精品解析：安徽省滁州市天长市实验中学测2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

天长市实验中学2024－2025学年度（下）期中质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式应满足的条件：（1）被告开方式不含有开的尽方的因数与因式，（2）被告开方式不含有分母是解题的关键．根据最简二次根式应满足的条件解答即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解得， 故选：C 3. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 4. 下列数据不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 8，12，16 D. 9，40，41 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握①三个数必须是正整数，②满足勾股定理．根据勾股数的定义求解即可． 【详解】解：A．，且3， 4，5都是正整数，所以3，4，5是勾股数，此选项不符合题意； B．，且5，12，13都是正整数，所以5，12，13是勾股数，此选项不符合题意； C．，所以8，12，16不是勾股数，此选项符合题意； D．，且9，40，41都是正整数，所以9，40，41是勾股数，此选项不符合题意； 故选：C． 5. 年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则方程可列为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，设月收入的增长率为，则四月份销售额为，五月份销售额为，列出方程，即可． 【详解】设月收入的增长率为， ∴四月份销售额为；五月份销售额为， ∴列出方程为：． 故选：D． 6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP=AC=， ∴点P表示的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长． 7. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 8. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 根据题意得出且，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得且， 故选：． 9. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（　　） A. B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设FC′=x，则FD=9-x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设FC′=x，则FD=9﹣x， ∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点， ∴AD=BC=6，C′D=3， 在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3， ∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt△FC′D中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元二次方程是解题的关键． 10. 若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（ ） A. 2或 B. 3或 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，代数式求值等知识，根据题意，由一元二次方程解的定义得到也是关于的方程（其中）的解，从而有或，解得或（负值舍去），代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程（其中）的解是，，且满足， 也是关于的方程（其中）的解， 或，解得或（负值舍去）， ， 故选：C． 二、填空题（每小题5分，满分20分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义：被开方相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：4． 12. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积，结合草坪的面积为300平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，道路的宽为米， 铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积． 草坪的面积为300平方米， ． 故答案为：． 13. 关于的方程的两根为、，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握整体代入的思想解决问题．由方程的两根为、，可得，确定，即可求解． 【详解】解：∵的方程的两根为、， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 14. 在中，，平分交于点D，若、，则点D到斜边的距离为________，________． 【答案】 ①. 2 ②. 20 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理等内容，掌握这两个知识点，得到是关键；过点D作于E，由角平分线的性质定理得，即可求得点D到斜边的距离为；利用，得，而，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵平分，， ∴， 即点D到斜边的距离为2； ∵， 即， ∴； ∵，， ∴由勾股定理得：， 即， 整理得：； 故答案为：2；20． 三、解答题（满分90分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先用完全平方公式展开，求出算术平方根，再进行二次根式的加减混合运算即可． 【详解】解： 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 先移项，再用因式分解法求解． 【详解】解：， ， ， 或， 解得． 17. 已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，实数与数轴，二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，且，则，，，然后化简，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解：根据实数，，在数轴上对应点的位置可得：，且， ∴，，， ∴原式． 18. 学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，米，米，，米，米． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）米 （2）平方米 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理及其逆定理，理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理直接求解即可； （2）利用勾股定理逆定理得出为直角三角形，然后再计算面积即可． 【小问1详解】 解：∵，米，米， ∴米； 【小问2详解】 ∵米，米，米， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积为：平方米． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 20. 某电子商铺购进一批电子配件，其进价为每件40元，按每件60元出售，平均每天可售出100件，经过市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20件，现在该商铺要尽快减少库存，采取降价措施，并且平均每天获利2240元，那么每件应定价多少元？ 【答案】每件应定价54元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件应降价x元，则每件定价为元，根据每天获得的利润等于单件利润乘以销售量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件定价为元， 根据题意得， 化简得：， 解得：， ∵商铺要尽快减少库存， ∴， 答：每件应定价54元． 21. 如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． （1）根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） （2）为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． ∴，， 则； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 22. 在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： （1）请用以上两种方法化简：； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）， 方法一：； 方法二：； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案； （2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案； （3）根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得， ， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法． 23. 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． （2）如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1）， （2） 证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴. ∴； 由题意，第一种方法： ； 第二种方法： ， ， ， ； （3）风车的面积为393 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，通过证明即可判断得出，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，则，求出后可列式计算得解． 【小问1详解】 证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于， ∴风车的面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天长市实验中学2024－2025学年度（下）期中质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列数据不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 8，12，16 D. 9，40，41 5. 年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则方程可列为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 9. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（　　） A. B. 4 C. 4.5 D. 5 10. 若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（ ） A. 2或 B. 3或 C. 2 D. 二、填空题（每小题5分，满分20分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为________． 12. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为__________． 13. 关于的方程的两根为、，则的值为__________． 14. 在中，，平分交于点D，若、，则点D到斜边的距离为________，________． 三、解答题（满分90分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 18. 学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，米，米，，米，米． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 20. 某电子商铺购进一批电子配件，其进价为每件40元，按每件60元出售，平均每天可售出100件，经过市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20件，现在该商铺要尽快减少库存，采取降价措施，并且平均每天获利2240元，那么每件应定价多少元？ 21. 如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． （1）根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） （2）为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 22. 在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： （1）请用以上两种方法化简：； （2）计算：； （3）若，求的值． 23. 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图1可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． （2）如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明； （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $