专题02 方程与不等式（5大考点）（北京专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01一元二次方程 考点02分式方程 考点03不等式组 考点04一元一次方程 考点05不等式 一元二次方程 考点01 1．（2026·北京通州·一模）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【详解】解：由关于x的方程有两个相等的实数根，可知：， ∴． 2．（2026·北京平谷·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ 解得： 3．（2026·北京顺义·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，据此列方程求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 4．（2026·北京丰台·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴ 根的判别式满足， 解得． 5．（2026·北京石景山·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程二次项系数不为0，且方程有两个相等的实数根时根的判别式等于0列方程求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 把，，代入得 解得． 6．（2026·北京大兴·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，结合一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时根的判别式，列出关于的关系式即可求解. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得，解得，满足的条件， ∴的值为1. 7．（2026·北京昌平·一模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（　　） A．－4 B．－1 C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的性质，当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为0，代入方程系数计算即可得到的值. 【详解】对于一元二次方程，题中方程为 ，， ∵方程有两个相等的实数根 代入系数得 化简得 解得 ． 8．（2026·北京·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 其中，，，代入得：， 整理得， 解得． 9．（2026·北京·模拟预测）已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 【答案】4 【分析】抛物线与直线有且只有一个交点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程判别式为，据此列方程求解即可得到的值. 【详解】解：抛物线与直线有且只有一个交点 联立两个解析式得 整理得 该一元二次方程判别式 即 化简得 解得 ； 分式方程 考点02 1．（2026·北京昌平·一模）方程的解为______． 【答案】 【详解】解：方程两边乘以，得 ， 解得， 检验：当时， ， ∴是原方程的解． 2．（2026·北京通州·一模）方程的解为______． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 3．（2026·北京平谷·一模）方程的解为____． 【答案】3/ 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘， 得， 展开各项，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 4．（2026·北京西城·一模）方程的解为________． 【答案】 【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，得到原方程的解． 【详解】解：原方程移项得：， 方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 移项，合并同类项得：， 检验：当时， 是原分式方程的解． 5．（2026·北京大兴·一模）方程的解为________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 6．（2026·北京顺义·一模）方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题的解题思路是先将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，再进行验根得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 7．（2026·北京大兴·一模）方程的解为_____． 【答案】 【分析】先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后再进行检验，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，去分母得， 移项得， 合并同类项得， 检验：当时，． 因此是原分式方程的解． 8．（2026·北京石景山·一模）方程的解为______． 【答案】 【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，得到原分式方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． 9．（2026·北京海淀·一模）方程的解为______． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：, 将系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 10．（2026·北京·模拟预测）方程的解是_____． 【答案】 【分析】先确定最简公分母，去分母将分式方程转化为一元一次方程，求解一元一次方程后，对所得根进行检验，得到原分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 11．（2026·北京·一模）方程的解为________． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 12．（2026·北京西城·模拟预测）方程的解为________． 【答案】 【分析】先去分母将分式方程转化为一元一次方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：， ∴ 整理得： 解得： 检验：当时， ∴是原分式方程的解． 13．（2026·北京海淀·模拟预测）方程的解是___________． 【答案】 【分析】根据解分式方程的步骤求解即可，注意分式方程需要检验． 【详解】解：两边同时乘以得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的根， 所以，该方程的解为． 不等式组 考点03 1．（2026·北京通州·一模）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 2．（2026·北京西城·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后找出它们解集的公共部分． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 3．（2026·北京大兴·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到）或者数轴求出两个不等式解集的公共部分即是该不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 原不等式组的解集为． 4．（2026·北京朝阳·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别解两个不等式，再取它们解集的公共部分，就是不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故原不等式组的解集为． 5．（2026·北京大兴·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求解每个不等式，然后取它们的解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 6．（2026·北京顺义·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式组的解集为． 7．（2026·北京丰台·一模）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①，得， 解得：． 解不等式②，得， 解得：． ∴原不等式组的解集为． 8．（2026·北京石景山·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，先分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的公共解集即可． 【详解】解：, 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 9．（2026·北京昌平·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集是． 10．（2026·北京平谷·一模）解不等式组： 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为. 11．（2026·北京海淀·一模）解不等式组：． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 12．（2026·北京·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可， 【详解】解：， 解不等式①得：，即， 解不等式②得：，即， ∴不等式组的解集为：． 13．（2026·北京西城·模拟预测）解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为． 14．（2026·北京·模拟预测）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 15．（2026·北京·模拟预测）解不等式组：． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 16．（2026·北京·模拟预测）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式， 去分母得， 去括号得， 移项得 合并同类项得， 系数化为1得， ∴原不等式组的解集为． 17．（2026·北京海淀·模拟预测）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解是 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是． 18．（2026·北京·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 一元一次方程 考点04 1．（2026·北京昌平·一模）油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先理解题意，结合短伞骨长度与长伞骨长度之比为，设短伞骨长度为，则长伞骨长度为，又因为伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设短伞骨长度为， 则长伞骨长度为， 依题意，得， 解得， ∴． 答：这个油纸伞的伞柄长． 2．（2026·北京通州·一模）北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”．为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图1所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图1中四周空白部分的宽度相等，宽度均为；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图2，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图3，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．求图3中小正方形的边长． 【答案】小正方形的边长为 【分析】先表示出图中小长方形的宽和长，再根据图中小正方形的边长列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，图中小长方形的宽为，长为． 横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为， 设横向两行中间间隔为，则竖向中间间隔宽度为． 根据题意，得：， 解得， ． 答：小正方形的边长为． 3．（2026·北京石景山·一模）随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 【答案】0.9万件 【分析】设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件， 由题意可得：， 解得：， ∴A机器人分拣的包裹总量为0.9万件． 4．（2026·北京大兴·一模）每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 【答案】(1) 此次参加活动的教师有7人，学生有74人. (2) 320 【分析】（1）设参加活动的教师有人，根据“全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元”列方程求解即可； （2）分别计算出两种方式的费用，然后求出差额即可； 【详解】（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人； （2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元）， 全部按门票原价八折购票需要（元）， ∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）． 5．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 【答案】 【分析】设榫头长为，则榫身长为，根据榫身长与榫头长之和为求出的值，进而根据比例关系求出各边长，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设榫头长为， 榫身长榫头长， 榫身长为， 榫身长与榫头长之和为， ， 解得， 榫头长为，则榫身长为， 榫头长榫头宽， 榫头宽为， 榫身宽榫头宽， 榫身宽为， 此面的表面积为：． 6．（2026·北京西城·一模）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图2，已知短竹节长与长竹节长的比为，竹节人的头长与上身长的比为，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度． 【答案】这个竹节人的总高度为 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，下身长为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 7．（2026·北京顺义·一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 【答案】 【分析】设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，，则该中国结的总高为，根据题意易得结体总宽为，再根据“总高是总宽的1.5倍”建立关于的方程，求解即可获得答案． 【详解】解：设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，， 则该中国结的总高为， ∵结体内部高和结体内部宽相等，左、右两侧的耳翼宽都是， ∴结体总宽为， 又∵总高是总宽的1.5倍， ∴， 解得， ∴， 即该中国结的总高为． 8．（2026·北京丰台·一模）用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 【答案】包装盒的高为 【分析】根据题意可设包装盒高为，底面边长为，再根据图列出方程求解即可． 【详解】解：∵高与底面边长的比为， ∴设包装盒高为，底面边长为． 由图可得， 解得， ∴． 答：包装盒的高为． 9．（2026·北京朝阳·一模）某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 【答案】甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元 【分析】设未知数表示两种名著的单价，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲种名著的单价为元，则乙种名著的单价为元， 根据题意，得， 解得， 则， 故甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元． 不等式 考点05 1．（2026·北京石景山·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，即可判断D，则由不等式的性质得到，再根据不等式的性质即可判断A、B，根据有理数的乘法法则即可判断C． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴，，， 故B正确． 2．（2026·北京·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·北京昌平·一模）请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【详解】举例，如，，符合题意． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01一元二次方程 考点02分式方程 考点03不等式组 考点04一元一次方程 考点05不等式 一元二次方程 考点01 1．（2026·北京通州·一模）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为（    ） A． B．0 C． D．1 2．（2026·北京平谷·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京顺义·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（2026·北京丰台·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（   ） A． B． C．2 D．4 5．（2026·北京石景山·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 6．（2026·北京大兴·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 7．（2026·北京昌平·一模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（　　） A．－4 B．－1 C．1 D．4 8．（2026·北京·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·北京·模拟预测）已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为_____． 分式方程 考点02 1．（2026·北京昌平·一模）方程的解为______． 2．（2026·北京通州·一模）方程的解为______． 3．（2026·北京平谷·一模）方程的解为____． 4．（2026·北京西城·一模）方程的解为________． 5．（2026·北京大兴·一模）方程的解为________． 6．（2026·北京顺义·一模）方程的解为_____． 7．（2026·北京大兴·一模）方程的解为_____． 8．（2026·北京石景山·一模）方程的解为______． 9．（2026·北京海淀·一模）方程的解为______． 10．（2026·北京·模拟预测）方程的解是_____． 11．（2026·北京·一模）方程的解为________． 12．（2026·北京西城·模拟预测）方程的解为________． 13．（2026·北京海淀·模拟预测）方程的解是___________． 不等式组 考点03 1．（2026·北京通州·一模）解不等式组： 2．（2026·北京西城·一模）解不等式组： 3．（2026·北京大兴·一模）解不等式组：． 4．（2026·北京朝阳·一模）解不等式组：． 5．（2026·北京大兴·一模）解不等式组：． 6．（2026·北京顺义·一模）解不等式组：． 7．（2026·北京丰台·一模）解不等式组： 8．（2026·北京石景山·一模）解不等式组：． 9．（2026·北京昌平·一模）解不等式组： 10．（2026·北京平谷·一模）解不等式组： 11．（2026·北京海淀·一模）解不等式组：．． 12．（2026·北京·一模）解不等式组：． 13．（2026·北京西城·模拟预测）解不等式组：． 14．（2026·北京·模拟预测）解不等式组： 15．（2026·北京·模拟预测）解不等式组：． 16．（2026·北京·模拟预测）解不等式组：． 17．（2026·北京海淀·模拟预测）解不等式组，并写出它的所有整数解． 18．（2026·北京·一模）解不等式组：． 一元一次方程 考点04 1．（2026·北京昌平·一模）油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长． 2．（2026·北京通州·一模）北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”．为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图1所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图1中四周空白部分的宽度相等，宽度均为；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图2，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图3，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．求图3中小正方形的边长． 3．（2026·北京石景山·一模）随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 4．（2026·北京大兴·一模）每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 5．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 6．（2026·北京西城·一模）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图2，已知短竹节长与长竹节长的比为，竹节人的头长与上身长的比为，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度． 7．（2026·北京顺义·一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 8．（2026·北京丰台·一模）用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 9．（2026·北京朝阳·一模）某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 不等式 考点05 1．（2026·北京石景山·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京昌平·一模）请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $