在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=C,D为BC的延长线上一点，连接AD, 将线段AD绕点A顺时针旋转180°-2得到线段AE,连接CE. 图1 图2 (I)如图1，a=30°，点E在直线BC上，求证：CE=2CD; (②)如图2，用等式表示线段AB,CD和CE的数量关系，并证明. 【答案】（①）见解析 (2)CE=4AB+CD2,证明见解析 【分析】(1)先说明180°-2x=120°，由旋转的定义可得AE=AD,∠E4D=120°，易得∠E=D=30°，进 而得到∠CAD=∠D=30°，即AC=CD;再说明∠E.AC=90°，∠E=30°，利用含30度直角三角形的性质 求解即可； (2)利用三角形外角的性质可得∠ACD=∠BAC+∠ABC=90°+，如图2：将△ACD绕点A顺时针旋转 180°-2C得到△AC,E,则AC=AC1,CD=C,E,∠AC,E=∠EAD=90°+a,∠C1AC=∠EAD=180°-20，进 而得到∠ACC=∠ACC1=,、∠EC,C=90°，再利用勾股定理以及解直角三角形求解即可. 【详解】(1)解：BAC==30°， 180°-2a=180°-2×30°=120°， ~将线段AD绕点A顺时针旋转180°-2a得到线段AE,连接CE, AE=AD,∠EAD=120°， 2E=D080-120）30, ∠ABC=90°，即AB⊥ED, A∠BAD=∠BAB=1∠EAD=60°， 2 ∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°， 10/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CAD=∠D=30° .AC=CD, ∠EAC=∠BAE+∠BAC=60°+30°=90°，∠E=30°， ∴.CE=2AC,即CE=2CD. (2)解：CE=4AB+CD2,证明如下： 在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=, ∴.∠ACD=∠BAC+∠ABC=90°+C, 如图2：将△ACD绕点A顺时针旋转180°-2C得到△AC,E, G D 图2 AC=AC1,CD=C,E,∠AC,E=∠ACD=90°+，∠C1AC=∠EAD=180°-2a, 4cc=∠4cc=lso-∠c4c)=a, ·∠ECC=∠AC,E-∠ACC=90°， ..CE2=CC+EC, .CE=CC,+CD2, 如图2：连接CC1,过A作AG⊥CC,于G, 在RtAACG中，CG=ACcosa,CC1=2CG=2 4C cos, 在Rt△ABC中，AB=AC cosa, ..CC =2AB, .CE2=(2AB)+CD2,CE2=4AB2+CD2. 8.(2026北京大兴一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为线段AB上一点，连接CD, ∠BCD=(O°<x<45),将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到DE,连接BE,AE,点F是BE中点，连 接DF, 11/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E (I)连接CE,求∠ACE的度数（用含x的式子表示）； (2)用等式表示DF与AE的数量关系，并证明. 【答案】(1)45°-a (②)AE=2DF,证明见解析 【分析】(1)根据旋转的性质，得到△CDE是等腰直角三角形，得到∠DCE=45°，根据角的和差关系即可 得出结果； (2)作CG1AB于点G,作EH⊥AB于点H,根据三线合一和斜边上的中线得到CG=AB=4G=BG, 证明△CDG≌aDEH(AAS),得到DH=CG,EH=DG,进而推出AH=DG,HG=BD,在AB上截取 DP=BD,根据三角形的中位线定理和中垂线的性质，即可得出结果。 【详解】(1)解：连接CE, B 旋转， ∠CDE=90°，CD=DE, ∠DCE=∠DEC=45°， ∠ACB=90°， ∠ACE+∠BCD=45°， ∠ACE=45°-∠BCD=45°-a; (2)解：AE=2DF,证明如下： 作CG⊥AB于点G,作EH1AB于点H,则∠CGD=∠DHE=90°， 12/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B ∠ACB=90°，AC=BC, 4CG=1 B-4G-BG, 旋转， ∠CDE=90°，CD=DE, ·∠EDH=∠DCG=90°-∠CDG, ·△CDG≌△DEH(AAS), .DH=CG,EH=DG, ..DH=AG=BG, :.AH=DG,HG=BD, :.AH=EH, 在AB上截取DP=BD,则DP=HG, ..HP=DG, :.HP=AH, EH⊥AP, .AE=PE F为BE的中点， .DF=1PE, 2 :DF=AE,即AB=2DF」 9.(2026北京丰台一模)如图，在Rt△ABC中，BAC=90°，AB>AC,D为AC的中点，过点D作 DE1AC,交BC于点E,点F在线段DE上，且DF=24C,连接A, 13/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：AF平分∠BAC; (②)连接BF,将射线FB绕点F顺时针旋转90°，交CA的延长线于点G. ①依题意补全图形； ②用等式表示EF,AF与CG之间的数量关系，并证明， 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②CG=2EF+√2AF,证明见解析 【分析】(1)由中点的定义结合已知条件可得AD=DF,利用等边对等角可得DAF=∠AFD,再说明 AB∥DE可得∠BAF=∠DFA,则∠BAF=∠DAF即可证明结论； (2)①按要求完成作图即可；②如图：连接CF并延长交AB于点H.先说明∠AFC=90°，利用勾股定理 可得AC=V2Ar,再说明DE∥AB,利用平行线分线段成比例可得CP-C-CE,易得EF是aCBH的中 AD FH BE 位线可得BH=2EF,再说明△GAF≌△BHF(ASA)可得AG=BH,再利用线段的和差以及等量代换即可解 答 【详解】(1)证明：~点D为AC的中点， .AD=IAC 2 DF-LAC. 2 ∴AD=DF, ∴.∠DAF=∠AFD DE L AC,∠BAC=909 ∠BAC=∠EDC=∠ADF=90°， ∴.AB∥DE ∠BAF=∠AFD, ∴.∠BAF=∠DAF, AF平分∠BAC, (2)解：①如图即为所求； 14/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G E ②数量关系：CG=2EF+√2AF,证明如下： 如图：连接CF并延长交AB于点H, G A D B E ~点D为AC的中点，DE L AC, .AF CF,AD=CD. 又~AF平分∠BAC,∠BAC=90°， ∠DAF=∠DCF=45°， ∠CFD=∠AFD=45°， ∴∠AFC=90°. 在Rt△AFC中，根据勾股定理，AC=√AF2+CF2=√5AF, DE L AC, ∴∠EDC=∠BAC=90°. DE∥AB CD CF CE AD FH BE AD=CD, .CF=FH CE=BE. EF是△CBH的中位线， ..BH =2EF. ∠AHF=180°-∠BAC-∠ACF=45°， ∠AHF=∠2. 15/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF=HF,∠AFH=90°· ∠BFG=90°， .∠BFG-∠HFG=∠AFH-∠HFG,则∠3=∠4： :∠1+∠GAF=180°，∠AHF+∠BHF=180°，∠1=∠AHF=45°， ∠GAF=∠BHF. △GAF≌aBHF(ASA) :.AG=BH. .AG=2EF. CG=AG+AC, ∴CG=2EF+√2AF. 10.(2026北京昌平.一模)已知，如图△ABC,∠B=x,点E是AB上的点，连接CE,点B关于直线CE的 对称点为点F,连接CF,EF,将射线CF绕点C逆时针旋转180°-，得到CG，,在射线CG上取一点P,使 ∠CPF=∠CAB,延长PC交AB于点D. 力 (I)求证：DCE=∠DEC: (2)连接DF,若∠DFE=2∠B,用等式表示CP,AD,DF三者之间的数量关系，并证明. 【答案】（①）见解析 2)AD=CP+DF,见解析 【分析】(1)根据题意可得∠PCP=180°-a,则∠DCF=ax=∠B,由轴对称的性质可得∠FCE=∠BCE, 则可证明∠DCE=∠DEC; (2)在线段AB上取一点Q,连接CQ,使得CO=CB,证明∠AQC=∠PCF,C?=CB,则可证明 △CQA≌aFCP(AAS),得到CP=AQ,进而可证明∠CFE=∠B=x,DC=DE,再证明 ∠DFC=B==∠DCF,推出DE=DF,则∠DEF=∠DFE=2a,设∠FCE=p,∠CEF=B+3C,据 此可推出2+B=90°，证明∠QCD=∠COD,得到QD=DC=DF,则AD=AQ+QD=CP+DF, 【详解】(1)证明：由题意得，∠PC℉=180°-a, 16/75 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠DCP=180°-∠PCF==∠B, :点B关于直线CE的对称点为点F, ·.△CBE≌△CFE, ∴∠FCE=∠BCE, 设∠FCE=∠BCE=B, ∴.∠DCE=∠DCF+∠FCE=Ox+阝. ∠DEC=∠B+∠BCE=x+B, DCE=∠DEC: (2)解：AD=CP+DF,证明如下： 如图所示，在线段AB上取一点Q,连接CQ,使得CO=CB, PIG .∴.∠COB=∠B=C. D A ∠A0C=180°-∠CQB=180°-a, ∴.∠AQC=∠PCF :点B关于直线CE的对称点为点F, ∴.CF=CB ∴.CQ=CB 又：∠CPF=∠CAB, .ACQA≌△FCP(AAS), .CP=A0, 由(1)知△CBE≌△CFE,∠DCE=∠DEC, ∴，∠CFE=∠B=a,DC=DE. .'∠DFE=2∠B=2C, .∠DFC=∠B==DCF, ∴.DC=DF, ..DE=DF, 17/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠DEF=∠DFE=2a, 在△CFE中，设∠FCE=B, ∠CEF=∠CED+∠DEF=a+p+2Cx=B+3Cx, ∴.B+阝+3a+x=180°， 即2a+B=90°， .在△QCB中，∠QCE=180°-∠CQB-∠B-∠BCE=90°， ∴∠QCD=90°-∠DCF-∠FCE=90°-a-B=x. ∴.∠QCD=∠CQD, ..OD=DC=DF. .AD=AQ+OD=CP+DF. 11.(2026北京模拟预测)在△ABC中，AB=AC,(60°<∠CAB<90),BA平分∠CBE,BE交CA的延长 线于点E,在CB的延长线上取点D,使CD=BE,连接AD,DB. D B 图1 图2 (1)如图1，求证：∠DAE=∠BAC, (②)如图2，过点D作DF⊥CD交AB的延长线于点F,判断AE、AC与BF的数量关系，并证明， 【答案】(1)见解析； 回4E=4C-号BF,证明见解折。 【分析】证明△ABE≌△ACD,可得出DAE=∠BAC,通过导角得到∠BDH=BAC，得到DH∥CE,进 一步得到AH=AD,即可得出结论 【详解】(1)证明：BA平分∠CBE, ∠ABE=∠ABC, AB=AC, ∴.∠ACB=∠ABC, 18/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ABE=∠ABC, 在△ABE和△ACD中， AB=AC ∠ABE=∠ABC, CD=BE △ABE≌△ACD(SAS), ∴.∠BAE=∠CAD, ·∠DAE=∠BAC; (2)解：AE=AC+BF,理由如下： 取BF中点H,连接DH,如图： E A B ~DF⊥CD, ∴∠BDF=90°， .DH-BH--BF, W△ABE≌△ACD, ∴AD=AE, AB=AC, ∠ABC=∠ACB=, ∠DAE=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2a, DH=BH,∠DBH=∠ABC=o, ∠BDH=DBH=x, ∠BHD=180°-∠BDH-∠DBH=180°-2a, ∠BHD=∠BAC, DH∥CE, 19/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ADH=∠DAE=180°-2a, ∴∠ADH=∠BHID, :.AH AD, AE-AH -AB+BF-AC+BF. 考点03 四边形 1.(2026北京顺义一模)每一个外角都是60°的正多边形为() A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 【答案】B 【分析】利用任意多边形外角和为360°，结合正多边形各外角相等的性质计算边数即可得到答案 【详解】解：任意多边形的外角和为360°，且正多边形的所有外角都相等， 360° 该正多边形的边数为 =6, 60° “该正多边形为正六边形 2.(2026北京朝阳一模)若一个六边形的每个外角都是x°，则x的值为() A.30 B.60 C.80 D.120 【答案】B 【分析】任意多边形的外角和恒为360°，六边形有6个外角，结合每个外角相等的条件即可计算x的值 【详解】解：~任意多边形的外角和为360°，该六边形有6个外角，且每个外角都相等， x-360 60 6 3.(2026北京顺义一模)如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，BF⊥AE于点F.若 AB=4,∠B.AE=60°，则DEF的面积为 F B 【答案】6 【分析】根据正方形的性质得出AB=AD=4,∠DAB=∠ABC=90°，利用含30度角的直角三角形的性质 20/75 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求出AE和AP的长，进而得出EF的长，再作辅助线求出点D到AE的距离，最后利用三角形面积公式计算 即可 【详解】解：~四边形ABCD是正方形，AB=4 ∴.AB=AD=4,∠DAB=∠ABC=90°， ∠BAE=60°， ∴在Rt△ABE中，∠AEB=90°-60°=30°， .AE=2AB=8, ~BF⊥AE ∠AFB=90°， 在Rt△ABF中，∠ABF=90°-60°=30°， AF 24B=2, EF=AE-AF=8-2=6, 如图：过点D作DG⊥AE于点G, B ∠DAB=90°，∠BAE=60°， ∴.∠DAG=∠DAB-∠BAE=30°， 在RtA4DG中，DG=AD=2, 2 ∴Sa=E.DG=x6×2=6. 2 4.(2026北京丰台一模)如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，CF⊥BE,垂足为F,若AB=4, 则△ABF的面积为· E 21/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 【分析】结合正方形的性质，利用勾股定理求得BE,接着证明△AEB∽aFBC,求得BF,从而得到 BF:BE=2:5,最后利用SABR= Se求得答案， 5 【详解】解：~四边形ABCD是正方形，AB=4,E为AD的中点， ∠DAB=∠ABC=90°，AE=2,AB=4=BC,AD∥BC, ∴BE=VAE2+AB2=V22+4=2N5,∠AEB=∠CBF, ~CF⊥BE, .∠CFB=90°， ∠DAB=∠CFB=90°，∠AEB=∠CBF, ∴.△AEB∽AFBC, AEBE FB CB 22V5 EB 4 .BF=2x4_4V5 2V55 BF-4525=2 BE 5 5 2 SABR= 214B·AE=X4x2、8 58.a=52 5.(2026北京大兴.一模)如图，在正方形ABCD中，点E是CD中点，连接BE,点F为BE上一点， AF=AB,若AB=2,则△ABF的面积为· 【皆案116 【分析】过点A作BE的垂线，垂足为G,证明△ABG∽△BEC,再利用三角形面积的比是相似比的平方， 即可得出结果 【详解】解：过点A作BE的垂线，垂足为G,如下图： 22/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E :四边形ABCD是正方形， G ..AB IICD, ∴.∠ABG=∠BEC, :∠AGB=∠BCE=90°， .△ABG∽△BEC, 4B) SBEC BE BE=BC+EC=2+1=5, ×2×1=1,AB=2, 2 :.S.Ad AB 22 BE 14 :AF=AB,AG⊥BE, .S△ABR=2S△ABG=2× 48 55 【点晴】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，相似三角形的性质，作辅助线，构造 相似三角形，利用面积比是相似比的平方，是解题的关键 6,(2026北京通州一模)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E,连结BE,点F为BE的 中点，连接CF,若AB=3,AD=2,则CF的长为， 【答案】5 【分析】由于AE平分∠BAD可得出△DAE为等腰直角三角形则可算出CE,用勾股定理算出BE,利用直角 三角形斜边上中线的性质可得CF的长， 23/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：矩形ABCD, DAB=∠BCD=∠D=90°， :AE平分∠BAD, ∴.∠DAE=45°， .∴△DAE为等腰直角三角形， .AD=DE=2, :矩形对边相等， ..CD=AB=3,AD=BC=2, ∴.CE=CD-DE=3-2=1, 在△BCE中， BE =CE+CB2=5, :F为BE的中点且△BCE为直角三角形， CF-1BE- 2 2 7.(2026北京平谷一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=10,对角线BD的长为 l6,E是AB的中点，F是BD上一点，连接EF,若DF=3,则EF的长为· D 【答案】3v10 【分析】如图所示，取OB的中点G,连接EG,根据菱形的性质可知AC⊥BD,利用勾股定理得到OA, 结合中位线的性质可得EG,且EG⊥OB,再求出GF,最后利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图所示，取OB的中点G,连接EG, D G B ~菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB=10,BD=16, AC⊥BD,OB=OD=BD=8, 24/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OA=AB2-OB2=6, ~点E是AB的中点，点G是OB的中点， EG是△OAB的中位线， .EG//0A,REGLOB,EG=10A=3,OG-L0B-4, 又DF=3, ..OF =OD-DF=5,GF=OG+OF=9, .EF=VEG+GF2=V32+92=3V10. 8.(2026北京西城一模)如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F是DE的中点，过点F作GH⊥DE 分别交AB,DC于点G,H,连接EG,若AB=8,DH=5,则△EFG的面积为 F E 【答案】15 【分析】连接DG,EH,根据正方形的性质及勾股定理求出BE,设AG=x,根据GE=GD利用勾股定理列 方程求出AG,然后求出GE,EF,则面积可得 【详解】解：连接DG,EH, B 点F是DE的中点，GH⊥DE, ..EH =DH=5,GD=GE 正方形ABCD中AB=BC=CD=DA=8, ..HC=DC-DH=3, 在Rt EHC中，EC=VEH-HC2=4, 25/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BE=BC-EC=4, 设AG=x,则BG=AB-AG=8-x, GD2=AG+AD,GE=BG2+BE, 解得：x=1, GE=VBG+BE2=(8-1}+4=65, ~DE=VDC2+CE=V82+4=4V5,点F是DE的中点， .EF=1DE=25, 2 GH⊥DE, ÷GF=VGE2-EF3=65-20=3V5, Sm=号GF×EF=×3N5×2N5-15 1 9,(2026北京西城模拟预测)如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE交对角线BD于点F,若 AB=6,BE=2,则BF= A D B 【答案】3v2 【分析】由正方形的性质和勾股定理求出BD的长，证明△ADF∽aEBF求出 架器专啊 BF=}BD=3迈 4 2 【详解】解：~四边形ABCD是正方形， AD∥BC,AD=AB=BC=6,∠BAD=90°， BD=√AD2+AB2=6VN2; AD∥BC, ∴.△ADF∽△EBF, BF BE 1 DF AD 3' 26/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴BF=BD=32 4 2 10.(2026北京海淀一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,点E在BC的延长线上，连接AE, 交CD于点F.若△ABE的面积为15，则△ADF的面积为. B D 【省来】智 【分析】由矩形的性质可得BC=AD=4,CD=AB=6,∠B=∠D=90°，AD∥BC,结合△ABE的面积为15， BE=5,求出cE=L,再证明△ADF∽△ECP,求出DP=4，最后由三角形面积公式计算颤 结果。 【详解】解：~四边形ABCD为矩形， BC=AD=4,CD=AB=6,∠B=∠D=90°，AD∥BC, ~△ABE的面积为15， BEB-BEx6-15, 1 2 BE=5, ..CE=BE-BC=1, AD∥BC, △ADF∽△ECF, DF_AD=4=4, CF CE 1 DF +CF=CD, .DF=4CD=24 5 △4DF的面积为D-DF-号4手 2448 5-5 11,(2026北京一模)如图，在正方形ABCD中，BD=6V2,点E为AD上一点，连接CE交BD于点F, 延长CE交BA的延长线于点G,连接AF,若AG=2,则AF的长为 27/75 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G E D B 【等案】9 【分析】过点F作FM⊥AB,延长MF交DC于点N,证明△GFB∽△CFD,即可求得FM,再求得AM, 利用勾股定理即可解答 【详解】解：如图，过点F作FM⊥AB,延长MF交DC于点N, G B 在正方形ABCD中，∠DBC=∠BDC=45°，AB∥DC, .AB=AD=DC= BD 迈 =6, :AB∥DC, ·.△GFB∽△CFD, :FM⊥AB,AB∥DC ∴.FN⊥DC, GB FM 6+2 4 CD FN 63' .'∠AMN=∠ANM=∠ADN=90°， ∴.四边形AMND为矩形， ∴.MN=AD=6, ∴FM=4MN=24 7 ∠MBF=45°， ..MB=MF= 24 7 28/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AM=AB-BM=18 ..AF=VAM+MF= 30 7 12.(2026北京顺义一模)如图，在口ABCD中，AC,BD交于点O,E是CD的中点，过点O,E分别作直 线BC的垂线，垂足分别为G,F. B G (1)求证：四边形OGFE是矩形； (2)若∠BC0=45°，OD=5,0G=1,求CF的长. 【答案】(1)见详解 ②号 【分析】(1)首先证明OE为△DBC的中位线，易得OE∥BC,再证明OG∥F,可知四边形OGFE为 平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案： (2)首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得BG=2,再证明△GOC为等腰直角三角形，易得 GC=0G山进而确定8C的长度，进-声由三角形中位线的性质确定0E},施形的性英可得 GF-OE=3 然后由CF=G邵-GC求解即可。 【详解】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，AC,BD交于点O, OB=OD,即O为BD中点， E是CD的中点， .OE为△DBC的中位线， OE∥BC, OG⊥BC,EF⊥BC, OG∥F, 四边形OGFE为平行四边形， 又OG⊥BC,即∠OGF=90°， 四边形OGFE是矩形； 29/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：OD=5, 0B=OD=5, .OG=1,OG⊥BC, BG=OB-0G=5)-1P=2, ∠BC0=45°， .∠GOC=90°-∠BC0=45°=∠BC0, ..GC=OG=1, ..BC=BG+GC=3, ~OE为△DBC的中位线， .OB-,Bcs 3 2 ~四边形OGFE是矩形， 4GF=OE=3 CF=GF-GC=3 1 -1= 2 13.(2026北京丰台一模)如图，在菱形ABCD中，延长AD至点E使DE=AD,延长CD至点F使 DF=CD,连接AC,CE,EF,FA. D C (I)求证：四边形ACEF是矩形； ②连接F.若=3，m∠B4C子，求BF的长。 【答案】()见解析 (2)N41 【分析】(1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形、对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得结 论： (2)先根据菱形的性质和正弦的定义求得BG=2,AG=V5，然后证得四边形AGHF是矩形，根据矩形的 30/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 性质可得FH=AG,GH=AF,接着利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形ABDP 是平行四边形，从而得到GH=AF=BD,进而得到BH,最后由勾股定理解答即可， 【详解】(1)证明：DE=AD,FD=CD, 四边形ACEF是平行四边形，AE=2AD,CF=2CD, ~四边形ABCD是菱形， ..AD=CD, ..AE=CF, 四边形ACEF是矩形； (2)解：如图，连接BD并延长交AC于点G,交EF于点H, 分 G H 菱形ABCD, ∴AC⊥BD,BD=2BG,AB∥CD,AB=CD, .∠AGB=∠AGD=90°， 在Rt△AGB中，AB=3,sSin∠BAC=BC-2 AB 3 BG=2,AG=VAB2-BG=V32-22=√5， ..BD=2BG=4, 由(1)可知，四边形ACEF是矩形， ∠CAF=∠AFE=90°=∠AGD, :四边形AGHF是矩形， ∴FH=AG=V5,GH=AF,∠GHF=90°， DF=CD,AB=CD,AB∥CD, ..AB=DF, 四边形ABDF是平行四边形， =D=4, ∴GH=AF=4, 31/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BH=BG+GH=2+4=6, 在Rt△BHF中，BF=VBH+FH=V4I· 14.(2026北京石景山一模)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，点F在DE的延长线 上，且DF=DB,点G在边BC上，且FG∥AB. D F B G (I)求证：四边形DBGF是菱形： (2)连接BF,若∠FBC=30°，DE=4,CG=2,求BF的长. 【答案】(1)见解析 (2)6v3 【分析】(1)根据三角形中位线定理先得到DF∥BC,然后即可证明四边形DBGF是平行四边形，再根据 邻边相等即可证明其为菱形； (2)连接DG与BF交于点O,先根据三角形中位线定理求解BC,即可求解BG,然后根据菱形得到 DG⊥BF,BO=FO,再根据30°角直角三角形的性质以及勾股定理求解即可， 【详解】(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， DF∥BC, ~FG∥AB “四边形DBGF是平行四边形， DF =DB, 四边形DBGF是菱形： (2)解：连接DG与BF交于点O, 32/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E F B G ~D,E分别为AB,AC的中点， ..BC=2DE =8, ..BG=BC-CG=6, ~四边形DBGF是菱形， ∴DG⊥BF,BO=FO, ∠FBC=30°， :0G=1BG=3, 2 “B0=VBG-OG=3V3, BF=2B0=6V5 15.(2026北京朝阳一模)如图，在口ABCD中，点E在CD边上，∠CBE=∠A,过点C作BE的平行线， 交AB的延长线于点F, D B (I)求证：四边形BECF是菱形： (2)连接EF,若AB=6,DE=2,∠A=60°，求EF的长. 【答案】（①）见解析 (2)EF=4V5 【分析】(1)先证出四边形BECP是平行四边形，再证出BE=CE即可. (2)根据四边形BECF是菱形得到CB⊥EF,结合∠A=60°解三角形即可 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,∠A=∠BCD, :BE∥CF, 33/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴四边形BECF是平行四边形， :∠CBE=∠A, ∴.∠CBE=∠BCD, .BE =CE, .四边形BECF是菱形. (2)解：如图，设EF交BC于点G. D 由(1)得，CD=AB=6,∠BCE=∠A=60°，CB⊥EF,EG=GF. DE=2, ∴.CE=4. 在Rt△EGC中，EG=CE.sin∠BCE=4sin60°=2V5. .EF=45 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，以及解三角形，熟练掌握相关知 识点是解决本题的关键， 16.(2026北京大兴一模)如图，在四边形ABCD中，AB=BC,CD∥AB,点E,F分别为AC,BC的中 点，DE∥CF. B (1)求证：四边形EFCD为菱形： (2)若∠ADC=90°，EF=2,求AD的长， 【答案】(1)见详解 (2)AD=2N3 【分析】(1)先根据点E,F分别为AC,BC的中点，得出EF=二AB,CF=二BC,EF‖AB,证明四边形EFCD 2 2 为平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形进行作答即可； 34/75 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)根据菱形的性质得ED=EF=CD=2,再运用斜边上的中线等于斜边的一半得AC=4,最后由勾股定 理进行列式计算，即可作答 【详解】(1)证明：点E,F分别为AC,BC的中点， EF=AB,CF=BC,EF‖AB, 2 CD∥AB, .CD∥EF, DE∥CF 四边形EFCD为平行四边形， AB=BC.EF=AB,CF= ..EF =CF, 四边形EFCD为菱形： (2)解：由(1)得四边形EFCD为菱形， ..ED=EF=CD=2, ∠ADC=90°，点E为AC的中点， .ED=AC, 即AC=4, 在RtaADC中，AD=VAC2-CD2=V16-4=2N5, 17.(2026北京昌平.一模)如图，在△ABC中，AB=BC,D,E分别为AB,AC中点，连接BE,过点B 作BE的垂线，与直线DE交于点F,连接AF, D E (I)求证：四边形AEBF是矩形； ②若40=5，am∠DE=子，求4r的长 【答案】()见解析 (2)3V10 【分析】(1)利用等腰三角形三线合一与三角形中位线定理，先证明四边形FBCE是平行四边形，再结合E 35/75 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是AC的中点，证明四边形AFBE是平行四边形，结合FB⊥BE证明其为矩形； (2)过点A作AG⊥FE于点G,结合锐角三角函数定义，先求出相关线段长度，再结合矩形的性质，转化 为求对应边的长度 【详解】(1)证明：D,E分别为AB,AC中点， .DEI‖BC, :AB=BC,E为AC中点， .BE⊥AC, :FB⊥BE, .FB‖AC, ∴.四边形FECB是平行四边形， .FB=EC, :E为AC中点， ∴.AE=EC, ∴.FB=AE, ∴.四边形AEBF是平行四边形， FB⊥BE, ∴.∠FBE=90°， .四边形AEBF是矩形： (2)解：过点A作AG⊥FE于点G. D :在Rt△ADG中，tan∠ADG= AG 3 DG 4 设AG=3x,则DG=4x, ∴AD=5x, .AD=5, .x=1, ∴.AG=3,DG=4, :四边形AEBF是矩形， ∴.FD=AD=5, 36/75 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FG=9, 在Rt△AFG中，AF=NAG+FG=3VI0 18.(2026北京通州一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E,点F分别是BC,AC的中点，延长 BA到点D,使AD=-AB,连接DE,DF,AE,EF,A与DE交于点O. B (1)求证：四边形AEFD是平行四边形； (2)若AB=6,BC=10,求DE的长. 【答案】(1)见解析 (2)ED=2V13 【分析】1)根据三角形中位线定理可得欧∥B,EF=4B,进而证明4D∥EF,4D=EP,则可证 明四边形AEFD是平行四边形： (2)先利用勾股定理求出AC,再由平行四边形的性质求出AO的长，进而利用勾股定理求出OD的长即 可 【详解】(1)证明：点E,点F分别是BC,AC的中点， ÷EF∥AB,EF=AB, 2 1 AD=AB, AD∥EF,AD=EF, :四边形AEFD是平行四边形， D B (2)解：∠BAC=90°，AB=6,BC=10, 在RtAABC中，AC=VBC2-AB2=8, 37/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点F是AC的中点，AD= 4F=4C=4, ~四边形AEFD是平行四边形， ∴.AO= =2， 在RtAAOD中，OD=VAD+AO=V13, ∴ED=20D=213 19.(2026北京西城一模)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC平分∠BAD,过 点B作BE⊥CD交DC的延长线于点E,过点B作BF∥ED,交AC于点G,交AD于点F. G E C D (I)求证：四边形BEDF是矩形； (2)若点F是AD的中点，DE=9,求AB的长. 【答案】（①）见解析 (2)AB=6N5 【分析】(1)根据三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； (2)证明△ABC≌△ADC(AAS),得到AB=AD=2AF,进而利用特殊角的三角函数值求解即可， 【详解】(1)证明：：BE⊥CD, ∴.∠BED=90°， :BF∥ED, ∴.∠BFD+∠ADC=180°， :∠ADC=90°， .∴.∠BFD=90°=∠FDE=∠BED, 四边形BEDF是矩形 (2)解：点F是AD的中点， 38/75 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..AD=2AF, ~AC平分∠BAD, .∠BAC=∠DAC, :∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC, ∴△ABC2△ADC(AAS), ∴.AB=AD=2AF, 在RtABF中，sin∠ABP=AF_L AB 2' ∠ABF=30°， ~在矩形BEDF中，DE=9, ..BF=DE=9, .'COS∠ABF= BE AB' .c0s30°= 95 AB 2' ..AB=63 20.(2026北京平谷一模)如图，平行四边形ABCD,E是BC延长线上一点，BD=DE,且 ∠∠ABC=2∠DEB, D (I)求证：四边形ABCD是菱形； (②)连接AE交BD于F,若∠DEB=30°，AD=4,求BE和AF的长. 【答案】(1)见解析 (2)BE=12,AF=V7 【分析】(1)根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出∠ABD=∠DBC=∠ADB,则AB=AD,即 可得证： (2)过点A作AH⊥BE于点H,根据菱形的性质，得出△ABC是等边三角形，BD=DE=4V3,再得出 ∠CDE=90°，利用勾股定理求出CE=8,即可得出BE的长，根据三线合一的性质和勾股定理，求出 AE=4V7,证明△ADF∽△EBF,利用对应边成比例得出EF=3AF,即可求出AF的长 39/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：：平行四边形ABCD, :AD∥BC, ∴.∠ADB=∠DBC, :BD=DE, ∴.∠DBC=∠DEB, :∠ABC=2∠DEB, ∴.∠ABC=2∠DBC, ∴.∠ABD=∠DBC=∠ADB, ∴.AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形： (2)解：如图，过点A作AH⊥BE于点H, .∠DEB=30°， B E H ∴.∠ABC=2∠DEB=60°， 由(1)可知，四边形ABCD是菱形， :.AB=BC=CD=AD=4,AB//CD,AD//BC.AC I BD,OA=OC=TAC,OB=OD=BD, 2 ∴△ABC是等边三角形， ∴.AC=BC=4, ∴.OA=OC=2, .在Rt△AOB中，OB=VAB-OAP=2V5, ∴.BD=2OB=4V5, .BD DE=43, 'AB∥CD,∠ABC=60°， ∴.∠DCE=∠ABC=60°， ∴.∠CDE=180°-∠DEB-∠DCE=90°， ∴.CE=VCD+DE2=8, .BE=BC+CE=12, 40/75 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△ABC是等边三角形，AH⊥BE .B=CH-BC-2, ..AH=AC-CH=23,EH BE-BH =10, .在RtAHE中，AE=VAH+EH°=4v万， :AD∥BC, .∠ADF=∠EBF,∠DAF=∠BEF, ∴△ADF∽△EBF, AF AD 4 1 EF BE123' .EF =3AF, .AF=}AE=V万 4 21,(2026北京一模)如图，在四边形ABCD中，BA=BC,E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB, AF∥DC. D F B E (1)求证：四边形AFCD是菱形； (2)若AF=2, cos∠AFE=1, 求AC的长， 4 【答案】（①）见解析 (21o 【分析】(1)证明EF是△ABD的中位线，得FE∥AD,又DC∥AF,可得四边形AFCD是平行四边形， 得AO=CO;再证明△ABO≌△CBO(SSS),得∠AOB=∠COB=90°，可证明四边形AFCD是菱形； 2)过点A作4G1CE于点G,根据cos∠4FE求出FG=),CG=),由勾股定理得出AG=V15 在Rt△CAG中，由勾股定理得AC=V10, 【详解】(1)证明：DF=FB, F是DB的中点， 41/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又E为AB的中点， EF是△ABD的中位线， EF∥AD, 又AF∥DC, ∴四边形AFCD是平行四边形； 设AC与DF交于点O,则AO=CO, D F B E 又AB=BC,BO=BO, ·△ABO≌△CBO(SSS), ·∠AOB=∠COB, 又A,O,C三点在同一条直线上， ÷∠A0B=∠COB=x180°=90°，即DF1AC, 四边形AFCD是菱形； (2)解：过点A作AG⊥CE于点G,如图， C F G B E 由(1)得四边形AFCD是菱形， ..AF FC=2, :cos∠AFE=4' 1 FG 1 .1 FG=2' 42/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15 ..CG=CF+FG=2+ 22 在Rt△AFG中，AG=VAF2-FG 在Rt△ACG中，AC=VAG+FG v15 =0 2 22.(2026北京西城模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥CB 于点E,过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F,连接FB, B (1)求证：四边形ACFD是平行四边形； (②)若CD=6,snA=4, 求EF的长. 【答案】（①）见解析 (2)3.6 【分析】(1)可证明E∥AC,再由CF∥AB即可证明结论； (2)根据直角三角形的性质得到AB=2CD=12,BD=CD=6,解直角三角形得到BC=9.6,则 AC=7.2,sin∠ABC= ，由平行四边形的性质得到DF=4C=72:解直角三角形求出DB的长即可得到 3 答案。 【详解】(1)证明：DE⊥CB, ∠DEB=90°=∠ACB, E∥AC, 又CF∥AB,即CF∥AD, 四边形ACFD是平行四边形； (2)解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， ..AB=2CD=12,BD=CD=6, sinA=5' 4 43/75 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC 4 AB=5 BC=9.6, AC=AB2-BC2=7.2, sin∠ABC= AC7.23 AB125 四边形ACFD是平行四边形， DF=AC=7.2; 在Rt△BED中，DE=BD·sin∠DBE=3.6, ..EF DF-DE =3.6. 考点04 圆 1.(2026北京石景山一模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=65°，以AC为直径画圆，与AB交于点 D,与BC交于点E,连接DE,则∠DEC的大小为() B A.130° B.1150 C.65° D.50° 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质求出∠BAC=50°，再根据圆内接四边形对角互补求出 结果 【详解】解：如下图所示， :在△ABC中，AB=AC,∠B=65°， ∴.∠ACB=∠B=65°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-65°-65°=50°， .四边形ADEC是圆内接四边形， ∴.∠A+∠DEC=180°， ∴.∠DEC=130°. 44/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026北京昌平.一模)如图，点A为射线OM上一点，将射线OM绕点O逆时针旋转(0°<x<180°)得 到射线ON,以O为圆心，OA长为半径画圆，交射线ON于点B,以点B为圆心，AB长为半径画弧，交⊙O 于点C(A,C不重合)，连接AC交OB于点D,连接OC,根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定 正确的是() a M A.AC⊥OB B.AD=CD C.∠AOB=∠BOCD.OD>BD 【答案】D 【分析】由作图可知：AB=BC和OB=AO,由垂径定理可得出AC⊥OB,AD=CD, ∠AOB=∠BOC=a,由x(0°<x<180)不确定大小则无法判断OD>BD. 【详解】解：根据作图可知：，OB=AO, AD=CD,AC⊥OB, ∠AOB=∠BOC=,OB=AO=OC, (0°<<180)不确定大小， 无法判断得出OD>BD. 3.(2026北京通州一模)如图，△1BC内接于O0,B4C=40,分别以点A和点B为圆心，大于4B 的长为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ交AC于点D,连接BD并延长交⊙O于点E,连接OA、 OE,则∠AOE的度数是() 45/75 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.40° B.60° C.80° D.90° 【答案】C 【分析】根据题意可得PQ垂直平分AB,则DA=DB,即可得∠ABE=∠BAC=40°，再根据圆周角定理即 可解答， 【详解】解：根据题意可得PQ垂直平分AB, :.DA=DB, ·∠ABE=∠BAC=40°， “AE=AE, ÷∠AOE=2∠ABE=80°. 4.(2026北京模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,AC=CD,如果AC=2V5,则⊙O 的半径长为() E D A.5 B.2 C.4 D.1 【答案】B 【分析】连接AD,OC,证明△ABC为等边三角形，再根据三角函数解答即可， 【详解】解：如图，连接AD,OC, ~AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, 46/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.CE=DE,AC=AD, .AC=CD, ..AC=CD=AD, ∴△ABC为等边三角形， .∠ACD=60°， ∠CAE=90°-60°=30°， .CE=1 AC=5, 2 .OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC=30°， .∠0CE=60°-30°=30°， ∴.C0= CE 3 =2 cos30°V5 2 5,(2026北京大兴.一模)《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、 弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有 重要实用价值.其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸.问：截弦？”.题意为：如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB=10,AE=1,则CD的长为· B 【答案】 6 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合己知条件求出OE的长度，然后利用垂径定理和勾股定 理求出CE的长度，最后根据垂径定理求出弦CD的长度， 【详解】解：连接OC,如图， 47/75 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 已知AB是⊙O的直径，且AB=10, 可得0c=54B=10=5, 因为AE=1,OA=OC=5, 所以OE=OA-AE=5-1=4. 因为弦CD L AB于点E, 根据勾股定理可得CE=VOC2-0E2=V5-4°=√25-16=V5=3, 因为弦CD⊥AB于点E, 所以CD=2CE=2×3=6. 6,(2026北京顺义一模)定滑轮在生活中起着改变力的方向的作用.如图，滑轮支架AO竖直向下，且与 吊板MN垂直，绳子的BC部分竖直向下，与⊙O相切于点B,绳子的DE部分与OO相切于点D.连接 OB,OD,若∠BOD=132°，则绳子的DE部分所在直线与吊板MN所在直线所成的锐角的大小为 B 【答案】42 【详解】解：沿DE反向延长，延长线交OA于点F,交MN于点G,如下图，∠AGF即为所求， 48/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M GA F D :OA,BC垂直向下， E .OA∥BC, :⊙O与BC相切， ∴.∠OBC=∠BOA=90°， ∠FOD=∠B0D-90°=132°-90°=42°， :OD⊥DE,OA⊥N, .∴△FOD,△FGA都是直角三角形， :∠OFD=∠GFA, ∴.∠AGF=∠FOD=42°. 7.(2026北京西城一模)如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为 直径的圆经过点C,D,则tan∠ADC的值为 B 【答案105 【分析】连接AC、BC,根据圆周角定理可知∠ADC=∠ABC,根据直径所对的圆周角是直角，可知 ∠ACB=90°，根据正切的定义即可求出结果. 【详解】解：如下图所示，连接AC、BC, Ac=Ac ∴.∠ADC=∠ABC, :AB是直径， ∴.∠ACB=90°， tan∠ADC=tan∠ABC=AC BC 由网格可知AC=2,BC=4, 49/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan∠ADC=AC_21 BC 4 2 B D 8.（2026北京平谷一模)如图，△ABC内接于⊙O,∠A=45°，若BC=2V2,则BC的长为· 【答案】元 【分析】连接OB,OC,根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据勾股定理求出圆的半径，最后利用弧长 公式计算即可， 【详解】解：连接OB,OC, A .∠A=45°， B .∠B0C=2∠A=90°， ..OB=OC, ∴AOBC是等腰直角三角形， 由勾股定理得OB2+OC2=BC2, 设⊙0的半径为R,则2R=(2V2=8, 解得R=2(舍负)， BC的长为90r×2 180 9.(2026北京海淀一模)如图，AB为⊙O的直径，点A为CD的中点，若∠A=65°，则∠B的大小为 50/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】25 【分析】由圆周角定理可得∠4CB=90°，由点A为CD的中点结合已知条件可得∠BAC=∠OAD=65°，再 根据直角三角形两锐角互余即可解答， 【详解】解：AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∠OAD=65°，点A为CD的中点， ∠BAC=∠OAD=65°， ÷∠B=90°-∠BAC=25°. 10.(2026北京海淀模拟预测)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD,若∠BCD=62°，则∠AOC的度数 为 【答案】56 【分析】根据垂径定理可得BC=AC,再由圆周角定理，即可求解. 【详解】解：如图，连接OB, B CD是OO的直径，弦AB⊥CD, ∴BC=AC,∠CBD=90°， ·∠AOC=∠BOC, ∠BCD=62°， 51/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠BDC=90°-∠BCD=28°， ∠AOC=∠BOC=2∠CDB=2x28°=56°. 11.(2026北京大兴.一模)如图，在△ABC中，AB=CB,以AB为直径作⊙O,交AC于点D,过点A作 ⊙O的切线AE,且CE⊥AE,连接BE交AC于点F, E B (1)求证：∠ECA=∠BCA; 2)BF5 EF8’AB=8,求BF的长 【答案】(1)证明见详解 210w4 13 【分析】(1)利用圆的切线性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质进行证明即可 (2)通过证明三角形相似，得到线段之间的比例关系，再结合勾股定理进而求解即可 【详解】(1)证明：：AE是⊙O的切线，AB为直径， ∴.AE⊥AB,即∠BAE=90°， CE⊥AE, ∴.∠AEC=90°， ∴.AB∥CE, ∴.∠ECA=∠BAC, AB=CB, ∴∠BCA=∠BAC, ∴∠ECA=∠BCA. (2)解：由(1)知AB∥CE, ∴∠ABF=∠CEF,∠FAB=∠FCE, .△ABF~△CEF, AB BF 5 CE EF 8' 52/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设AB=5x,则CE=8x, .AB=CB, ..CB=5x, 过点B作BG⊥CE于点G,如图， B :AE⊥AB,AE⊥CE,BG⊥CE, :四边形ABGE为矩形， ..BG=AE=8,EG=AB=5x, ..CG=CE-EG=8x-5x=3x, 在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG=BC2, 即82+(3x)2=(5x),解得x=2(负值舍去)， ·.EG=5×2=10. 在RteBGE中，BE=VBG+EG2=V82+10=V164=241, BF 5 EF8' ..BF= 2BEx2年=7041 -13 13 12.(2026北京丰台一模)如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠ABC=2∠BAD,过点D作 E∥AC,交AB的延长线于点E. B (I)求证：DE是⊙O的切线； ②连接CD交AB于点E,若阳-E=4,求加的长 【答案】(1)见解析 53/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②AF=96 1 【分析】(1)连接OD,根据圆周角定理，结合已知条件可得∠BOD=∠ABC,然后根据直径所对的圆周角 是直角和两直线平行内错角相等可推出E+∠BOD=90°，进而可证得结论； 2通过证明0 Dc和&ODCA1,得到器-肥8名，然后设0r=北，B即=6，则 OA=OB=11k,根据比例式代入解方程即可解答， 【详解】(1)证明：如图，连接OD, :∠BOD=2∠BAD,∠ABC=2∠BAD, ·∠BOD=∠ABC, ~AB为OO的直径， ∠ACB=90°， .∠CAB+∠ABC=90°， ∴∠BOD+∠CAB=90°， 又EIAC, ∠CAB=∠E, ∠E+∠BOD=90°， .∠ODE=180°-（∠BOD+∠E)=90°，即OD IDE. OD为⊙O半径， DE是⊙O的切线； (2)解：连接CD交AB于点F. B E D 由(1)可知，∠BOD=∠ABC, ∴.OD∥BC, 54/75 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△OFD∽△BFC, OD OF 5 BC BF 6 BOD=∠ABC,∠E=∠CAB, ∴.△ODE∽△BCA, OE OD 5 “BABC6' 设OF=5k,BF=6k,则OA=OB=11k, ..AF=OA+OF=16k,AB=OA+OB=22k, BE=4, ..OE=OB+BE=4+11k, OE4+11k5 BA 22k6' 解得k= 11 AF=16k-16×6=96 1111 13.(2026北京石景山一模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC,点D在BC上，连接 AD,过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E, B D (1)求证：CE为⊙O的切线： ②若n∠BMD=写，OA=3,求DE的长 【答案】(1)见解析 ②o 【分析】(1)根据垂径定理的推论得到OC⊥AB,再由平行线的性质得到∠OCE=∠AOC=90°，即可证明； (2)连接BD,过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T,可得ET=OC=OA=3,再分别解Rt△AET,Rt△ABD 求出AE,AD,即可求解DE, 【详解】(1)证明：连接OC, 55/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ~AC=BC,OC为半径， OC1AB,即∠AOC=90°， CE∥AB, ·∠OCE=∠AOC=90°， “CE为⊙O的切线： (2)解：连接BD,过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T, T------B AB IICE,OC⊥AB,ET⊥AB, ∴∠T=∠TOC=∠OCE=90°， 四边形OCET是矩形， ..ET=OC=0A=3, AB为直径， ∠ADB=90°， tan∠BAD= ET BD 1 ATAD3 AT=9, AE=VET+AT=3v10, 设BD=x,AD=3x,而AB=2OA=6, ∠ADB=90°， 由勾股定理得，AD+BD=AB2, x2+(3x)=6, 解得x=30(舍负)， 5 56/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0i, DE=E-AD=i而-号而-g而， 14.(2026北京顺义一模)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙0上，BC=CD,连接AC,AD,BC,过 点B作⊙O的切线BE交AD的延长线于点E. (I)求证：∠CBE=∠CAE; ②延长BC交4于点F,若DF=2,am∠CAE=号，求EF的长 【答案】（①）见解析 9 【分析】(1)根据切线的性质，圆周角定理，以及同角的余角相等，即可得出结论： (2)连接BD,根据圆周角定理，得到∠ADB=9O°，∠DBF=∠CAE,解直角三角形BDF,求出BD,BF的 长，进而求出BC,CF的长，解直角三角形ABC求出AB的长，求出AD的长，解直角三角形ABE,求出AE 的长，线段的和差关系求出EF的长即可 【详解】(1)证明：~AB是⊙O的直径，BE是⊙O的切线， ∠ACB=90°，∠ABE=90°， ∴∠BAC=∠CBE=90°-∠ABC, BC=CD, .∠BAC=∠CAE, ·∠CBE=∠CAE; (2)解：连接BD,则∠DBF=∠CAE, stan∠DBF=tan∠CAE= 2 ~AB为直径， ∠ADB=90°， .∠BDF=180°-∠ADB=90°， 57/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF 1 tan∠DBF= BD2' ..BD=2DF=4, ∴BF=VBD+DF2=2N5, ∠ACB=∠ACF=90°，∠BAC=∠CAE, ∠ABC=∠AFC，,tan∠BAC=tan∠CAE=1， ..AB=AF, BC=CF=BF=V⑤ 在Rt△ABC中，an∠BAC=BC-1 AC2' ∴AC=2BC=2V5, ÷AF=AB=VAC2+BC2=5, ..AD=AF-DF=3, ∠BDA=∠ABE=90°， cos∠BAD=ABAD3 AE AB5' 3’ EF AE-AF=25_ 3 10 3 B 15.(2026北京朝阳一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点O在AB边上，以O为圆心，OA为半径 作圆，分别与AB,AC边交于点D,E,连接BE,BE=BC, (I)求证：直线BE是⊙O的切线； 58/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②过点A作1E,交账的延长线于点以，M交00了点V,若阳-4N-6,求C的长 【答案】(1)见解析 (2)BC=20 【分析】本题考查了圆的切线、矩形的判定与性质、勾股定理以及三角函数： (1)连接OE,利用等边对等角和直角三角形性质，经角度代换算出∠OEB=90°，从而得出结论： (2)作OG⊥AW于点G,构造矩形和直角三角形，设AO=5x,结合三角函数和已知条件求出BE长度， 因BE=BC,进而得到BC长， 【详解】(1)证明：如图，连接OE. AO=OE, D ∴.∠A=∠AEO BE=BC, ∴.∠C=∠BEC. .:∠ABC=90°， ∴.∠A+∠C=90°， ∴.∠AEO+∠BEC=90°. ∴.∠OEB=90°. .直线BE是⊙O的切线. (2)解：如图，作OG⊥AN于点G. ∴.∠OGM=90°，AG=GN. .4N=6, ∴.AG=3. :AM⊥BE, .∠M=90°， 59/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠OGM=∠M=∠OEM=90°. ∴.四边形OEMG是矩形. ∴.OG=ME. A0 5 ME 4 A0 5 0G4 设A0=5x,则OG=4x, :∠OGA=180°-∠OGM=90°， .AG=VAO-OG2=3x· ∴.A0=5,OG=4. tan∠04G= 3 :AM∥OE, ∴.∠OAG=∠BOE, tam∠BOE= 4 在Rt△BOE中，OE=5, 六BE=OB.tan<.B0B=20 BC=20 16.(2026北京昌平.一模)如图，AB为⊙O直径，PB,PC与⊙O相切，切点分别为B,C,连接OP交⊙O 于点D,连接BC交OP于点E,连接AC, (1)求证：AC∥OP; 2作射线4D交BC,PB分别于点F,G,若DF=4D,DG=5,求OO的半径. 【答案】（①）见解析： (2)5 60/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)连接OC,由切线长定理可得PB=PC,又OC=OB,则OP⊥BC,所以∠OEB=90°，然后 通过圆周角定理得∠ACB=90°，则∠OEB=∠ACB,再由平行线的判定方法即可求证； (2)连接BD,由切线长定理可得OC⊥PC,OB⊥PB,所以∠GBD+∠ABD=90°，然后通过圆周角定理 得∠ADB=90°，所以∠DAB+∠ABD=90°，故有∠GBD=∠DAB,再由垂径定理得CD=BD,所以 ∠CBD=∠DAB,证明△BDF≌aBDG(AAS),则DF=DG=V5,再证明△ABD△AGB,所以4B AD AG AB 然后代入即可求解。 【详解】(1)证明：连接OC, :PB,PC与⊙O相切，切点分别为B,C, .PB=PC, ...OC=OB, ∴.OP⊥BC, ∴.∠OEB=90°， AB为OO直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠OEB=∠ACB, .AC OP; (2)解：连接BD, C D G :PB,PC与⊙O相切，切点分别为B,C, B .OC⊥PC,OB⊥PB, ∴.∠GBD+∠ABD=90°， :AB为⊙O直径， ∴.∠ADB=90°， 61/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠DAB+∠ABD=90°， ∴.∠GBD=∠DAB, .OP⊥BC, .CD=BD, ..∠CBD=∠DAB, ∴.∠CBD=∠GBD, ∠BDF=∠BDG,BD=BD, ∴△BDF≌△BDG(ASA), ..DF=DG=5, DF= D, AD=4V5,AG=55, .:∠DAB=∠BAG,∠ADB=∠ABG, ∴.△ABD∽△AGB, AB AD AG AB ,可得AB=10, .⊙0的半径为5. 17.(2026北京通州一模)如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC,BC,过点O 作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接EC, (1)求证：EC为圆O的切线： ⊙连按0并延长交2于R.者半圆0的直径为10，团C8}求的长. 【答案】(1)见解析 (②)AF=60 17 【分析】(1)如图1，连接OC,垂径定理得出AD=CD,垂直平分线的性质得EA=EC,则 62/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠EAC=∠ECA,根据OC=OA,得∠CAO=∠ACO,根据AE是半圆O的切线，得出∠EAO=90°，则 ☑EAC+∠CAO=∠ECA+∠ACO=90°，即OC⊥EC,即可证明EC为圆O的切线； 3 (2)作OM L AB于M,如图2，根据垂径定理和tam∠CAB=,求出BC=6,AC=8,根据OE⊥AC, 图出cD=4D4AC=4,则ODBC=3,则sn∠OD-光-求出DM,M,证明 △BDM∽△BFA,根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】(1)证明：如图1，连接OC, 图1 OE⊥AC, :.AD=CD, OE垂直平分AC, ..EA=EC, ∠EAC=∠ECA, OC=0A, ∴.∠CAO=∠ACO, ~AE是半圆O的切线， ÷∠EA0=90°， ∠EAC+∠CAO=∠ECA+∠ACO=90°， OC⊥EC, OC为半径， EC为圆O的切线， (2)解：作DMAB于M,如图2， 63/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D MO 图2 3 半圆O的直径为10，AB为半圆O的直径，tan∠CAB= 4 ∠ACB=90°，AB=10, tan∠CAB= BC 3 AC4 ÷设BC=3x,AC=4x, 102=(3x)+(4x), 解得：x=2, BC=6,AC=8, ~OE⊥AC, 44D=CD=1AC=4, AO=BO, 0D= 2 BC=3, sin∠OAD= OD 3 AO5 sin∠OAD=sin∠MAD= DM AD DM=34D=12 5 .AM=AD-DM2= 1 5 ..BM=AB-AM= 34 5 DM∥AE, ∴.△BDMC∽△BFA, 64/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 兴 1234 AF 即5=5 AF-10 .AF=60 -17 18.(2026北京西城一模)如图，AB,CD均为⊙O的直径，作弦AE⊥CD于点F,连接AC.过点B作⊙O 的切线交AE的延长线于点G, G B (1)求证：∠C4E=1 ∠AOC; (2)连接DE,若DE=46,cos∠C4B=6 求EG的长. 3 【答案】()见解析 (2)EG=V2 【分析】(1)连接CB,由垂径定理可得∠ABC=∠C4B,由圆周角定理可知∠AEC=。∠AOC,等量代换 可证结论成立； (2)根据直径所对的圆周角是直角，可知∠C5D=90°，根据余弦定义可知cos∠CDE=46.V5,可以求 CD 3 出AB=CD=I2,由垂径定理可知AE=2EF,利用∠CDE的余弦求出DF,利用勾股定理求出EF,从而 可得AF=4V5,AB=8V2,可以求出cos∠04P=25,利用三角函数求出4G=9N2,根据EG=4G-AB 3 求出结果即可， 【详解】(1)证明：如下图所示，连接CE, :弦AE⊥直径CD, G ..AC=CE, .∠AEC=∠CAE, 65/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ∠AEC=∠AOC, ∴，∠CAE= 1 ∠AOC: 2 (2)解：：CD是⊙O的直径， ∴.∠CED=90°， ∠CDE=∠CAE, cos∠CAB=V6 B ∴cos∠CDE=6 :在RtACED中，DE=4V6, ·cos∠CDE DB466, 解得CD=12, CDCD 3 .CD=AB=12,OA=6, ·弦AE⊥直径CD, ∴.AF=EF,AE=2EF, :在Rt△EFD中，∠EFD=90°， .DF=DECOsZCDE-4x6-8.EF=DE-DF-(46)-4 3 ..AF=42,AE=82, ∴在Rt△OAF中，cos∠OAF=AF-2V2 OA 3 :BG为⊙O切线，OB是半径， ∴.BG⊥OB, ∴.∠ABG=90°， :在R△ABG中，cos∠BAG=B ' coS∠BAG=cos∠OAF=22 3 .AG=9V2, ..EG=AG-AE=2. 19,(2026北京平谷.一模)如图，AB为⊙O直径，CB是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D,E为AD上一 66/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点，连接EO并延长交⊙O于点G,交切线CB于点F,若∠A=∠F. A G B (I)求证：E为AD中点 (2)连接GD交AB于点H,若GH:HD=5:6,BF=6,求BC的值 【答案】(1)见解析 【分析】(1)连接OD,证明OE⊥AD,再由OA=OD,即可证明结论： (2)连接BD,证明DB∥EP,可得aDHB∽aGHO,则DB=GO,设OB=G0=r,则DB= r, 1B=20B=2证明0FaBD1,可得D1=6?,在R△DB中，利用勾段定理列方程可得 可得，B=9,DB-号，再证明AD8AA8C,可得DD8 9 r= BBC,即可求解 【详解】(1)证明：如图，连接OD, D G ~AB为⊙O直径，CB是⊙O的切线， ∠OBF=90°， ￥∠AOE=∠FOB,∠A=∠F, 180°-∠AOE-∠A=180°-∠FOB-∠F, ·∠AE0=∠OBF=90°， OE⊥AD, .OA=OD, AE=DE,即E为AD中点， (2)解：如图，连接BD, 67/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A G H D C B ~AB为⊙O直径， ·∠ADB=90°， 由(1)可知，∠AE0=90°， DB∥EF, .△DHB∽△GHO, DB DH 6 GO GH5' :.DB-6GO, 5 设OB=G0=,则DB=r,AB=20B=2, ∠A=∠F,∠OBF=∠ADB=90°， .△OBFP△BDA, OB BF BD 4'即5，DA, 636 DA=6x 55 在Rt△ADB中，AD+BD2=AB, 366 )3 5+ =(2r)°， 9 解得r= ·AB=2r=2× 9 2 =9,DB-=6x927 5 525 ~AB为⊙O直径，CB是⊙O的切线， ∠ABC=90°， ∴.∠ABC=∠ADB, ∠BAD=∠CAB, △ADB∽△ABC, 68/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A DB 3627 ABBC,即-三， 9 BC BC=27 4 20.(2026北京模拟预测)如图，AB为⊙0的直径，PA,PC与⊙O分别相切于点A,C,连接AC,BC, OP,AC与OP相交于点D B (1)求证：∠B+∠CP0=90°； ②连接PB交AC于点E,补全图形，若4C=12,sinCP0了，求CE的长. 【答案】（①）见解析 @9 【分析】(1)连接OC,如图.根据切线的性质得到OC⊥PC,OA⊥PA,∠4APC=2∠CPO,由垂直的定义 得到∠OCP=∠OAP=90°，求得∠AOC+∠APC=180°，于是得到结论： (2)连接PB交AC于点E,利用解直角三角形、勾股定理、锐角三角比的定义和相似三角形的判定和性质 进行解答即可； 【详解】(1)证明：连接OC,如图. :PA,PC与⊙O分别相切于点A,C, ∴.OC⊥PC,OA⊥PA,∠APC=2∠CPO=2∠APO. ∴.∠OCP=∠O4P=90°， :∠AOC+∠APC+∠OCP+∠OAP=360°， ∴.∠AOC+∠APC=180°. :∠AOC=2∠B, 69/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .2∠B+2∠CP0=180° ∴.∠B+∠CPO=90°. (2)解：连接PB交AC于点E,如图. “AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°. ∴.∠ABC+∠B4C=90°. .·∠ABC+∠CPO=90°， ∴.∠BAC=∠CPO, 又∠APO=∠CPO, ∴.∠BAC=∠CPO=∠APO, sin-CPO-3 ' BC3 ∴.sin∠BAC= AB 5 设BC=3x,AB=5x :AC=12 由勾最定表可得：(+12=(5x,CD-4C6, 解得：x=3 2.BC9 4B=15,OA= :0A=15 sin LAPo-op sincpo=3 OP OP= 5 ...AP=PC=VOP2-OA2=10. PD=VPC2-CD2=102-62=8, :∠BCE=∠PDE=90°，∠PED=∠BEC, .△BEC∽△PED, CE BC DE PD CE 9 即 DE 8' ..CE= D=54 9 17 17 70/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点05 作图 1,(2026北京海淀一模)如图，已知线段AB,分别以点A,B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在AB上 方交于点C,在AB下方交于点D,连接CD交AB于点O.以点O为圆心，OA长为半径画弧，交线段OD 于点M,连接AC,AM,则∠CAM的大小为(). B A.15° B.90° C.105 D.110° 【答案】C 【分析】连接BC,由题意可得AC=BC=AB,OA=OM,CD⊥AB,则△ABC为等边三角形，△OAM 为等腰直角三角形，进而可得∠CAB=60°，∠BAM=45°，即可得出结果. 【详解】解：如图：连接BC, B M 由题意可得：AC=BC=AB,OA=OM,CD⊥AB, “△ABC为等边三角形，△OAM为等腰直角三角形， ∴∠CAB=60°，∠BAM=45°， ∠CAM=∠CAB+∠BAM=105°. 2.(2026北京昌平.一模)如图，己知△ABC,以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： 71/75 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA,BC于点E,F; ②以点E为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点M; ③作射线BM,与CA延长线父于点P,点D为CP延长线上一点， 根据以上作法，下列结论不成立的是() A.∠PBC=2∠ABC B.AF=AM C.CM⊥BP D.S△APa:S△ACB=PB:CB 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即 可 【详解】解：连接AM,AF,MB,FE,过点A作AQ⊥BP于点Q,AW⊥BC于点N, B 由作图得，BM=BF,ME=FE, 又BE=BE, △BEM≌ABEF(SSS), ∠PBA=∠ABC, ∠PBC=2∠ABC, 故选项A正确，不符合题意； BM=BF,∠ABM=∠ABF,BA=BA, △ABM≌△ABF(SAS), :.AM=AF, 72/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故选项B正确，不符合题意； 无法判断CM⊥BP, 故选项C符合题意； :∠PBA=∠ABC,AQ⊥BP,AN⊥BC, ..AO=AN, .=BP.AQ.S.cBC.AN, 2 BP40 2 BP SACB LBC.AN CB' 故选项D正确，不符合题意； 故选：C 3.(2026北京一模)如图，在△ABC中，分别以点B和C为圆心，大于)BC的长为半径画弧，两弧相交 于点M,N,连接MN,直线MN交AC于点E,连接BE,以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、 AC于P,Q,再分别以P,Q为圆心，大于，PO的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点F,连接 AF并延长，交BC于点G,若∠ABE=86°，则∠AGB的大小是() B E A.43° B.45° C.47° D.48° 【答案】C 【分析】由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，AG是∠BAC的平分线，根据线段垂直平分 线的性质可得B-8C,进而得到∠BBC=∠C,根摆角平分线的定义可得<C4G-号B1C,根据 ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ABE=86°，得出∠ABC=86°+∠C,结合∠BAC+∠ABC+∠C=180°，得出 ∠BAC+∠C=47°，最后利用三角形外角性质求解即可 2 【详解】解：由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线， ..EB=EC, ∴.∠EBC=∠C, 73/75 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由作图过程可知，AG是∠BAC的平分线， ∠C4G=∠BAG=1∠BAC, 21 :∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ABE=86°， ∴.∠ABC=86°+∠C, 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180°， ∴.∠BAC+86°+∠C+∠C=180°， ∴.∠BAC+2∠C=94°， ∠B4C+∠C=47°， 3 :∠AGB是△ACG的外角， 2AGB=2C+∠CaG=∠C+号B4C=47. 4.（2026北京西城一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以A为圆心，AC长为半径画弧，交 AB于点M,再分别以M,C为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点P(点P与点A不重合)，连接AP 交BC于点D,则MDP的大小为() C A.50° B.65 C.115 D.130° 【答案】C 【分析】根据题干中的要求作出图形，由作图可得∠APC=∠CAP=25°，∠PAM=∠APM=25°，根据三角 形内角和定理可知∠ACP=130°，又因为∠ACB=90°可以求出PCD=40°，根据三角形内角和定理可得 ∠CDP=115°，证明△CPD≌AMPD,根据全等三角形的性质可知∠MDP=115°. 【详解】解：如下图所示， :∠ACB=90°，∠B=40°， .∠BAC=50°， 由作图可知AP平分∠BAC, ∠CAP=∠MAP=∠BAC=25°， 2 AC=CP,AM=PM, 74/75 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠APC=∠CAP=25°，∠PAM=∠APM=25°， 在△ACP中，∠ACP=180°-∠CAP-∠APC=130°， :∠ACB=90°， .∠PCD=40°， 在ACPD中，∠CDP=180°-∠CPA-∠PCD=180°-25°-40°=115°， 在△CPD和△MPD中， CP=MP ∠CPA=∠APM, PD=PD ∴.△CPD≌△PD, ∴.∠MDP=∠CDP, ∴.∠MDP=115°. M D ò 75/75