专题08 几何综合压轴题（北京专用）2026年中考数学一模分类汇编

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07几何综合压轴题 1.(2026北京大兴一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为线段AB上一点，连接CD, ∠BCD=a(0°<a<45),将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到DE,连接BE,AE,点F是BE中点，连 接DF. (I)连接CE,求∠ACE的度数（用含a的式子表示）； (②)用等式表示DF与AE的数量关系，并证明. 【答案】1)45°-0 (2)AE=2DF,证明见解析 【分析】(1)根据旋转的性质，得到△CDE是等腰直角三角形，得到∠DCE=45°，根据角的和差关系即可 得出结果； (2)作CG上AB于点G,作EH上AB于点H,根据三线合一和斜边上的中线得到CG=AB=AG=BG, 证明△CDG≌△DEH(AAS),得到DH=CG,EH=DG,进而推出AH=DG,HG=BD,在AB上截取 DP=BD,根据三角形的中位线定理和中垂线的性质，即可得出结果， 【详解】(1)解：连接CE, :旋转， ∠CDE=90°，CD=DE, ∠DCE=∠DEC=45°， :∠ACB=90°， .LACE+∠BCD=45°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、LACE=45°-∠BCD=45°-a; (2)解：AE=2DF,证明如下： 作CG⊥AB于点G,作EH⊥AB于点H,则∠CGD=∠DHE=90°， H D B :∠ACB=90°，AC=BC, 1 .CG-AB-AG-BG. “旋转， .∠CDE=90°，CD=DE, ∴.LEDH=∠DCG=90°-∠CDG, aCDG≌△DEH(AAS), .DH=CG,EH=DG, .DH=AG=BG, .AH =DG,HG=BD, .AH=EH, 在AB上截取DP=BD,则DP=HG, .HP=DG, ∴HP=AH, :EH⊥AP, .AE=PE :F为BE的中点， :DF=IPE, 21 :DF=AE,即AE=2DF. 2.(2026北京海淀一模)在ABC中，∠ABC=90°，LBAC=a·D为BC的延长线上一点，连接AD, 将线段AD绕点A顺时针旋转180°-2a得到线段AE,连接CE. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B E 图1 图2 (I)如图1，u=30°，点E在直线BC上，求证：CE=2CD; (2)如图2，用等式表示线段AB,CD和CE的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)CE2=4AB2+CD2,证明见解析 【分析】(1)先说明180°-2a=120°，由旋转的定义可得AE=AD,∠EAD=120°，易得∠E=∠D=30°，进 而得到LCAD=∠D=30°，即AC=CD;再说明∠EAC=90°，∠E=30°，利用含30度直角三角形的性质 求解即可； (2)利用三角形外角的性质可得LACD=∠BAC+∠ABC=90°+Q,如图2：将aACD绕点A顺时针旋转 180°-2a得到△AC,E,则AC=AC,CD=CE,∠AC,E=∠EAD=90°+a,∠C,AC=∠EAD=180°-2a,进 而得到∠AC,C=∠ACC,=a、∠EC,C=90°，再利用勾股定理以及解直角三角形求解即可. 【详解】(1)解：：∠BAC=a=30°， .180°-2a=180°-2×30°=120°， :将线段AD绕点A顺时针旋转180°-2α得到线段AE,连接CE, AE=AD,∠EAD=120°， ÷∠E=ZD=2180°-120)=30°， :∠ABC=90°，即AB⊥ED, ZBAD-ZBAR∠EMD=60P ∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°， ∠CAD=∠D=30 .AC=CD, :LEAC=∠BAE+∠BAC=60°+30°=90°，∠E=30°， CE=2AC,即CE=2CD. (2)解：CE2=4AB2+CD2,证明如下： :在ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=Q, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACD=∠BAC+∠ABC=90°+a, 如图2：将aACD绕点A顺时针旋转180°-2a得到△AC,E, GB D 图2 AC-AC,CD=C,E,∠ACE=∠ACD=90°+a,∠C,AC=∠EAD=180°-2a, :∠ACC=∠ACC,=180°-∠CAC)=a, .∠ECC=LACE-∠ACC=90°， .CE2 CC 2+EC2, .CE2=CC2+CD2, 如图2：连接CC,过A作AG⊥CC,于G, 在RtAACG中，CG=AC cosa,CC=2CG=2 AC cosa, 在Rt△ABC中，AB=AC cosa, .CC =2AB, ∴CE2=(2AB)2+CD2,即CE2=4AB2+CD2. 3.(2026北京丰台一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC,D为AC的中点，过点D作 DE11C,交BC于点五点F在线段DE上，且DF-号4C,连接4 F (I)求证：AF平分∠BAC; (②)连接BF,将射线FB绕点F顺时针旋转90°，交CA的延长线于点G. ①依题意补全图形： 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②用等式表示EF,AF与CG之间的数量关系，并证明. 【答案】()见解析 (2)①见解析；②CG=2EF+√2AF,证明见解析 【分析】(1)由中点的定义结合已知条件可得AD=DF,利用等边对等角可得∠DAF=∠AFD,再说明 AB∥DE可得∠BAF=∠DFA,则∠BAF=∠DAF即可证明结论； (2)①按要求完成作图即可；②如图：连接CF并延长交AB于点H.先说明∠AFC=90°，利用勾股定理 可得4C=51,再说明DE8,利团平行钱分线段成t可符品芹品，易得EF:C1的中 位线可得BH=2EF,再说明△GAF≌△BHF(ASA)可得AG=BH,再利用线段的和差以及等量代换即可解 答 【详解】(1)证明：点D为AC的中点， .AD=AC. 2 1 :DF=。AC, 2 .AD=DF, ∴.∠DAF=∠AFD :DE⊥AC,∠BAC=90° ∴.∠BAC=∠EDC=∠ADF=90°， AB∥DE .∠BAF=∠AFD, .∠BAF=∠DAF, .AF平分∠BAC. (2)解：①如图即为所求， G ②数量关系：CG=2EF+√2AF.证明如下： 如图：连接CF并延长交AB于点H 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D B E :点D为AC的中点，DE L AC, .AF CF,AD=CD. 又：AF平分∠BAC,∠BAC=90°， LDAF=∠DCF=45°， ∠CFD=LAFD=45°. ∠AFC=90°. 在Rt△AFC中，根据勾股定理，AC=√AF2+CF2=√2AF· :DE⊥AC, .LEDC=∠BAC=90°. DE∥AB. CD CF CE ·AD FH BE AD=CD, :CF=FH,CE =BE. :EF是△CBH的中位线. .BH 2EF. :∠AHF=180°-LBAC-∠ACF=45°， .∠AHF=∠2 AF=HF,∠AFH=90°. :∠BFG=90°， ∠BFG-∠HFG=∠AFH-∠HFG,则∠3=∠4. :∠1+∠GAF=180°，∠AHF+∠BHF=180,∠1=∠AHF=45°， :ZGAF ZBHF △GAF≌△BHF(ASA) 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴AG=BH, .AG=2EF. .CG=AG+AC, CG=2EF+2AF. 4.(2026北京石景山一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a(0°<a<45°)，D是边BC延 长线上一点(DC<BC),连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2a,得到线段AE,过点E作BC的 垂线，垂足为F. D F B (I)用等式表示∠DAE与∠CAB的数量关系，并证明： (②)作线段EF的垂直平分线，垂足为G,交AB于点P,交AC于点Q,依题意补全图形.用等式表示线段 PQ与DF的数量关系，并证明. 【答案】(I)∠DAE=2∠CAB,证明见解析 (2)补全图形见解析，DF=2PQ,证明见解析 【分析】(1)由旋转的性质得∠DAE=180°-2a,由直角三角形的性质得LCAB=90°-a,整理可得 ∠DAE=2∠CAB; (2)根据作已知线段垂直平分线的方法作出线段EF的垂直平分线，连接BE,将△AEB绕点A顺时针旋转 180°-2a至△ADM,连接BM,证明点M,D,C,B共线，求出∠ABE=∠AMB=a,延长EP交BC于点 N,作PK⊥BC于点K,PL⊥BE于点L,连接PF,则四边形PQCK是矩形，可得PQ=CK,由平行线分 线段成比例定理得EP=NP,从而可证FP=EP=NP-EN,进面得出K=,证明 △PNK≌△PEL(HL),△PNB≌△PEB(AAS,得出BE=BN,从而DM=BN.结合CM=CB可证CD=CN, 从而CN=DN,整理可得DF=2PQ 【详解】(1)解：∠DAE=2∠CAB. 证明：：将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α， ∠DAE=180°-2a, :∠ACB=90°，∠ABC=a, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠CAB=90°-a, 2∠CAB=180°-2a, ∠DAE=2LCAB: (2)解：如图，PG即为所求作的线段EF的垂直平分线，DF=2PQ, 证明：连接BE,将aAEB绕点A顺时针旋转180°-2a至△ADM,连接BM,则LBAM=180°-2a, AB=AM,BE=DM, ∠AMB=∠ABM=180°-180P-2a-a, 2 :∠ABC=a, 点M,D,C,B共线， ∠ABE=∠AMB=a, .∠ABE=LABC. B D 延长EP交BC于点N,作PK⊥BC于点K,PL⊥BE于点L,连接PF, :∠ACB=90°， :四边形PQCK是矩形， .PO=CK. :EF⊥BC,PG是EF的垂直平分线， PG∥BC,EG=FG, EP EG NP FG .EP NP, :FP=EP=NP=LEN, .NK =KF, :NK=1NF. 2 :PK⊥BC,PL⊥BE,∠ABE=∠ABC, :PK PL, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PN PE, :△PNK≌△PEL(HL), ∠PNK=∠PEL, △PNB≌△PEB(AAS), .BE BN .DM BN. :∠ACB=90°，AB=AM, .CM =CB, .CM -DM =CB-BN .CD=CN, :.CN=IDN, 2 :CK=NK+CN=NF+IDN=1DF, :P0=DF,即DF=2P0. 5.(2026北京昌平.一模)已知，如图△ABC,∠B=a,点E是AB上的点，连接CE,点B关于直线CE的对 称点为点F,连接CF,EF,将射线CF绕点C逆时针旋转180°-a得到CG,在射线CG上取一点P,使 ∠CPF=∠CAB,延长PC交AB于点D. (I)求证：∠DCE=∠DEC; (2)连接DF,若∠DFE=2∠B,用等式表示CP,AD,DF三者之间的数量关系，并证明. 【答案】()见解析 (②)AD=CP+DF,见解析 【分析】(1)根据题意可得∠PCF=180°-a,则∠DCF=a=∠B,由轴对称的性质可得∠FCE=∠BCE, 则可证明∠DCE=∠DEC; (2)在线段AB上取一点Q,连接CQ,使得CQ=CB,证明∠AQC=∠PCF,CQ=CB.则可证明 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △CQA≌△FCP(AAS,得到CP=AQ,进而可证明∠CFE=∠B=a,DC=DE.再证明 ∠DFC=∠B=Q=∠DCF,推出DE=DF,则LDEF=∠DFE=2a,设∠FCE=B,∠CEF=B+3O,据 此可推出2a+B=90°，证明∠QCD=∠CQD,得到QD=DC=DF,则AD=AQ+QD=CP+DF. 【详解】(1)证明：由题意得，LPCF=180°-a, :∠DCF=180°-∠PCF=a=∠B. :点B关于直线CE的对称点为点F, ∴△CBE≌△CFE, ∠FCE=∠BCE, 设∠FCE=∠BCE=B, ∴.∠DCE=∠DCF+∠FCE=a+B :∠DEC=∠B+∠BCE=a+B, :∠DCE=LDEC; (2)解：AD=CP+DF,证明如下： 如图所示，在线段AB上取一点Q,连接C2,使得CQ=CB, ∴.∠COB=∠B=a. D B ○ :∠AQC=180°-∠CQB=180°-a, ·.∠AOC=∠PCF, :点B关于直线CE的对称点为点F, CF =CB. ÷C0=CB. 又：∠CPF=∠CAB, ACQA≌△FCP(AAS), .CP=A0, 由(I)知△CBE≌aCFE,∠DCE=∠DEC, ∴.∠CFE=∠B=,DC=DE」 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠DFE=2LB=2a, :∠DFC=∠B=a=LDCF, :DC=DF, :DE DF ∠DEF=∠DFE=2a, 在△CFE中，设∠FCE=B, :∠CEF=∠CED+∠DEF=a+B+2a=B+3a, .B+B+30+a=180°， 即2a+B=90°， :在△QCB中，∠QCE=180°-∠CQB-∠B-∠BCE=90°. ∴.∠QCD=90°-∠DCF-∠FCE=90°-a-B=a. ∴.∠QCD=∠CQD, .OD=DC=DF. ∴.AD=AQ+QD=CP+DF. 6.(2026北京通州一模)已知线段AB,将线段AB绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AD,将线段BA 所在的射线绕点B顺时针旋转180°-a得到射线BP,其中0°<a<45°.在射线BP上取一点C,连结AC, 作LBDG=LBCA交线段AB于点G. G B D 图1 图2 (I)如图1，当BC=AB时，求证：DG平分∠ADB; (②)如图2，当BC<AB时，如图，在BD上取一点F,使DF=BC,连结AF交DG于点M.用等式表示线 段MD和AC之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (②)见解析 【分析】D根据旋转的性质和8C=48,得出∠BAC=∠BCA-号，则∠GDB-号，根据旋转得4B=AD 2 ,则∠ABD=∠ADB=a,即可得∠ADB=2∠GDB,即DG平分∠ADB. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)延长BD到N,使DN=BC,连接AN,如图2，则∠ADB+∠ADN=180°，结合∠ADB+∠ABC=180° 得出∠ABC=∠ADN,根据旋转得AB=AD,证明△ABC≌△ADN(SAS),得出∠ACB=∠N,AC=AN, 证明AN∥GD,根据平行线分线段成比例得出 DF MF DN MA ,结合DF=DN,得出MF=AM,则 MD号4N,即可证wD-4C. 【详解】(1)证明：：将BA所在的射线绕点B顺时针旋转180°-α得到射线BP, ∠ABC=180°-a, BC=AB, G C 图1 ·ABC中，∠BAC=∠BCA= 2， ∠GDB=∠BCA, ·∠GDB=C :将线段AB绕点A逆时针旋转180°-2a得到线段AD, .AB=AD,∠BAD=180°-2a, △ABD中，∠ABD=∠ADB=a, ∠ADB=2∠GDB, .DG平分∠ADB. (2)证明：延长BD到N,使DN=BC,连接AN,如图2， G M B P 图2 则∠ADB+∠ADN=180°， :∠ADB+∠ABC=a+180°-a=180°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、∠ABC=∠ADN, :线段AB绕点A逆时针旋转180°-2a得到线段AD, .AB AD, 在ABC和△ADN中， AB=AD ∠ABC=∠ADN, BC=DN △ABC≌△ADN(SAS), ∠ACB=∠N,AC=AN, .∠ACB=∠BDG, ∠N=∠BDG, .AN∥GD, DF MF DN MA' .BC=DF,BC=DN, .DF=DN MF =1, ÷M .AM=FM, :MD=TAN, 2 1 MD=AC. 2 7.(2026北京平谷一模)在ABC中，AB=AC,∠BAC=a，点D是BC边上一点（不与B,C重合），连接 AD.将线段AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE,连接DE, 图1 图2 (I)如图1，&=∠BAC=80°，求∠DCE的度数； (2)如图2，a=∠BAC=90°，BD<CD,过点D作DG⊥BC,DG交CA的延长线于G,连接BG,点M是 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE的中点，点F是BG的中点，连接FM,CM.用等式表示线段FM与CM的数量关系并证明； 【答案】()100° (2)FM=√2CM,证明见解析 【分析】(1)等边对等角，求出∠B,∠ACB的度数，旋转，得到∠DAE=a,AD=AE,证明aBAD≌△CAE, 得到LACE=LABD,再根据角的和差关系进行求解即可： (2)连接CE,AM,AF,证明△BAD≌△CAE，,得到∠ACE=∠ABC=45°，CE=BD,进而得到 LECD=∠ACB+LACE=90°，证明△CDG为等腰直角三角形，得到CD=DG,证明△ECD≌△BDG(SAS), 得到DE=BG,然后根据直角三角形斜边上的中线，推出CM=AM=AF=BF,证明aCAM≌△BAF(SSS) ,推出LMAF=∠CAB=90°，进而得到FM=√2AM=√2CM即可. 【详解】(1)解：：AB=AC,a=∠BAC=80°， LABC=LACB=50°， :将线段AD绕点A逆时针旋转O得到线段AE, ∠DAE==∠BAC,AD=AE, ∴∠BAD=∠CAE=L-∠CAD, .△BAD≌△CAE(SAS), ∠ACE=∠ABD=50°， ∠DCE=∠ACB+∠ACE=100°； 2)解：FM=√2CM,证明如下： 如图，连接CE,AM,AF, G :∠BAC=90°，AB=AC, LACB=LABC=45°， :将线段AD绕点A逆时针旋转O得到线段AE, .∠DAE=a=90°，AD=AE, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LBAD=∠CAE=90°-∠CAD, :△BAD≌ACAE(SAS, ∠ACE=∠ABC=45°，CE=BD, ∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°， DG⊥BC,∠ACB=45°， :LCDG=LBDG=90°，△CDG为等腰直角三角形， .CD=DG, ∠GDB=∠DCE=90°，BD=CE, .△ECD≌△BDG(SAS), DE BG, :点M,F分别为DE,BG的中点，∠ECD=90°，∠DAE=90°，∠BAG=180°-∠CAB=90°， :CM=AM=1DE,BF=AF=BG=IDE, 2 .CM AM AF =BF, 又：AC=AB, △CAM≌aBAF(SSS, .∠CAM=∠BAF, :∠BAF+∠BAM=∠CAM+∠BAM,即∠MAF=∠CAB=90°， AM AF, ∴.FM=V2AM=V2CM. 8.(2026北京西城一模)在ABC中，∠BAC=,AB=AC,CD⊥AB于点D,过点B作BM∥AC,P 是线段DB上一点，连接CP,作LCAQ=∠APC,交射线BM于点Q. B A E M M 图1 图2 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)如图1，当LCA0=2a(36°<a<60)时，求∠BCP的度数（用含a的式子表示）； (②)如图2，点E为AP中点，用等式表示DE与BQ的数量关系，并证明. 【答案】(O①∠BCP=50-90° (②)BQ=2DE,证明见解析 【分析】(1)由AB=AC,得∠ABC=90°- 号.由外角定义可得∠BCP=∠APC-∠ABC-5a -90°. (2)在AD上取点N,使得DN=DP,连接CN.则CP=CN.可得∠CNP=∠APC.再证△CNA≌aAOB ,得AN=BQ.由AP=2PE.可得AN=AP-PN=2DE.则BQ=2DE. 【详解】(1)解：：AB=AC, ∠ABC=∠ACB. :∠BAC=a, ∠ABC=180°-∠BAC=90°-0 2 2 .∠CAQ=∠APC,∠CAQ=2a, ,∠BCP=∠APC-∠ABC=2a- 90-8）0-90 2=2 (2)解：BQ与DE的数量关系为：BQ=2DE 证明：如图，在AD上取点N,使得DN=DP,连接CN. CD⊥AB, B M :CP=CN. .∠CNP=∠APC. ZCAO=ZAPC, :ZCNP ZCAO. AC∥BM, :∠CAB=∠ABM,∠AQM=∠CAQ. .∠AQM=∠CNP. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠AQB+∠AQM=180°，∠CNA+CNP=180°， ∴.∠AQB=∠CNA. 在CNA和aAQB中 ∠CAB=∠ABM ∠AOB=∠CNA AB=AC ∴△CNA≌△40B(AAS). ·AN=BQ. E是AP的中点， .AP=2PE. PN =2PD, :AN AP -PN =2PE-2PD =2DE. ∴.BQ=2DE 9.(2026北京一模)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=2(0°<a<30),D是BC的中点，将线段 AB绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF,线段BF交AD于E,连接CF,点F与点H关于直线BC对称， 射线HC交AD于M. E D B D 图1 备用图 (I)补全图形，并求∠FCD的大小： (2)用等式表示线段AM,MC和CF之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析，150° (2)AM=CM+CF,见解析 【分析】(I)连接AF,先用a表示出∠ACB,根据旋转的性质推出△ABF是等边三角形，进而推出 ∠BAF=60°，AC=AF,则可用a表示出LCAF、LACF,再根据∠FCD=LACB+∠ACF即可求解； (2)连接FH、AH,先根据对称的性质得出CF=CH,∠BCH=∠BCF=∠DCF=I50°，进而可得 LHCF=60°，△CHF是等边三角形，再根据CH=HF、AC=AF得AH垂直平分CF,求出 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠MAH=∠MHA=30°，得AM=HM,即可求解 【详解】(1)解：补全图形如下： 4 M E B H :在ABC中，AB=AC,∠BAC=2a(0°<<30)， ∠4CB=2180°-∠BAC)=90-a, 连接AF, :将线段AB绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF, ∠ABF=60°，AB=BF, :.△ABF是等边三角形， .∠BAF=60°，AF=AB, AB=AC, .AC=AF, ÷LCAF=LBAF-∠BAC=60°-2a,∠ACF=(180°-∠CAF)=60°+a, ∴.∠FCD=∠ACB+∠ACF=90°-a+60°+a=150°： (2)解：AM=CM+CF,证明如下： 如图，连接FH、AH, M E D :点F与点H关于直线BC对称， :CF=CH,∠BCH=∠BCF=∠DCF=l50°， 216 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠HCF=360°-（LBCH+LBCF)=60°， :△CHF是等边三角形， .∠CHF=60°，CH=HF, 又：AC=AF, .AH垂直平分CF, 2c4h-4caP,<c4-<c=30 :在ABC中，AB=AC,D是BC的中点， .∠CAD=5∠BAC, ∠MMH=∠Aac+∠CaH-∠B4C+∠C1F)-BaF-30, .∠MAH=∠MHA, .AM HM =CM+CH =CM +CF. 10.(2026北京一模)如图(1)，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30°， ∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°；如图(2)，固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转， 记∠CAE=a(0°<a<180°). 【操作发现】 (1)在旋转过程中，当a为-度时，AD⊥BC; (2)当BC与△ADE的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角a的所有可能的度数； 【拓展应用】 (3)当0°<a<45°时，连接BD,利用图(3)探究LBDE+∠CAE+∠DBC的值的大小是否变化，并说明 理由. D 固定三角板ABC 三角板ADE绕点A 按顺时针方向旋转 B 图(I) 图(2) 图(3) 【答案】(1)105°；(2)旋转角的所有可能的度数是：15°，105°，150°；(3)当0°<a<45°， LBDE+∠CAE+LDBC=I05°，保持不变，理由见解析 【分析】(1)如图1所示，记AD与BC的交点为F,根据三角形内角和定理得出∠DAC,进而根据 ∠CAE=∠DAC+∠DAE,即可求解； 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)分三种情况求解：①当AD∥BC时，②DE∥BC,③AE∥BC,再结合图形求解； (3)在△AMN中，根据三角形内角和定理∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°，根据∠ANM=∠E+∠BDE, ∠AMN=∠C+∠DBC,可得∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，即可得出 ∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°. 【详解】解：(1)如图1所示，记AD与BC的交点为F, B ◇D 图1 :AD⊥BC, ∠AFC=90°， ∠DAC=180°-LAFC-∠C=180°-90°-30°=60°， .∠CAE=∠DAC+∠EAD=60°+45°=105°， 即a=105°， 故答案为：105°： (2)①当AD∥BC时，如图2所示， 记DE与AC的交点为点F,DE与BC的交点为点G, 图2 :AD∥BC, ∠DAF=∠C=30°， ∠DAE=45°， .∠CAE=15°，即a=15°： ②当DE∥BC时，如图1所示， 结合(1)得，AD⊥BC,∠CAE=105°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .a=105° ③当AE∥BC时，如图3所示，∠EAC+∠C=180°， A E B D 图3 ∠C=30°， :∠EAC=150°，即a=150°， 综上所述：旋转角a的所有可能的度数是：15°，105°，150°； (3)拓展应用：当0°<a<45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°，保持不变，理由如下： 如图4，设BD分别交AC、AE于点M、N, D M B 图4 在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°， :∠ANM=∠E+∠BDE,∠AMN=∠C+∠DBC, :∠E+LBDE+LCAE+∠C+∠DBC=180°， :∠C=30°，∠E=45°， LBDE+LCAE+∠DBC-105°. 【点晴】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的性质， 熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键， 1/6 专题07 几何综合压轴题 1．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接． (1)连接，求的度数（用含的式子表示）； (2)用等式表示与的数量关系，并证明． 2．（2026·北京海淀·一模）在中，，．D为的延长线上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，点E在直线上，求证：； (2)如图2，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 3．（2026·北京丰台·一模）如图，在中，，，D为的中点，过点D作，交于点E，点F在线段上，且，连接． (1)求证：平分； (2)连接，将射线绕点F顺时针旋转，交的延长线于点G． ①依题意补全图形； ②用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 4．（2026·北京石景山·一模）如图，在中，，（），是边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作的垂线，垂足为． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 5．（2026·北京昌平·一模）已知，如图，点是上的点，连接，点关于直线的对称点为点，连接，将射线绕点逆时针旋转得到，在射线上取一点，使，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若，用等式表示，，三者之间的数量关系，并证明． 6．（2026·北京通州·一模）已知线段，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，将线段所在的射线绕点B顺时针旋转得到射线，其中．在射线上取一点C，连结，作交线段于点G． (1)如图1，当时，求证：平分； (2)如图2，当时，如图，在上取一点F，使，连结交于点M．用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． 7．（2026·北京平谷·一模）在中，，点是边上一点（不与重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系并证明； 8．（2026·北京西城·一模）在中，，，于点D，过点B作，P是线段上一点，连接，作，交射线于点Q． (1)如图1，当时，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，点E为中点，用等式表示与的数量关系，并证明． 9．（2026·北京·一模）如图，在中，，，D是的中点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，线段交于E，连接，点F与点H关于直线对称，射线交于M． (1)补全图形，并求的大小； (2)用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 10．（2026·北京·一模）如图（1），将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记（）． 【操作发现】 （1）在旋转过程中，当α为 度时，； （2）当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数； 【拓展应用】 （3）当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $