专题04 图形的性质（5大考点）（贵州专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 图形的性质 5大考点概览 考点01 相交线与平行线 考点02三角形 考点03四边形 考点04圆 考点05作图 相交线与平行线 考点01 1．（2026·贵州遵义·一模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·一模）一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线相聚于一点．如图，光线，折射光线相交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图1，是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州遵义·一模）一杆古秤在称物时的状态如图，此时，，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 6．（2026·贵州六盘水·一模）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·贵州六盘水·一模）如图，，与相交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D．． 8．（2026·贵州遵义·一模）如图，，将一个直角三角板的两个锐角顶点放在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 三角形 考点02 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点． 若，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，连接交于点，连接，若，，则长为（    ） A． B．8 C． D．10 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州·一模）如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州遵义·一模）如图，在四边形中，，点E在边上，连接，，，．若，则的长度为_______． 7．（2026·贵州遵义·一模）如图，是等腰直角三角形，，，在的右侧作，，连接，交于点E．若，则的长为_______． 8．（2026·贵州遵义·一模）在中，BD是的角平分线，，，，则的长为__________． 9．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长，交于点F，则的长为_____． 10．（2026·贵州遵义·一模）在中，，点为射线上一动点（不与点，重合），作，并交射线于点，连接． (1)【操作发现】如图（1），当时，过点作，交于点． ①请补全图形； ②的数量关系为___________； (2)【类比探究】如图（2），当，且点在线段上时，探究：线段，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当，过点作于点，若，请直接写出的长． 11．（2026·贵州遵义·一模）如图1，遵义市余庆县飞龙湖呈现“湖连谷、湖中峡、峡湖相间”的独特风貌，也是“千里乌江画廊”上的核心景观区．某校九年级实践小组为绘制飞龙湖局部平面示意图，现需要测算A，B两岛间的实际距离，小组借助无人机等工具进行探究，所有测点均在同一竖直平面内．如图2，点D位于点A左侧水平岸上，测得为100m，点C为无人机航拍悬停点（在点D正上方），连接． (1)在点C处测得，求的长； (2)在点C处测得，求两岛A，B间的距离． （参考数据：，，） 12．（2026·贵州黔南·一模）【问题情境】数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． (1)【数学思考】希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将等边沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．写出图1中与相等的角： ；连接，则与的位置关系是 ； (2)【数学思考】善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将边长为的正方形沿直线折叠，点落在点处，点恰好落在边的中点处，折痕分别交，于，两点，设与交于点． ①求的值； ②求的长； (3)【拓展探究】智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图，与都是等腰直角三角形，，，点是边上的动点，交于点．当时，直接写出的面积． 13．（2026·贵州遵义·一模）综合与探究 如图1，，于点C，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作交射线于点G，垂足为F． 【初步尝试】 (1)当点D在线段上时，与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； 【深入探究】 (2)当点D在线段上时，求证：； 【拓展延伸】 (3)若，点D在运动过程中，当时，求的长． 14．（2026·贵州遵义·一模）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场暴风雨过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角米． (1)求的度数； (2)求这棵大树折断前的高度．（结果精确到米）． （参考数据：） 四边形 考点03 1．（2026·贵州黔南·一模）如图，在菱形中，，是对角线，．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，的对角线，交于点，，若，，的面积为__________． 4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，点F为上一点，连接，，若，则的长为______． 5．（2026·贵州遵义·一模）如图，小明同学将一块的直角三角尺放置在正方形中，以点C为圆心，为半径画弧，交于点F．若正方形的边长为，则弧的长为_______． 6．（2026·贵州遵义·一模）在中，是边上的一点，是边的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 7．（2026·贵州遵义·一模）解决下列问题： (1)【操作探究】如图①，在平行四边形中．作图：过的中点O作直线，分别交于点E，F；发现：与的数量关系为_______． (2)【初步应用】如图②，在平行四边形中，过点O作，交于点H，G，连接．判断四边形的形状并说明理由； (3)【问题解决】如图③，在四边形中，，，点E，G分别在上，连接并延长交的延长线于点P，点O是的中点，连接并延长交于点F，连接．将线段所在的直线绕点E逆时针旋转交于点Q．当，，，时，求的长． 8．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 9．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 10．（2026·贵州遵义·一模）综合与实践： (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 11．（2026·贵州遵义·一模）如图，在正方形中，，点为的中点，延长至点，使，连接，，． (1)求证：； (2)若点为的中点，连接，求线段的长． 12．（2026·贵州遵义·一模）如图，为等边三角形，D为中点，连接．过点A，C分别作，，，相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 13．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点E为边上一动点，连接，将沿折叠，点D的对应点为F． (1)如图1，若的延长线恰好经过点B．求证：； (2)如图2，若，延长、分别与边、相交于H、G，若，，求的长． (3)如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于H、G．作于点P，若，求的长． 14．（2026·贵州六盘水·一模）在中，，将绕点A逆时针旋转得到． (1)【问题解决】 如图1，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题探究】 如图2，在四边形中，对角线上有一点P，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，点D的对应点Q恰好落在的延长线上，求的度数； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，求面积的最大值． 15．（2026·贵州铜仁·一模）如图，在矩形中，的平分线交于点，作于点． (1)求证：； (2)连并延长交于．若，求的长． 圆 考点04 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接，，已知，，的半径为9，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州遵义·一模）一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州遵义·一模）2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，、是圆的切线，为切点，为圆心，连接并延长交射线于点，若，则的长度为__________． 6．（2026·贵州遵义·一模）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，重物上升了，则滑轮旋转了________度．（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 7．（2026·贵州·一模）如图所示，四边形、均为正方形，A，D，E三点共线，C，D，G三点共线，B，C，F三点在圆弧上，若圆直径为，且，则的长为__________． 8．（2026·贵州遵义·一模）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，，且． (1)连接，求证：； (2)连接，若，，求弦的长度； (3)在（2）的条件下计算图中阴影部分的面积． 9．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，直线与相切于点C，于点D，延长交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 10．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E，点F在的延长线上，且． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系； (3)若，，求的长． 11．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，交于点F． (1)写出图中一个与相等的角：__________； (2)判断与的位置关系并证明； (3)若，，求的长． 12．（2026·贵州遵义·一模）如图，已知是的外接圆，为的直径，弦交于点，点在延长线上，平分，连接． (1)在不添加辅助线的条件下，写出图中一个与相等的角： ，线段与线段的数量关系是 ； (2)求证：是的切线； (3)若，的半径为10，求的长． 13．（2026·贵州六盘水·一模）如图，为的直径，，点B，E在上，延长至点A，连接，，． (1)_____，_____； (2)求证：是的切线； (3)求阴影部分的面积． 14．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，是的弦，过点作交于点，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)连接，过点作交于点，连接，根据题意，补全图形，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 15．（2026·贵州黔东南·一模）如图，是等边三角形的外接圆，点是劣弧上的一动点，连接交于点． (1)如图1，_________度，写出图中一对相似三角形：_________； (2)如图2，若点为劣弧的中点时，试判断线段与的位置关系； (3)在图1中，若，求周长的最大值． 16．（2026·贵州·一模）如图所示，在平行四边形中，，对角线，且，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点P，交于点Q，连接． (1)求证：与相切； (2)求阴影部分的面积． 作图 考点05 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点． 若，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在四边形中，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线交于点H，连接．若，，则的面积为（   ） A． B．8 C． D．16 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，四边形中，，，，，．以为圆心，长为半径画弧交于点；又以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．作射线交延长线于点，连接交于点，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 4 ．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长，交于点F，则的长为_____． 5．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，D，E分别为的中点．M是上一定点，按以下步骤尺规作图： ①以点D为圆心，为半径作弧，交于另一点N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，交于点F，点G在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的长． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的性质 5大考点概览 考点01 相交线与平行线 考点02三角形 考点03四边形 考点04圆 考点05作图 相交线与平行线 考点01 1．（2026·贵州遵义·一模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，， ，， ，， ． 2．（2026·贵州遵义·一模）一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线相聚于一点．如图，光线，折射光线相交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由题意，， ∴， ∴. 3．（2026·贵州遵义·一模）如图1，是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴ ． 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·贵州遵义·一模）一杆古秤在称物时的状态如图，此时，，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据平角的定义得到，继而得到的度数． 【详解】解：， ， ， ． 6．（2026·贵州六盘水·一模）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，即可求解． 【详解】解：，， ， ． 7．（2026·贵州六盘水·一模）如图，，与相交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 8．（2026·贵州遵义·一模）如图，，将一个直角三角板的两个锐角顶点放在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作，则，由平行线的性质得到，根据三角板中角度的特点和角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三角形 考点02 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点． 若，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，由勾股定理可得，由作法可知，平分，则，进而证明，得到，再设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 由作法可知，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，连接交于点，连接，若，，则长为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】根据基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】解：根据题意，得是的垂直平分线， ， ， ． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得到，进而求出的长为10个长方体小木块的高度，即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴10个长方体小木块的高度为， ∴每个长方体小木块的高度为. 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ， 则的周长． 5．（2026·贵州·一模）如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，等高的三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键．过P点作于D，于E，于F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案． 【详解】解：过P点作于D，于E，于F，如图， 设、、的面积分别为、、， ∵和 的角平分线交于点P， ∴，（角平分线的性质）， ∴， 设， ∵根据三角形的面积公式得， , ， ， ， ∴、、的面积之比为． 6．（2026·贵州遵义·一模）如图，在四边形中，，点E在边上，连接，，，．若，则的长度为_______． 【答案】 【分析】延长和交于点，证明是等腰直角三角形，得出，证明是等腰直角三角形，得出，设，则，，在中，勾股定理求出，则，过点作于点，在中，解直角三角形表示出，在中，解直角三角形表示出，结合，，列方程求出x，即可求解． 【详解】解：延长和交于点， ， ， 在中，， ， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ， ， 在中，， ， 过点作于点， 在中，， ， 在中，， ， ， 又， ， ∴， ∴， ， ． 7．（2026·贵州遵义·一模）如图，是等腰直角三角形，，，在的右侧作，，连接，交于点E．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，利用勾股定理求出，证明，得出，设，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列方程求解，证明，最后利用对应线段成比例求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·贵州遵义·一模）在中，BD是的角平分线，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了作平行线构造相似三角形，运用勾股定理求直角三角形的边．过A作交延长线于点M，过A作交于点N．先证，，再通过相似三角形的性质求得的长，运用等腰三角形“三线合一”的性质，求得的长，最后分别在，运用勾股定理，求出相应线段长度即可． 【详解】解：如图，过A作交延长线于点M，过A作交于点N． ∵， ∴， ∵BD是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 同理，在中， ∵，，， ∴． 9．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长，交于点F，则的长为_____． 【答案】4 【分析】由作图知，，在中，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由作图知，， 在中，，， ∴． 10．（2026·贵州遵义·一模）在中，，点为射线上一动点（不与点，重合），作，并交射线于点，连接． (1)【操作发现】如图（1），当时，过点作，交于点． ①请补全图形； ②的数量关系为___________； (2)【类比探究】如图（2），当，且点在线段上时，探究：线段，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当，过点作于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先补全图形，证明，进而证明，即可得到； （2）将线段绕点逆时针旋转交于点，先证明，得到，，过点作于，可得，由，即可得到； （3）分两种情况进行讨论，当点在线段上时,由（2）可知，，，；当点在线段的延长线上时,将线段绕点顺时针旋转交于点，先证明，得到，，过点作于，通过即可求解的长． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ； （2），理由如下： 如图所示，将线段绕点逆时针旋转交于点， ，， ，即， ，， ， ，， 过点作于， ，， ， ， ， ， ； （3）第一种情况：点在线段上时,由（2）可知， ，， ， ； 第二种情况：点在线段的延长线上时, 如图所示，将线段绕点顺时针旋转交于点， ，， ，即， ，， ， ，， 过点作于， ，， ， ，， ， ； 综上所述，的长为或． 11．（2026·贵州遵义·一模）如图1，遵义市余庆县飞龙湖呈现“湖连谷、湖中峡、峡湖相间”的独特风貌，也是“千里乌江画廊”上的核心景观区．某校九年级实践小组为绘制飞龙湖局部平面示意图，现需要测算A，B两岛间的实际距离，小组借助无人机等工具进行探究，所有测点均在同一竖直平面内．如图2，点D位于点A左侧水平岸上，测得为100m，点C为无人机航拍悬停点（在点D正上方），连接． (1)在点C处测得，求的长； (2)在点C处测得，求两岛A，B间的距离． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得为等腰直角三角形，继而可得； （2）根据题意可列，即可得到，继而可得本题答案． 【详解】（1）解：在中，， 依题意， ， 即：的长为100m； （2）解：在中，，， ， ， ， ． 即A、B两岛的距离约为． 12．（2026·贵州黔南·一模）【问题情境】数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． (1)【数学思考】希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将等边沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．写出图1中与相等的角： ；连接，则与的位置关系是 ； (2)【数学思考】善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将边长为的正方形沿直线折叠，点落在点处，点恰好落在边的中点处，折痕分别交，于，两点，设与交于点． ①求的值； ②求的长； (3)【拓展探究】智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图，与都是等腰直角三角形，，，点是边上的动点，交于点．当时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】（）连接，由等边三角形的性质得，根据折叠的性质可知，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （）①由题意易得，，，由折叠的性质可知：，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理建立方程求解即可；②由①可知：，，，，，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （）证明，然后利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：①∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴， ∴； ②由①可知：，， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：如图，连接， ∵与都是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， 当时，，不符合题意， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（2026·贵州遵义·一模）综合与探究 如图1，，于点C，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作交射线于点G，垂足为F． 【初步尝试】 (1)当点D在线段上时，与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； 【深入探究】 (2)当点D在线段上时，求证：； 【拓展延伸】 (3)若，点D在运动过程中，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)的值为和． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，再根据等角的余角相等即可得出； （2）过点D作于点M，作于点N．先证明得出，，再证明四边形为正方形，得出，最后证明，即可得证； （3）分两种情况：：①若点D在线段上，连接，②若点D在射线上，连接，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （2）证明：过点D作于点M，作于点N． ， ，， ， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：∵，，， ∴， ∴， ①若点D在线段上，连接， 是等腰直角三角形，且， ∴当时，垂直平分， ∴点E，C，F三点共线， ， 由（2）知平分， ， ， 是AB的中点， 是的中位线， ， ， ∴， ， ． ②若点D在射线上，连接， 同（2）可得四边形是正方形，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，则，， ， 解得：， ． 综上：的值为和． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 14．（2026·贵州遵义·一模）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场暴风雨过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角米． (1)求的度数； (2)求这棵大树折断前的高度．（结果精确到米）． （参考数据：） 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解； （2）过点A作于点P，根据三角函数，求出，继而求出，可推导出，，则这棵大树折断前的高度为（米），即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点P，如图 ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ∴这棵大树折断前的高度为（米）． 四边形 考点03 1．（2026·贵州黔南·一模）如图，在菱形中，，是对角线，．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质可知，，，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可知，再根据即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示， 四边形是菱形， ，，， ， ，， ， . 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形得到，，然后可得，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，的对角线，交于点，，若，，的面积为__________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，过点作，过点作，根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，推出，再结合三线合一的性质，得到， 证明，从而推出，设，利用勾股定理列方程求出的值，从而得出，，再求出，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，过点作，过点作， 的对角线，交于点，，， ,， ， ， ， ， ， , ， ， ， ， ，，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 设， ， 解得：， ，， ， ． 4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，点F为上一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，延长，交于点G，首先求出，设，则，勾股定理表示出，然后证明出，得到，代入表示出，，然后表示出，，然后利用得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点G， ∵四边形是矩形 ∴， ∵E为的中点 ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得或（舍去） ∴． 5．（2026·贵州遵义·一模）如图，小明同学将一块的直角三角尺放置在正方形中，以点C为圆心，为半径画弧，交于点F．若正方形的边长为，则弧的长为_______． 【答案】 【分析】先在中解直角三角形求出，再求出，根据弧长公式即可解答； 【详解】解：连接， 在正方形中，，， 在直角三角尺中，，， 根据题意可得， 在中， ， 即， 在中，， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·贵州遵义·一模）在中，是边上的一点，是边的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）利用平行线的性质得，根据中点的性质可得，从而可证，进而得，即可根据“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形； （2）根据已知条件先证平行四边形是矩形，再在中，运用勾股定理即可得，进而可得出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形， 在中， ∴， ∴， 故的长为． 7．（2026·贵州遵义·一模）解决下列问题： (1)【操作探究】如图①，在平行四边形中．作图：过的中点O作直线，分别交于点E，F；发现：与的数量关系为_______． (2)【初步应用】如图②，在平行四边形中，过点O作，交于点H，G，连接．判断四边形的形状并说明理由； (3)【问题解决】如图③，在四边形中，，，点E，G分别在上，连接并延长交的延长线于点P，点O是的中点，连接并延长交于点F，连接．将线段所在的直线绕点E逆时针旋转交于点Q．当，，，时，求的长． 【答案】(1)作图见解析， (2)菱形，见解析 (3) 【分析】（1）先根据要求作图，再根据平行四边形的性质得到，，证明，得到，即可得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，，证明，进而得到，证明，进而得到，同理可得，证明，进而得到，同理可得，可知四边形是平行四边形，根据可知四边形是菱形； （3）过点C作交的延长线于点M，证明四边形是矩形，证明，得到，设，，则，同（1）可得：，根据勾股定理求出，证明，得到，求出，即可求出GQ的长． 【详解】（1）解：作图如下： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵过的中点O作直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形 ，，， ∴， 又∵O是的中点， ， 而， ， ， 同理：， ， ． 同理可得：． ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）解：如图，过点C作交的延长线于点M， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 由题意可知：， ∴， ∴， ∵， ， ， 设，，则 同（1）可得： 在中，， 解得：（舍去负值） ， ， ， 又，， ， 而， ∵ ， ， 即： 解得：． ， 即的长为． 8．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，再证，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，由得出，再结合已知条件，利用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 证明四边形是平行四边形； （2）根据菱形的四条边相等的性质，设菱形的边长为，表示出的长度，再由证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解，得到菱形的边长． 【详解】（1）证明：， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时， 设，由得：， ， ， ， ， 解得：， 即：菱形的边长为． 10．（2026·贵州遵义·一模）综合与实践： (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为 【分析】（1）结合菱形的性质以及等边三角形的判定和性质可证明，即可求解； （2）过作于点，证明，可得，即可解答； （3）过作于，过作于，则，在中，，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过作于点， 四边形是正方形，是对角线， ，即是等腰直角三角形 ，， 由旋转的性质，得，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， 在中，， ， ； （3）解：在中，，则， ， ， 如图3，过作于，过作于，则， 在中，， ①当在上方时， ， ， 又， ， ； ②如图4，当在下方时， 同理， ； 综上，的长为． 11．（2026·贵州遵义·一模）如图，在正方形中，，点为的中点，延长至点，使，连接，，． (1)求证：； (2)若点为的中点，连接，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在正方形中，，，则，即可证明． （2）过点作于点，证明，得出，根据题意得出，，结合点为的中点，即可求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ， ， 又， ． （2）解：过点作于点， ， ， ， ， 又，为中点，是正方形， ， ， 为中点， ， ， ∴，， ， 在中，． 12．（2026·贵州遵义·一模）如图，为等边三角形，D为中点，连接．过点A，C分别作，，，相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，再结合等边三角形的“三线合一”性质，证得，最后运用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证得四边形是矩形； （2）先根据等边三角形的“三线合一”性质，证得，求出线段的长，再结合（1）中的结论，运用，求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又是等边三角形，D为中点， ∴于点D， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵D为中点，， ∴，于点D， ∴， ， 在中， ∵，，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∴． 13．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点E为边上一动点，连接，将沿折叠，点D的对应点为F． (1)如图1，若的延长线恰好经过点B．求证：； (2)如图2，若，延长、分别与边、相交于H、G，若，，求的长． (3)如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于H、G．作于点P，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长为或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，即可得证； （2）先证明四边形为矩形，得出，，同（1）可得，由折叠的性质可得，，，设，则，，结合勾股定理求出，，再证明，由相似三角形的性质即可得出结果； （3）先证明四边形为菱形，得出，，由平行线的性质求出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，分两种情况：当点在点的左侧时，过点作于；当点在点的右边时，过点作，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴，， 同（1）可得：， 由折叠的性质可得：，，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图：当点在点的左侧时，过点作于， ， 则，， ∵，，， ∴， 同（1）可得：， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的右边时，过点作， ， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 14．（2026·贵州六盘水·一模）在中，，将绕点A逆时针旋转得到． (1)【问题解决】 如图1，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题探究】 如图2，在四边形中，对角线上有一点P，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，点D的对应点Q恰好落在的延长线上，求的度数； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，求面积的最大值． 【答案】(1)四边形的形状为菱形，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据菱形和旋转的性质，得到和，利用等边三角形的判定即可判定为菱形； （2）连接，根据菱形的性质证明，得到，，根据旋转的性质得到，则有，再结合（1）中的结论，利用角的和差即可求出的度数； （3）作于点，于点，连接，利用菱形的性质证明是等边三角形，进而求得，，通过证明，推出，设等边的边长为，表示出，分析可知当取得最小值时，即最小时，面积有最大值，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴和为等边三角形， 则， 那么，四边形的形状为菱形； （2）解：连接，如图， ∵菱形， ∴，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， 设， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：过点A作于点，过点Q作于点，连接，如图， ∵菱形，， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由（2）得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即， 设等边的边长为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，即最小时，面积有最大值， 当时，最小，此时是等边的高， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理、全等三角形的性质与判定、二次根式的应用、三角形面积公式，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 15．（2026·贵州铜仁·一模）如图，在矩形中，的平分线交于点，作于点． (1)求证：； (2)连并延长交于．若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）证明，由全等性质即可得证； （2）利用三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质，由角度出发得到，从而求出的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 在矩形中，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在矩形中，平分，，则， 由（1）知，则， ， ， ， 则， ， 在中，，，则， ， ， 在中，，则， ， 则， ， ， 则． 圆 考点04 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据在同圆中，同弧所对圆心角相等，得，根据直径所对圆周角是直角，得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， 是的直径， ， ， 故选：D ． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接，，已知，，的半径为9，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，由三角形外角的定义及性质得出，结合圆内接四边形的性质得出，由圆周角定理可得，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 4．（2026·贵州遵义·一模）一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 【详解】解：圆锥底面半径，高， 由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长， 设扇形圆心角度数为， 则， 解得：， 即圆心角度数为． 5．（2026·贵州遵义·一模）2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，、是圆的切线，为切点，为圆心，连接并延长交射线于点，若，则的长度为__________． 【答案】5 【分析】连接、，根据圆的切线的性质，易证，得到，由勾股定理得出，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 、是圆的切线，为切点，为圆心， ， ，， ， ， ， 在中，， 设，则， 在中，, ， 解得：， ． 6．（2026·贵州遵义·一模）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，重物上升了，则滑轮旋转了________度．（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 【答案】120 【分析】设滑轮旋转了n度，然后根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设滑轮旋转了n度 根据题意， ∴． ∴滑轮旋转了120度． 7．（2026·贵州·一模）如图所示，四边形、均为正方形，A，D，E三点共线，C，D，G三点共线，B，C，F三点在圆弧上，若圆直径为，且，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， ， ∵四边形，为正方形，A，D，E三点共线，C，D，G三点共线， ∴，， ∴， ∴，即点、、三点共线， 作弦的垂直平分线，交线段于点，交于点，作弦的垂直平分线，交于点， 由题可知弦与弦 的中垂线的交点即为圆心O， ∵直径为， ∴半径， 设，则， ∴， ∴， 由题意可得：，、为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得（负值已舍去）， ∴． 8．（2026·贵州遵义·一模）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，，且． (1)连接，求证：； (2)连接，若，，求弦的长度； (3)在（2）的条件下计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，即可求得； （3）根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 由（1）可知：， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，直线与相切于点C，于点D，延长交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接 ，利用切线性质得 ，结合 证 ，再通过等腰三角形导角证 平分 ； （2）设 ，利用 平分 得 ，在 和 中分别用三角函数表示边，再由 列方程求 ； （3）在 中由 设 ，，求 ，再在 中求 ，结合 求 ． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 直线 与圆 相切于点 ， ， ， ， ， ， ， ，即 平分 ； （2）解：设 ， ， ， 由（1）知 平分 ， ， ， ， ， 在 中，， 即 ，解得 ， ， 在 中，； （3）解：如图，过点 作 于点 ， ，， ， ， 又 ，，且 ， ， 在 中，， 设 ，则 ， ，， ， 在 中，，设 ， ， ， 由 得 ， ，即 ， ， 在 中，， ， 10．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E，点F在的延长线上，且． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)相切，理由见详解； (3)． 【分析】（1）先证明，再根据等腰三角形的性质即可得到结论 （2）连接．欲证是的切线，只需证明即可； （3）根据，，求得，进而求得，过点作于点，则．解直角三角形求得，然后由三角形相似知，从而求得的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：为的直径， （直径所对的圆周角是直角）， （直角三角形的两个锐角互余）； ，， 平分，即， ∵， ， ，即， 是半径， 为的切线； （3）解：由（2）知：，，， ， ， ， 过点作于点． ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， ． 11．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，交于点F． (1)写出图中一个与相等的角：__________； (2)判断与的位置关系并证明； (3)若，，求的长． 【答案】(1)或 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用切线定理和直径定理得出直角，然后根据角的和差以及等边对等角得出相等的角； （2）连接，利用切线定理得出直角，根据相等的角得出，即可得出结论； （3）根据平行证明，利用相似三角形的性质进行求解． 【详解】（1）解：与相等的角为或，理由如下： 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 连接， 切于点D， ， 又，， ，， ， ， ； （3）解：， ． ， ， 又， ， ， ， ． 12．（2026·贵州遵义·一模）如图，已知是的外接圆，为的直径，弦交于点，点在延长线上，平分，连接． (1)在不添加辅助线的条件下，写出图中一个与相等的角： ，线段与线段的数量关系是 ； (2)求证：是的切线； (3)若，的半径为10，求的长． 【答案】(1)或或，相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理解答即可； （2）连接，结合圆周角定理，可得，从而得到，即可求证； （3）证明，可得，再由的半径为10，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）得：， 平分，， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （3）解： ，， ， ，， ， ， ，， ， 的半径为10， ， ， ， ． 13．（2026·贵州六盘水·一模）如图，为的直径，，点B，E在上，延长至点A，连接，，． (1)_____，_____； (2)求证：是的切线； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)30；60 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得，再由直径所对的圆周角为直角，可得，即可求解； （2）连接，根据等腰三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可求证； （3）过点O作于点F，证明为等边三角形，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴ （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线； （3）解：如图，过点O作于点F， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 14．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，是的弦，过点作交于点，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)连接，过点作交于点，连接，根据题意，补全图形，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)四边形是矩形，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得，根据直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，得出，故是的切线； （2）结合圆周角定理得，根据平行线的性质得，即四边形是矩形， （3）根据四边形是的圆内接四边形，得，证明，把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）证明：四边形是矩形，理由如下所示： 依题意， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， （3）解：连接， ∴， 设， 由（1）得， ∵四边形是的圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴（舍）， ∴． 15．（2026·贵州黔东南·一模）如图，是等边三角形的外接圆，点是劣弧上的一动点，连接交于点． (1)如图1，_________度，写出图中一对相似三角形：_________； (2)如图2，若点为劣弧的中点时，试判断线段与的位置关系； (3)在图1中，若，求周长的最大值． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2) (3) 【分析】解题的关键在于作辅助线构造等边三角形，再利用等边三角形性质与判定，全等三角形性质，推出为直径时，的周长最大． （1）根据等边三角形性质，以及圆内接四边形性质即可求出，利用圆周角定理，以及相似三角形的判定进行分析，即可解题； （2）根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，以及垂直平分线的判定，即可推出线段与的位置关系； （3）延长到点，取，连接，推出为等边三角形，结合等边三角形性质证明，利用全等三角形性质推出，即当为直径时，的周长最大，再结合解直角三角形的计算，以及勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：是等边三角形的外接圆，点是劣弧上的一动点， ， ， ； ， ， ， ； （2）解：， 点为劣弧的中点， ， ， ， 为的垂直平分线， 即； （3）解：延长到点，取，连接， ， ， 为等边三角形， ，， 等边三角形中， ，， ， ， ， 当为直径时，长度最大， 此时，连接， 有，，， 设半径为，则， 解得， ， 周长的最大值为． 16．（2026·贵州·一模）如图所示，在平行四边形中，，对角线，且，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点P，交于点Q，连接． (1)求证：与相切； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证明，进而证明，得出，即可证明结论； （2）先求出，证明是等边三角形，，求出，，即可求出结论． 【详解】（1）证明：连接． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是的半径 ∴与相切； （2）解：在中， ， 则， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P为的中点， ， ，， ． 作图 考点05 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点． 若，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，由勾股定理可得，由作法可知，平分，则，进而证明，得到，再设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 由作法可知，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，在四边形中，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线交于点H，连接．若，，则的面积为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】A 【分析】由作图方法可知，，解直角三角形求出的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，， 在中，， ∴， ∴ ． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，四边形中，，，，，．以为圆心，长为半径画弧交于点；又以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．作射线交延长线于点，连接交于点，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图痕迹可知平分，．利用平行线和角平分线性质证明是等腰三角形，求出的长，进而求出．证明四边形是菱形，得到，从而求出的度数．在中求出，再作高求出的长，最后由求解． 【详解】解：由作图可知，平分， 且 四边形是平行四边形 又 四边形是菱形 ， 在中，， 过点作于点 ， 四边形是矩形 在中，， 4 ．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长，交于点F，则的长为_____． 【答案】4 【分析】由作图知，，在中，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由作图知，， 在中，，， ∴． 5．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，D，E分别为的中点．M是上一定点，按以下步骤尺规作图： ①以点D为圆心，为半径作弧，交于另一点N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，交于点F，点G在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)1 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据作图痕迹可知：，进而即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质得，结合中位线的性质可得，进而即可求解 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴，即， ∵． ∴四边形是平行四边形， ∵根据作图可知：， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵D，E分别为的中点， ∴， ∴． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $