2025年北京市各区数学一模填空第15题汇编：相似+四边形

**基本信息** 2025年北京各区数学一模填空15题汇编，聚焦相似与四边形综合应用，精选14道区域真题，覆盖正方形、矩形等图形及相似、全等、勾股定理等核心考点 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|14题|正方形性质（海淀）、矩形相似（西城）、菱形勾股定理（平谷）、图形平移（石景山）|结合动态变换（燕山正方形旋转）、跨知識点综合（房山全等与勾股）、区域真题适配一模难度|

2025年北京市各区数学一模填空第15题汇编：相似+四边形 1．（2025•海淀区一模）如图，点P是正方形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E．连接AP并延长交BC于点F，连接PC．若PC，PE＝1，则BF的长为 　 　 ． 2．（2025•西城区一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，且AE⊥EF．若AB＝2，AD＝4，BE＝1，则EF的长为　 　 ． 3．（2025•朝阳区一模）如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，垂足为点E．若AB＝5，CE＝3，则△BCE的面积为 　 　 ． 4．（2025•通州区一模）小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，其中四边形ABCD是正方形．如果EF＝1，四边形ABCD的面积为25，那么GH的长为　 　 ． 5．（2025•丰台区一模）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，DE⊥AC于点F．若AB＝6，AD＝8，则CE的长为　 　 ． 6．（2025•石景山区一模）如图，将△ABC沿BC边向右平移2个单位长度得到△DEF．若BC＝4，阴影部分的面积为6，则△ABC的面积为 　 　 ． 7．（2025•石景山区一模）如图，等边△ABC中，CD⊥AB于点D，点E在BC上，CE的垂直平分线交CD于点P，交BC于点F，连接PE．若AB＝6，BE＝2，则四边形BEPD的周长为　 　 ． ☆8．（2025•门头沟区一模）如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BDC的平分线分别交BC、AC于M、N两点．若，则线段ON的长为 　 　 ． 9．（2025•平谷区一模）在菱形ABCD中，AD＝5，AE⊥BC于点E，EC＝2，连接BD交AE于点F，则AF的长为　 　 ． 10．（2025•房山区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为DC边上一点，DE＝3，连接AE，过D作AE的垂线交AE于点F，交BC于点G，则FG的长为 　 　 ． ☆11．（2025•燕山一模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长都是2．正方形A1B1C1O绕点O转动，两个正方形重叠部分的面积为　 　 ． ☆12．（2025•大兴区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．当CD＝2CE时，正方形DEFG恰好有三个顶点落在Rt△ABC的边上，则正方形DEFG的面积为 　 　 ． 13．（2025•顺义区一模）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE交对角线BD于点F．若AB＝3，BE＝1，则BF＝ 　 　 ． 14．（2025•东城区一模）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，CE，BD交于点F，若AE∶BE＝2∶1，且BF＝2，则DF＝________. 2025年一模填空15题（相似+四边形）汇编 参考答案与试题解析 一．填空题（共13小题） 1．（2025•海淀区一模）如图，点P是正方形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E．连接AP并延长交BC于点F，连接PC．若PC，PE＝1，则BF的长为 　　 ． 【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有 【分析】由正方形的性质得出AP＝PC，∠ABD＝45°，证明△APE∽△AFB，得出，则可得出答案． 【解答】解：∵正方形ABCD关于BD对称， ∴AP＝PC，∠ABD＝45°， ∴AE3，PE＝BE＝1， ∴AB＝4， ∵PE⊥AB，AB⊥BC， ∴PE∥BC， ∴△APE∽△AFB， ∴， ∴， ∴BF． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2025•西城区一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，且AE⊥EF．若AB＝2，AD＝4，BE＝1，则EF的长为　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．版权所有 【分析】应用矩形的性质，勾股定理求得AE的长，再通过证明两组等角证得△ABE∽△ECF，应用相似三角形的性质得等式，即可求得EF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝4， ∵BE＝1， ∴EC＝4﹣1＝3， 在Rt△ABE中， AE， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠CEF＝90°， ∵∠CEF+∠EFC＝90°， ∴∠AEB＝∠EFC， ∵∠B＝∠C，∠AEB＝∠EFC， ∴△ABE∽△ECF， ∴， 即， 解得EF． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3．（2025•朝阳区一模）如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，垂足为点E．若AB＝5，CE＝3，则△BCE的面积为 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．版权所有 【分析】利用勾股定理求出DE，再利用相似三角形的性质求出BE可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝5，∠BCD＝90°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝∠CED＝90°， ∴DE4， ∵∠BCE+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CDE＝90°， ∴∠BCE＝∠CDE， ∴△CEB∽△DEC， ∴， ∴， ∴EB， ∴△BCE的面积•BE•EC3． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 4．（2025•通州区一模）小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，其中四边形ABCD是正方形．如果EF＝1，四边形ABCD的面积为25，那么GH的长为　7　 ． 【考点】勾股定理．版权所有 【分析】根据正方形的性质和勾股定理，可以求得AE和DE的长，然后即可得到CG和HC的长，再计算GH的长即可． 【解答】解：由已知可得， Rt△DAE≌Rt△ABF≌Rt△CBH≌Rt△DCG，EF＝1，AD2＝25， 则DE＝AF＝CH，AE＝CG， 设AE＝x，则AF＝x+1， ∵∠DEA＝90°， ∴AE2+DE2＝AD2， 即x2+（x+1）2＝25， 解得x1＝3，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴AE＝3，DE＝AF＝4， ∴CG＝3，HC＝4， ∴GH＝GC+HC＝3+4＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查勾股定理、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2025•丰台区一模）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，DE⊥AC于点F．若AB＝6，AD＝8，则CE的长为　　 ． 【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．版权所有 【分析】利用勾股定理先求出线段AC的长，再利用AD•CD＝AC•FD求出FD长，利用勾股定理求出CF.利用相似三角形的判定与性质求出CE长即可． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8， ∴AC10， ∵AD•CD＝AC•FD， ∴FD， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF， ∵∠B＝∠EFC，∠ECF＝∠ACB， ∴△ABC∽△EFC， ∴，即， ∴CE． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 6．（2025•石景山区一模）如图，将△ABC沿BC边向右平移2个单位长度得到△DEF．若BC＝4，阴影部分的面积为6，则△ABC的面积为 　24　 ． 【考点】三角形的面积；平移的性质．版权所有 【分析】设AC与DE交于点G，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算△ABC的面积即可． 【解答】解：如图，设AC与DE交于点G． ∵将△ABC沿BC边向右平移2个单位长度得到△DEF， ∴BE＝2，AB∥DE， ∴CE＝BC﹣BE＝4﹣2＝2，△GEC∽△ABC， ∴， ∵（）2，即， ∴S△ABC＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查三角形的面积、平移的性质，掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（2025•石景山区一模）如图，等边△ABC中，CD⊥AB于点D，点E在BC上，CE的垂直平分线交CD于点P，交BC于点F，连接PE．若AB＝6，BE＝2，则四边形BEPD的周长为　5+3　 ． 【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】先利用等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝6，从而可得BD＝3，∠BCD＝30°，然后在Rt△BCD中，利用含30度角的直角三角形可得CD＝3，再利用线段垂直平分线的性质可得：PE＝PC，最后利用四边形的周长公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝6， ∵CD⊥AB， ∴BDAB＝3，∠BCD∠ACB＝30°， ∴CDBD＝3， ∵PF是CE的垂直平分线， ∴PE＝PC， ∴四边形BEPD的周长＝BD+BE+PE+DP ＝3+2+PC+DP ＝3+2+CD ＝5+3， 故答案为：5+3． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2025•门头沟区一模）如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BDC的平分线分别交BC、AC于M、N两点．若，则线段ON的长为 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质．版权所有 【分析】过M点作MH⊥BD，根据等腰直角三角形的性质求出HM长，再根据角平分线性质可得CM长，由此得到正方形的边长，求出OD和HD长，根据ON∥HM得到，，从而可求ON长． 【解答】解：过M点作MH⊥AB， ∵∠HBM＝45°， ∴BH＝HMBM＝1． ∵DM平分∠BDC，HM⊥BD，MB⊥AB， ∴CM＝HM＝1． ∴正方形边长CB＝1， ∴正方形对角线BD＝2，OD＝1． ∴HD＝BD﹣BH＝21， ∵ON∥HM， ∴， ∴， ∴ON． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导出相关线段的长度． 9．（2025•平谷区一模）在菱形ABCD中，AD＝5，AE⊥BC于点E，EC＝2，连接BD交AE于点F，则AF的长为　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．版权所有 【分析】利用勾股定理计算AE的长，由平行证明△BEF∽△DAF，利用相似三角形的性质得等式求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝5， AD∥BC， ∵EC＝2， ∴BE＝5﹣2＝3， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， 由勾股定理得AE4， ∵AD∥BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∵EF＝AE﹣AF＝4﹣AF， ∴， 解得AF， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 10．（2025•房山区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为DC边上一点，DE＝3，连接AE，过D作AE的垂线交AE于点F，交BC于点G，则FG的长为 　　 ． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有 【分析】先证△ADE和△DCG全等得DG＝AE，然后在Rt△ADE中由勾股定理求出AE＝5，则DG＝5，再根据由三角形的面积求出DF，进而可得FG的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为4， ∴AB＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°， ∴∠ADF+∠CDG＝90°， 又∵DF⊥AE， ∴∠ADF+∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠CDG， 在△ADE和△DCG中， ， ∴△ADE≌△DCG（ASA）， ∴DG＝AE， 在Rt△ADE中，AD＝4，DE＝3， 由勾股定理得：AE5， ∴DG＝AE＝5， 由三角形的面积得：S△ADEAE•DFAD•DE， ∴AE•DF＝AD•DE， ∴5•DF＝4×3， ∴DF， ∴FG＝DG﹣DF＝5， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等；正方形的四条边相等、四个角都是直角；难点是利用三角形的面积公式进行计算． 11．（2025•燕山一模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长都是2．正方形A1B1C1O绕点O转动，两个正方形重叠部分的面积为　1　 ． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权所有 【分析】由题求证△AEO≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积，得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠OAB＝∠OBF＝45°，OA＝OB， BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB＝90°， 又∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴∠A1OC1＝90°，即∠BOF+∠EOB＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， 在△AOE和△BOF中， ， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∵S两个正方形重叠部分＝S△BOE+S△BOF， 又∵S△AOE＝S△BOF， ∴S两个正方形重叠部分＝S△ABO1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，证明△AOE≌△BOF是解答本题的关键． 12．（2025•大兴区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．当CD＝2CE时，正方形DEFG恰好有三个顶点落在Rt△ABC的边上，则正方形DEFG的面积为 　5　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．版权所有 【分析】过点G作GH⊥AC于点H，设CE＝x，则CD＝2x，利用正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到DH＝CE＝x，GH＝CD＝2x，利用等腰直角三角形的性质求得x值，利用勾股定理和正方形的面积公式解答即可． 【解答】解：过点G作GH⊥AC于点H，如图， ∵CD＝2CE， ∴设CE＝x，则CD＝2x， ∵四边形CDEF为正方形， ∴DG＝DE，∠GDE＝90°， ∴∠GDH+∠CDE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CDE+∠CED＝90°， ∴∠GDH＝∠DEC． 在△GDH和△DEC中， ， ∴△GDH≌△DEC（AAS）， ∴DH＝CE＝x，GH＝CD＝2x， ∴AH＝AC﹣DH﹣CD＝5﹣3x， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵GH⊥AC， ∴△AHG为等腰直角三角形， ∴AH＝HG， ∴5﹣3x＝2x， ∴x＝1， ∴DH＝1，GH＝2， ∴DG2＝DH2+GH2＝5， ∴正方形DEFG的面积为DG2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．（2025•顺义区一模）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE交对角线BD于点F．若AB＝3，BE＝1，则BF＝ 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．版权所有 【分析】证明△AFD∽△EFB，推出，由此可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝AB＝3，AD∥BC，∠BAD＝90°， ∴BDAB＝3， ∴△AFD∽△EFB， ∴， ∴BFBD． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 14．（2025•东城区一模）答案：6 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $