专题03 函数（5大考点）（北京专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数图像 考点03一次函数 考点04二次函数 考点05反比例函数 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，点的坐标为，与轴交于点，点在边上，将沿直线翻折，得到．若点恰好落在轴上，则的面积为________． 2．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①画出点的“对应点”点； ②若点是点“的对应点”，则的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____； (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． 3．（2026·北京昌平·一模）某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 4．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，图形P上存在点A，图形Q上存在点B，图形R上存在点C，满足点A，点B，点C任意两点之间的距离都相等，称图形P，Q，R具有“平等关系”． (1)已知点． ①若点A，点B，点O具有“平等关系”，则点B的坐标为______； ②如图1，半径为1，若点A，，点具有“平等关系”，求a的值； (2)如图2，点，，以点O为圆心的两个同心圆，其中一个圆的半径为1，另一个圆的半径为r．若线段与这两个同心圆具有“平等关系”，直接写出r的取值范围． 5．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点，点在线段的延长线上，若点，点为点的“对应点”． 在图中画出点； 连接，交线段于点．求证：； (2)的半径为，是上一点，点在线段上，且，若为外．点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）． 6．（2026·北京西城·二模）给定线段和位于直线同一侧的两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距．在平面直角坐标系中，已知点． (1)点的坐标为， ①在点，，，中，与点关于线段等角等距的点是______； ②点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是______； (2)已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围． 7．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．    (1)如图，的半径为2，点． ①在的三条边中，的“交割线段”是 ； ②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围． 函数图像 考点02 1．（2026·北京大兴·一模）旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为A，B两点，在旋转木马外设置固定观测点C，当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时（如图2）开始计时． 小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A，B的距离分别为，（单位：米），部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 … 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 … 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象． (1)在平面直角坐标系中，画出与t之间关系的函数图象； (2)至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则_____； (3)该旋转木马座位总数为________个； (4)从开始，至少经过____秒，点C到A，B的距离相等； (5)当秒时，的值为_____． 2．（2026·北京石景山·一模）为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． (1)在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； (3)小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 3．（2026·北京丰台·一模）某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率W（单位：）作为降解评价指标，，其中（单位：）为餐具未降解时的质量，（单位：）为餐具降解天数为时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为的条件下，记餐具降解天数为t时，未添加防水剂的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为．该小组记录的前16天的部分数据如下： /天 0 1 2 6 8 10 12 16 / 0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5 / 0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4 / 0 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9 (1)实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，直接写出表格中a的值； (2)在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，．请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； (3)根据以上实验数据和结果，回答下列问题： ①防水剂用量和的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为_______（结果保留整数）； ②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率： 判断上面实验所用餐具的防水剂用量为________（填“”或“”）．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是_________． 4．（2026·北京顺义·一模）某技术员借助人工智能软件模拟篮球运动员罚篮，当出手位置不变时，研究出手仰角与出手速度对篮球空心入网的影响．当篮球出手仰角为（单位：度）时，分别记录了篮球空心入网的最小出手速度（单位：）和最大出手速度（单位：），部分数据如下： 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 7.70 7.65 7.65 7.76 7.90 8.08 8.31 7.72 7.70 7.72 7.78 7.87 8.02 8.22 8.47 当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为．    (1)写出表中m的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．如图，在给定的平面直角坐标系中，曲线是函数的图像，画出函数的图像．结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为______度（结果保留整数）； (3)根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，则的最小值约为____度（结果保留整数）； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，对于中的每一个值，篮球都能空心入网，则与差的最大值约为____度（结果保留小数点后一位）． 5．（2026·北京·模拟预测）小刚在研究弹簧的伸长量与所受拉力的关系时，准备了两个弹簧：弹簧A（1号弹簧）和弹簧B（2号弹簧）．弹簧A是均匀的线性弹簧，而弹簧B是根据特殊材料设计的非线性弹簧．小刚分别对两个弹簧施加不同的拉力（单位：），并记录了弹簧的伸长量（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）． 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.8 1.4 1.9 2.3 2.6 2.9 (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当拉力为时，弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为________（结果保留小数点后一位）． ②在①的条件下，若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为________（结果保留小数点后两位）． 6．（2026·北京朝阳·一模）小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 1 11 16 21 26 31 36 … 0.5 1.1 2.4 5.1 10.6 21.7 44 88.7 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示： (1)表中的值为________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线； (3)根据以上信息，解决下列问题： ①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案________；（填写“一”“二”或“三”） ②可以推断，从第________天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 7．（2026·北京海淀·一模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 8．（2026·北京昌平·一模）某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 9．（2026·北京西城·一模）研究表明：记完某种资料后，大脑的记忆保持率（单位：）会随时间（单位：小时）的变化而变化．设小明记完资料一后的记忆保持率为，记完资料二后的记忆保持率为，且和互不影响．通过分析发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，部分数据如下： 在给出的平面直角坐标系中，函数的图象如图所示． (1)观察函数的图象，当整数的值为 时，的值首次低于； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)假设小明首次记完资料一或资料二均需要小时． ①小明先记完资料二，小时后开始记忆资料一，若他记完资料二小时后，资料一和资料二的记忆保持率相同，则的值是 ； ②小明记完一个资料后，休息分钟，再记忆另一个资料．若从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料 （填“一”或“二”），此时记忆保持率和的最大值是 （结果是整数）． 10．（2026·北京·模拟预测）某科创小组测试了无人机“最大飞行高度与飞行速度的关系”，得到了如下实验数据，请你参与探究． 速度 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 最大高度 80 220 350 440 500 480 420 360 300 250 (1)根据函数的定义，设______为y，______为x，y是x的函数； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，回答下列问题： 下列说法正确的有______（填序号） ①y随x的增大而减小； ②当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高； ③速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低． (4)若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在______至______范围内（结果取整数）． 11．（2026·北京平谷·一模）为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 12．（2026·北京·一模）某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度c之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度c（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 4 7 10 9 7 4 (1)以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂________（A或B）． ②当添加剂浓度相同时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多2天，则浓度c的取值范围是________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为7天，当保质期不足7天时，每减少1天会造成1元的损失．当添加剂A浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为________元． 13．（2026·北京海淀·模拟预测）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象： (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 一次函数 考点03 1．（2026·北京朝阳·一模）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如下表所示： 温度 0 10 20 声音传播的速度 331 337 343 研究发现，在一定条件下，是的一次函数，函数关系为（，为常数，且）．当温度为时，声音传播的速度为________． 2．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 3．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象交y轴于点A，函数的图象经过点A与点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 4．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． (1)求m，n的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 5．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点 (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 6．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 7．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既小于函数的值，也大于0，直接写出的取值范围． 8．（2026·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 9．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 10．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 11．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 12．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 13．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值又小于，直接写出m的取值范围． 14．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 15．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 16．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 二次函数 考点04 1．（2026·北京大兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论： ①当矩形为正方形时，； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2026·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（2026·北京·模拟预测）已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 4．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围． 5．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含a的式子表示b； (2)已知点，点，点在线段上，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合． ①当时，直接写出的长的最小值； ②已知在点P从点M运动到点N的过程中，的长随的长的增大而减小，求a的取值范围． 6．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为，，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求a的取值范围． 7．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 8．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当，时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 9．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，抛物线，经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，则_____； ②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 10．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含a的式子表示b； (2)点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 11．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 12．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 13．（2026·北京·模拟预测）已知抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的解析式； (2)将抛物线上，两点之间的部分（包括端点）记作图象，过点作轴垂线，若图象的最高点与最低点分别位于直线的上方和下方，求的取值范围． 14．（2026·北京西城·模拟预测）已知抛物线经过原点和．点M是抛物线上的动点，其横坐标为m，过点M作轴，与直线交于N． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点M作x轴的垂线，垂足为点P．在点P从点O运动到点的过程中； ①当时，求的最大值； ②若的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 15．（2026·北京·模拟预测）某商业区内矩形停车场（平面图如图所示）有A、B、C三个矩形停车区域和南北方向，东西方向各两条行车道．停车区域的东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为a米、米、a米，行车道宽度相同．所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为a米，东西方向边长为2.5米． (1)①求行车道的宽度； ②直接写出a的值是______：车位数量为______个； (2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现，按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值． 16．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)________（用含b的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求b的取值范围． 17．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，先随增大而减小，后随增大而增大，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位（），得到图形，当时，图形与直线有且只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 反比例函数 考点05 1．（2026·北京丰台·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，与交于点D．给出下面四个结论： ①与可能相等； ②与一定不相等； ③与的面积一定相等； ④与的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 3．（2026·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别为轴，轴正半轴上的定点，四边形为矩形，函数（）的图象与边交于点，与边交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，． 给出下面四个结论： ①一定为锐角三角形； ②； ③当的面积为时，的值可能是； ④与的面积可能相等． 上述结论中，所有正确选项的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．（2026·北京平谷·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（2026·北京·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．无法确定 6．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______0（填“>”“=”或“<”） 7．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 8．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则的值为______． 9．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点坐标为，则点坐标为_____． 10．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和点，则n的值为______． 11．（2026·北京平谷·一模）已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 12．（2026·北京·模拟预测）平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则________． 13．（2026·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 14．（2026·北京·一模）已知点，在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求m和k的值； (2)平行于x轴的直线交线段AC于点E，与反比例函数的图象交于点F，若，直接写出n的取值范围． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数图像 考点03一次函数 考点04二次函数 考点05反比例函数 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，点的坐标为，与轴交于点，点在边上，将沿直线翻折，得到．若点恰好落在轴上，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标为，四边形是正方形，可以求出正方形的边长为，、，利用勾股定理求出的长度为，从而可知，设，即可求出，利用勾股定理列方程求出的值，再根据三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：点的坐标为，四边形是正方形， 点的坐标为，， ，， ， 由折叠可知， ， ，， 设，则有， 由折叠可知， ， ， 解得：， ， ． 2．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①画出点的“对应点”点； ②若点是点“的对应点”，则的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____； (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①见解析；② (2)；； (3)或 【分析】（1）①根据新定义，结合平移的性质，得出，描点，即可求解； ②根据新定义确定平移方式，即可求解； 设，根据新定义得，即可求解； （2）根据题意得出点在以为圆心半径为1的圆上，求得，再根据一点到圆上的距离的最值问题，即可求解； （3）根据新定义得出点是以为圆心，为半径的圆上运动，进而结合图形分析两圆相切或相交时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示， ∵， ∴， ∴， 将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到 ②依题意，点是点的“对应点”， ∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位 设， ∴，解得： ∴ （2）解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”， 将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到， ∴点在以为圆心半径为1的圆上 ∴ ∴线段的最小值是；最大值为； （3）解：点，时，是以线段为半径的上一点， ∴ ∵点是点的“对应点”， ∴ 如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动， 依题意，点是沿方向平移得到的，则 若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交， 当两圆相切时， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得：或 当点在的左侧时， 如图，当点在的右侧时， 综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或． 3．（2026·北京昌平·一模）某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 【答案】(1)5 (2)32，51，见解析 (3)①7；② 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）由图可知每个周期增长件即可得到；由5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，可得第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件，据此可得；再描点作图即可； （3）①观察图象即可；②根据的位置即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，当第5个周期时，首次超过35； （2）解：进入上件分拣后前5个周期，每个周期增长件， （件）； 5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少， 第5个到第6个周期增加6件，第8个周期到第9个周期增加2件， 第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件才符合题意， ； 作图如下： （3）解：①由图可知开机后至少7分钟后，值基本恒定； ②由图可知开机前5分钟， 曲线在最下方，在最上方，在中间， ． 4．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，图形P上存在点A，图形Q上存在点B，图形R上存在点C，满足点A，点B，点C任意两点之间的距离都相等，称图形P，Q，R具有“平等关系”． (1)已知点． ①若点A，点B，点O具有“平等关系”，则点B的坐标为______； ②如图1，半径为1，若点A，，点具有“平等关系”，求a的值； (2)如图2，点，，以点O为圆心的两个同心圆，其中一个圆的半径为1，另一个圆的半径为r．若线段与这两个同心圆具有“平等关系”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①或；②或0 (2) 【分析】（1）①根据题意得到，取点，分两种情况，连接，求出，利用勾股定理得到，进而求解即可； ②如图，点B的坐标为，点E在上，由等边三角形得到，，然后根据“平等关系”的定义得到是等边三角形，证明出，得到，进而求解即可； （2）首先得到是等边三角形，，求出轴，，在右侧作等边，证明出，得到，然后根据三角形三边关系分别求出最小值和最大值即可． 【详解】（1）解：①∵点A，点B，点O具有“平等关系”， ∴ ∴是等边三角形 如图，取点，当点B在x轴上方时，连接 ∵ ∴ ∴ ∴点B的坐标为 当点B在x轴下方时，同理可得，点B的坐标为 综上所述，点B的坐标为或； ②如图，点B的坐标为，点E在上， ∵是等边三角形 ∴， ∵半径为1的与点，点具有“平等关系”， ∴上存在一点E，直线上存在一点C，满足 ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点B的坐标为 ∴轴 ∴点C的坐标为或 ∴或0； （2）解：∵线段与这两个同心圆具有“平等关系”， ∴线段上存在一点M，半径为1的上存在一点H，半径为r的上存在一点N，满足 ∴是等边三角形 ∴ ∵，， ∴轴， ∴线段与半径为1的的最短距离为点和之间的距离 如图，在右侧作等边，当点M坐标为时， ∴， ∴ ∴ ∴ 如图，当点N在线段上时，取得最小值1，即r的最小值为1； 如图，在右侧作等边，当点M和点F重合时， ∴， ∴ ∴ ∴ 如图，当点I在线段上时，取得最大值，即r的最大值为； 综上所述，r的取值范围为． 5．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点，点在线段的延长线上，若点，点为点的“对应点”． 在图中画出点； 连接，交线段于点．求证：； (2)的半径为，是上一点，点在线段上，且，若为外．点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析；见解析； (2)长的最大值与最小值的差为． 【分析】（）先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点的坐标； 延长至点，连接，利用证明，得到，再计算出，，，即可求出； （）连接并延长至，使，延长至，使，结合对称的性质得出为的中位线，推出，得出，则． 【详解】（1）解：点如下图所示． ∵点， ∴点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为，， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点，在坐标系内找出该点即可； 证明：如图延长至点，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 连接并延长至，使，延长至，使， ∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为， ∴， 又∵， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 结合题意，，， ∴， 即长的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查了点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，根据题意，画出点和点的轨迹是解题的关键． 6．（2026·北京西城·二模）给定线段和位于直线同一侧的两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距．在平面直角坐标系中，已知点． (1)点的坐标为， ①在点，，，中，与点关于线段等角等距的点是______； ②点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是______； (2)已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，； ②； (2)或 【分析】本题考查垂直平分线，平行线的判定与性质，圆与直线的关系，勾股定理，相似三角形的运用，正确分类是解题的关键． （1）①判断出点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，即可解答； ②根据点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，再分类讨论，即可解答． （2）根据点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，即可画图，易得时，满足题意；当时，求出继而求出，证明，可求出，再根据，可列出关于m的不等式，即可解答． 【详解】（1）解：作的平分线交于点F，如图， ∴， ∵， ∴， 即为的垂直平分线， ∵， ， ∴，即， ∴，， ∴， 即点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且． ①由结论及图，可得与点关于线段等角等距的点是点B，C． ②如图，当时，圆上不存在一点满足题意； 当时，由图可知，满足题意； 当时，过点F作轴于点N，有 ，， ∴， ∴， 由题意，可知关于线段等角等距，即的垂直平分线与线段（不包括端点）有交点，有 由成立， ∴ 即， ， ∴， 即或（无解） ∴， 综上所述，． （2）当时，的垂直平分线为直线； 当时，的垂直平分线为第一，三象限的角平分线； 如图，可知，当时，总有点与关于线段等角等距． 当时，过点O作垂直于的垂直平分线于点A，延长与圆的交点即为H，如图，有，，， 即， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴， 由，得， 由得 ， ， ∴，解得， 由得． 综上所述，或 7．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．    (1)如图，的半径为2，点． ①在的三条边中，的“交割线段”是 ； ②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②当或 (2)或 【分析】（1）先根据点A和点B的坐标得到与相切，则线段上没有点在外；再证明线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内，即可得到结论； （2）设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设，利用勾股定理求出，由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”；由对称性可得当时，线段是的“交割线段”； （3）分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种临界情况，求出此时t的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点A在上， ∴与相切， ∴线段上没有点在外， ∴线段不是的“交割线段”， ∵， ∴点C在内，点B在外， ∴线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内， ∴线段不是的“交割线段”，线段是的“交割线段”， 故答案为：；    ②如图所示，设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设， ∴，， ∴此时点H刚好在上，且此时与相切； ∵的半径为2， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”； 由对称性可得当时，线段是的“交割线段”； 综上所述，当或时，线段是的“交割线段”；    （2）解：联立 得， ∴， 同理可得，； 如图2-1所示，当恰好经过点D时， ∴， ∴；    如图2-2所示，当恰好与相切于H时，连接， ∵，， ∴， ∴， 由切线的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；        如图2-3所示，当恰好经过点D时， ∴， ∴；    如图2-4所示，当恰好与相切于P时，连接，设直线与x轴交于Q， ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；      综上所述，当或时，的三条边中有且只有两条是的“交割线段”． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值． 函数图像 考点02 1．（2026·北京大兴·一模）旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为A，B两点，在旋转木马外设置固定观测点C，当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时（如图2）开始计时． 小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A，B的距离分别为，（单位：米），部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 … 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 … 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象． (1)在平面直角坐标系中，画出与t之间关系的函数图象； (2)至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则_____； (3)该旋转木马座位总数为________个； (4)从开始，至少经过____秒，点C到A，B的距离相等； (5)当秒时，的值为_____． 【答案】(1)见解析 (2)30 (3)6 (4)12.5 (5) 【分析】（1）根据图象中的点画出与t之间关系的函数图象即可； （2）根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，由此可得m的值； （3）根据30秒就可以转完一圈，可得1秒转，再根据表格的数据可得点A转动到点B的时间，由此可求解； （4）根据点C到A，B的距离相等，可结合对称性求解度数，由此求解时间； （5）先求解出圆的半径，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：与t之间关系的函数图象如图： （2）解：根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同， ∴至少经过30秒，A点就会回到初始位置； （3）解：∵30秒转完一圈，即1秒转， 由表格数据可知，A点5秒后即可到达B点， ∴A点转动过的角度为， 即每相邻的两个座位之间的角度为， ∴旋转木马座位总数为个； （4）解：当点C到A，B的距离相等，则有与关于对称，如图， ∵， ∴， 即当点C到A，B的距离相等时，点A转过， ∴秒， ∴从开始，至少经过12.5秒，点C到A，B的距离相等； （5）解：当秒时，点A转过的角度为，如图， 根据表格可知，当时，有最大值为， 此时点A位于点D的位置，则有， 记圆的半径为r，则有，解得， 在中，，， ∴， ∴当秒时，的值为． 2．（2026·北京石景山·一模）为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． (1)在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； (3)小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 【答案】(1)见解析 (2)50，9.7 (3)B 【分析】（1）根据描点、连线即可作图； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据函数图象分别计算两款车的总能耗，再进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，与的函数图象即为所求； （2）解：由函数图象可得，当A款车的行驶速度约为时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为； （3）解：由图象可得，A款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 由图象可得，B款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 因为 所以B款车行驶这的能耗更低． 3．（2026·北京丰台·一模）某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率W（单位：）作为降解评价指标，，其中（单位：）为餐具未降解时的质量，（单位：）为餐具降解天数为时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为的条件下，记餐具降解天数为t时，未添加防水剂的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为．该小组记录的前16天的部分数据如下： /天 0 1 2 6 8 10 12 16 / 0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5 / 0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4 / 0 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9 (1)实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，直接写出表格中a的值； (2)在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，．请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； (3)根据以上实验数据和结果，回答下列问题： ①防水剂用量和的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为_______（结果保留整数）； ②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率： 判断上面实验所用餐具的防水剂用量为________（填“”或“”）．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是_________． 【答案】(1)5.0 (2)见解析 (3)①6；②，140 【分析】（1）代入计算即可； （2）根据表格数据，描点，连线即可； （3）①结合表格与图象，可知，从第8天开始，到第13天，降解失重率的差持续超过；②从图象可知，降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在，所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，而所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，即可判断出答案． 【详解】（1）解：∵实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为， ∴， ∴； （2）解：下图为所求； （3）解：①结合表格与图象，可知，从第8天开始，到第13天，降解失重率的差持续超过，故在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为（天）； ②从图象可知，降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在，所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，而所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间， ∵从实验数据，时，该餐的降解失重率为， ∴判断上面实验所用餐具的防水剂用量为， ∵降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在， ∴当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是； 故答案为：，140． 4．（2026·北京顺义·一模）某技术员借助人工智能软件模拟篮球运动员罚篮，当出手位置不变时，研究出手仰角与出手速度对篮球空心入网的影响．当篮球出手仰角为（单位：度）时，分别记录了篮球空心入网的最小出手速度（单位：）和最大出手速度（单位：），部分数据如下： 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 7.70 7.65 7.65 7.76 7.90 8.08 8.31 7.72 7.70 7.72 7.78 7.87 8.02 8.22 8.47 当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为．    (1)写出表中m的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．如图，在给定的平面直角坐标系中，曲线是函数的图像，画出函数的图像．结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为______度（结果保留整数）； (3)根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，则的最小值约为____度（结果保留整数）； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，对于中的每一个值，篮球都能空心入网，则与差的最大值约为____度（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见详解；51度 (3)①57度；② 【分析】（1）根据题意，当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为，即，结合求解即可； （2）结合表中数据，画出函数的图像，结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角； （3）①根据题意，若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，即，据此分析即可；②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，要使最大，对应图像的水平间距最大位置，结合数据和图像可知，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为，即， ∵， ∴，即； （2）结合表中数据，画出函数的图像，如下图所示， 结合数据，利用函数图像可以推断， 当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为51度； （3）①根据题意，若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，即， 当时，， 当时，， 所以，的最小值约为57度； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值， 要使最大，对应图像的水平间距最大位置， 由数据和图像可知，与差的最大值约为度． 5．（2026·北京·模拟预测）小刚在研究弹簧的伸长量与所受拉力的关系时，准备了两个弹簧：弹簧A（1号弹簧）和弹簧B（2号弹簧）．弹簧A是均匀的线性弹簧，而弹簧B是根据特殊材料设计的非线性弹簧．小刚分别对两个弹簧施加不同的拉力（单位：），并记录了弹簧的伸长量（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）． 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.8 1.4 1.9 2.3 2.6 2.9 (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当拉力为时，弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为________（结果保留小数点后一位）． ②在①的条件下，若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为________（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)①；② 【分析】（1）观察表格数据可知拉力每增加，弹簧A的伸长量增加，据此即可解答； （2）根据表格数据描点，画出图象即可； （3）根据（2）中的图象解答即可． 【详解】（1）解：观察表格数据可知拉力每增加，弹簧A的伸长量增加， 因此当时，， 故表格填入数据； （2）解：如下图函数图象即为所求： （3）解：①由图象可知， 当拉力为时，弹簧A的伸长量为，弹簧B的伸长量为， 则弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为； ②由图象可知， 若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为． 6．（2026·北京朝阳·一模）小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 1 11 16 21 26 31 36 … 0.5 1.1 2.4 5.1 10.6 21.7 44 88.7 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示： (1)表中的值为________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线； (3)根据以上信息，解决下列问题： ①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案________；（填写“一”“二”或“三”） ②可以推断，从第________天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)①一；②9 【分析】（1）由图象可得，是关于x的一次函数，然后由待定系数法求解函数解析式，即可求解； （2）描点、连线即可作图； （3）①分别计算三个方案前4天的投资总回报，再比较即可； ②先求出第八天的三个方案的投资总回报，再求出第九天的三个方案的投资总回报，进行比较即可． 【详解】（1）解：由图象可得，是关于x的一次函数， ∴设解析式为 当， ∴ 解得 ∴， ∴当时，； （2）解：如图，曲线即为所求； （3）解：①前4天方案一的投资总回报：（元）； 前4天方案二的投资总回报：（元）； 前4天方案三的投资总回报：（元）， 因为， 故选方案一； ②第八天，方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则方案一、方案二的投资总回报为（元）； 方案三的投资总回报为（元）， 此时； 第九天方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则第九天方案一、方案二的投资总回报为（元）； 对于方案三的数据，可发现后一天的数据大概是前一天数据的两倍，则第九天投资回报约为元， 那么第九天方案三的投资总回报约为（元）， 因为 故第九天开始选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 7．（2026·北京海淀·一模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）先求出与t的关系式为，再求出当时的值，即可得解； （2）描点、连线即可画出函数图象； （3）①先求出与的关系式为，当时，，解得；当时，，解得，由此即可得出结果； ②先求出机器人B编织的总面积，再结合表格计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵与t的关系可以近似用正比例函数刻画， ∴设， 将代入解析式可得， 解得：， ∴与t的关系式为， 当时，， ∴； （2）解：画出与t，与t的函数图象如图所示： （3）解：①观察图象可得与满足二次函数关系，设， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴与的关系式为， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（负值不符合题意，舍去）或， ∴它们完成产品所用的时间相差； ②由题意可得：平编产品总面积为， 绞编产品总面积为， ∵当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为， ∴机器人B编织的总面积为， ， 即机器人B编织了45件，又编制了， 根据图象可得：机器人B编织需要的时间约为，编制需要，即机器人B编织1件产品需要， 故机器人B出现故障前大约工作了． 8．（2026·北京昌平·一模）某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 【答案】(1)5 (2)32，51，见解析 (3)①7；② 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）由图可知每个周期增长件即可得到；由5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，可得第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件，据此可得；再描点作图即可； （3）①观察图象即可；②根据的位置即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，当第5个周期时，首次超过35； （2）解：进入上件分拣后前5个周期，每个周期增长件， （件）； 5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少， 第5个到第6个周期增加6件，第8个周期到第9个周期增加2件， 第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件才符合题意， ； 作图如下： （3）解：①由图可知开机后至少7分钟后，值基本恒定； ②由图可知开机前5分钟， 曲线在最下方，在最上方，在中间， ． 9．（2026·北京西城·一模）研究表明：记完某种资料后，大脑的记忆保持率（单位：）会随时间（单位：小时）的变化而变化．设小明记完资料一后的记忆保持率为，记完资料二后的记忆保持率为，且和互不影响．通过分析发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，部分数据如下： 在给出的平面直角坐标系中，函数的图象如图所示． (1)观察函数的图象，当整数的值为 时，的值首次低于； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)假设小明首次记完资料一或资料二均需要小时． ①小明先记完资料二，小时后开始记忆资料一，若他记完资料二小时后，资料一和资料二的记忆保持率相同，则的值是 ； ②小明记完一个资料后，休息分钟，再记忆另一个资料．若从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料 （填“一”或“二”），此时记忆保持率和的最大值是 （结果是整数）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②二； 【分析】（1）观察表格信息即可得出结论； （2）用描点法画图象即可； （3）①由表格可知：时 ；当时 ，列方程 即可得出结论； ②结合图象及表格信息即可得出结论. 【详解】（1）解：由图象可知：当时， ； 当时， ； ∴当整数的值为时，的值首次低于； （2）解：根据表格绘图，如下图所示： （3）解：①由表格可知：时 ； 当时 ， ∴ 即：； ②若先记忆资料一时， 当时，，当 时，， ∴； 若先记忆资料二时， 当时， ，当 时， ， ∴， ∵， ∴从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料二，此时记忆保持率和的最大值是. 10．（2026·北京·模拟预测）某科创小组测试了无人机“最大飞行高度与飞行速度的关系”，得到了如下实验数据，请你参与探究． 速度 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 最大高度 80 220 350 440 500 480 420 360 300 250 (1)根据函数的定义，设______为y，______为x，y是x的函数； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，回答下列问题： 下列说法正确的有______（填序号） ①y随x的增大而减小； ②当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高； ③速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低． (4)若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在______至______范围内（结果取整数）． 【答案】(1)最大飞行高度，飞行速度 (2)见解析 (3)②③ (4)， 【分析】（1）根据最大飞行高度是随飞行速度的变化而变化的解答即可； （2）先描点，再用平滑曲线连接即可； （3）结合函数图象解答即可； （4）根据表格的数据画大致图形解答即可． 【详解】（1）解：根据函数的定义，设最大飞行高度为，飞行速度为，是的函数． （2）解：在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象如下： （3）解：由函数图象可知，随的增大先增大，再减小，则说法①错误； 当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高，则说法②正确； 当速度过快，即时，速度越大高度越低；当速度过慢，即时，速度越小高度越低；综上，速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低，则说法③正确． （4）解：由表格的数据画大致图形如下： 若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在至范围内． 11．（2026·北京平谷·一模）为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 【答案】(1)750 (2)见解析 (3)② (4)8 【分析】（1）观察乙同学路程数据，在时间段内的速度，再求出的值即可； （2）用平滑曲线将平面直角坐标系中乙同学的跑步数据连接起来即可； （3）根据表2中甲、乙两名同学的跑步数据逐一判断即可； （4）根据乙同学匀速速度不变，且已知时的路程，所以先求出乙的匀速速度，再计算跑完全程的总时间，最后对照评分标准确定分值． 【详解】（1）解：观察乙同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为， 则该阶段速度为， 当时，从起经过的时间为， 则； （2）解：的图象如下； （3）解：当时，由表2可知，在时，甲路程，乙路程，此时乙同学在甲同学前面， 故①错误； 由（1）可知，乙同学最后阶段速度为，乙跑了，剩余路程为，还需要的时间为， 则乙同学完成1000米的测试时间为：， 故②正确； 由表2观察甲同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为，则甲同学匀速跑步阶段速度为， 而乙同学匀速跑步阶段速度为， 则两名同学在匀速跑步阶段速度不同， 故③错误； 综上所述，正确结论的序号是②； （4）解：乙同学跑了，跑了， 则匀速速度， 因此，乙同学跑完全程的总时间为：， 对应评分标准：， 因此，乙同学得分为8分． 12．（2026·北京·一模）某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度c之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度c（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 4 7 10 9 7 4 (1)以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂________（A或B）． ②当添加剂浓度相同时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多2天，则浓度c的取值范围是________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为7天，当保质期不足7天时，每减少1天会造成1元的损失．当添加剂A浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为________元． 【答案】(1)见详解 (2)①A；② (3)4 【分析】（1）根据表格数据和函数解析式画图即可． （2）根据题意，当时，，当时，，根据图象可得，当时，，即可求解． （3）根据“额外成本添加剂成本损失”求解即可． 【详解】（1）解：，的图象如图． 令，则，令，则，则过，画图如下： （2）解：①对添加剂A：根据图象可得​在时，，即可达到； 对添加剂B：令，解得， 因此A满足要求的浓度更低，选添加剂A． ②根据题意， 当时，， 当时，， 根据图象可得，当时，， 因此的范围是． （3）解：根据题意可得：额外成本添加剂成本损失， 添加剂成本：浓度，每增加元， 因此成本为元； 损失：当添加剂A浓度为时，保质期天， 比要求的7天少天，损失元； 总额外成本：元． 13．（2026·北京海淀·模拟预测）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象： (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)①丙；②乙，60 【分析】（1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）直接根据图象作答即可； （3）①根据图象直接作答即可；②根据图象可知，甲香料的香气强度下降的最快，乙香料的作用较强，消散较慢，丙香料的香气强度较弱，持续作用久，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：由图可知： 当放置时，甲香料的香气强度约为；丙香料的香气强度约为； （3）解：①由图象可知，当放置时，该时刻起主要作用的香料为丙； ②由图象可知，总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料是乙，该香料起主要作用的时长为． 一次函数 考点03 1．（2026·北京朝阳·一模）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如下表所示： 温度 0 10 20 声音传播的速度 331 337 343 研究发现，在一定条件下，是的一次函数，函数关系为（，为常数，且）．当温度为时，声音传播的速度为________． 【答案】340 【分析】利用表格中给出的两组对应值，通过待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入解析式计算得到对应的值． 【详解】解：已知，， 由表格数据，当时，，代入得 ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，，代入得 ， 解得， ∴与的函数解析式为， 将代入解析式，得 ． 2．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的图像与性质等知识点，能够掌握数形结合和极限思维是解题的关键． （1）根据题意可设为，为，根据待定系数法即可求得为，为，将分别代入上式，可得和，进而求出答案； （2）直线一条过点旋转的直线，可以先确定一条直线，根据定义画出图像，结合平行的性质，可以将进行平移，且，所以可以得到点坐标，从而利用待定系数法求解； （3）根据线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，确定点的运动轨迹，然后可以确定与该轨迹有交点的圆的位置，从而可以求出半径的范围． 【详解】（1）解：∵过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长， ∴，， 设为，为， 将点，点分别代入上面两个式子，即，， ∴，， ∴为，为， 将分别代入上面两个式子，即，， ∴点和 ∴， ∴线段关于直线的纵影长为． （2）解： 是一条过点旋转的直线，如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 综上所述，或． （3）过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，， 当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为时，， 如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于， 设， 与平行； ， ， 与平行， ， ， ， 则， ，即点的横坐标为， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 此时点的运动轨迹如图所示， 如图，当，位于点同侧时，设， 当在第一象限， 设过点分别与直线和直线平行的直线为，， 代入得，则， 故，， 令得，，， ，即在直线上运动， ， ， 同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如下图， 整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点， 当刚好与轨迹相切时，， 当过点时，， 综上，． 3．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象交y轴于点A，函数的图象经过点A与点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点，然后再用待定系数法求出k，b的值； （2）由题意可知，当时，的图象在上方，在下方，设与分别交于两点，当与平行时，满足题意，此时，交于点；当与的交点在之间（包括端点时），满足题意，结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∵函数的图象经过点与点， ∴， ∴； （2）解：当时，函数的表达式为， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴当时，的图象在上方，在下方， 当时，； 当时，； 不妨设， 当与平行时，画出图形如下： 从图象可知，此时满足“的图象在上方，在下方，”，此时，的表达式为， 当时，，设点， 如图，当与的交点在之间（包括端点时），满足题意， 当时，， ∴， 又， ∴或． 4．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． (1)求m，n的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点代入可求得m的值，将点代入可求n的值；利用待定系数法即可求解； （2）求得直线经过点时的解析式，求得此直线必过，以及反比例函数为过，再利用数形结合思想即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图像经过点， ∴ ； ∵反比例函数的图像经过点 ∴，即； （2）解：当时， ， 即 必过 由（1）可知：，即反比例函数为：， 当时，， 即， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值， ∴，即． 当，函数与函数在上，有交点，不符合题意， ∴． 5．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点 (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点的坐标分别代入两个解析式求出和的值； （2）由（1）可知函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为，当时，若要函数的值大于函数的值，则有，若要函数的值小于函数的值，则要，从而可得的取值范围． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：； 把代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可知，， 函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为， ， ， 当时，若， 可得：， 解得：， ． 6．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得，结合题意可得，再分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和点， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可得， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， ∴， 当，即时，，不满足当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，故不符合题意； 当，即时，此时函数的图象与函数的图象平行，且在函数图象的下方，故满足当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，符合题意； 当，即时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的取值范围为． 7．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既小于函数的值，也大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将和代入函数解析式，得到关于、的方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先求出第（1）问中的具体解析式，然后根据当时，，分类讨论即可． 【详解】（1）将交点和代入，得， 解得． ∴，． （2）由(1)得原函数为， 根据题意，当时，不等式组 ，对所有恒成立； ∵， ∴， 当时，， 要对所有成立，得​； ∵， ∴， 若，左边随增大而增大，当足够大时，，不满足恒成立； 若，恒成立，满足要求． 综上，的取值范围是． 8．（2026·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据直线的平移和直线上的点求直线解析式； （2）由题意可得，然后利用不等式的性质解不等式求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）得：，， 由题意可得：当时， 由题意可得：， 由①得：，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由②得，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由③得，即，由可得，要使不等式恒成立，需，即． 综上，且． 9．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， 当时，， 将代入得， 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，如图所示， ． 10．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知点和代入函数中，得到一个关于和的方程组，然后解这个方程组即可． （2）根据（1）求出和的表达式，然后列出不等式组，再结合求解的取值范围． 【详解】（1）解：将点和代入， 得方程组：． 解得，． （2）解：由（1）可知，， 所以，， 因为当时，且， 所以可得不等式组，即， 解不等式： 因为，要使其恒成立，则必有时，， 所以，解得； 解不等式： 因为，要使其恒成立，则必有时，， 所以，解得， 综上可得． 11．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意，可知当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象，结合图像得到的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点， ∴，解得； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为，， ∵要使得当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴即当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得，当时，的图象永远在的上方，那么只要当时，在的上方即可， 结合图象，可知当直线与直线平行时符合题意，此时或者时也符合题意， ∴m的取值范围为． 12．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)且 【分析】（1）利用待定系数法即可求得的值； （2）分成当，两种情况进行分析即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点和， ， 解得，即， ∴的值为，的值为． （2）解：由上可得函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∵，， ∴和的函数是从左到右为下降的直线， 当时，不等式需对所有成立， 整理得， 要使该不等式对任意大的正数都成立，则的系数必须非负，即， 解得， 结合，得． 当时，将代入和中， 即，， ∵函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴将代入时，， 即， 解得：， 综上可得：且． 13．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值又小于，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得函数，由题意可得当时，，且，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可得函数， 由题意可得：当时，，且， 对，整理得， 当，即时，，需，解得， 当时，不等式恒成立，即； 当，即时，，不满足题意， 综合可得； 对，整理得， 当时，，需，解得， 当时，，不满足题意， 综合可得； 综上所述，． 14．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)函数的表达式为，点的坐标为 (2)的取值范围为 【分析】（1）利用待定系数法求解函数表达式即可，由时，得出点的坐标； （2）由题干条件，分别求出满足情况下的的取值范围，取公共部分，即可得出结果． 【详解】（1）解：将点、代入， 得，解得， ∴该函数的表达式为， 过点且平行于轴的直线为直线， 当时，得， ∴点， 故函数的表达式为，点的坐标为． （2）解：由题意得， 所以：， 当时，， 又∵， ∴，不等式组无解， 当时，， 又∵， ∴，解得， 又∵，结合，解得， ∴结合，得，解得， 综上所述，的取值范围为． 15．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， ∵当时，的图象平行于， 又∵当时，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值， ∴且 ∴在成立 ∴ 解得：， ∴，且． 16．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数经过， ∴，即， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：如图， 当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，则的取值范围为． 二次函数 考点04 1．（2026·北京大兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论： ①当矩形为正方形时，； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据题意，求出点的坐标，根据邻边相等的矩形为正方形求出的值，连接，求出的面积，判断②，连接，根据对称性，判断③. 【详解】解：由题意，， ∵轴， ∴关于轴对称， ∴， ∴， 当时，即时，矩形为正方形， 解得（舍去）或；故①正确； 连接，则， 观察可知O，B两点之间的部分与线段围成的图形在的内部， 故抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于；故②正确； 连接，由对称性可知两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积相等，，， ∵等于两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积以及的面积之和，等于两点之间的部分与线段组成的图形面积与的面积之和， ∴． 2．（2026·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，选A． 3．（2026·北京·模拟预测）已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 【答案】4 【分析】抛物线与直线有且只有一个交点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程判别式为，据此列方程求解即可得到的值. 【详解】解：抛物线与直线有且只有一个交点 联立两个解析式得 整理得 该一元二次方程判别式 即 化简得 解得 ； 4．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线， (2)①；②或 【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴为直线，求出其对称轴，再将点代入解析式求解，即可解题； （2）①根据，得到点，抛物线为，直线为，结合题意求出点M的坐标与点N的坐标，进而即可得到的长； ②根据点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，分两种情况：当M在N的上方时，当M在N的下方时，利用解析式表示出的长，再结合二次函数增减性建立不等式求解，即可解题． 解题关键在于运用分类讨论的思想分析问题． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，且抛物线的对称轴为直线， ； （2）解：①若，， 则点，抛物线为，直线为， 过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， 又， 点M的坐标为，点N的坐标为， ； ②抛物线为，直线为， M，N不重合， 当M在N的上方时， ， ， 的长在直线左侧随的增大而减小， 又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小， ，即， 且当时，有， 解得， 故无解； 当M在N的下方时， ， ， 的长在直线右侧随的增大而减小， 又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小， ，即， 且当时，有， 解得或， 综上或． 5．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含a的式子表示b； (2)已知点，点，点在线段上，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合． ①当时，直接写出的长的最小值； ②已知在点P从点M运动到点N的过程中，的长随的长的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①8；②或 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线即可解答； （2）①由题意可得，，，，即，然后表示出，利用二次函数的性质，结合图象分析最值即可； ②根据题意，设点，，则，由点S与点T不重合，推出且，然后分类讨论：当时，（i）当或时，（ii）当时；当时，（i）当时，（ii）当或时；分别根据二次函数的性质讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：①∵，，过点作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合， ∴，，，，即， ∴， ∴关于t的函数的对称轴为，图象如图所示， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为； ②根据题意，设点，，则，， ∴， ∵点S与点T不重合， ∴， ∴且， ①当时， （i）当或时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， 当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， ∴， ∵点在线段上，，，， ∴， ∴； （ii）当时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， 当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， ∴， ∴， ∴（，舍去）， ②当时， （i）当时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， 当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， ∴， ∴， ∴， （ii）当或时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， 当时，的长随的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， ∴， ∴， ∴（，舍去）， 综上所述：或． 6．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为，，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①6；②或． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴的公式计算即可； （2）①再分别求出M，N，P的坐标，以及的表达式，再将，代入求解即可；②分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为； （2）解：①当时，，则，过作轴的垂线，方程为 ； 当时， ，则，过作轴的垂线，方程为 ； ∴两垂线交点，， ∵， ∴ ∵，， ∴ ； ②∵，，， ∴， ∴， 情况1：​， 整理得： ， ∵ ， ∴， 要存在 满足 ，即，解得； 情况2： ， 令，解得或1， 则当时，；当时，； 又∵， ∴， ∴ 解得， 综上，a的取值范围为或． 7．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】()将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ②由()及已知得，然后分情况分析：时，当时，分别作出相应图象，然后结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）①当，时，， ∴ 当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 此时点P与点A重合， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴； ②根据题意得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴， 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∴， ∴； 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∵的长随的增大而减小， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 对称轴为，开口向上， ∵的长随的增大而减小， ∴不符合题意，舍去； 综上：或． 8．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当，时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①代入数据，求得点，，利用两点之间的距离公式求解即可； ②根据题意构造新函数，画出草图，根据二次函数的图象和性质分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：经过原点和点， ∴分别代入得：，， ∴； （2）解：①当时，抛物线：，抛物线：， ∵过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N， ∴当时，对于抛物线：，对于抛物线：， ∴点，， ∴； ②∵点， ∴点，点， ∴构造新函数：， 当时，，P从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴左侧，如图， 的长随的长的增大而增大，符合题意． 当时，，P从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴右侧，如图， 若“起点”和“终点”都在这一段内， 则，，解得； 若“起点”和“终点”都在这一段内， 则； 综上，或或． 9．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，抛物线，经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，则_____； ②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①1；②或或 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）①根据得出，，，进而得出的纵坐标为，的纵坐标为，即可求解； ②根据题意得出，分两种情况，当时，当时，求得的解析式，根据二次函数式的性质，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线，经过点， ． ． （2）解：①∵ ∴， ∴， 当时，， 即的纵坐标为，的纵坐标为 ∴； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点， ． 分两种情况： 情况1：当时， 当时， 解得：或； （i）当时， ． 函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． ， 当时符合题意，时不符合题意． ． （ii）当时，， ． 函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ， 时符合题意． ． 情况2：当时， ， ． ， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 当时，即的长随的长的增大而增大． 当时符合题意． 综上所述，的取值范围是或或 10．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含a的式子表示b； (2)点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则； （2）解：由（1）得， ∵点在抛物线上，且，， ∴，则， 由题意，，， ∴， 解方程得，， ∵的长随着的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 11．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且，可知抛物线的对称轴为，根据对称轴公式可得与关系； （2）根据的取值范围与二次函数图象的性质分情况讨论． 【详解】（1）解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且， 二次函数图象的对称轴为， ， ； （2）解：当，时，二次函数为 设点，，则，， 解方程， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 与的交点坐标为和， 设点与点的距离为， （ⅰ）如下图所示， 当时，， ， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ； （ⅱ）如下图所示， 当时，， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，的最大值为； （ⅲ）如下图所示， 当时，， 此时随的增大而增大， ， 令，则， ， ， 令， 解得： 依题意，得， 解得：， 当时，存在最大值， 结合函数的图象，得． 12．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）待定系数求解； （2）①联立解析式求解； ②表示出的表达式，然后分情况讨论，利用二次函数的性质确定最值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点O， ∴； 将代入得， ， ∴； （2）解：①根据题意得，联立， 整理得， 解得或， 即或； ②由①可得直线和抛物线的交点横坐标分别为或， ， 当时，随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 当时，， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 又∵， ∴． 13．（2026·北京·模拟预测）已知抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的解析式； (2)将抛物线上，两点之间的部分（包括端点）记作图象，过点作轴垂线，若图象的最高点与最低点分别位于直线的上方和下方，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2)的取值范围是或． 【分析】（）将已知两点坐标代入抛物线解析式，通过待定系数法先求出，再求出，即可确定解析式； （）先确定抛物线的对称轴与顶点，再分、和，分别找出图象的最高点与最低点，结合它们与直线的位置关系列不等式，最后合并两种情况的结果得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， 把点、代入， 得：， 解得， ∴抛物线解析式为：； （2）解：抛物线的开口向下， 对称轴：，顶点坐标为， ∵ 点的横坐标为，且与不重合，图象的最高点与最低点分别位于直线的上方和下方， ∴图象是抛物线在上的部分， 当， 最高点：， 最低点：， 直线的方程为： 最高点在直线上方：，解得 最低点在直线下方：，解得 结合，得； 当时 最高点：， 最低点：， 当 时，对应直线的方程为， 最高点在直线上方：，解得， 最低点在直线下方：，解得， 结合，得； 当，此时，在对称轴左侧，随增大而增大， 因此最高点为，最低点为： 最高点在上方：，得，结合得； 最低点在下方：， 化简得，满足该条件， 因此符合要求， 综合，的取值范围是或． 14．（2026·北京西城·模拟预测）已知抛物线经过原点和．点M是抛物线上的动点，其横坐标为m，过点M作轴，与直线交于N． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点M作x轴的垂线，垂足为点P．在点P从点O运动到点的过程中； ①当时，求的最大值； ②若的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①； ②且 【分析】（1）和代入抛物线，即可求出c的值，a、b的关系式； （2）①可得，由点M的横坐标为m，轴，得，，得，当 时，，得； ②，分两种情况：当时，和当时，分和分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点和， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∵轴，N 在上， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 P 从 O 到， ∴， 当 时，则， 则（）， ∵二次函数开口向下，顶点在， ∴当时，；    ②， 当时， 此时函数开口向下，对称轴：，在时增大而增大， 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，矛盾； 当时，则，，即在时增大而增大， 则 随 m 增大而增大恒成立； 当时， 此时函数开口向上，对称轴：，在时增大而增大， 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，解得：， ∴； 当时，则，若 随 m 增大而增大， 则，矛盾； 综上，且． 15．（2026·北京·模拟预测）某商业区内矩形停车场（平面图如图所示）有A、B、C三个矩形停车区域和南北方向，东西方向各两条行车道．停车区域的东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为a米、米、a米，行车道宽度相同．所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为a米，东西方向边长为2.5米． (1)①求行车道的宽度； ②直接写出a的值是______：车位数量为______个； (2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现，按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值． 【答案】(1)①5米；②5，80 (2)980元 【分析】（1）①设行车道的宽度为米，根据行车道的面积等于停车场总面积减去停车区域的面积建立方程，解方程即可得；②根据A、B、C区域的南北方向宽度与行车道的宽度之和等于30米建立方程，解方程即可得的值；再根据车位的划分方法即可得车位数量； （2）根据收费标准：停车场当天收费总金额每个车位每天费用出租车位的数量，建立与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：①设行车道的宽度为米， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：行车道的宽度为5米． ②由题意得：， 解得， 车位数量为（个）． （2）解：由题意得：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为980元． 答：停车场当天收费总金额的最大值为980元． 16．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)________（用含b的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点、的坐标，即可获得答案； ②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式， 得，即； （2）解：①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，有点，如图， ， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ； ②将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ， 若，即点在轴右侧，如图， 要使点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， 则点的纵坐标小于点的纵坐标， ， 对称轴为直线， 可得， 解得， ； 若， 令， 解得，， 故当时，抛物线与直线的交点在轴右侧或轴上，如图， 此时点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大恒成立； 若，抛物线与直线的交点在轴左侧和轴上，如图， 要使点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， 则点的纵坐标小于点的纵坐标， ， 对称轴为直线， 可得， 解得，不成立， 综上，或． 17．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，先随增大而减小，后随增大而增大，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位（），得到图形，当时，图形与直线有且只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的性质求解即可； （3）求出直线的解析式为，将抛物线向上平移个单位（）得到，联立解析式得到，令，则问题转化为与在上只有一个交点，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ； （2），， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，抛物线中随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，先随增大而减小，后随增大而增大， ， 解得； （3）设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 将抛物线向上平移个单位（）得到， 联立， 得到， 令，则问题转化为与在上只有一个交点， 当时，；当时，；当时，； 由图象可知，要使只有一个交点，的取值范围为或，即或． 【点睛】掌握二次函数的图象与性质，并且数形结合是解题的关键． 反比例函数 考点05 1．（2026·北京丰台·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，与交于点D．给出下面四个结论： ①与可能相等； ②与一定不相等； ③与的面积一定相等； ④与的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】设，则，，表示出、可判断①；利用待定系数法分别求得直线和的表达式，从而得到点D的坐标，然后求得，即可判断②；根据反比例函数k的几何意义，结合面积的和差即可判断③和④． 【详解】解：根据题意，设，则点B的纵坐标为，点C的横坐标为， ∵点B、C在反比例函数上， ∴，， ∴，， ∴当时，即，解得，符合题意， ∴与可能相等，故①正确； 设直线的表达式为，直线的表达式为， 代入，，，得 ；， 解得；， ∴直线的表达式为，直线的表达式为， 联立， 解得，即， ∴， ∴当时，即，整理得，符合题意， ∴与可能相等，故②错误； 如图，延长交y轴于点M，延长交x轴于点N， 则轴，轴， ∴， ∴，， ∴与的面积一定相等，故③正确； 根据题意可知，由①可知，， ∴， ∴， ∴与的面积一定不相等，故④错误； 综上，正确的说法是①③． 2．（2026·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】通过表示,,,, 进行比较，在表示，,的面积进行比较． 【详解】当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 联立方程组得，整理得， 设，， ∴，， 当时，方程为即， ∴， 解得，， ∴，， ∴,,， 此时，所以①说法错误；②正确； ， 当时，即时，， 所以③正确； ， ∴， ∴④正确． 【点睛】本题主要考查直线与横纵坐标轴的交点，直线和反比例函数的交点，以及三角形相关的面积计算，熟练掌握函数相关的知识点是解决本题的关键． 3．（2026·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别为轴，轴正半轴上的定点，四边形为矩形，函数（）的图象与边交于点，与边交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，． 给出下面四个结论： ①一定为锐角三角形； ②； ③当的面积为时，的值可能是； ④与的面积可能相等． 上述结论中，所有正确选项的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】当，时，，，有可能是钝角三角形；利用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式求出点、的坐标，可证，利用可证；根据三角形的面积公式可得，所以可得；根据与的面积相等可得，方程有解，所以与的面积可能相等． 【详解】解：当，时，，， ， 有可能是钝角三角形， 故①中结论错误； 设点的坐标为， 则，， ， 当时，可得， 点的坐标为， 当时，可得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， 故②中结论正确； 由②可知直线的解析式为， 当时，可得， ， ， ， ， ， ， ， 故③中结论错误； 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ，，，， ， ， 若与的面积相等， 则有， 整理得：， ， 方程一定有解， 与的面积可能相等， 故④的结论正确； 结论正确的有②④． 4．（2026·北京平谷·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】确定交点坐标，得到对应线段长及面积即可判断①②；利用对称性可知当的解析式为时，的长度最大，再求出坐标即可判断③④． 【详解】解：一次函数，则， ，解得或， ，则， ，，故①正确； 由题可知四边形为直角梯形，且， 四边形的面积为，故②错误； ∵点A与点B关于直线对称，反比例函数关于对称， ∴当的解析式为时，的长度最大， 解方程组得或， ∴此时M点的坐标为，故③正确； 当的长度最大时，求对应的点的坐标， 得 此时N点的坐标为，故④错误． 5．（2026·北京·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数解析式求出，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的符号为负． 6．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______0（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【分析】根据反比例函数的解析式，分别将两点横坐标代入，表示出和，再计算，结合的条件判断其与的大小关系即可求解． 【详解】解：将点代入， 得将点 代入，得 计算： ，即． 7．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 0 【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到与，与的关系，再推导计算的值即可． 【详解】解：∵点和点都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，， 整理得 ，， ∴，即 ， ∴． 8．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则的值为______． 【答案】1 【分析】理解题意，先把代入，求出，然后把代入，即可求出的值． 【详解】解：依题意，把代入， ∴， 解得， 故， 则把代入，得， 解得． 9．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点坐标为，则点坐标为_____． 【答案】 【分析】把代入正比例函数得出，根据两点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：把代入正比例函数 得，解得， ∴， ∵反比例函数与正比例函数的图象的交点关于原点对称，则两点关于原点对称， ∴点坐标为 ． 10．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和点，则n的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求解反比例函数解析式． 先将点代入反比例函数解析式求出，得到反比例函数解析式，再将点代入反比例函数解析式求出的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 11．（2026·北京平谷·一模）已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数解析式确定函数图象位置与增减性，计算得到的值，再结合确定的取值范围，写出范围内任意一个值即可． 【详解】解：由反比例函数，可得， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 将代入，得， 当时，点在第三象限，此时，满足， 当时，点在第一象限，由结合反比例函数增减性可得， ∴满足或即可， ∴取符合条件的值． 12．（2026·北京·模拟预测）平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点和点代入函数解析式，得到关于m和n的方程，再通过等量代换求出的值． 【详解】解：把点代入得，； 把点代入得， ∴， 故答案为：． 13．（2026·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据直线的平移和直线上的点求直线解析式； （2）由题意可得，然后利用不等式的性质解不等式求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）得：，， 由题意可得：当时， 由题意可得：， 由①得：，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由②得，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由③得，即，由可得，要使不等式恒成立，需，即． 综上，且． 14．（2026·北京·一模）已知点，在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求m和k的值； (2)平行于x轴的直线交线段AC于点E，与反比例函数的图象交于点F，若，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，求得时，的值，再根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 把代入， 可得， 解得； （2）解：由（1）可得直线解析式为，反比例函数解析式为， 如图，根据题意可得 ， 根据，可得， ， 根据，可得， ， ， 当时，解得，，，（舍）， 根据图象可得若时，或． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $