专题03二元一次方程与一次函数2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级下学期期末备考专项训练

2026年七年级下学期期末备考专项训练----专题03二元一次方程与一次函数 一、单选题 1．直线与轴的交点坐标是 A． B． C． D． 2．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．已知一次函数（、为常数，）与（、为常数，）的图象交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．小明用图像法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像，如图所示，则所解的二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 7．点是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A的坐标是（ ） A． B． C． D． 9．如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 10．若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 二、填空题 11．如果函数与的图像的交点坐标是，那么方程组的解是__________． 12．如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是__________． 13．已知一次函数与的图象的交点为，则关于的二元一次方程组的解为______． 14．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是___________． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线是常数与直线是常数相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为______． 三、解答题 16．一般地，二元一次方程的解可以转化为点的坐标，其中的值对应为点的横坐标，的值对应为点的纵坐标，如二元一次方程的解和可以分别转化为点和．以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象． (1)写出二元一次方程的任意一组解：________，并把它转化为点的坐标：________； (2)在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．根据此结论，在所给平面直角坐标系中分别画出二元一次方程的图象和二元一次方程的图象． (3)根据图象，得出二元一次方程的图象和二元一次方程的图象的交点坐标为________，由此可得二元一次方程组的解是________． 17．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求m的值及的关系式； (2)方程组的解为________； (3)求的值． 18．如图，直线：交x轴，y轴于A，B两点，直线：交x轴，y轴于C，D两点，直线，相交于点E． (1)点E的坐标为________； (2)直线，与x轴围成的三角形面积为________； (3)过点E的直线把面积两等分，求这条直线的表达式． 19．如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为． (1)直接写出关于x，y二元一次方程组的解为 (2)求直线的解析表达式； (3)若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ； 20．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点． (1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值． 22．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)求一次函数图象的“亮点”； (2)一次函数图象的“亮点”为，求，的值； (3)若一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求满足条件的点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年七年级下学期期末备考专项训练----专题03二元一次方程与一次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A B A B D C C 1．A 【分析】计算当时，，确定坐标为，解答即可． 本题考查了一次函数与y轴的交点计算，熟练掌握时，求对应的函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，， 故图象于y轴的交点为， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解是解题的关键． 两条直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：∵ 方程组 的解为 ， 方程组的解表示两条直线的交点坐标， ∴ 直线 与 的交点坐标为 ． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组的解集为两条直线交点的横纵坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； 故选A． 4．A 【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解，进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴该点的坐标同时满足两个函数的方程， ∴关于、的方程组，即的解为． 5．B 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，熟练的求解函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键．根据当函数图象与x轴相交时，函数图象与y轴相交时，结合已知函数解析式可得A、B两点的坐标；由A、B两点的坐标求出中两直角边的长度，再根据三角形的面积计算公式求出的面积． 【详解】解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B， ∴当时，，当时，，则， ∴，， ∴． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组，准确理解图像是解题的关键．根据一次函数的图像交点进行列式即可． 【详解】解：由图可知，两条直线的交点坐标为， 是二元一次方程组的解， 的解为，故选项A符合题意； 的解为，故选项B不符合题意； 的解为，故选项C不符合题意； 的解为，故选项D不符合题意； 故选A． 7．B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是首先消去a，求出y与x的函数关系式．首先用消元法消去a，得到y与x的函数关系式，然后根据一次函数的图象及性质即可得出结论． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴的图象经过一三四象限，不经过第二象限． 故选B． 8．D 【分析】本题考查的是一次函数的图象上点的坐标特征，解题的关键是理解x轴上点的纵坐标为利用待定系数法求出点A的坐标即可判断． 【详解】解：对于一次函数，令，可得， ， 点A的坐标是， 故选：． 9．C 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系．把代入求出的值，根据函数图象即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，得到两直线平行是解题的关键． 根据方程组无解得出两直线平行，求出k的值，再逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵关于的方程组无解， ∴直线与直线平行， 即，解得， 两直线平行，无交点，故A、B错误； 将代入，得， ∵斜率，截距， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确； 将代入，得，当时，， 即直线交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 11． 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：∵一次函数与图像的交点的坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 12．6 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题．对于，令，可求出点A的坐标，然后联立两函数解析式可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 联立得：， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴． 故答案为：6． 13． 【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组解的关系，根据一次函数的交点坐标就是以一次函数解析式所构成的二元一次方程组的解，即可求解，掌握一次函数的交点与二元一次方程组解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与的图象的交点为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．先把代入得：，再根据两条直线的交点坐标，进行作答即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴直线与直线相交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．由图象交点坐标可得方程组的解． 【详解】解：由图象可得直线和直线交点坐标是， 关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 16．(1)；（答案不唯一） (2)见解析 (3)； 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程（组），画一次函数图象. （1）计算出所对应的y的值即可得到方程的一组解，然后把它转化为点C的坐标； （2）利用描点法画出直线的图象和的图象即可； （3）利用画出的图象写出交点坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的函数图象的交点坐标求解． 【详解】（1）解：二元一次方程的解可为，把它转化为点C的坐标为； （2）解：∵，是二元一次方程的解， ∴二元一次方程的图象经过，； ∵，是二元一次方程的解， ∴二元一次方程的图象经过，； 则直线的图象和的图象，如图所示： （3）解：根据图象，二元一次方程的图象和二元一次方程的图象的交点坐标为，由此可得二元一次方程组的解是：． 17．(1)，的解析式为 (2) (3) 【分析】此题考查一次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、函数与方程组的关系是解题的关键． （1）先求得点的坐标，再运用待定系数法即可得到的解析式； （2）根据方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标，即可求解． （3）过作于于，则，再根据，可得，进而得出的值； 【详解】（1）解：把代入一次函数， 可得，，解得：， ， 设的解析式为， 将点代入， 得， 解得：， ∴的解析式为； （2）解：方程组可整理为， 方程组的解即为一次函数和正比例函数的交点横纵坐标， 即． （3）解：如图，过作于于， 则， 在中， 令，则； 令，则， ∴， ∴， ∴． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可； 【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点． ∴点坐标为的解， 解得：． ∴． （2）解：把代入，得：和， ∴， ∵， ∴直线，与轴围成的三角形面积为：. （3）解：把分别代入，得： 和， ∴， ∴的中点为， ∵过点E的直线把面积两等分， ∴这条直线过E点以及的中点， 设过E点且把面积两等分的直线的解析式为 把点代入得:， 解得：， ∴这条直线的解析式为. 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键. 19．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的图象问题，涉及直线的交点坐标与方程组的解的关系，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与面积的综合问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点P的横坐标为代入，求出点的坐标，即可求解关于x，y二元一次方程组的解； （2）将点代入解方程组即可； （3）根据面积关系，得到，求出，分两种情况，将代入直线表达式即可求解． 【详解】（1）解：∵点P的横坐标为， ∴， ∴点P的坐标是， ∵直线与相交于点P， ∴关于x，y二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （2）解：∵B点坐标为，， ∴将代入得，则，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵点P的横坐标为，， ， ∴， ①当时，代入解析式可得； ②当时，代入解析式可得. ∴点M的坐标是或， 故答案为：或． 20．(1)； (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点B的坐标； （2）根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． ∵图象经过点，， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵点C在x轴上， ∴， ∴当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点C在图中的位置： ∵点A和点均在x轴上， ∴轴． ∵点B的坐标为， ∴； ②当时，点C在图中的位置： 设 ∵， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 综上可知，在x轴上存在点C，使得是直角三角形，点C的坐标为或． 21．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点代入，得，则，由直线与直线相交于点可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解； （2）先求出直线与轴的交点的坐标，再求出直线与轴的交点的坐标，然后求出线段的长，再利用三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积； （3）由题意得，直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，由可得，即，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 方程组的解为； （2）解：对于直线， 令，则， 解得：， ， 对于直线， 令，则， 解得：， ， ， ； （3）解：由题意得： 直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为， ， ， 即：， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一元一次方程的应用（几何问题），三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是解题的关键． 22．(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得n，进而代入求得m即可； （3）根据题意可得，求出，然后根据三角形面积公式求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ， 解得． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与直线没有交点，即直线与平行， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，当时，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $