专题07 新定义综合压轴题（北京专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦圆的综合压轴题，汇编北京多区县一模及江苏期末创新试题，突出新定义与动态几何的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |非选择题|7道|圆的性质、几何变换（平移/旋转）、新定义问题（如“弦心衍生点”“旋切点”）|北京多区县一模真题（如大兴、平谷卷），结合“交割线段”“k-平移点”等创新定义，分层考查作图、计算及动态取值范围|

专题07 新定义综合压轴题 1．（2026·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于的弦和点C，给出如下定义：若为锐角三角形，且直线，中有一条是的切线，则称点是的弦的“锐切点”． (1)如图，的半径为1． ①点，，在点，，中，点______是的弦的“锐切点”； ②若，点C是的弦AB的“锐切点”，则弦的长的取值范围是______； (2)已知点，经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 2．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得．为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 3．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“等距”图形． (1)已知点，，，． ①当时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； (2)已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． 4．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 5．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点A和线段，给出如下定义： 将线段绕点A顺时针旋转α可以得到线段（，分别是B，C的对应点），点P为线段上任意一点，若最小值为1，则称线段是的以点A为中心关于“α”的“关联线段”． (1)若． ①当时，如图点，，，，，，，的横、纵坐标都是整数，在线段，，，中，的以点A为中心关于“”的“关联线段”是_____； ②当时，且在直线上（点B在点C左侧），线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”，直接写出点B横坐标的取值范围； (2)若，，，点A在线段上，，直线与线段有交点，且线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”．直接写出b的取值范围． 6．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于和外一点A给出如下定义：若点P在上，且对圆上任意一点Q，都有，则称线段是点A关于的关联线段，称的大小是点A关于的关联角度． (1)如图，的半径为1． ①已知点，则点A关于的关联线段的长为______，点A关于的关联角度为______； ②已知上一点，点D在直线上，线段是点D关于的关联线段，则点D的坐标为_____； (2)已知点，的半径为2，直线上的所有点都有关于的关联线段，记这些点关于的关联角度的最大值为，若，直接写出t的取值范围． 7．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①画出点的“对应点”点； ②若点是点“的对应点”，则的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____； (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． 8．（2026·北京·一模）对于线段PQ和，给出如下定义：若平移线段PQ可以得到的一条弦（点，分别为点P，Q的对应点），线段的长度的最大值为k，则称点Q为点P关于的“k-平移点”，称k为点P关于的“Q-最远平移距离”，在平面直角坐标系xOy中， (1)如图所示，已知点，的半径为1，那么点是点A关于的一个“平移点”． ①在点，，，中，点________是点A关于的“平移点”； ②若线段，则点A关于的“C-最远平移距离”k的最小值是________，最大值是________； (2)已知点，的半径为2．点P，Q是以点为圆心，2为半径的上距离为2的任意两点，若点P关于的“Q-最远平移距离”k的取值范围均满足，则t的取值范围是：________． 9．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于的弦和弦外一点P，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点M，N，使得，则称点P是弦的关联点，称的长度的最大值为点P与弦的关联值． (1)若与y轴的正半轴交于点B，在点，，中，点_____是弦的关联点，该点与弦的关联值为________； (2)当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出b的取值范围； (3)设弦的长为．对于每一个m的值，点P是弦的关联点，且点P与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦中点的距离的最大值为d．当点B在上运动时，直接写出d的取值范围． 10．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．    (1)如图，的半径为2，点． ①在的三条边中，的“交割线段”是 ； ②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 新定义综合压轴题 1．（2026·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于的弦和点C，给出如下定义：若为锐角三角形，且直线，中有一条是的切线，则称点是的弦的“锐切点”． (1)如图，的半径为1． ①点，，在点，，中，点______是的弦的“锐切点”； ②若，点C是的弦AB的“锐切点”，则弦的长的取值范围是______； (2)已知点，经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据题目定义逐一判断即可；②，则点在以点为圆心，2为半径的圆上，利用圆的对称性，可以先固定点，点，根据为锐角三角形，讨论可能的位置； （2）根据题目信息可得，的半径为，为等边三角形，按照②的思路寻找锐切点所在的范围，利用极限思想即可求解． 【详解】（1）①如图， 为钝角三角形，则不符合题意； 为锐角三角形，且是的切线，则符合题意； 为锐角三角形，且是的切线，则符合题意； ②， 点在以点为圆心，2为半径的圆上， 设，， 则此时一定是的切线，只需满足为锐角三角形，则为直角三角形即可找到临界值， 如图，当时， 为圆的直径，即； 如图，当时，过点作于， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 则， 解得，（不符题意，舍去）， 则； 则当时，为锐角三角形，即点C是的弦AB的“锐切点”； （2）解：已知点，经过点T，则的半径为， 由题可知，，则为等边三角形， 如图，过点分别作，，交过点垂直于轴的直线于点，；连接，， ， ， ， 则，， 当点C位于，之间时，为锐角三角形，此时，， 以点为圆心，分别以，为半径画圆，长为的线段在圆弧区域内时，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”， 如图，与圆环内圆相切时，是线段在此范围内的最长状态，仅有此时存在使得条件成立时，圆的半径最小，连接； ， ， 在中，， 解得，（不符合题意，舍去）， 即． 【点睛】本题为新定义题目，考查圆的性质，解直角三角形，动点问题，难度较大，能够将新概念转化为已有知识，并掌握以静制动，极限思维是解题的关键． 2．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得．为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次不等式的解； （1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内； ②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）分将P顺时针和逆时针旋转来讨论，思路是一样的先求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可，要注意的是建立的关于t的一元二次不等式是含有参数b的，再利用一元二次不等式要有解，判别式来求出b范围. 【详解】（1）解：由题意得 ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①如图所示，过A作轴平行线，过作，过作，过A作轴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴等于半径，小于半径， ∴、分别在的内部和圆周之上，都符合关联三角形的定义， ∴，都是的关联三角形. 故答案为：，. ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴Q点坐标， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴， 故答案为：. （2）解：当点，点P在直线上，设P点坐标为，此时由Q点可由顺时针或逆时针旋转得到，分类讨论， 当Q由顺时针旋转得到时，如图所示： 由（2）得， ∴，， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 整理得， 若此时Q点存在，则此不等式一定要有解， ∴， 解得； 当Q由逆时针旋转得到时，如图所示： 同理可得Q点的坐标为， 由勾股定理的， 整理得， 同样的道理若要存在Q点，则此不等式要有解， ∴， 解得. 综上所述：或. 3．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“等距”图形． (1)已知点，，，． ①当时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； (2)已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①，1；② (2) 【分析】（1）①先求出点A到y轴的距离为2，再根据“等距”图形的定义即可求解；②设线段上的点到y轴的距离为，当时，线段有2个点满足；当或时，线段有1个点满足；再结合线段为线段关于y轴的“等距”图形，即可求出t的取值范围； （2）由边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，得出这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且，再根据任意的弦，上都存在点，到直线l的距离的最大值也要为，可找到的临界状态，求出临界状态的的值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，则点，如图所示： ∴点A到y轴的距离为2， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为3， ∴线段是点A关于y轴的“等距”图形， 设线段的解析式为， 则，解得， ∴线段的解析式为， 当时，， ∴线段上有1个点到y轴的距离为2， ∴k的值为1． ②∵，， ∴同理①的方法可得，线段的解析式为， 设线段上的点到y轴的距离为，如图所示： 当时，线段有2个点满足， 当或时，线段有1个点满足， 又∵线段为线段关于y轴的“等距”图形， ∴线段存在点T，使得点T到y轴的距离不大于， 又∵在y轴的右侧，且到y轴的距离为3， ∴点在直线上或直线的左侧，如图所示： ∴t的取值范围为． （2）解：∵边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形， ∴等边上存在3个点到直线的距离等于某个具体数值， ∵是以点为中心的任意一个等边三角形，且均存在3个点到直线的距离等于，如图所示： ∴这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且， ∴任意的弦，上都存在点，到直线l的距离的最大值也要为， 如图所示，点在直线上，作直线，，且， 作与直线相切于点， 若上存在一点到直线的距离达到，则与直线有交点即可， ∵直线， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∵的半径为1， ∴， ∴，， ∴， 同理，当点在直线的下方时，，， ∴， ∵点在第四象限， ∴点，即， ∴． 4．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的图像与性质等知识点，能够掌握数形结合和极限思维是解题的关键． （1）根据题意可设为，为，根据待定系数法即可求得为，为，将分别代入上式，可得和，进而求出答案； （2）直线一条过点旋转的直线，可以先确定一条直线，根据定义画出图像，结合平行的性质，可以将进行平移，且，所以可以得到点坐标，从而利用待定系数法求解； （3）根据线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，确定点的运动轨迹，然后可以确定与该轨迹有交点的圆的位置，从而可以求出半径的范围． 【详解】（1）解：∵过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长， ∴，， 设为，为， 将点，点分别代入上面两个式子，即，， ∴，， ∴为，为， 将分别代入上面两个式子，即，， ∴点和 ∴， ∴线段关于直线的纵影长为． （2）解： 是一条过点旋转的直线，如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 综上所述，或． （3）过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，， 当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为时，， 如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于， 设， 与平行； ， ， 与平行， ， ， ， 则， ，即点的横坐标为， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 此时点的运动轨迹如图所示， 如图，当，位于点同侧时，设， 当在第一象限， 设过点分别与直线和直线平行的直线为，， 代入得，则， 故，， 令得，，， ，即在直线上运动， ， ， 同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如下图， 整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点， 当刚好与轨迹相切时，， 当过点时，， 综上，． 5．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点A和线段，给出如下定义： 将线段绕点A顺时针旋转α可以得到线段（，分别是B，C的对应点），点P为线段上任意一点，若最小值为1，则称线段是的以点A为中心关于“α”的“关联线段”． (1)若． ①当时，如图点，，，，，，，的横、纵坐标都是整数，在线段，，，中，的以点A为中心关于“”的“关联线段”是_____； ②当时，且在直线上（点B在点C左侧），线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”，直接写出点B横坐标的取值范围； (2)若，，，点A在线段上，，直线与线段有交点，且线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”．直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据定义求解即可； ②根据逆向思维，将点O绕点A逆时针旋转后确定点的坐标，利用定义结合相似三角形，解直角三角形的性质求解即可； （2）先求出线段的解析式，根据定义，分情况讨论点A的位置，利用等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得，，，，，，，，， 旋转后， ，，，，，，，， 点O到的最小距离为，满足定义，此时符合要求； 点O到的最小距离为，不满足定义，此时不符合要求； 点O到的最小距离为点到的距离，与圆相切，距离等于半径1，满足定义，此时符合要求； 点O到的最小距离大于，不满足定义，此时不符合要求； ∴的以点A为中心关于“”的“关联线段”是；； ②设直线与x轴交于点G，与y轴交于点E， 则，， ∴， ∴， ∴， 将点O绕点逆时针旋转，得到， 连接，过点作轴于点Q，则，， ∴， ∴， ∵，且线段在直线上，点P为线段任意一点，的最小值为1， 此时分情况讨论： ①当点为临界点时， 如图，过点作， ∴， 在中，， ∴，即； ②当点为临界点时，此时点与点重合， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 此时点与点E重合， 在中，，， ∴， ∵，， ∴，即点，，Q三点共线， ∴， 过点作轴交点K， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点B横坐标的取值范围为． （2）解：设的解析式为， 将点M，N分别代入得：， 解得， ∴线段的解析式为， ①如图，当点N与点重合，将点O绕点逆时针旋转得点， ∵，且直线与线段有交点， ∴存在的区域为阴影部分的圆环， 当时，b有临界值， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴b的临界值为； ②如图，当点M与点重合， ∵，， ∴， 将点O绕点逆时针旋转得点，此时点在线段上， 同理可得，当时，b有临界值， ∵与的k均为1， ∴， ∴， 延长交于点S， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴ ∴b的临界值为， 综上所述，b的取值范围是． 6．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于和外一点A给出如下定义：若点P在上，且对圆上任意一点Q，都有，则称线段是点A关于的关联线段，称的大小是点A关于的关联角度． (1)如图，的半径为1． ①已知点，则点A关于的关联线段的长为______，点A关于的关联角度为______； ②已知上一点，点D在直线上，线段是点D关于的关联线段，则点D的坐标为_____； (2)已知点，的半径为2，直线上的所有点都有关于的关联线段，记这些点关于的关联角度的最大值为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，30；② (2)或 【分析】（1）①过点作的切线，点为切点，则线段即为点A关于的关联线段，利用勾股定理解得，由切线的性质可得，进而解得的长度，并利用三角函数解得的值，即可获得答案； ②如下图，设线段与轴交于点，根据关联线段的定义可得，过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，进而确定点坐标；利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与直线解析式，求解即可获得答案； （2）设直线上一点，根据关联角的定义，点关于的关联角度满足，要使最大，则最大，此时最小，当垂直于直线时，最小，最小值为点到直线的距离，结合易得，再分点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：①如下图，过点作的切线，点为切点，则线段即为点A关于的关联线段， ∵， ∴， ∵为的切线，且， ∴， ∴，即点A关于的关联线段的长为， 又∵， ∴， ∴点A关于的关联角度为； ②如下图，设线段与轴交于点， ∵线段是点D关于的关联线段， ∴直线是切线，即， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与直线解析式， 可得，解得， ∴点D的坐标为； （2）设直线上任一点， 根据关联角的定义，点关于的关联角度满足， 要使最大，则最大，此时最小， 当垂直于直线时，最小，最小值为点到直线的距离， ∴的最大值为， ∵， ∴，即， 解得， 设直线分别交轴于点，如下图， 对于直线， 当时，， 当时，可得，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在点右侧时，如图， 此时，， 则， 即，可得， 解得； 当点在点左侧时，如下图， 此时，， 则， 即，可得， 解得． 综上所述，的取值范围为或． 7．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①画出点的“对应点”点； ②若点是点“的对应点”，则的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____； (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①见解析；② (2)；； (3)或 【分析】（1）①根据新定义，结合平移的性质，得出，描点，即可求解； ②根据新定义确定平移方式，即可求解； 设，根据新定义得，即可求解； （2）根据题意得出点在以为圆心半径为1的圆上，求得，再根据一点到圆上的距离的最值问题，即可求解； （3）根据新定义得出点是以为圆心，为半径的圆上运动，进而结合图形分析两圆相切或相交时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示， ∵， ∴， ∴， 将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到 ②依题意，点是点的“对应点”， ∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位 设， ∴，解得： ∴ （2）解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”， 将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到， ∴点在以为圆心半径为1的圆上 ∴ ∴线段的最小值是；最大值为； （3）解：点，时，是以线段为半径的上一点， ∴ ∵点是点的“对应点”， ∴ 如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动， 依题意，点是沿方向平移得到的，则 若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交， 当两圆相切时， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得：或 当点在的左侧时， 如图，当点在的右侧时， 综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或． 8．（2026·北京·一模）对于线段PQ和，给出如下定义：若平移线段PQ可以得到的一条弦（点，分别为点P，Q的对应点），线段的长度的最大值为k，则称点Q为点P关于的“k-平移点”，称k为点P关于的“Q-最远平移距离”，在平面直角坐标系xOy中， (1)如图所示，已知点，的半径为1，那么点是点A关于的一个“平移点”． ①在点，，，中，点________是点A关于的“平移点”； ②若线段，则点A关于的“C-最远平移距离”k的最小值是________，最大值是________； (2)已知点，的半径为2．点P，Q是以点为圆心，2为半径的上距离为2的任意两点，若点P关于的“Q-最远平移距离”k的取值范围均满足，则t的取值范围是：________． 【答案】(1)①、；②， (2) 【分析】本题考查平移距离，点与圆的位置关系，勾股定理，坐标系中两点距离； （1）①根据“平移点”的定义判断即可；②连接并延长与交于，过点作的垂线交于，以为对称轴构造等边、等边，连接，由图可得：的最小值为，的最大值为； （2）令坐标为点，取中点，平移后为的弦，当取最大值时为，当取最小值时为，最后根据k的取值范围均满足，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，轴， 取点，，，如图所示， ∴，，即四点都在上， 点A关于的“平移点”，即点A平移个单位后到上，即为的位置或的位置， ∴线段、平移后得到的弦、，可满足平移长度的最大值为， 又∵点，的平移长度的最大值大于， ∴只有点、是点A关于的“平移点”． 故答案为：、． ②如图所示，连接并延长与交于，过点作的垂线交于，以为对称轴构造等边、等边，连接， ∴， 由①得，， ∴的最小值为， 同理可得：， ∴点最远可以平移到点， ∴的最大值为． 故答案为：，． （2）解：令坐标为点， ∵， ∴是等腰三角形， 取中点，平移后为的弦， ∴，， 如左图当共线时，为最大值， 此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如右图，当取最小值时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上：t的取值范围是． 故答案为：． 9．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于的弦和弦外一点P，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点M，N，使得，则称点P是弦的关联点，称的长度的最大值为点P与弦的关联值． (1)若与y轴的正半轴交于点B，在点，，中，点_____是弦的关联点，该点与弦的关联值为________； (2)当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出b的取值范围； (3)设弦的长为．对于每一个m的值，点P是弦的关联点，且点P与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦中点的距离的最大值为d．当点B在上运动时，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）以的中点为圆心，以为直径，作，当在圆上（不包括点）时，均满足，即弦的关联点在圆上（不包括点），故可以推导出弦的关联点的轨迹为是以为直径的圆围成的区域，包括边界（除线段外），设的中点为，只要点落在内部或者上（除线段外），均满足条件，即可判断； （2）以为底边，构造等腰三角形，使得，分别以为圆心，以长为半径画圆，先判断出弦的关联点的轨迹是和优弧（除外），以为底边，画等腰三角形，使得，再分别以点为圆心，以长为半径画圆，当的长度从0到2变动时，可知弦的关联点的轨迹在上以及内部（弦除外），那么只要与阴影部分有交点，即可满足题意，从而推出当与相切时，达到最大值，当与相切时，达到最小值，接着求得答案； （3）以为底边分别向上向下构造顶角的等腰三角形和等腰三角形，分别以为圆心，以为半径作圆，当线段从左到右移动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点，设线段的中点为，由题意可知，，过点作于点，作于点，那么∴，，，，结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，以的中点为圆心，以为直径，作， 当在圆上（不包括点）时，均满足，即弦的的关联点在圆上（不包括点）， ∵是弦上的不同两点， ∴， ∴当的长度在变动时，弦的关联点的轨迹为是以为直径的圆围成的区域，包括边界（除线段外），如下图阴影部分所示，设的中点为： ∴只要点落在内部或者上（除线段外），均满足条件， ∵的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴只有落在上，均在外部， ∴点是弦的关联点，且该点与弦的关联值为； （2）解：当时，，将代入，得，令，过点作轴的垂线交轴于点，如图 ∴， ∴， ∴， ∵的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A， ∴， 连接， ∵弦的长为2，的半径为2， ∴， ∴为等边三角形， ∴点可能在第一，或者第四象限， 如下图： 以为底边，构造顶角的等腰三角形，即 ，再分别以为圆心，以长为半径画圆，如图所示： ∵当在或的优弧时（不包括），都有， ∴或优弧上的点（不包括）都是弦的关联点， 以为底边，画顶角为的等腰三角形，即，分别以点为圆心，以长为半径画圆： ∵是弦上的不同两点， ∴， ∴当的长度在0到2变动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点， ∴弦的关联点的轨迹在上以及内部（包括边界，弦除外），如上图阴影部分所示， ∵直线上存在弦的关联点， ∴只要与阴影部分有交点，即可满足题意， ∴当与相切时，达到最大值，当与相切时，达到最小值， 如图，当与相切于，作于，连接，延长交于点，设交轴于， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴在上， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 不妨设， ∴， ∵与相切于点， ∴，， ∵与平行， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 同理可求得，当与相切时，； 故； （3）解：以为底边分别向上向下构造顶角的等腰三角形和等腰三角形，分别以为圆心，以为半径作圆，如下图所示： ∴在优弧上所有的点（除外）都满足， 当线段从左到右移动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点，即上图中阴影部分（不包含线段），当点与重合时，设线段的中点为，由题意可知，，过点作于点，作于点， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴ ，即， 又， 故． 10．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．    (1)如图，的半径为2，点． ①在的三条边中，的“交割线段”是 ； ②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②当或 (2)或 【分析】（1）先根据点A和点B的坐标得到与相切，则线段上没有点在外；再证明线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内，即可得到结论； （2）设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设，利用勾股定理求出，由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”；由对称性可得当时，线段是的“交割线段”； （3）分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种临界情况，求出此时t的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点A在上， ∴与相切， ∴线段上没有点在外， ∴线段不是的“交割线段”， ∵， ∴点C在内，点B在外， ∴线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内， ∴线段不是的“交割线段”，线段是的“交割线段”， 故答案为：；    ②如图所示，设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设， ∴，， ∴此时点H刚好在上，且此时与相切； ∵的半径为2， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”； 由对称性可得当时，线段是的“交割线段”； 综上所述，当或时，线段是的“交割线段”；    （2）解：联立 得， ∴， 同理可得，； 如图2-1所示，当恰好经过点D时， ∴， ∴；    如图2-2所示，当恰好与相切于H时，连接， ∵，， ∴， ∴， 由切线的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；        如图2-3所示，当恰好经过点D时， ∴， ∴；    如图2-4所示，当恰好与相切于P时，连接，设直线与x轴交于Q， ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；      综上所述，当或时，的三条边中有且只有两条是的“交割线段”． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $