专题09 函数综合压轴题（贵州专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦函数综合应用，整合贵州多地市一模压轴题，以花江峡谷大桥、晾衣绳等真实情境为载体，设置梯度化问题链。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5道|函数图像与性质、旋转、抛物线解析式、最值问题、平移与翻折|结合贵州桥旅地标设计抛物线模型题，如第2题从求解析式到旋转范围探究；联系生活实际，如第5题用晾衣绳抛物线解决立柱位置问题，体现建模思想与运算能力考查|

专题09 函数综合压轴题 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，则线段的最小值是_____． 2．（2026·贵州遵义·一模）【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． (1)求抛物线的解析式； (2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 3．（2026·贵州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线l：与该图形有交点，求t的取值范围． 4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求m的值； (2)将一次函数图象向下平移n个单位长度，若平移后的一次函数图象与反比例函数图象在第一象限内有且仅有一个交点时，求n的值． 5．（2026·贵州黔东南·一模）在我们的日常生活中，经常采用自然光晾晒衣物．如图1是小星家房前晾衣服的实景图，绑晾衣绳的铁柱和均垂直于地面，当晾衣绳的两端均绑在两根铁柱的顶部时，晾衣绳的形状可以近似看作一条抛物线，如图2是它的示意图，小明以为原点，地面、铁柱所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线部分满足函数表达式，已知铁柱的高为2米，米． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小星用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图3，的高度为1.55米，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离； (3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图3中两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，随值的增大而减小，求出的取值范围． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数综合压轴题 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点，证明，设，结合全等三角形的性质得出，进而可得点在直线上运动，当时，的值最小，证明是直角三角形，，得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转到， ∴， ∵点是直线上的一个动点， 设 如图，过点作轴，过点分别作的垂线于点，设直线交轴于点，交于点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，即 令， ∴ ∴点在直线上运动，当时，的值最小， 联立，解得： ∴ ∴，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，即线段的最小值是． 2．（2026·贵州遵义·一模）【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． (1)求抛物线的解析式； (2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)能 (3) 【分析】（1）由抛物线过点，设抛物线的解析式为：，再用待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线的解析式，然后把，解得，比较得，即可求解； （3）分别求出射线过和、和的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过且顶点的横坐标为30， ∴，即，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线最低点到轴的水平距离为30， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． 当时，， ， ∴另一端能挂到距原点50处高14的灯杆上； （3）解：∵：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵：， ∴抛物线经过点， ∴将和代入中得：，解得：； 将和代入中得：，解得：， ∵射线与抛物线和抛物线都有交点， ∴的取值范围为：． 3．（2026·贵州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线l：与该图形有交点，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为． (3)时，直线l与“心形图”有交点． 【分析】（1）求出，再代入求出即可； （2）设，过点P作于点M，过点P作轴交于点N，求出，得出，根据二次函数性质求出结论即可； （3）当直线l与抛物线只有一个交点时，求出，再根据对称性求出当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点，进而求出结论． 【详解】（1）解：一次函数与x 轴分别交于点A、B两点， 当时，；当时，； 则， 把代入： 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设， 过点P作于点M，过点P作轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大为， 此时点 ∴点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标为． （3）解：当直线l与抛物线只有一个交点时， 令，即， 则， ∴， ∴， ∴当时，直线l与“心形图”右上方只有一个交点， 此时直线l与y轴交点， ∵直线l解析式的k值与直线解析式的k值相同，为， ∴直线l与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称，且直线可知： ∴上方直线l到直线的距离与下方直线l到直线的距离相等， 设下方直线l与轴交点为点E， 根据平行线分线段成比例可得， ， ， ，即， ∴当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线l与“心形图”有交点． 4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求m的值； (2)将一次函数图象向下平移n个单位长度，若平移后的一次函数图象与反比例函数图象在第一象限内有且仅有一个交点时，求n的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）将代入，求出一次函数解析式，再将代入即可； （2）先求出反比例函数解析式，再设向下平移n个单位后的一次函数解析式，将其与反比例函数联立，然后令判别式解出n的值，根据交点在第一象限舍去不符合条件的值． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 一次函数解析式为， 将代入， 得：． （2）解：在反比例函数的图象上， ， 一次函数图象向下平移n个单位长度后的解析式为：， 联立与，得：， ， ，即， 当两个图象在第一象限内有且仅有一个交点时，有且只有一个根， ， 解得或． 当时，方程为， 解得，符合题意； 当时，方程为， 解得，不符合在第一象限内有交点的条件，舍去， 综上可得，n的值为． 5．（2026·贵州黔东南·一模）在我们的日常生活中，经常采用自然光晾晒衣物．如图1是小星家房前晾衣服的实景图，绑晾衣绳的铁柱和均垂直于地面，当晾衣绳的两端均绑在两根铁柱的顶部时，晾衣绳的形状可以近似看作一条抛物线，如图2是它的示意图，小明以为原点，地面、铁柱所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线部分满足函数表达式，已知铁柱的高为2米，米． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小星用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图3，的高度为1.55米，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离； (3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图3中两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，随值的增大而减小，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)5 (3)的取值范围是或． 【分析】（1）将代入解析式即可求解； （2）根据的最低点可知抛物线的表达式，再根据的高度可知的长度即可求解； （3）由题可知和的对称轴，在根据图形结合，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 抛物线经过点, 将代入得：， 解得：， 则抛物线的解析式为： （2）解：当时，则， ∴， 由题可知：的最低点离地面米， ∴抛物线的表达式为 将代入得： 解得：， ∴抛物线的表达式为 当时，即 解得：，（舍去） ∴． （3）解：由（2）可知，抛物线:,抛物线:的对称轴分别为和， ∴当或时，随的值的增大而减小， 将新函数图象向右平移个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为，， 如图所示， ∵平移不改变图形形状和大小， 当或时，随值的增大而减小， ∴当时，随值的增大而减小， 结合函数图象，得的取值范围是： 且，得， 且，得， 由题意知， 综上所述，的取值范围是或． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $