精品解析：安徽滁州市天长市实验中学2025-2026 学年下学期八年级期中考试数学试题卷

2025—2026学年下学期天长市实验中学八年级期中考试 数学试题卷 一、选择题：本大题共10小题，每题4分，计40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算法则．分别计算判断即可 ． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、无法合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 3. 当时，化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 先利用已知条件确定y的符号，进而得到，再根据二次根式的性质，将根号内的表达式分解为平方项和非平方项的乘积，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴． 故选C． 4. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A. 0 B. 2 C. ﹣2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式求值、一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 6. 已知一元二次方程（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程（a≠0）的两根分别为（ ） A. 1,5 B. -1,3 C. -3,1 D. -1,5 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的两根. 【详解】记，则即的两根为3，1 故1，3. 故选B. 【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程. 7. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 8. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 9. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， 所以是直角三角形，但不是直角三角形， 故选：D． 10. 如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点在的斜边上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质就可以得出≌，就可以得出， ，由等腰直角三角形的性质就可以得出，由勾股定理就可以得出：，由此易求结果． 【详解】解：与都是等腰直角三角形， ， ，，，， ， ． 在和中， ， ． ， ． ， ， 即． ， ． ， ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键． 二、填空题：本大题共4题，每题5分，计20分． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，理解“化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式”是解决问题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴，解得． 故答案为：3． 12. 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于线段_______的长． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，在中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， 则， 在中，，， ， 又， ， 图形中线段的长是方程的一个解， 故答案为：． 13. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 14. 如图，点P是等腰直角三角形内的一个点，且，若将绕点C逆时针旋转后得到，则______，______． 【答案】 ①. ②. ##135度 【解析】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理及其逆定理等知识，求得，，进而推导出是解题的关键．由旋转得，，，求得，，而，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：△是等腰直角三角形， ，， 将△绕点逆时针旋转后得到△， ，，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， 故答案为：，． 三、本大题共4题，每题8分，计32分． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简每一项，再合并即可． 【详解】解： ． 16. 对于任意的正数m，n，定义运算“”： （1）计算的结果； （2）计算的结果． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据公式直接代入计算即可； （2）根据公式直接代入计算 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 ，， ． 17. 用配方法解方程：x2+6x﹣3＝0． 【答案】，． 【解析】 【分析】按照配方法的步骤和方法解方程即可． 【详解】解：x2+6x﹣3＝0， 移项得，， 两边加9得，， ， 开方得，， ，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法解方程． 18. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式得出，然后求解即可； 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴解得， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，化解绝对值，算术平方根，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 四、本大题共2题，每题10分，共20分 19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）方程是“倍根方程” （2）代数式的值为或 （3）m的值为13或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，，然后求出，再计算对应的m的值即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． 【小问2详解】 解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． 【小问3详解】 解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 20. 阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【答案】1，21，61（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可． 【详解】解：与能合并， 为正整数）， ， ， 又为正整数， 为偶数， 为奇数， 当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）． 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 五、本大题共2题，每题12分，计24分 21. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：∵，∴，又∵，∴，当时取等号． ∴的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，当且仅当______时，有最小值为______． （2）当时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】（1）3，6 （2） （3）60米 【解析】 【分析】（1）根据例题中的公式计算即可； （2）先化简，再运用公式计算即可； （3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴，当且仅当时取等号． ∴的最小值为6． 故答案为：3，6． 【小问2详解】 ， ∵， ∴， 又∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 即的最小值为； 【小问3详解】 根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米， ∵∴， 又∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最小值为60， 即需要用的篱笆最少是60米. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 22. 《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． （1）若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； （2）求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； （3）要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为平方米的菜地． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据各边之间的关系，可得出长为米； （2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可； （3）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式即可判断． 【小问1详解】 解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米， ∴长为米． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为平方米时，宽为米 【小问3详解】 略 六、本题14分 23. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． （1）①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． （2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． （3）若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）①根据勾股定理即可表示出的长；②过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图，     ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． 【小问2详解】 解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【小问3详解】 解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期天长市实验中学八年级期中考试 数学试题卷 一、选择题：本大题共10小题，每题4分，计40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 当时，化简得（ ） A. B. C. D. 4. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A. 0 B. 2 C. ﹣2 D. 4 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 已知一元二次方程（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程（a≠0）的两根分别为（ ） A. 1,5 B. -1,3 C. -3,1 D. -1,5 7. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 8. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点在的斜边上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4题，每题5分，计20分． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则________． 12. 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于线段_______的长． 13. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 14. 如图，点P是等腰直角三角形内的一个点，且，若将绕点C逆时针旋转后得到，则______，______． 三、本大题共4题，每题8分，计32分． 15. 计算：． 16. 对于任意的正数m，n，定义运算“”： （1）计算的结果； （2）计算的结果． 17. 用配方法解方程：x2+6x﹣3＝0． 18. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，化简：． 四、本大题共2题，每题10分，共20分 19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 20. 阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 五、本大题共2题，每题12分，计24分 21. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：∵，∴，又∵，∴，当时取等号． ∴的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，当且仅当______时，有最小值为______． （2）当时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 22. 《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． （1）若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； （2）求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； （3）要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 六、本题14分 23. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． （1）①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． （2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． （3）若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $