专题07 圆的综合压轴题（贵州专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题07 圆的综合压轴题 1．（2026·贵州·一模）如图所示，四边形、均为正方形，A，D，E三点共线，C，D，G三点共线，B，C，F三点在圆弧上，若圆直径为，且，则的长为__________． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，，且． (1)连接，求证：； (2)连接，若，，求弦的长度； (3)在（2）的条件下计算图中阴影部分的面积． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，直线与相切于点C，于点D，延长交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，是的弦，过点作交于点，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)连接，过点作交于点，连接，根据题意，补全图形，猜想四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 5．（2026·贵州黔东南·一模）如图，是等边三角形的外接圆，点是劣弧上的一动点，连接交于点． (1)如图1，_________度，写出图中一对相似三角形：_________； (2)如图2，若点为劣弧的中点时，试判断线段与的位置关系； (3)在图1中，若，求周长的最大值． 6．（2026·贵州·一模）【定理感知】 克罗狄斯•托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论． 【定理理解】 如图，在四边形中，有，特别地，当时，有． 【定理运用】 请直接运用该定理解决下列问题： (1)如图（1），四边形为的内接四边形，为直径，，，且，则的长为 ． (2)如图（2），半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上的一点，以为一边作等边三角形，求的最大值及此时的长． (3)如图（3），已知四边形中，，，，求的最大值． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07圆的综合压轴题 1.(2026贵州一模)如图所示，四边形ABCD、DEFG均为正方形，A,D,E三点共线，C,D,G三点 共线，B,C,F三点在圆弧上，若圆直径为√S8,且AB-DE=1,则AB的长为 D E 【答案】3 【详解】解：如图，连接BD,DF, G O M E P B :四边形ABCD,DEFG为正方形，A,D,E三点共线，C,D,G三点共线， LCBD=LCDB=LEDF=LEFD=45°，∠ADC=LBCD=∠EDG=∠DEF=90°， ∠CDE=180°-∠ADC=90°， .∠CDB+LCDE+∠EDF=180°，即点B、D、F三点共线， 作弦BC的垂直平分线KH,交线段BC于点N,交BD于点P,作弦BF的垂直平分线ST,交BF于点M, 由题可知弦BC与弦BF的中垂线的交点即为圆心O, :直径为58， 半径0F=58 设DE=x,则AB=x+1, .BF=V2AB+√2DE=V2(2x+1)=2√2x+√2， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BM-FM=x+ 2 由愿意可得：BN=,&BPN、OMP为等腰直角三角形， BP-JBN-+1) PM-OM-BM-BP 22 2 在Rta0MF中，由勾股定理得：OM2+MF2=OF2, 2 解得x=2(负值已舍去)， .AB=3. 2.(2026贵州遵义一模)如图，PA与⊙0相切于点A,AC为⊙0的直径，点B在⊙0上，连接PB,PC ,且PA=PB. (1)连接OB,求证：OB⊥PB; (2)连接BC,若AP=√3，∠APB=60,求弦BC的长度； (3)在(2)的条件下计算图中阴影部分的面积. 【答案】()见解析 (2)BC=1: 6 【分析】(1)利用切线性质得OA⊥PA,再通过SSS证明△AOP≌△BOP,从而推出OB⊥PB; (2)先结合已知角度推出相关角的度数，确定△BOC为等边三角形，求出圆的半径，即可求得BC=1: (3)根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形OCB的面积进行计算， 【详解】(1)证明：如图，连接OP,OB, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C :PA与⊙0相切， 0A⊥PA, ∠0AP=90°， 在△AOP和△BOP中， OA=OB PA=PB, OP=OP △AOP≌aBOP(SSS, .∠0BP=∠0AP=90°， OB⊥PB; (2)解：如图，连接BC, ○ :∠OBP=∠OAP=90°，∠APB=60°， ∠A0B=120°， .∠C0B=60°， :0B=0C, △BOC为等边三角形， ∠0CB=60°，BC=0B=0A, 由(1)可知：∠A0P=∠B0P=60°， ∠A0P=L0CB,OA= am∠A0p5=L, ∴.BC=1; (3)解：∠A0P=LC0B=60°， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OP∥BC, :S.PCB=S.oCB' ·S阴影部分=S扇形OCB= 60元×12_元 360=6 3.(2026贵州遵义：一模)如图，AB是⊙0的直径，直线MN与⊙0相切于点C,AD⊥MN于点D,延长 AB交MN于点P,连接AC,BC. MD (I)求证：AC平分∠DAB: Q若∠P-∠CAP,求∠4CD的度数： (3)若tan∠ABC=√2，求cosP的值. 【答案】（①）见解析 (2)54° 3)22 【分析】(1)连接OC,利用切线性质得OC⊥MN,结合AD⊥MN证AD∥OC,再通过等腰三 角形导角证BP平分∠ABC; (2)设∠P=xD,利用BP平分∠ABC得∠ABP=∠CBP,在RtABP和RtACBP中分别用三 角函数表示边，再由AP+PC=AC列方程求x; (3)在RIAACB中由tan∠ABC设BC=a,AC=√2a,求AB,再在RtABEC中求CE,结合 △OCE求cos∠OCE. 【详解】(1)证明：连接0C, MD ::直线MN与圆O相切于点C, :OC⊥MN, :AD⊥MN, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .ADOC, .∠DAC=∠OCA, :0A=0C, ∠0AC=∠0CA, :∠DAC=∠OAC,即AC平分∠BAD: (2)解：设∠P=x☐， :∠P=∠cMP, 2 ∠CAP=2xD, 由(1)知AC平分∠DAB, ∠DAC=∠CAP=2xD, :∠DAP=∠DAC+∠CAP=4xD, :AD⊥MN, :∠ADP=90□， 在RtAPD中，∠DAP+∠P=90☐， 即4x°+x°=90°，解得x°=18°， ∠DAC=36☐， 在RIAACD中，∠ACD=90☐-36I=54D; (3)解：如图，过点C作CE⊥AB于点E, MD OE B :OC⊥MN,AD⊥MN, 0C∥AD, .∠OCE=∠CAD, 又：∠P+∠CAP=90□，∠0CA+∠0CE=90☐，且∠CAP=∠0AC=∠0CA, ∠P=∠OCE, - 在RtACB中，an∠ABC=AC 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设BC=a,则AC=√2a, :AB=AC2+BC=3a,Z ACB=900, 0B=0c=4B=5。 2 2, 在Rt△BEC中，∠BEC=90□，设BE=m, :tan∠ABC=CE √2， E .CE=2m, 由CE2+BE2=BC2得2m2+m2=a2, m=3 a,即BE=5。, 30, .CE=/6 0, vG 在Ra0EC中，cos∠0CE=CE-3022 0c3= , -a cosP=cos∠0CE=22 3 4.(2026贵州遵义一模)如图，AB是⊙0的直径，AE是⊙0的弦，过点0作OC1AB交AE于点F,连 接AC交OO于点D,若CE=CF. D E B (I)求证：CE是O0的切线： (②)连接BE,过点A作AM∥BE交OO于点M,连接BM,根据题意，补全图形，猜想四边形AEBM的形 状，并说明理由； (3)若AD=3,CF=V10,求CD的长. 【答案】()见详解 (②)四边形AEBM是矩形，理由见详解 (3)CD=2 【分析】(1)根据圆周角定理得∠AEB=90°，根据直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，得出 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LCE0=LCEF+∠AE0=L0EB+LAE0=90°，故CE是O0的切线： (2)结合圆周角定理得∠AEB=90°=∠AMB,根据平行线的性质得∠EAM=∠AEB=∠AMB=90°，即四边 形AEBM是矩形， (3)根据四边形ABED是OO的圆内接四边形，得∠CDE=∠ABE,证明△ACE∽△ECD,把数值代入 CE2=CD×AC计算，即可作答. 【详解】(1)证明：连接EO,BE D :AB是O0的直径， .∠AEB=90°， .∠AE0+∠0EB=90°，LEA0+LOBE=90°， 0B=0E, ∴∠OEB=∠OBE, .OC⊥AB .∠EA0+LAF0=90°， ∠AF0=∠CFE, ∴.∠EA0+LCFE=90°， CE =CF, ∠CEF=LCFE, ∠EA0+∠CEF=90°， :∠EA0+∠0BE=90°， ∴.∠CEF=∠OBE, :∠OEB=∠OBE, ∴.LCEF=LOEB, 即∠CE0=∠CEF+∠AE0=∠OEB+∠AE0=90°， :EO是半径， .CE是OO的切线： 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：四边形AEBM是矩形，理由如下所示： 依题意， B M :AB是OO的直径， ∠AEB=90°=∠AMB, :AM∥BE, .∠EAM=90°， ∠EAM=LAEB=∠AMB=90°， :.四边形AEBM是矩形， (3)解：连接DE, ∴CE=CF=V10, 设CD=x, 由1)得∠CEF=∠ABE, :四边形ABED是OO的圆内接四边形， .LCDE=∠ABE, :∠ACE=∠ECD, △ACE∽△ECD, CE_AC CD EC' ∴CE2=CDxAC, 则0=xx+3), 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2+3x-10=(x-2)(x+5)=0, x1=2,x2=-5(舍)， CD=2. 5.(2026贵州黔东南一模)如图，⊙0是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点，连接 AD,BD,CD,CD交AB于点E· B D 图1 图2 (I)如图1，∠ADB= 度，写出图中一对相似三角形： (2)如图2，若点D为劣弧AB的中点时，试判断线段CD与AB的位置关系； (3)在图1中，若AB=2,求△ABD周长的最大值. 【答案】(I)120,△ACE∽△DBE(答案不唯一) (2)CD⊥AB 6)2+4 3 【分析】解题的关键在于作辅助线构造等边三角形，再利用等边三角形性质与判定，全等三角形性质，推 出CD为直径时，△ABD的周长最大. (1)根据等边三角形性质，以及圆内接四边形性质即可求出∠ADB,利用圆周角定理，以及相似三角形的 判定进行分析，即可解题； (2)根据弧、弦、圆心角之间的关系得到AD=BD,以及垂直平分线的判定，即可推出线段CD与AB的 位置关系； (3)延长BD到点F,取DF=AD,连接AF,推出△ADF为等边三角形，结合等边三角形性质证明 △CAD≌△BAF,利用全等三角形性质推出BD+AD=BD+DF=BF=CD,即当CD为直径时，△ABD的周 长最大，再结合解直角三角形的计算，以及勾股定理求解，即可解题 【详解】(1)解：：⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点， :∠ACB=60°， :∠ACB+∠ADB=180°， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ADB=120°； AD=AD, ∠ACE=∠DBE, :∠AEC=∠DEB, △ACE∽△DBE; (2)解：CD⊥AB, :点D为劣弧AB的中点， ·AD=BD, :AD =BD, :AC=BC, :CD为AB的垂直平分线， 即CD⊥AB; (3)解：延长BD到点F,取DF=AD,连接AF, E B:∠ADB=120°， D 图1 .∠ADF=60°， :△ADF为等边三角形， AD=AF,∠DAF=60°， :等边三角形ABC中AB=2, .AC=BC=AB=2,∠BAC=60°， ∠DAC=∠FAB=∠DAB+60°， △CAD≌△BAF(SAS, :BD+AD=BD+DF=BF=CD, ·当CD为直径时，长度最大， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图2 此时，连接OA, 有CD1AB，,CE=AC-sin60°=V5,AE=AB=L, 设00半径为r,则0E=V3-r, +5-r}=r2 解得，=2V3 3 ·CD=4 3 :△ABD周长的最大值为2+4 3 6.(2026贵州一模)【定理感知】 克罗狄斯托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中涉及如下定理：任 意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号， 后人称之为托勒密定理的推论 【定理理解】 如图，在四边形ABCD中，有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,特别地，当∠ABC+LADC=180°时，有 AC.BD=AB.CD+AD·BC. 【定理运用】 请直接运用该定理解决下列问题： 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图(1) 图(2) 图(3) (I)如图(1)，四边形ABCD为O0的内接四边形，AC为直径，∠ACB=30°，LACD=45°，且AB=1,则 BD的长为_， (②)如图(2)，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2,B为半圆上的一点，以AB为一边作 等边三角形ABC,求OC的最大值及此时AB的长 (3)如图(3)，己知四边形ABCD中，LABC=∠ADC=90°，AD=2,DC=4,求AB+BC的最大值. 【答案】0)2+V6 2 ②)0C的最大值为3，AB=√万 (3)最大值为5 【分析】(1)根据圆周角定理，结合含特殊角的直角三角形，求出BC,AC,AD,CD的长，利用托勒密定理， 求出BD的长即可； (2)设AB=AC=BC=x,利用托勒密定理求出OC的最大值，过点B作BM⊥AO,利用勾股定理求出 AB的长即可： (3)勾股定理，求出4C的长，利用托勒密定理得到4B+BC-5 BD,进而求出BD的最大值即可得出 2 结果 【详解】(1)解：：四边形ABCD是⊙0内接四边形， ∴∠ACB=∠ADB=30°， :AC是直径， .∠ABC=∠ADC=90°， AB=1, :AC 2AB=2,BC=3AB=3, :∠ACD=45°， 4D-CD= 2 AC=√2， 由托勒密定理得：AC·BD=AB·CD+AD·BC, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2BD=√2+2x√5， :BD=2+V6 2 (2)解：由题得，A0=2,0B=1, :ABC是等边三角形， .设AB=AC=BC=X, 在四边形ABCD中，由托勒密定理得： AB.OC≤AO·BC+B0·AC, x0C≤2x+x, 0C≤3， 当且仅当∠AOB+∠ACB=180°时，等号成立， 又：∠ACB=60°， ∴.∠A0B=120°， 如图(4)，过点B作BM⊥A0, MO 图(4) .在RtBM0中，∠B0M=60°，∠0BM=30°， ow-08-5:aw=v0w=5 2 在RtaABM中，AM=OA+OM= 5 :AB=AM2+BM2=7, :0C的最大值为3，AB=√万： (3)解：：∠ADC=90°，AD=2,DC=4, ·AC=VAD2+DC2=2W5, :∠ABC=90°， ∴.∠ADC+∠ABC=180°， A,B,C,D四点共圆，在四边形ABCD中，由托勒密定理得： 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC·BD=AD·BC+AB.CD, 2√5-BD=2BC+4·AB, AB+BC5BD: 2 又：A,B,C,D四点共圆，且AC为直径， .BD≤AC=2V5, 如图(5)，当且仅当BD为直径时，等号成立 C 图(5) 4B+scs5x25=5, :AB+BC的最大值为5. 2/6