山西晋中市2025-2026学年高三年级5月模拟测试数学试题

2026年5月高三年级模拟高考测试 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={xlx≥2}，则A∩(CRB)= A.{-2,-1,0,1} B.{-1,0,1} C.{-2,-1,0月 D.{1,2 2.若复数z满足(1+)z=1,则z= A-+ C.+ n-2 3.已知变量x,y具有线性相关关系，根据一组观测数据(x,y:)(i=1,2,…,8)利用最小二乘 法建立了经验回归方程9=6x+0.3,若元=5，了=0.8，则6= A.10 B.5 C.0.5 D.0.1 4.已知直线m,n为两条不重合的直线，若m与正方体ABCD-A,B,C,D1的各棱所成的角相 等，则“n与正方体ABCD-AB,CD1的各棱所成的角相等”是“m∥n”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 配8，为等差数列0，的前项和者S=0,4s-24,=12,则2 S2%= A.3 B.-3 c D-3 6(-层- 的展开式中，的系数为 A.220 B.-220 C.100 D.-100 数学第1页（共4页） 7.已知a>0且a≠1，若函数f八x)= 的值域为R,则a的取值范围为 log (x+a)-1,x>a A(o,引 B.[2,2] C.[2,+o） D.[2,+) 8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点，过点A,B分别 向C的准线作垂线，垂足为，B,若A1+1B"1=苔，4B中点的纵坐标为2，则C的方 程为 A子=3x或=学 B=“或=寻 C=6s或=号 D=8或r 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正整数数列{a,}满足an+1= 片，4为偶数， 且a4=4,则{a,}的前4项和S.的值 3a。+1,a。为奇数， 可以是 A.11 B.22 C.33 D.44 2 0.已知双曲线C略1(@>0,6>0)的左右焦点分别为r1,上，0为坐标原点，以0 为直径的圆与C的两条渐近线分别交于点A,B(均与点0不重合)，若LA0P,≥牙，则下 列结论正确的是 A.IAF,I -IAF2 I =2a B.IAF,I=b C.C的离心率e≥2 D.若C的焦距为2，则Oi.0i≥-日 11.已知函数f八x)=ax3-3x2+3,则 A.x=0是f八x)的极大值点 B.当-1<a<0时，f(a)<f(a-1)》 C.3a∈R,使得点(1，f(1))是曲线y=f八x)的对称中心 D.3aeR,使得ybeR,直线y=-子+b与曲线y=代x)均只有-个公共点 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(5,1),Ib1=5,la+2b1=2,则a与b的夹角为 13.已知函数f(x)的定义域为Rf(2x+1)是偶函数(x+1)=-f3-x)f1)=1,则3f3)+ 4f4)+5f5)= 14如图，点A,8C是函数)=m(a+p)(o>0)的图象与直线y=号的相邻的三个交点。 D0,-是)的图象与y轴的交点，若1BC1-M81=号，则-引= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为abc,且v5 bcos十B=csin B. 2 (1)求C; (2)若2(c2-b2)=ab,b=2,求△ABC的面积 16.(15分) 色知椭圆c:+子 +京=1(a>6>0)的上、下焦点R,R,与左顶点A是等腰直角三角形的三 个顶点，且C过点(2,2) (1)求C的方程； (2)过点（子，0且不与坐标轴垂直的直线交C于P,Q两点，求证：AP1A0, 17.(15分) “十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性 转变.某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到 如下的统计表： 类型 医疗机器人 铸种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人 人数 10 40 30 10 10 (1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人， (1)分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数； (ⅱ)再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为X,关注“表演 机器人”的人数为Y,设2=1X-Y1,求Z的分布列， (2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得如输人动作指令后其能准确完成指令的概率为学， 若输入n次动作指令，其能准确完成指令的次数为W,记事件W=k(k=0,1,2,…,n)的 概率为P(W=k),假设每次输人指令相互独立，且n≥8，则当n为何值时，P(W=8)的 值最大？ 18.(17分) 已知函数)=之-x+a(nx-)】 (1)若a=1,求f(x)的图象在点(1，f八1))处的切线方程. (2)设函数g(x)=f八x)-f八a). (1)讨论g(x)的零点个数； (iⅱ)若a∈(0,1)，g(x)的较大零点为x,证明：x<2-a 19.(17分)》 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD=42,E为AB的中点，连 接DE,将△ADE沿DE折起到△PDE(neN·)的位置，得到四楼锥P.-BCDE. (1)求证：DE⊥CP (2)设二面角P。-DE-C的平面角为0.，且lan0。= (i)求直线BD与平面P,DBE所成角的正弦值； (ⅱ)求四面体P。-P。,DE体积的最大值。 数学第4页（共4页） 1/7 2026年5月高三年级模拟高考测试 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案A 命题透析本题考查集合的运算， 解析由题可知CRB={xlx<2},则A∩(CRB)={-2,-1,0,1} 2.答案C 命题透析本题考查复数的运算. 解析因为1+i:=1,所以：=十=分宁，则：子+宁 3.答案D 命题透析本题考查经验回归方程 解析经验回归直线=bx+0.3一定经过点(x,y),即0.8=56+0.3，解得6=0.1. 4.答案B 命题透析本题考查空间线线位置关系及充分必要条件的判断. 解析直线与正方体ABCD-A,B,C,D,的各棱所成的角相等，即与同一顶点出发的三条棱所成的角相等，显然 四条体对角线满足条件.因此，m∥n时，由等角定理可知结论成立，即必要性成立.反之，m,n可能平行、相交、 异面，充分性不成立.故选B. 5.答案C 命题透析本题考查等差数列的基本量计算 解折设10，的公差为d由题可知，-5(a,幸a)=50,=0,则4，=0,4，-2，=(a,+2d-2(a,-40=12, 2 解得d=3因为S=m+a三止，所以子=4+a,即各}是公差为号的等差数列，所以品 2 n S202s3 2025=2 6.答案B 命题透析本题考查二项式定理的应用， 解析（2-°的展开式的通项为T1=C(2)'(-,所以含有兰的项的系数为-C心×2-C×2= -160-60=-220. 7.答案D 命题透析 本题考查函数的性质。 解析当x≤a时(x)=2- 单调递增，则f(x)≤f(a)=1,当x>a时(x)=log(x+a)-1,要使函数 ra>1, f八x)的值域为R,则需f(x)在x>a时的值域包含(1，+∞)，故需满足 解得a≥2. logm（2a)-1≤1， 8.答案C 命题透析本题考查抛物线的方程与性质 [yi =2px1, 解析 由题可知F殳，0，设A(名)，B(),则 y=2p 两式相波得如名头中宁则直 2 线AB的方程为y=号(x-2）,令y=2,得x=4+号=”，由抛物线的定义可知1M1+1BB1=,+ 2 2 x2+p= ,即8+2印=解得p=3或号故C的方程为)广=6或)产=弩 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AC 命题透析 本题考查数列的递推关系及前n项和. 2,,为偶数， 解析 因为an+1三 a4=4,所以a3=8或a3=1.当a3=1时，a2=2,a1=4,此时S4=11;当 3an+1,an为奇数， a3=8时，a2=16,a1=5或a1=32,此时S=33或S4=60.故选AC. 10.答案BCD 命题透析本题考查双曲线的几何性质. 解析对于A,若IAF,I-IAF2I=2a,则A应在C的右支上，而已知中A不在C上，故A错误 对于B,因为0R,为直径，所以0A1A5,直线0A的方程为bx-ay=0,故1AB,1=1bc 三=b,故B正确； Va2+ 对于C,设C的半焦距为c(c>0),由题可知∠A0r,∈[年，受），在△A0r中，&=名=csLA0R,∈ ,解得e≥2，故C正确； 对于D,若焦距为2，则c=1,耐.成=1oi1 1cos40B=(2 oA0P:-1)=a[2()-小- 2(a-)°-日≥-日，当。=子时取等号，故D正瑰 一2 11.答案ACD 命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.。 解析对于A,由题可知J'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),当a=0时∫'(x)=-6x,易知x=0是f(x)的极大值 点，当a0时，令f()=0,得x=0或子，当a>0时)在(-0,0)上单调递增，在(0，召)上单调递减，在 (名，+）上单调递增，当a<0时x)在(-“，召)上单调递减，在(20）上单调递增，在(0，+)止单调 递减，两种情况x=0均是f(x)的极大值点，故A正确； 对于B,当-1<a<0时，由A可知)在（名0上单测递增，又因为名<-2，-2<a-1<-1,所以a-1)< f(a),故B错误； 对于Cr()=6a-6,若曲线了=八x)存在对称中心，则a≠0，令(x)=0,得x=合，即存在a=l,使得点 (1f(1))是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确； 对于D,若直线=-名+6与线了=)只有-个公共点，则方程风)=一2 x+b只有一个实根，令 g)=am-3x+子+3-6，则g(x)=3a2-6+子，由4=0，可得a=2,此时g(x)≥0，g()在R上单调 递增，故D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案 5π 命题透析本题考查向量的数量积及夹角的计算： 解析由题可知1al=2,1bl=√5,1a+2b12=(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=4,解得a·b=-3,cos(a,b)= 8i治=-9则a,b)语 13.答案2 命题透析本题考查函数的奇偶性， 解析由(2x+1)是偶函数，可知f八x+1)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x=1对称，由f八x+1)=-f(3-x), 可知(x)的图象关于点(2,0)对称，故T=4是f(x)的周期由f1)=1f(2)=0,可得八3)=-1f(5)=f(1)=1, (4)=f2)=0,因此3f(3)+4(4)+5f(5)=2. 14.答案 命题透析本题考查三角函数的图象与性质， 解析令)=sin(or+p）=,可得am+g=号+2km或号+2ke乙，由题图可知，o,+p=号o,+ 号ac+p=罗所以8c1器h8=无，因为IBC1-1hB1=号故@=4因为0)=-汽.即p= 号，叉因为点D在单调递减区间上，所以p可取-罗则)=m(4:-）,从面人-）-号 一3一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.命题透析本题考查解三角形， 解析(1)由A+8+C=,可得om4生=（号-号》）=号。 则有bsin号=esin B, 由正弦定理及倍角公式有5 Ssin Bsin-号=sin Csin B=2sin号cos受sinB,… C …(3分) 而m兰≠0，s加B0,所以有6a号=号， 2 则5=石，C=(6分 (2)由余弦定理有c2=a2+b2-2 abcos C=a2+b2-ab,则c2-b2=a2-ab, 故2(c2-b2)=2(a2-ab)=ab,解得2a=3b,… (9分) 又因为b=2,所以a=3, 故△MBc的面积S=之6snC=3 2 (13分) 16.命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系. 解析()由△A6,是等膜直角三角形，可得6=6=牙。故心=28 …(2分) 由C过点(5,2)，有亭+是=1，解得公2=8,6=4.… …(4分） 故C的方程为+三1.… (5分) (2)由题可知，1的斜率存在且不为0，设其方程为y=(x-子)， 与C的方程联立可得（公+2）x-子x+号-8=0，… (8分) 4=(-号-4(+2)（号-8）=2：+64>0， 42 没P(.Q(,则+3+2两·为二18） 9(k2+2) (10分) 由(1)可知A(-2,0),所以A3=(1+2,y),A0=(+2,2),… (11分) 又因为=（号）=-号) 故A市.A0=(x,+2)(x2+2)+y =(2+1)+(2-号(+)+号+4 =4(+1)(-18)+8(3-)E+4(2+2)(+9) 9(k2+2) 9(k2+2)9(k2+2) 4×(K-17-18)+(6k2-2)+(+1+18) 9 k2+2 =0, 从而有AP⊥A视.…（15分) （垂直证明不体现计算过程扣3分) 、·4 17.命题透析本题考查概率的计算及随机变量的分布列. 解析《(1)(i)由题可知，描取的10人中，关注“特种机器人的有铝×10=4人，关注“表演机器人的有 00×10=3人 …（3分） (iⅱ)Z的所有可能取值为0,1,2,3， P(z=0)=P(X=Y=0)+P(x=Y=I)）=CS+CCC_37 Cio 120' P(Z-1)-P(X-1.Y-0)+P(X-0.r-1)+P(X-1.y-2)+P(X-2.Y-1)-CG+CG+CC+CCi Cio 40, P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=2,Y=0)-c5C+CC-9 Cio 40” P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+p(x=3,y=0)=CS+C 1 Cio 24 (7分) 则Z的分布列为 0 2 3 37 17 9 P 12040 40 24 (8分) (2)由题可知，W-Bn,号)故P(W=8)=c(专)×（兮）n≥8 …（10分） q”安。 n+1 cx()×(5)】 5(n-7)' …（12分)》 令0>1，可得n<9,令07<1，可得n>9,令07=1，可得n=9, 所以n=9或n=10时，P(W=8)取得最大值.…(15分) 18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质。 解析(1)当a=1时x)=分-2x+lnx, 则r(x)=g-2+f()）=0,… (2分) 又因为)=-各 所以)的图象在点(11)处的切线方程为y-(-2）=0,即y=-多…(4分)） (2)(i)由题可知f(x)与g(x)的定义域均为(0，+∞)，故a>0. g(x）=f'(x)=x-(a+1)+a=x-1)x-a 5- 令g(x）=0,可得x=a或x=1…（6分） 若0<a<1,则当x∈(0，a)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(a,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈ (1,+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， g(a)=0,g(1)<g(a)=0,又x→+∞时，8(x)→+∞， 所以存在x1∈(1，+∞)，使得g(x,)=0,此时共有两个零点；…(8分) 若a=1,则g(x)=-)≥0，g(x)单调递增，此时g(0）=g()=0,有一个零点；…(10分) 若a>1,则当xe(0,1)时，g(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(1，a)时，g(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(a,+∞) 时，g(x)>0,g(x)单调递增， g(a)=0,g(1)>g(a)=0,又x-0*时，g(x)→-0， 所以存在x∈(0,1)，使得g(x2)=0,此时共有两个零点. 综上，当0<a<1或a>1时，g(x)有两个零点，当a=1时，g(x)有一个零点.…（12分) (i)由ae(0,1),可知2-a>1. 由f(x)在(1，+∞）上单调递增，可知即证f(xo）=f八a)<f(2-a).…(13分) 令h(a)=fa)-2-a)=-2a2+2a-aln2-a, 即证h(a)<0,也即证2(a-1)+ln(2-a)-lna>0. 令(a）=2(a-1)+ln(2-a)-lna,则r(a=2+L)-⊥2a-1)2 a-2a-a(a-2<0, 故(a)在(0,1）)上单调递减. .. …（16分) 又(1)=0，所以(a）>(1)=0,得证.… (17分) 19.命题透析本题考查空间垂直关系的证明，线面角与几何体的体积计算. 解析(1)如图，设DE的中点为O,连接OC,OPn 因为AE=DC=AD,且AE∥DC,所以四边形ADCE是菱形. 在△PnDE中，有OPn⊥DE,在△CDE中，有OC⊥DE, 又OPn∩OC=O,故有DE⊥平面OCPn,则DE⊥CPn.… …（4分) (2)(i)由(1)知，DE⊥平面0CPn,作Oz⊥平面BCDE,又OC⊥OE,所以分别以直线OE,OC,Oz为x,y,z轴 建立空间直角坐标系0xy2,则E(2,0,0),D(-2,0,0),B(4,2,0).…（5分) 由(1)得OPn⊥DE,OC⊥DE,故∠COP.即为二面角Pn-DE-C的平面角， —6 则有P.(0,2cos8,2sin0.),当n=3时，an9,=1,此时sin,= 之，cs8s2 故P(0,2,2),D=(6,2,0),D2=(4,0,0),Dp=(2,√2,2). …（7分)》 设平面PDE的法向量为m=(x,y,z), rm·D2=0,4x=0, 则 即 取m=(0,1,-1).…（9分) m.Dr=0,l2x+2y+2z=0, 设直线BD与平面P3DE所成的角为a, DB.m 则sina= 5 …(10分） IDBIIml 10 (i)由(1)知DE⊥平面0CP.,所以DE⊥平面OPP+1, 记∠P.OP+1=0, 则四面体P.-PDE的体积V=合SAm1×DE=了×分x0P,×0P1×sim0×DE=号sin0 …(12分） 由题意，可知0e(0,受），则y=sin0与y=an0在(0，受）上均单调递增，要求V的最大值，只需求1an9的最 大值. ■8=ma-a.(分 …（14分) 1+(）·(2+ -3 令1=23，则1=分分1,2，m0= ，1 2L+ 当a寸立当-停中级 当=7，即a=2时，an0=了，当1=1，即n=3时，am0=子， 所以当n=2或3时，an0取得最大值}，此时sim0取得最大值， 10, 所以四面体八-R…DE的体积的最大值人=号×沿。4 ×10-15 …（17分)》 一7一