精品解析：山西省晋中市2024-2025学年5月高考适应训练考试数学试题

山西省晋中市2025年5月高考适应训练考试试卷 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过点且与的一条渐近线平行的直线交于点，若（O为坐标原点），则的离心率为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. 既有最小项，也有最大项 B. 使的的值共有个 C. 满足的的值共有个 D. 使取得最小值的的值为 11. 如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（ ） A. 在翻折的过程中，恒有平面PEN B. 若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C. 当二面角的大小为时， D. 当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则曲线在点处的切线方程为________． 13. 的展开式中，常数项为________． 14. 已知函数满足，且在上有且仅有一个极值点，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）证明：a，b，c成等差数列； （2）求B的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱PC的中点，且． （1）证明：平面PAD； （2）证明：平面PAD； （3）若，，且二面角的余弦值为，求AB的长． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 某学校有三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在A餐厅就餐，则当天还在A餐厅就餐的概率为，若前一天在B餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为，若前一天在C餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为． （1）求王同学第二天在A餐厅就餐的概率； （2）求王同学第n天在A餐厅就餐的概率； （3）以王同学在餐厅就餐的概率估计高一新生在餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过，则称就餐人数趋于稳定，试判断A餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定． 19. 已知椭圆的离心率为，为C上一点． （1）求C的方程． （2）过C的右焦点F的直线l与C交于A，B两点，记（O为坐标原点）的面积为S，过线段AB的中点G作直线的垂线，垂足为N，设直线AN，BN的斜率分别为，． （ⅰ）求S的取值范围； （ⅱ）求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省晋中市2025年5月高考适应训练考试试卷 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】因为集合，，所以． 故选：B. 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算及虚部概念即可求解. 【详解】由，可得， 故z的虚部为． 故选：D 3. 已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 4. 已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等差数列的性质计算即可得. 【详解】因为，所以， 由等差数列的性质得，所以，所以． 故选：A. 5. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，记向左移动的次数为X，求出服从的分布即可求解. 【详解】依题意，质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次， 记向左移动的次数为X， 则，所以． 故选：B. 6. 下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解. 【详解】根据拖尾效应，对于选项A和B，根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，所以A和B错误； 对于选项C，根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，所以C错误； 对于选项D，根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，所以D正确． 故选：D. 7. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，进而得的周期为4，然后结合条件可得. 【详解】定义在上的奇函数满足， 则，于是， 即的周期为4，则． 故选：C. 8. 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过点且与的一条渐近线平行的直线交于点，若（O为坐标原点），则的离心率为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，确定为直角三角形，进而得到，再结合双曲线定义得到，再由勾股定理即可求解. 【详解】设C的半焦距为，过点且与的一条渐近线平行的直线交于点， 由，可知为直角三角形， 因为所在直线与平行，为锐角， 所以，即， 又， 联立解得：，又，则， 所以， 由双曲线的定义可得，则， 在中，， 即，化简得， 所以的离心率． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算及向量数量积的定义，余弦二倍角公式逐个判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，如图，连接AC交OB于点M，可知M为AC的中点，所以，故B错误； 对于C，在中，易知，且，所以，，由二倍角公式可得，故C正确； 对于D，连接，则，所以，故D正确． 故选：ACD 10. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. 既有最小项，也有最大项 B. 使的的值共有个 C. 满足的的值共有个 D. 使取得最小值的的值为 【答案】AD 【解析】 【分析】构造，由函数的单调性得的单调性，从而有，，即可判断A，C，D的正误；对于B，利用，直接求出的个数，即可求解. 【详解】令，易知在，上单调递减， 所以当时，，时，， 又由，知， ， 对于A，由上述分析知数列有最小项，且有最大项，故A正确； 对于B，由，知，又，所以或或或， 所以使的的值共有个，故B错误； 对于C，要使，又，所以，，中有个负数或个负数， 所以或或，故满足的n的值共有个，故C错误； 对于D，因为时，，时，，所以当时，取得最小值，故D正确． 故选：AD. 11. 如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（ ） A. 在翻折的过程中，恒有平面PEN B. 若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C. 当二面角的大小为时， D. 当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合相似三角形及勾股定理可得，，对于A，结合翻折的知识可得，结合可得平面PEN，进而判断即可；对于B，与A同理可得平面AMF，进而得到，，可得MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN，进而求解判断即可；对于C，结合空间向量的线性运算可得，根据二面角的大小为可得，进而利用空间向量的数量积的运算律求解判断即可；对于D，分析可得BD的中点为三棱锥外接球的球心，进而求解判断即可. 【详解】在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点， 计算可得，，易知， 又，所以，则，， 所以，所以，同理可得． 对于A，由上述过程可知在翻折的过程中，，而， 因为，PN，平面PEN，所以平面PEN，故A正确； 对于B，与A同理可得平面AMF，因为平面AMF，所以， 由平面PEN，平面PEN，可得， 所以MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN， 而，故B正确； 对于C，因为，二面角的大小为， 则， 所以 ， 所以，故C错误； 对于D，因为和都是直角三角形，且BD为公共边， 所以BD的中点为其所在三角形的外心，同时也是三棱锥外接球的球心， 所以外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，令，求得，进而可求解. 【详解】因为， 所以， 令，得，解得， 所以， 则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 故答案为： 13. 的展开式中，常数项为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据，求出的展开式的通项即可求解. 【详解】因为， 又的展开式的通项为， 所以当时， 所以的展开式中常数项为10． 故答案为：. 14. 已知函数满足，且在上有且仅有一个极值点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】结合三角函数的图象与性质可得的最小正周期，即可得的值. 【详解】设的最小正周期为T，结合三角函数的图象与性质可知， 所以，即，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）证明：a，b，c成等差数列； （2）求B的最大值． 【答案】（1） 由， 结合正弦定理可得， 整理得，① 因为，所以，② 将②代入①，得， 再由正弦定理得，故a，b，c成等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化以及正弦的和差角公式代入计算，即可证明； （2）由余弦定理结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由余弦定理得 ， 当且仅当时，等号成立， 由，可得， 所以B的最大值为． 16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱PC的中点，且． （1）证明：平面PAD； （2）证明：平面PAD； （3）若，，且二面角的余弦值为，求AB的长． 【答案】（1）证明：如图，取PD的中点，连接，， 则，，又，， 所以，且，所以四边形ABEF为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面PAD； （2）证明：因为，，所以， 又因为，，且、平面， 所以平面； （3）1 【解析】 【分析】（1）取PD的中点，可得，，则，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）由可得，再利用线面垂直判定定理即可得证； （3）由题意计算可得，则可建立适当空间直角坐标系，再计算出平面与平面的法向量后，结合空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，，可知，所以． 故PA，AB，AD两两垂直， 所以可以A为坐标原点，建立如上图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，， 设平面ABE的法向量为， 则，即，令，得，，所以， 设平面PBE的法向量为， 则，即，令，得，，所以， 设二面角的大小为（由题可知为锐角）， 则，解得， 所以AB的长为1． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得对任意恒成立，令，结合函数的单调性得到，再参变分离，结合（1）求出，即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，又， 令，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由对任意恒成立， 得对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则有， 显然为增函数，可得， 则，所以． 由（1）可知， 所以，故的取值范围为． 18. 某学校有三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在A餐厅就餐，则当天还在A餐厅就餐的概率为，若前一天在B餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为，若前一天在C餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为． （1）求王同学第二天在A餐厅就餐的概率； （2）求王同学第n天在A餐厅就餐的概率； （3）以王同学在餐厅就餐的概率估计高一新生在餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过，则称就餐人数趋于稳定，试判断A餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定． 【答案】（1） （2） （3）A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定 【解析】 【分析】（1）第i天去餐厅就餐的概率分别为，，，．由全概率公式即可求解； （2）由，结合全概率公式得到，即可求解； （3）法一，由（2）求得，，，即可判断，法二：，求解即可. 【小问1详解】 记第i天去餐厅就餐的概率分别为，，，． 由全概率公式可得 ， 所以王同学第二天在A餐厅就䭆的概率为． 【小问2详解】 由题可知，当时， ， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以王同学第n天在A餐厅就餐的概率为． 【小问3详解】 方法一：由（2）的计算可知 ，，，，， ，， ，， 所以A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定． 方法二：， 化简得，因为，所以， 所以A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定． 19. 已知椭圆的离心率为，为C上一点． （1）求C的方程． （2）过C的右焦点F的直线l与C交于A，B两点，记（O为坐标原点）的面积为S，过线段AB的中点G作直线的垂线，垂足为N，设直线AN，BN的斜率分别为，． （ⅰ）求S的取值范围； （ⅱ）求证：为定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）方法一：易知，所以， 可得，． 所以 ， 因此，为定值． 方法二：不妨令，由题知，， 所以 ， 因此，为定值． 【解析】 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上列出等式求解即可； （2）（ⅰ）设直线AB的方程为，，，，联立椭圆方程，由，求得，再通过换元，结合对勾函数单调性即可求解；（ⅱ）法一：求得，．结合斜率公式得到化简即可；法二：令，由题知，，得到代入化简即可. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为． 由题意知，解得，， 所以C的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）易知． 设直线AB的方程为，，，，如图所示： 联立，消去x，得， 所以， 且，， 可得， 令，则， 所以，由对勾函数的性质可得在时单调递增， 所以，即S的取值范围为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $